解直角三角形的实际应用（30题）（原卷版）

专题第01讲解直角三角形的实际应用

1.(2023•绍兴)图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱。/垂直地面支架CD与04交于点4,

支架CG_LC£»交。4于点G,支架。£平行地面08,篮筐EF与支架在同一直线上，。4=2.5米，

/。=0.8米.ZAGC=32°.

(1)求NG/C的度数；

(2)某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面3米处，那么他能

挂上篮网吗？请通过计算说明理由.(参考数据：sin32°心0.53,cos32°^0.85,tan32°仁0.62)

2.(2023•长沙)2023年5月30日9点31分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射,

成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站.如图，在发射的过程中，飞船从地面。

处发射，当飞船到达/点时，从位于地面C处的雷达站测得NC的距离是86;，仰角为30°；10s后飞

船到达3处，此时测得仰角为45°.

(1)求点/离地面的高度/。；

(2)求飞船从/处到2处的平均速度.(结果精确到0.1痴/s,参考数据：V3^1.73)

3.（2023•湘潭）问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保.明朝科学家徐光启

在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）.假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每

一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒.

问题设置把筒车抽象为一个半径为r的O。如图②，0M始终垂直于水平面，设筒车半径为2米.当

f=0时，某盛水筒恰好位于水面N处，此时N/（W=30°,经过95秒后该盛水筒运动到点5处.

问题解决：

（1）求该盛水筒从N处逆时针旋转到8处时，的度数；

（2）求该盛水筒旋转至3处时，它到水面的距离.（结果精确到0.1米）（参考数据我P1.414,如弋

1.732）

4.（2023•陕西）小华想利用所学知识测量自家对面的两栋楼与CD的高度差.如图所示，她站在自家

阳台上发现，在阳台的点E处恰好可经过楼CD的顶端C看到楼的底端瓦即点E,C,2在同一直

线上.此时，测得点3的俯角a=22°,点/的仰角0=16.7°,并测得斯=48加，FD=50m.已知，

EF1FB,CD±FB,ABLFB,点、F,D,8在同一水平直线上.求楼与8的高度差.（参考数据：

sinl6.7°g0.29,cosl6.7°仁0.96,tanl6.7°^0.30,sin22°^0.37,cos22°g0.93,tan22°^0.40）

5.（2023•衡阳）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在高空测量距离和高度，圆

圆要测量教学楼42的高度，借助无人机设计了如下测量方案如图，圆圆在离教学楼底部24«米的C

处，遥控无人机旋停在点C的正上方的点。处，测得教学楼N3的顶部3处的俯角为30°,CD长为

49.6米.已知目高CE为1.6米.

（1）求教学楼N8的高度.

（2）若无人机保持现有高度沿平行于C4的方向，以4«米/秒的速度继续向前匀速飞行.求经过多少

秒时，无人机刚好离开圆圆的视线班.W飞行方向

0FW~~~-----"

B

-二

二

二

二

二

三

一

一

6.（2023•辽宁）暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山.需要登顶600加高的山峰，由山底/处

先步行300加到达8处，再由8处乘坐登山缆车到达山顶。处.已知点/,B,D,E,尸在同一平面内,

山坡的坡角为30°,缆车行驶路线2。与水平面的夹角为53°（换乘登山缆车的时间忽略不计）.

（1）求登山缆车上升的高度。E；

（2）若步行速度为30初加”，登山缆车的速度为60加/加切，求从山底/处到达山顶。处大约需要多少分

钟（结果精确到0.1.

（参考数据：sin53°«0.80,cos53°-0.60,tan53°七1.33）

7.（2023•苏州）四边形不具有稳定性，工程上可利用这一性质解决问题.如图是某篮球架的侧面示意图,

BE,CD,G尸为长度固定的支架，支架在4,D,G处与立柱/〃连接（/8垂直于垂足为〃），在

B,C处与篮板连接（2C所在直线垂直于MV）,即是可以调节长度的伸缩臂（旋转点尸处的螺栓改变

斯的长度，使得支架2E绕点/旋转，从而改变四边形N3CD的形状，以此调节篮板的高度）.已知

=BC,DH=208cm,测得/G4E=60°时，点C离地面的高度为288cm.调节伸缩臂EF,将NG/E由

60°调节为54°,判断点。离地面的高度升高还是降低了？升高（或降低）了多少？（参考数据：

sin54°七0.8，cos54°七0.6）

伸缩臂

地面7

8.（2023•河南）综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测

BJ

M'

