解直角三角形模型之新定义模型（原卷版）

专题23解直角三角形模型之新定义模型

解直角三角形的新定义模型，是体现选拔功能的试题中对初高中知识衔接的考查。高中数学为这类试

题的命制提供了广阔的空间背景，命题者将高中数学的一些概念、定理、法则、公式等初中化（用初中数

学知识内容包装、初中试题命制技术设置）处理，命制出具有高中数学背景味道的试题。这类试题往往对

学生思维能力和创新能力要求较高，能有效检验学生是否具备进入高中学习的潜能，所以平时教学挖掘这

方面解题技能及功效尤为重要。恰当地构建模型可以拓宽解题思路，优化解题过程，丰富解题内涵。

【知识储备】

模型1、新定义模型

此类模型主要包含高中数学中的三角函数和解三角形的相关定理（公式），而这些定理（公式）也

可利用初中数学知识证明。

若无特殊说明，一般认为△48C的3个角//、NB、ZC,分别对应边a、b、c；

1）正弦定理：如图1,-^―==2R（其中R是三角形外接圆的半径）。

sinAsinBsinC

c1=a1+b2-labcosC.

3）正弦面积公式：如图2,5=—absmC=—bcsmA=—acsmB.

A222

4）同角三角函数的基本关系式：sz/e+00/8=1,勿〃。=岂"。

cosO

5）和（差）、二倍角角公式:

sin{a±〃）=sinacos/3±cosasinP;sin2a=Isinacosa.

cos（a±笈）=cosacos/3+sinasin/3;cosla=cos2a-sin2a=2cos1a-1=1-2sin2a.

/,八、tana±tan/3_2tana

tan(a±/3)=-----------tan2a=----------

'\+tanatan/3\-tana

例1.（2022•湖南•中考真题）阅读下列材料：

在A48c中，44、E>B、NC所对的边分别为。、b、c,求证：，一=〃—

sinAsinB

证明：如图1,过点。作CD,48于点。，贝IJ：

在RtABCD中，CD=as\nB；在RtAACD中，CD=bsin4

a_b

asinB=bsinA

sinAsinB

c

碇；⑵为了办好湖南

省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境.如图3,规划中的一片三角形区域需美化，已知

44=67。，N8=53。，/C=80米，求这片区域的面积.（结果保留根号.参考数据：sin53°«0.8,

sin67°~0.9)

例2.（2022•湖南湘西•统考中考真题）阅读材料余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角余弦值关系的

数学定理，运用它可以解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者己知三边求角的问题.余弦定理是这

样描述的：在A43C中，乙4、乙B、NC所对的边分别为°、b、c,则三角形中任意一边的平方等于另外两边

的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍.

用公式可描述为：a2=b2-\-c2-2bccosA；b2=a2~\-c2-laccosB；c2=a2~\~b2-2abcosC

现已知在A48C中，AB=3,NC=4,乙4=60。，则3C=

例3.（2022•山东青岛•校考二模）问题提出：已知任意三角形的两边及夹角，求三角形的面积.

问题探究：为了解决上述问题，我们先由特殊到一般来进行探究.

探究一：如图L在。中，ZABC=90°,AC=b,BC=a,NC=Na,求的面积.

在中，ZABC=90°,sina=AB=b»sina.=^BC»AB=-a«Z）sina.

A.C22

探究二：如图2,“8C中，AB=AC=b,BC=a,ZB=2a,求小BC的面积（用含a、b、a代数式

表示），写出探究过程.

探究三：如图3,中，AB-b,BC=a,Z.B=Z.a,求“3C的面积（用a、b、a表示）写出探究

过程.

问题解决：已知任意三角形的两边及夹角，求三角形的面积方法是：（用文字叙述）.

问题应用：如图4,已知平行四边形/BCD中，AB=b,BC=a,NB=a,求平行四边形4BCD的面积

（用。、b、a表示）写出解题过程.

问题拓广：如图5所示，利用你所探究的结论直接写出任意四边形的面积（用。、b、c、d、a、尸表

不），其中=BC—c,CD=d,AD—a,AA=a,/-C=[3.

例4.(2023春•四川泸州•八年级校考期中)平面几何图形的许多问题，如：长度、周长、面积、角度等问

题，最后都转化到三角形中解决.古人对任意形状的三角形，探究出若已知三边，便可以求出其面积.具

体如下：设一个三角形的三边长分别为。、b、c,P=^a+b+c),则有下列面积公式：

S=dP(P—a)(P—bXP—c)(海伦公式)；外2](秦九韶公式).

