2024-2025学年广东省惠州市高二（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年广东省惠州市高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知{an}为等差数列，a2=3，a6A.7 B.6 C.475 D.2.已知空间向量a=(2,−3,0)，b=(m,2,−1)，若a⊥b，则实数mA.−3 B.−1 C.1 D.33.已知点A(−3,4)，B(2,2)，直线y=kx−2与直线AB平行，则实数k等于(

)A.25 B.−25 C.54.椭圆可看成是圆被压扁或拉伸形成的.下列椭圆中，形状更接近圆的是(

)A.x225+y29=1 B.5.如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，M为AC和BD的交点，若AB=a，A.12a−12b+c

6.已知空间向量a=(3,0,4)，b=(1,3,0)，则向量b在向量A.32(1,3,0) B.347.若直线ax+by=1与圆x2+y2=1有两个公共点，则点A.点P在圆上 B.点P在圆外 C.点P在圆内 D.以上都有可能8.如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD、ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.长度为1的金属杆端点N在对角线BF上移动，另一个端点M在正方形ABCD内(含边界)移动，且始终保持MN⊥AB，则端点M的轨迹长度为(

)A.π2

B.2

C.1

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知圆C：x2+y2−4x−6y−3=0，直线l：ax−y−a−1=0(其中a为参数A.圆心坐标为(2,3) B.若直线l与圆C相交，弦长最大值为12

C.直线l过定点(0,−a−1) D.当a=−815时，直线l与圆10.已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn=k⋅A.数列{an}的首项不可能为0 B.当k≠0时，{an}偶数项的符号相同

C.当k=1时，{an11.在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AA1=1，点P满足A.当λ=1时，△AB1P的周长为定值

B.当μ=1时，三棱锥P−A1BC的体积为定值

C.当λ=12时，有且仅有一个点P，使得A1P⊥BP三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.过抛物线y2=4x的焦点F作直线l，交抛物线于点A，若点A的横坐标为3，则|AF|等于______．13.在空间直角坐标系中，已知向量a=(3,1,0)和向量b=(x,y,z)，如果〈a,b〉=14.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的1，3，6，10称为三角形数，第二行的1，4，9，16称为正方形数，第三行的1，5，12，22称为五边形数，则正方形数所构成的数列的第5项是______，五边形数所构成的数列{an}四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知圆x2+y2=8内有一点P0(−1,2)，AB为过点P0且倾斜角为α的弦．

(1)当α=3π4时，求|AB|的长；16.(本小题15分)

设数列{an}满足a1+3a2+⋯+(2n−1)an=n．

(1)证明；数列{17.(本小题15分)

我们知道，当一束光线照到镜面时，光线会依一定的规律反射，即反射角等于入射角(如图所示).依据此物理定律，解决以下问题．

已知抛物线C：y2=4x，其焦点为F，直线l：y=kx+2与抛物线C相切于点P．

(1)求直线l的方程；

(2)从点F发出的光线经过抛物线上的点P反射，证明：反射光线平行于抛物线的对称轴．18.(本小题17分)

如图，正四棱锥P−ABCD的底面边长和高均为2，E、F分别是PD和PB的中点．

(1)证明：EF⊥PC；

(2)若点M满足PM=λPC，且点M在平面AEF内，求λ的值；

(3)求直线PB与平面AEF19.(本小题17分)

通过研究，已知对任意平面向量AB=(x,y)，把AB绕其起点A沿逆时针方向旋转θ角得到向量AP=(xcosθ−ysinθ,xsinθ+ycosθ)，叫做把点B绕点A逆时针方向旋转θ角得到点P．

(1)已知平面内点A(−3,23)，点B(3,−23)，把点B绕点A逆时针旋转π3得到点P，求点P的坐标；

(2)已知二次方程x2+y2−xy=1的图像是由平面直角坐标系下某标准椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)绕原点O逆时针旋转π4所得的斜椭圆C．

(i)求斜椭圆C的离心率；

参考答案1.A

2.D

3.B

4.B

5.A

6.C

7.B

8.A

9.AD

10.BC

11.BD

12.4

13.(0,1,0)(答案不唯一)

14.25

an15.解：(1)当α=34π时，直线AB的方程为y−2=−(x+1)，即x+y−1=0，

设圆心到直线AB的距离为d，则d=−12=22，

∴|AB|=2r2−d2=30．

(2)当弦AB被点P16.(1)证明：由a1+3a2+⋯+(2n−1)an=n，①

得a1=1，

当n≥2时，a1+3a2+⋯+(2n−3)an−1=n−1，②

①−②得：(2n−1)an=1，则1an=2n−1，

∵1a17.解：(1)联立y=kx+2y2=4x，可得k2x2+4(k−1)x+4=0，

令Δ=16(k−1)2−16k2=0，可得k=12，

∴直线l的方程为y=12x+2，即x−2y+4=0；

(2)证明：由(1)可得P为(4,4)，

∴法线(过P且垂直直线l)的方程为y−4=−2(x−4)，

令y=0，可得法线与x轴的交点为A(6,0)，又F(1,0)，

∴|FP|=p18.(1)证明：连接AC、BD交于O，连接OP，由正四棱锥的性质可得PO⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，则AC⊥BD，

所以以O为坐标原点，OA、OB、OP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，

则A(2,0,0),B(0,2,0)，P(0,0,2)，C(−2,0,0)，D(0,−2,0),E(0,−22,1)，F(0,22,1)，

则EF=(0,2,0)，PC=(−2,0,−2)，则EF⋅PC=0，

所以EF⊥PC．

(2)解：由(1)得AP=(−2,0,2)，PM=λPC=(−2λ,0,−2λ)，

因此AM=AP+PM=(−2−2λ,0,2−2λ)，

设平面AEF的法向量n=(x,y,z)，由n⋅AE=019.解：(1)由已知得AB=(23,−43)，

所以AP=(6+3,3−23)，

不妨设P(x0,y