利用递推关系求通项-2025年高考数学二轮复习学案（含答案）

拓展培优(三)利用递推关系求通项

以递推关系为载体考查数列通项公式的求法是新高考考查数列的重点内容

之一，在选择题、填空题、解答题中均有涉及，难度中等.利用数列的递推关系求

数列的通项，常见的方法有累加法、累乘法和构造法(包括辅助数列法、取倒数

法、取对数法等).

考向1JS”与圆之间的递推关系

典例精析

典例1已知数列｛z｝的前〃项和为S〃，＜7i=-y,且5a”+i+S"+16=0,则数列｛a,，｝

的通项公式为.

思维点拨》将5a〃+i+S〃+16=0中的〃用n-1替换一作差得5服+i=4a〃-求公比一

利用等比数列的通项公式求解.

方法总结：

Sn与an的关系问题的求解思路

(1)先利用＜21=51求出(71.

(2)用n-1替换关系式中的n,得到一个新的关系,利用。“=5”5一1佗2)化简,求

出当n＞2时an的表达式.

⑶对”=1时的结果进行检验，看是否符合症2时处的表达式，若符合，则数列

的通项公式合写；若不符合，则分”=1与佗2两段来写.

(4)根据所求结果的不同要求，利用丽=5〃5一1(定2)将已知关系式转化为只含Sn,

S『i的关系式或转化为只含的，的关系式，再求解.

培优精练

已知数列｛如｝的前7项和为名,若S”=4加3,则&=().

A.4[(|尸1]B.4[(|)«-1]

C.3[C)"-1]D.4(3n-1)

考向2J累加法

典例精析

典例2在数列｛□"｝中,<71=2,an+i=an+n+l.

(1)求数列｛斯｝的通项公式.

1一

(2)设况=—,数列｛瓦｝的前〃项和为4,证明：T<2.

ann

思维点拨》(1)累加求和一验证确定结果.

⑵放缩瓦=高(高=2&W)一裂项相消法求和一得证・

方法总结：

若给出的是形如如+i-a“=A”)的递推公式，可利用累加法求数列的通项公式，步骤

如下：

an+i-an=firi),则当龙2时，an-an-\=f[n-V),an-i-an-2=firi-2),俏-。2/2),ai-

0=/(D

两边分别相加得如0=/⑴侦2)+...+危-1),

所以当〃N2时，an=fil)+f(2)+...+f(n-l)+ai,验证首项，得出结论.

培优精练

南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中出现了如图所示的形状，后人称之为

“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……设

各层球数构成一个数列｛a”｝,an=an-i+n,”>1且〃GN*.

(1)求数列｛所｝的通项公式.

111

⑵求证：力晟+…+工<2

考向3J累乘法

典例精析

典例3已知数列｛aa｝满足<7i=l,(2n-l)an+i=(2n+l)an,则｛丽｝的通项公式

为.

方法总结：

若给出的是形如等1=/5)的递推公式，可利用累乘法求数列的通项公式，步骤如

下：

若等1寸⑺，贝I当稔2时，言存...»母=/⑵，^7=/(1).

aaaaa

nn_^n_22l

两边分别相乘得£=/U)次2)爪3)•…次止1),

所以当稔2时，an=avf(X)-...-fin-1),验证首项,得出结论.

培优精练

已知3｝是首项为1的正项数列，且(〃+1)忌+1-〃W+a"+ia"=O(“eN*),则它的通

项公式为an=.

考向4J待定系数法

典例精析

典例4已知数列｛。“｝满足成+i+2a”=3,ai=2,且其前〃项和为则满足不等

式|S『哈|>100的最小整数n为.

思维点拨证明数列｛斯-1｝为等比数列一求该数列的首项和公比一求得痣一分组

求和法得解不等式|Sn-n^|>100求n.

方法总结：

若给出的是形如an+l=pan+q(p^,取和)的递推公式，可利用待定系数法求数列

的通项公式，步骤如下：

第一步，假设递推公式可变形为厮+1+/=双。//);

第二步，由待定系数法解得/=：;

P-1

第三步，写出数列B+言)的通项公式；

第四步，写出数列｛或｝的通项公式.