⑴一个三角形边长依次是5、6、7,利用两个公式，可以求出这个三角形的面积；

⑵学完勾股定理以后，已知任意形状的三角形的三边长也可以求出其面积.如图，在中，AB=15,

BC=14,NC=13,求“8C的面积和3c边上得高的长.

例5.(2023•北京市•九年级校考期末)关于三角函数有如下公式：sin(a+p)=sinacos[3+cosasinp,sin

(a-P)=sinacos[3-cosasinP；cos(a+0)=cosacos[3-sinasin[3,cos(a-P)=cosacosP+sinasinP；tan

(a+p)ta：a+叱(i-tanatanP^O),合理利用这些公式可以将一些角的三角函数值转化为特殊角的

三角函数来求值，如sin90=sin(30°+60°)=sin30°cos600+cos30°sin60°=1X-+—x—=1,利用上述公

2222

式计算下列三角函数①sinl05°=巫史，②tanl05°=-2-g,③sinl5°=近二,④cos90°=0,其

44

中正确的个数有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

例6.(2023年四川省广元市中考真题数学试题)"一缕清风银叶转"，某市20台风机依次矗立在云遮雾绕的

山脊之上，风叶转动，风能就能转换成电能，造福千家万户.某中学初三数学兴趣小组，为测量风叶的长

度进行了实地测量.如图，三片风叶两两所成的角为120。，当其中一片风叶与塔干。。叠合时，在与塔

底。水平距离为60米的E处，测得塔顶部O的仰角NOEO=45。，风叶O/的视角NOE/=30。.

(1)已知a,£两角和的余弦公式为：cos(a+0=cosacos尸-sinasin尸，请利用公式计算cos75。；

(2)求风叶04的长度.

例7.（2023・四川宜宾,校考三模）通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边

长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化.类似的，可以在等腰三角形中建立边角

之间的联系.我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）.如果“8C中，AB=AC,

那么顶角/的正对记作sacU,这时sa（M=*=绘.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互

腰AB

3

唯一确定的.根据上述角的正对定义，填空：如果的正弦函数值为），那么sad/的值为.

例8.（2022春•浙江•九年级专题练习）阅读下列材料:

在学习完锐角三角函数后，老师提出一个这样的问题：如图1,在RM/3C中,

ZACB=90°,AB=\,ZA=a,求sin2a(用含sina,cosa的式子表示).

聪明的小雯同学是这样考虑的：如图2,取N2的中点。，连接OC,过点C作于点。，则

NCOB=2a,然后利用锐角三角函数在RM/BC中表示出在MA/C。中表示出CD,则可以求出

..CDsina-ACsina•cosa

sin2a=-----=-------------=2sina•cosa

OC£]_

22

阅读以上内容，回答下列问题：在RL45C中，ZC=90°,AB=l.

(1)如图3,若3。=；,贝!Jsina=_,sin2a=：

（2）请你参考阅读材料中的推导思路，求出tan2a的表达式（用含sin%cos1的式子表示）.

例9.（2022•重庆•校考一模）材料一：证明：sin2a+cos2a=1-

证明：如图，作的。二乙用在射线4C上任意取一点。（异于点4）,过点。作。EL45,垂足为E.

2>£2

■.■DE1AB于点E：.sinABAC=—,cos,ABAC=—sinABAC=^T,cosABAC=

ADADAD2AD2

•••在RtAADE中,DE2+AE-=AD-：.sin2ABAC+cos2ABAC=+=""+*==1

AD-AD2AD2AD2

•••乙BAC=乙asin2a+cos2a-\-

材料二：学习了三角函数之后，我们知道，在直角三角形中，知道了一个直角三角形的两条边的长或知道

直角三角形的一条边的长及其一个锐角的度数，我们可以求出这个直角三角形其它边的长度和其它角的度

数；由"SAS"定理可知，如果一个三角形的两条边的长度及其这两条边的夹角的度数知道了，那么这个三角

形的第三条边一定可以求出来.

应用以上材料，完成下列问题：⑴如图，在A45c中，AC=4,BC=6,zC=60°,求的长.

⑵在（1）题图中，如果BC-a,乙C=a,你能用Q,6和COSQ表示48的长度吗？如果可以，写出推

导过程；如果不可以，说明理由.