G

量树高，测高仪/BCD为正方形，AB=30cm,顶点/处挂了一个铅锤如图是测量树高的示意图，测

高仪上的点。，/与树顶E在一条直线上，铅垂线交2C于点经测量，点/距地面1.8加，到树

EG的距离/尸=11加，BH=20cm.求树EG的高度（结果精确到0.1加）.

9.（2023•丹东）一艘轮船由西向东航行，行驶到/岛时，测得灯塔8在它北偏东31°方向上，继续向东

航行10nm〃e到达C港，此时测得灯塔B在它北偏西61°方向上，求轮船在航行过程中与灯塔B的最短

距离.（结果精确到0.1〃加/e）（参考数据：sin31°-0.52,cos31°-0.86,tan31°心0.60,sin610"

0.87,cos61°心0.48,tan61°=1.80).

10.（2020秋•苍梧县期末）如图，从水平面看一山坡上的通讯铁塔PC,在点/处用测角仪测得塔顶端点P

的仰角是45。，向前走9米到达3点，用测角仪测得塔顶端点尸和塔底端点C的仰角分别是60°和

30°.

（1）求NAPC的度数；

（2）求该铁塔PC的高度.（结果精确到0.1米；参考数据：V3^1.73,A/2^1.41）

11.（2022秋•源汇区校级期末）近几年中学生近视的现象越来越严重，为响应国家的号召，某公司推出了

如图1所示的护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图2所示，其中灯柱8C=18c〃z,灯

臂CD=31CTW,灯罩。£=24C%,BC±AB,CD、分别可以绕点C、。上下调节一定的角度.经使用

发现：当/DC8=140°,且时，台灯光线最佳.求此时点。到桌面N8的距离.（精确到

0.1cm,参考数值：sin50°^0.77,cos50°^0.64,tan50°仁1.19）

.

AB

图1图2

12.（2023春•巴南区期末）在海平面上有4,B,C三个标记点，其中/在C的北偏西54°方向上，与C

的距离是800海里，3在C的南偏西36°方向上，与C的距离是600海里.

（1）求点/与点8之间的距离；

（2）若在点C处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为500海里，每隔半小时会发射一次信号，此时

在点3处有一艘轮船准备沿直线向点/处航行，轮船航行的速度为每小时20海里.轮船在驶向N处的

过程中，最多能收到多少次信号？（信号传播的时间忽略不计）.A

13.（2022秋•宁波期末）如图1是一个简易手机支架，由水平底板。£、侧支撑杆5D和手机托盘长NC组

成，侧面示意图如图2所示.已知手机托盘长NC=10c加，侧支撑杆AD=10cm,NCBD=75°,NBDE=

60°,其中点/为手机托盘最高点，支撑点2是/C的中点，手机托盘/C可绕点2转动，侧支撑杆2。

可绕点。转动.

（1）如图2,求手机托盘最高点/离水平底板的高度〃（精确到0.1cm）.

（2）如图3,当手机托盘NC绕点2逆时针旋转15°后，再将5。绕点。顺时针旋转a,使点C落在水

平底板DE上,）.（参考数据：tan26.6°«0.5,加心1.41,愿仁1.73）

图1图2

14.（2022秋•平昌县校级期末）如图，某渔船沿正东方向以30海里/小时的速度航行，在/处测得岛C在

北偏东60°方向，20分钟后渔船航行到2处，测得岛C在北偏东30°方向，已知该岛C周围9海里内

有暗礁.

参考数据：愿心1.732,sin75°"0.966,cos75°-0.259.

(1)8处离岛C海里.

(2)如果渔船继续向东航行，有无触礁危险？请说明理由.

(3)如果渔船在2处改为向东偏南15°方向航行，有无触礁危险？说明理由.

