第二章 平面向量及其应用 单元测试（含解析）-2024-2025学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

第二章平面向量及其应用单元测试学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若空间中任意四点O，A，B，P满足＝m＋n，其中m＋n＝1，则（

）A．P∈直线ABB．P∉直线ABC．点P可能在直线AB上，也可能不在直线AB上D．以上都不对2．在中，角，，的对边分别是，，．若，，，则（

）A． B． C．3 D．3．设向量，，若，则实数的值为（）A． B． C． D．4．已知向量，，且，则实数（

）A．2 B． C．8 D．5．如图所示，在中，为中点，过点的直线分别交于不同的两点，设，，则的值为（

）A． B．1 C．2 D．不确定6．在中，，，，D是内一点，且设，则（

）A． B． C． D．二、多选题7．如图，在平行四边形ABCD中，已知F，E分别是靠近C，D的四等分点，则下列结论正确的是（

）

A． B．C． D．8．已知向量，，，则下列说法正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围是三、填空题9．若三角形三边长之比为，那么这个三角形的最大角是．10．已知，，，则向量在向量上的投影向量为．11．平面四边形中，，若四点共圆，则该四边形的面积为.12．已知向量，，，中，相互平行的向量是．四、解答题13．在中，角，，所对的边分别为，，，且.（1）求；（2）若是边上的点，平分，且，，求的值.14．在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足.（1）若，求的值；（2）若，，求△ABC的面积.15．记的内角的对边分别为，已知.(1)若，求；(2)若，求.16．在中，内角的对边分别为，且满足.(1)求；(2)若，点在线段上且满足，当取最小值时，求的值.参考答案：题号12345678答案AADCCBADAC1．A【分析】利用减法法则化简已知得，再根据，有公共起点A，即可判断得解.【详解】因为m＋n＝1，所以m＝1－n，所以＝(1－n)·＋n，即＝n()，即，所以与共线．又，有公共起点A，所以P，A，B三点在同一直线上，即P∈直线AB.故选：A2．A【分析】借助余弦定理计算即可得.【详解】根据余弦定理可得．故选：A.3．D【分析】利用向量共线的坐标表示即可求解.【详解】因为，，且，所以，解得.故选：D4．C【分析】由向量垂直的坐标运算求解.【详解】向量，，且，则有，解得.故选：C.5．C【分析】根据题意，利用作为基底表示向量，进而根据向量相等求解即可.【详解】解：因为在中，为中点，，，所以，设，所以，即所以.故选：C6．B【分析】根据Rt△ABC构建平面直角坐标系，可知B、C的坐标分别为(1，0)、(0，2)，应用含参数的坐标表示向量，由平面向量基本定理，坐标运算求得参数λ、μ的关系即可求判断选项.【详解】如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系则B点的坐标为(1，0)，C点的坐标为(0，2)

∵∠DAB＝45°，所以设D点的坐标为(m，m)(m≠0)则λ＝m，且μ＝m，∴，即故选：B7．AD【分析】结合图形，利用平面向量的线性运算与数量积运算，对选项逐一判断即可.【详解】对选项A：，正确；对选项B：，错误；对选项C：，错误；对选项D：，正确.故选：AD8．AC【分析】根据向量平行的坐标表示列方程求，判断A，根据向量垂直的向量表示结合数量积的坐标运算求，判断B，由两边平方可得，结合数量积坐标运算求，再求判断C，由条件可得，且向量与不共线，列不等式的取值范围，判断D.【详解】对于A，因为，，所以，所以，A正确；对于B，因为，所以，所以，又，，所以，所以，B错误；对于C，由可得，，所以，所以，由，，可得，所以，所以，，所以，C正确；对于D，由向量与的夹角为锐角，可得，且向量与不共线，所以，且，所以实数的取值范围是，D错误；故选：AC.9．【分析】确定最大角所对边，再利用余弦定理求解即得.【详解】设三角形三边长分别为，且，则边长为的边所对角最大，记为，令，由余弦定理得，而，解得，所以这个三角形的最大角是.故答案为：10．【分析】根据因为，得，再利用则向量在向量上的投影向量的定义代入计算得结果；【详解】因为，所以，则向量在向量上的投影向量为，故答案为：11．【分析】由余弦定理结合圆的性质可求得,继而利用三角形面积公式进行计算即可.【详解】因为四点共圆，所以,由余弦定理知，，即,解得,则，则平面四边形的面积为.故答案为：.12．【分析】利用向量共线的坐标表示即得.【详解】∵向量，，∴，∴，又，∴，所以与不共线，又∴，∴，故答案为：13．（1）；（2）.【分析】（1）由正弦定理可得，然后可求出答案；（2）由条件和余弦定理消去可得，求出的值，然后由角平分线的性质可得，然后可得答案.【详解】（1）由正弦定理可得，因为，所以，则，因为，所以，所以，得.（2）由，得，①由余弦定理可得，②联立①②得，则，所以，依题意得，因为，所以14．（1）；（2）.【分析】（1）先由正弦定理化简得到，求出，利用二倍角公式求出2A的正余弦值，利用和差角公式求出的值；（2）利用余弦定理求出，直接利用面积公式求出△ABC的面积.【详解】（1）因为，利用正弦定理得：，，因为，所以，所以；因为，所以，所以，，所以（2）由余弦定理得，又因为，，所以所以三角形ABC的面积是.15．(1)(2)【分析】（1）解法1：由可得，由正弦定理和余弦定理将等式边化角即可求出；解法2：由正弦定理可得，结合两角和的正弦公式、二倍角的正弦和余弦公式，化简可得，再由余弦定理代入即可求出；（2）由可得，再由余弦定理即可求出；解法2：由正弦定理边化角化简已知表达式可得，再结合两角和的正弦公式，二倍角的正弦和余弦公式化简即可求出.【详解】（1）解法1：代入，得.解法2：由正弦定理可得：：代入化简，则，则，因为，所以，解得：；由余弦定理可得：，代入化简得，解得（负值舍）.（2）解法1：，，又所以.解法2：因为，所以，代入，，，因为，则，化简：，当时，则，则，舍去不满足题意；当时，则，因为，所以.16．(1)(2)【分析】（1）根据题意，化简得到，得到，求得，即可求解.（2）由