例10.(2023春・湖北•九年级专题练习)在初中，我们学习过锐角的正弦、余弦、正切和余切四种三角函数，

即在图1所示的直角三角形43C,//是锐角，那么sin/=44的对边+斜边，cos/=//的邻边+斜边，

1211/=44的对边+//的邻边.为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义：设

有一个角a,我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为x轴的正半轴。x,建立直角坐标系(图2),在角a

的终边上任取一点尸，它的横坐标是x,纵坐标是y,点P和原点(0,0)的距离为，=6+j?。总是正的),

然后把角a的三角函数规定为sina=-,cosa=土，tana=上.我们知道，图1的四个比值的大小与角N

rrx

的大小有关，而与直角三角形的大小无关，同样图2中四个比值的大小也仅与角a的大小有关，而与点尸

在角a的终边位置无关.比较图1与图2,可以看出一个角的三角函数的意义的两种规定实际上是一样的,

根据第二种定义回答下列问题：

(1)若90。＜夕＜180。，则角a的三角函数值sina、cosa,tana,其中取正值的是:

⑵若角a的终边与直线＞=2x重合，则sina+cosa的值；

⑶若角a是钝角，其终边上一点尸(x,2),且cosa=；x,求tana的值；

(4)若0°＜a＜90°,则sina+cosa的取值范围是.

课后专项训练

1.(2023秋•广东东莞•九年级校考阶段练习)阅读材料：余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角余弦值

关系的数学定理，运用它可以解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者已知三边求角的问题.余弦定

理是这样描述的：在中，NA、/B、/C所对的边分别为0、6、c,则三角形中任意一边的平方等

于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍.用公式可描述为：

a2=b2+c2-2bccosA;b2=a2+c2—2accosB;c2=a2+b2-2abcosC；现已知在中，AB=2,

BC=4,ZA=60°,则/C的长为()

A.2拒B.V13+1C.V13-1D.3也

2.(2020•四川广元市•中考真题)规定：

sin(-x)=-sinx,cos(-x)=cosx,cos(x+=cosxcosj-sinxsiny给出以下四个结论：(1)

sin(-30°)=-1；(2)cos2x=cos2x-sin2x;(3)cos(x-j)=cosxcosj+sinxsinj；(4)

cosl5°=避二也其中正确的结论的个数为()

4

A.1个B.2个C.3个D.4个

3.(2023年湖南省娄底市中考数学真题)我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数学九章》一书中，给

雄』守一的边

出了这样的一个结论：三边分别为。、6、c的。BC的面积为工

a、b、c所对的角分别是乙4、乙B、L.C,则BC=；a6sinC=g

Z/acsinB=-bcsinA.下列结论中正确的是

2

()

._a2+b2-c2巾-c1「门a2+b2-c2a+b2-c2

A.cosC=---------BD.cosC=-----------C.cosC=---------D.cosC=---------

2ab2ab2ac2bc

4.(2023•安徽滁州•校考二模)已知三角形的三边长分别为a、b、C,求其面积问题.中外数学家曾经进行

过深入研究，古希腊的几何学家海伦给出求其面积的海伦公式S-jM。a)(pb)(pc),其中p-,；

我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式,若

一个三角形的三边长分别为5,6,7,则其面积是（）

A.6^6B.6^/15C.D.

22

5.（2023•山东潍坊•统考二模）一般地，当a、B为任意角时，tan（a+p）与tan（a-P）的值可以用下面的

1一3

tancr±tan/7，…tan45-tan30______3_3-G

公式求得：tan（a±P）--------例如：tanl5°=tan(45°-30°)

1+tancr•tan"1+tan45-tan30i,iv63+百

1i1X

3

(3-V3)2

=2-石.请根据以上材料，求得tan75。的值为

=(3+司(3-司

6.（2023•河北石家庄•九年级统考期中）阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题.

sin230°+cos230°=___；

sin245°+cos245°=___；

sin260°+cos260°=___；

观察上述等式，猜想：对任意锐角4都有siM4+cos24=_.

7.（2023秋•山东济南•九年级统考期末）定义一种运算：sin（a+4）=sinacos/7+cosasinQ,

sin(a—Q)=sinacos尸—cosasin尸.例如：当仪=60。，,=45。时,

sin（6。。-45。）=%*^*三，则sm75。的值为一

8.（2023•湖南娄底•统考一模）同学们，在我们进入高中以后，还将学到下面三角函数公式:

sin(a—力)=sinacos0-cosasin,，sin(a+/)=sinacos/?+cosasin/?,

cos(a-4)=cosacos/+sinasin/3,cos(a+尸)=cosacos/一sinasin4.例：

sin15°=sin(45°-30°)=sin45°cos30°-cos45°sin30°=.若己知锐角a满足条件sina=g,则

sinla=.

9.(2022嘿龙江绥化•统考中考真题)定义一种运算；sin(«+/?)=sinacosj3+cos6Zsin/?,

sin(cr-/?)=sinacos/?-coscrsin/7.例如：当a=45°,尸=30°时，sin(45°+30°)=

V2y/3y/21V6+^2Mil•1<06/1/古必

——x——十——x—=-----------，则sml50的值为______.