15.(2022秋•平城区校级期末)如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度。

点处时，无人机测得操控者/的俯角为75°,测得小区楼房2C顶端点C处的俯角为45°.已知操控者

力和小区楼房3C之间的距离为45米，无人机的高度为（30+15我）米.（假定点出B,C,。都在同

一平面内.参考数据：tan75°=2+V§，tanl5°=2-愿.计算结果保留根号）

（1）求此时小区楼房2C的高度；

（2）在（1）条件下，若无人机保持现有高度沿平行于N3的方向，并以5米/秒的速度继续向右匀速飞

行.问：经过多少秒时，无人机刚好离开了操控者的视线？

16.（2022秋•岳麓区校级期末）如图，在一笔直的海岸线/上有48两个观测站，/在8的正东方向.有

一艘渔船在点尸处，从工处测得渔船在北偏西60°的方向，从2处测得渔船在其东北方向，且测得2,

尸两点之间的距离为20海里.

（1）求观测站a3之间的距离（结果保留根号）；

（2）渔船从点P处沿射线/P的方向航行一段时间后，到点C处等待补给，此时，从3测得渔船在北偏

西15。的方向.在渔船到达C处的同时，一艘补给船从点3出发，以每小时20海里的速度前往。处,

请问补给船能否在83分钟之内到达C处？（参考数据：通仁1.73）

17.（2022秋•阳泉期末）“十一”期间，王红与家人开车去乡下看望爷爷和奶奶.她看到汽车尾部自动升起

的后备箱，于是根据实际情况画出了相关的示意图.图1是王红家私家车侧面示意图，其中矩形/2CZ)

表示该车的后备箱，图2是在打开后备箱的过程中，箱盖/DE可以绕点/顺时针方向旋转，当旋转角为

60°时，箱盖4DE落在4DE的位置的示意图.王红测得40=90厘米，。£=30厘米，EC=40厘米.根

据王红提供的信息解答下列问题:

(1)求点。到3c的距离;

(2)求点£运动的距离.

图1图2

18.(2022秋•堇B州区期末)小丽与爸妈在公园里荡秋千.如图，小丽坐在秋千的起始位置/处，。/与地

面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1.2a高的3处接住她后用力一推，爸爸在C处接住

她.若妈妈与爸爸到04的水平距离2D、CE分别为1.8加和2.4加，/BOC=90°.

(1)△CEO与△。£>8全等吗？请说明理由.

(2)爸爸在距离地面多高的地方接住小丽的？

(3)秋千的起始位置/处与距地面的高是m.

19.(2022秋•蒙城县期末)北京时间2022年6月5日10时44分，神舟十四号载人飞船在酒泉发射升空,

为弘扬航天精神，某校在教学楼上从楼顶位置悬挂了一幅励志条幅GF如图，已知楼顶到地面的距离

GE为18.5米，当小亮站在楼前点8处，在点3正上方点/处测得条幅顶端G的仰角为37°,然后向教

学楼方向前行15米到达点D处（楼底部点E与点、B,D在一条直线上），在点D正上方点C处测得条幅

底端厂的仰角为42°,若48,CD均为1.7米（即四边形N2DC为矩形），请你帮助小亮计算：

（1）当小亮站在2处时离教学楼的距离BE；

（2）求条幅G尸的长度.

（结果精确到0」加，参考数据：sin37°七0.60,cos37°"0.80,tan37°七0.75,sin42°-0.67,cos42°

”0.74，tan42°-0.90）

20.（2022秋•北倍区校级期末）如图，某工程队从N处沿正北方向铺设了184米轨道到达8处.某同学在

博物馆C测得/处在博物馆C的南偏东27°方向，8处在博物馆C的东南方向.（参考数据：sin27°%

0.45,cos27°心0.90,tan27°-0.50,&心2.45.）

（1）请计算博物馆C到B处的距离；（结果保留根号）

（2）博物馆C周围若干米内因有绿地不能铺设轨道.某同学通过计算后发现，轨道线路铺设到8处时,

只需沿北偏东15°的8E方向继续铺设，就能使轨道线路恰好避开绿地.请计算博物馆C周围至少多少

米内不能铺设轨道.（结果精确到个位）

21.（2022秋•辽宁期末）“愚公移山”是我国著名寓言故事，它告诉了我们坚持不懈的道理.某日，小张穿

越至愚公的年代，碰到了移山的众人.