培优精练

已知数列｛所｝满足。〃+i=2(a〃+l),若。5=78,则〃1=().

A.4B.3C.-D.2

2

考向5J倒数构造法

典例精析

典例5已知数列｛。〃｝的首项。1=|,且满足。〃+i=5T.

⑴求证：数歹为等比数列.

1%I

1111

(2)若丁+丁+丁a+...+『a<101,求满足条件的最大整数n.

。23n

思维点拨》(1)。"+1=热的两边取倒数，再同时减2T根据等比数列的定义判定.

zan-i-1

(2)利用等比数列求和公式求和一构造函数一根据函数的单调性求n.

方法总结：

若给出的是形如念+1=悬m，q,机为常数，取加和)的递推公式，可通过两边取

倒数，将其变形为六然后利用待定系数法等方法求解四

a+i

nmanm

培优精练

已知数列｛瓦｝满足外=1,且从+1=(%("©N*),则｛瓦｝的通项公式为.

考向6J对数构造法

典例精析

典例6已知数列｛<2"｝满足41=1,<2^+1=10<7n(<7n>0),求｛&｝的通项公式.

思维点拨》点+1=10。〃的两边取对数，得21g<7n+l=lga〃+l—构造等比数列求通项

一解方程.

培优精练

(改编)已知数列｛。〃｝的各项均为正数，。1=10且飙+产忌⑺^^^若仅外的前n项

之积为4,则满足TB102025的正整数〃的最大值为().

A.12B.llC.10D.9

考向7J相邻三项的递推式

典例精析

典例7已知在数列｛〃“｝中，4/1=5,欧=2,。〃=2斯-i+3a(n>3),则数列｛〃〃｝的通

n-2

项公式为.

方法总结：

形如而+1=4?〃+及加1的模型，可通过构造二阶等比数列求解，有些可转化为期+i-

an=(A-l)(an-an-i),利I用｛a〃+is｝为等比数列求出｛外｝的通项公式，有些可转化为

an+i+an=(A+l)(an+an-i),利用｛加+1+或｝为等比数列求出｛。?｝的通项公式.解这类题

的思路就是利用相邻两项的线性组合构造等比数列，然后求解.

培优精练

已知数列｛而｝满足tzi=L<22=3,丽+2=。"+1+2即某同学已经证明了数列｛a”+i-2a”｝

和数列｛Z+1+小｝都是等比数列，则数列｛为｝的通项公式为an=.

参考答案

拓展培优（三）利用递推关系求通项

考向1工与雨之间的递推关系

典例1iZn=-4X1"

【解析】当”=1时，5a2+ai+16=0,•:。2=-晟，

当稔2时，由5为+1+5+16=0,①

得5a〃+S”-i+16=0,②

由①领5an+1二4斯,

:%2=W。，••,

.an+l4_4

・・_丁乂％一不

.:｛痣｝是首项为《，公比为飘等比数列，

.：z=-?x弓）"-1=-4*（2”.

培优精练C

【解析】当”=1时，51=401-3=4Si-3,得邑=1,

当«>2时，S"=4（S“-S"-i）-3,得3S"=4S"-i+3nS"=（S"-i+lnSz+3=$S*i+3）,

又S+3=4,

所以｛S〃+3｝是首项为4,公比为前勺等比数列，

所以S,+3=4x（扔1,得5、=4义（加-3=3[（扔1],故选C.

考向2累加法

典例2

【解析】⑴因为所+1=。"+7什1，即an+i-an=n+l,

所以当时，。2-。1=2,〃3-。2=3,...,an-an-i-n,

将以上各式相加，得。”。1=2+3+...+〃=（%甲+2）,则①尸色±£（,之2）,

乙乙

0二2也符合上式，故z二尤里工

(2)由题意得bn=—=2,2,O<72.=~1-7T=2(--

22

ctnn+n+2n+nnzn+1)\几n+1'

所以Tn=bi+b2+…+bn<2(…+——=2(1--^7)<2.