10.（2023・四川成都•成都外国语学校校考一模）观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题

AF）

在锐角△ABC中，NA、NB、NC的对边分别是a、b、c,过A作AD1BC于D（如图（1））,则sinB=-^-,即

hrCClcih

AD=csinB,AD=bsinC,于是csinB=bsinC,BP———=,，同理有：.=—~———>所以

SIILDsinCsmCSIIL4SIIL4SIIW

a_b_c

siih4sinBsinC

即：在一个锐角三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一

条边），运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素.

根据上述材料，完成下列各题.

图（1）图（2）图（3）

(1)如图(2),aABC中，ZB=45°,ZC=75°,BC=60,贝”NA=_；AC=:

（2）某次巡逻中，如图（3）,我渔政船在C处测得钓鱼岛A在我渔政船的北偏西30。的方向上，随后以40

海里/时的速度按北偏东30。的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得钓鱼岛A在的北偏西75。的方向上,

求此时渔政船距钓鱼岛A的距离AB.

11.（2023春•山东济宁•九年级校考阶段练习）定义：在A42C中，若4B=c,AC=b,BC=a,则存在余弦

定理：a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2ac-cosB,c2=a2+b2-2ab-cosC,即三角形一边的平方等于

另两边的平方和减去这两边与这两边夹角的余弦的积的2倍.

例如：在图1中，AC2=AB2+BC2-2AB-5C-cos5=42+（372V-2x4x3>/2cos45°=10,：.AC^V10

请你利用余弦定理解答下列问题：⑴应用新知：在图2中，①若。=2,6=3,NC=60。，则。=；

②若°=26，b=2亚,c=V6+V2,求口；

⑵迁移发散：如图3,某客轮在/处看港口。在客轮的北偏东50。方向上，在/处看灯塔2在客轮的北偏

西30。方向距离2G海里处，客轮由N处向正北方向航行到C处时，再看港口。在客轮的南偏东80。距离6

海里处，求此时C处到灯塔B的距离.

北

12.（2023•广东云浮•统考一模）如图①，在R3ABC中，以下是小亮探究一j与一二之间关系的方法:

sinZsm5

a.babab

•sinA-,sinB—,•«c—,c—,.—，

ccsin/sinBsinAsinB

bc

根据你掌握的三角函数知识.在图②的锐角4ABC中，探究一j'sm"、smC之间的关系,并写出探究

sinZ

过程.

BB

二:/\

AbCAbC

图①图②

13.（2023•山东•一模）小明学完了“锐角三角函数”的相关知识后,通过研究发现：如图1,在MA48c中,

=4=2.通过上网查阅资料，他又知

如果Z_C=90,Z^4=30,BC=a=l,AC=b=下,,AB=c=2,那么.=

sin4sin/?

"s沅9。。=1”，因此他得至『,在含3。。角的直角二角形中,存在着房"瘾=荒的关系

A

BaCBaCBaCBC

图1图2图3图4

这个关系对于一般三角形还适用吗？为此他做了如下的探究:

（1）如图2,在比A42C中，ZC=9O°,BC=a,AC=b,AB=c,请判断此时"号二上二七”的关系是否成

smAsinBsmC

立？答：.

（2）完成上述探究后，他又想“对于任意的锐角A48C,上述关系还成立吗？"因此他又继续进行了如下的

探究：

如图3,在锐角A42C中，BC=a,AC=b,AB=c,过点C作CDL42于。，设

•••在RtAADC和RtABDC中，^ADC=ABDC=90°,

■'-sinA-,sinB=.

ab

••~;=______________,~;=_____________.

sinAsinB

a_b

sinAsinB

hCnhc

同理，过点工作NH12C于可证二二=一^二一7=一^=一下

sin8sinCsin/sm5smC

请将上面的过程补充完整.（3）运用上面结论解答下列问题：

①如图4,在八43。中，如果乙4=75。，4=60。，AB=6,求/C的长.

②在ZUB。中，如果必=30°,48=26，4c=2,那么A48C内切圆的半径为

14.（2023•江苏扬州•九年级阶段练习）阅读材料：关于三角函数还有如下的公式:

/,c、tana±tanB

sin（a土方）=sinacosp±cosasinp■tan（a±⑶=----------------

1±tana-tan0

利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值

tan45°-tan30°

例:tan15°=tan（450-30。）==2—V3

1+tan45°-tan30°

根据以上阅读材料，请选择适当的公