（1）在运输山石等杂物时，有两条路可行，已知3间的直线距离为50里（如图1所示）.

线路1：折线/CD2,已知点C在点/东北方向，点2在点。东偏南53°方向，CD//AB,且C,。间

的距离为30里；

线路2：以N3为直径的半圆.如果仅从远近考虑，小张应该告知愚公选取哪一条线路使得路程更短？请

你通过计算说明理由.

（2）愚公为了能够更精确地了解所移之山的高度，请求小张帮其测量.如图2所示，已知在山

的后方有一座高140米的小山PQ,小张站在线段0N上的点£处，£0=480米，此时小张测得点M的

仰角为60。，随后小张到达小山山顶点P处测得点v的仰角为21。，请你帮小张求出山高的

o

值.（结果保留3位有效数字，以下为参考三角比与数值）sin37〜旦；sinl60〜工；sin39。七

525

0.63；&=1.41；73^1.73

22.（2023春•通河县期末）如图，一艘轮船以每小时35海里的速度向东航行，在/处观测到在它的东北方

向（北偏东45。）点C处有一艘捕渔船，2小时后轮船到达点8处，突然收到渔船的求救信号，此时观

测到渔船C位于点B的北偏东150方向上.

（1）求N/C3的度数；

（2）轮船收到求救信号后，立即沿以每小时4s历海里的速度赶往C处救援，那么轮船需多少小时

赶到C处?

23.（2022秋•静安区校级期末）某大型购物中心为方便顾客地铁换乘，准备在底层至S层之间安装电梯,

截面图如图所示，底层与与层平行，层高/。为9米，4、3间的距离为6米，N/CD=20。.

（1）请问身高1.9米的人在竖直站立的情况下搭乘电梯，在2处会不会碰到头？请说明理由.

（2）若采取中段平台设计（如图虚线所示）.已知平台斯〃DC,且/£段和尸C段的坡度i=l：2,求

平台斯的长度.

24.（2022秋•益阳期末）筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋》中写道“水

能利物，轮乃曲成”.如图，半径为3加的筒车。。按逆时针方向每分钟转5圈，筒车与水面分别交于点

6

A,B,筒车的轴心。距离水面的高度。C长为2.2a,筒车上均匀分布着若干个盛水筒.若以某个盛水筒尸

刚浮出水面时开始计算时间.

（1）经过多长时间，盛水筒尸首次到达最高点？

（2）浮出水面3.4秒后，盛水筒P距离水面多高？

（3）若接水槽所在直线是OO的切线，且与直线交于点/，M0=8m.求盛水筒尸从最高点开

始，至少经过多长时间恰好在直线上.

（参考数据：cos43°=sin47°-迫，sinl6°=cos74°七且，sin22°=cos68°心3）

15408

25.（2023•海南）如图，一艘轮船在/处测得灯塔M位于N的北偏东30°方向上，轮船沿着正北方向航行

20海里到达B处，测得灯塔M位于8的北偏东60°方向上，测得港口C位于5的北偏东45°方向

上.已知港口C在灯塔M的正北方向上.

（1）填空：/AMB=度，ZBCM=度;

（2）求灯塔M到轮船航线48的距离（结果保留根号）；

（3）求港口C与灯塔M的距离（结果保留根号）.

26.（2023•阜新）如图，小颖家所在居民楼高N8为46机.从楼顶工处测得另一座大厦顶部C的仰角a是

45°,而大厦底部。的俯角0是37°.

（1）求两楼之间的距离80.

（2）求大厦的高度8.

（结果精确到0.1机，参考数据：sin37°20.60,cos37°"0.80,tan37°"0.75）

27.（2023•盘锦）如图，一人在道路上骑行，8。段是坡路，其余为平路，当他路过/,8两点时，一架无

人机从空中的C点处测得/,3两点的俯角分别为30°和45°,42=40m，BD=20m,NAD尸=159°,

点4,B,C,