\223nTi+l/\n+1f

培优精练

【解析】(1)因为。〃=。止1+",n>l,所以斯s-i=〃，〃>1,

以^3几>1日寸,Cln—(^Cln~Cln-1)~^~(^Cln-\~Cln-2)+...+(02一〃1)+〃1=〃+(〃-1)+...+2+1――C—-

当72=1时，上式也成立，

所以。尸号2

⑵因为齐可品=2（；一冷）,

所以工+工+…+工=21+++冷)=2(1岛)<2

。2。几(-1rl---k+i

考向3累乘法

典例3an=2n-l

【解析】由(2〃-1)4〃+1=(2h+1)4〃及“1=1,得a#0,

所以等1=竽口，

an2n_1

当n>2时，有“尸善乂卜乂…x^1x^1x*xai=|^lx|^3x…x(x?x；xl=2〃-l.

aaaaa

n_rn_232l2n.32n_5531

<21=1符合上式，所以an=2n-l.

培优精练-

n

【解析】把(“+DW+1-72嫌+a〃+i为=0左侧分解因式，得+n+1-〃〃/?](〃及+1+Cln)=0.

•a〃>0,,•〃及+i+〃〃>0,

・：(〃+l)a〃+i・〃a〃=O,

厮123n.an1

:得=3’当心时，------=-X-X-X...X^l1

。几1234n・。1

又丁〃1=1,.：〃〃二%二(佗2).

nn

验证得首项亦满足上式，故。W

考向4待定系数法

典例49

【解析】因为a〃+i+2a”=3,

所以a“+i-l=-2(a”-l),又

所以数列｛劣-1｝是首项为1,公比为-2的等比数列，贝1］加一1=(一2严，所以外=1+(一

2严，

所以S〃=〃+=〃+gxG2)".

『1—(J^―$Z)；33

由|s-〃qpioo,gp|-|x(-2)n|>100,得稔log2300,

因为28=256<300<29=512,所以满足不等式|Sn-n~|>100的最小整数〃为9.

培优精练B

【解析】由丽+1=2(,〃+1)可得研1+2=2(斯+2),

所以，瞎=2,则｛为+2｝是公比为2的等比数列，

所以05+2=3+2>24=80,得0=3.故选B.

考向5倒数构造法

典例5

【解析】(1)由或+1=%，

12+1

得

可==

an2

a1击

an+2a

1111

又

=---加

-2----2-

+1-22即-2%-2

故数列为等比数列.

(2)由(1)可知尸=/,故4/+2.

乙'Z7ZZ

所\iX~~+—+—+...+工=《+2+3+2+3+2+...+-i+2=----2^_+2n=1-i+2H.

Gil。2。3a222232n〕2n

n12

令财)=1-玄+2n,

易知加)随〃的增大而增大，因为人50)<101,人51)>101,所以满足加)<101的

最大整数为50.

培优精练bn=-^-

【解析】易知及>0,两边取倒数得出=窄，

°n+l。几

整理得a+1=2《+1),

•:｛HU是首项为#1=2,公比为2的等比数列，

11

.:彳+1=2X2"［，

unZ-i

考向6对数构造法

典例6

【解析】等式a"i=10。"的两边取以10为底的对数，可得21ga”+i=lg。”+1,则

21gan=lg(2n-i+l(n>2),

即lgdn-l=—(lg1-1),

所以数列｛lga〃-l｝是以lg为首项，g为公比的等比数列，

所以lg

即即a〃=10x弓)(j)"1.

培优精练C

【解析】因为如+i=W(〃£N*),两边取常用对数,得lga〃+i=21ga〃,

所以1g。”是以lg£Zi=lg10=1为首项,2为公比的等比数列,

2ni

所以lga”=2%则an=io>

4=“1。2的…期=102°+21+22+…+2&1,

令T„<102025,IP2°+21+22+...+2,,-1<2025,

根据等比数列的求和公式，得答43s2025,

1-2

整理得2%2026,

又因为21。<2026<2”,

所以正整数〃的最大值为1