2024-2025学年高中数学第一章常用逻辑用语1.4全称量词与存在量词练习含解析新人教A版选修2-1

PAGEPAGE11.4全称量词与存在量词课时过关·实力提升基础巩固1下列命题不是全称命题的是()A.任何一个实数乘零都等于零B.每一个向量都有大小C.自然数都是正整数D.存在没有最大值的二次函数解析:选项A中“任何一个”、选项B中“每一个”均是全称量词,选项C中暗含全称量词“全部的”,故A,B,C项都是全称命题.选项D中“存在”是存在量词,故D项是特称命题.答案:D2下列命题中的假命题是()A.∀x∈R,2x-1>0 B.∀x∈N*,(x-1)2>0C.∃x∈R,lgx<1 D.∃x∈R,tanx=2答案:B3命题“∃x0∈(0,+∞),lnx0=x0-1”的否定是()A.∀x∈(0,+∞),lnx≠x-1B.∀x∉(0,+∞),lnx=x-1C.∃x0∈(0,+∞),lnx0≠x0-1D.∃x0∉(0,+∞),lnx0=x0-1答案:A4命题“全部实数的平方都是正数”的否定为()A.全部实数的平方都不是正数B.有的实数的平方是正数C.至少有一个实数的平方是正数D.至少有一个实数的平方不是正数解析:由命题“全部实数的平方都是正数”为全称命题,则其否定为特称命题.答案:D5若命题p:“∀x∈R,x2-2x+m≠0”是真命题,则实数m的取值范围是()A.[1,+∞) B.(1,+∞)C.(-∞,1) D.(-∞,1]解析:依题意,方程x2-2x+m=0没有实数根,则4-4m<0,解得m>1.答案:B6命题“∃x0∈R,x答案:∀x∈R,x2-x+1≠07命题“∃x0∈(1,2),满意不等式x02+mx0+4≥0”解析:依题意,不等式x2+mx+4<0在(1,2)上恒成立,所以m<-令f(x)=-因为x∈(1,2),所以f(x)∈(-5,-4),要使不等式m<-x+4x恒成立,应故实数m的取值范围是(-∞,-5].答案:(-∞,-5]8下列语句是真命题的是.(填序号)

①全部的实数x都能使x2-3x+6>0成立;②存在一个实数x0,使不等式答案:①9对随意实数x,不等式2x>m(x2+1)恒成立,求实数m的取值范围.分析:2x>m(x2+1)恒成立也就是对∀x∈R,mx2-2x+m<0恒成立,考虑m是否为零.若为零,则原式化为-2x<0,明显不恒成立;若m≠0,则m<0,且Δ<0.解:不等式2x>m(x2+1)对随意x都成立,即不等式mx2-2x+m<0恒成立.(1)当m=0时,不等式化为-2x<0,明显不恒成立,不合题意.(2)当m≠0时,要使mx2-2x+m<0恒成立,则m<0综上可知,所求实数m的取值范围为(-∞,-1).10已知命题p:“∀x∈[1,2],x2-a≥0”,命题q:“∃x0∈R,x02+2ax0解:由p∧q是真命题,知p为真命题,q也为真命题.若p为真命题,则a≤x2对于x∈[1,2]恒成立.所以a≤1.若q为真命题,则关于x的方程x2+2ax+2-a=0有实根,所以Δ=4a2-4(2-a)≥0,即a≥1或a≤-2.综上可知,实数a的取值范围为{a|a≤-2或a=1}.实力提升1命题“关于x的不等式f(x)>0有解”等价于()A.∃x0∈R,f(x0)>0 B.∃x0∈R,f(x0)≤0C.∀x∈R,f(x)>0 D.∀x∈R,f(x)≤0解析:该命题是特称命题,等价于“∃x0∈R,f(x0)>0”.答案:A2已知命题p:∀x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≥0,则p是()A.∃x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≤0B.∀x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≤0C.∃x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0D.∀x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0解析:由命题p为全称命题,则其否定p应是特称命题,而(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≥0的否定为(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0,故选C.答案:C3命题“∀x∈[1,2],x2-a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是()A.a≥4 B.a≤4 C.a≥5 D.a≤5解析:原命题等价于“a≥x2对于随意x∈[1,2]恒成立”,得a≥4,这是命题成立的充要条件,因此该命题为真的一个充分不必要条件是a≥5.答案:C4已知下列四个命题:p1:∃x0∈(0,+∞),p2:∃x0∈(0,1),lop3:∀x∈(0,+∞),p4:∀x∈0其中的真命题是()A.p1,p3 B.p1,p4 C.p2,p3 D.p2,p4解析:当x∈(0,+∞)时,12x取x0=12,则lo取x0=18,则0<当x∈0,13时,12答案:D5下列特称命题是真命题的序号是.

①有些不相像的三角形面积相等;②存在实数x0,使解析:①为真命题,等底等高的两个三角形,面积相等,但不肯定相像;②中对随意x∈R,x2+x+1=x+122+34>0,所以不存在实数x0,使x0答案:①③④6当命题“∀x∈R,sinx+cosx>m”和“∃x0∈R,sinx0+cosx0>m”均为真命题时,m的取值范围是.

解析:命题“∀x∈R,sinx+cosx>m”为真命题,即不等式sinx+cosx>m恒成立,因为(sinx+cosx)min=-2,所以命题“∃x0∈R,sinx0+cosx0>m”为真命题,即不等式sinx+cosx>m有解,因为(sinx+cosx)max=2,所以因此,当两个命题均为真命题时,实数m的取值范围是(-∞,-答案:(-∞,-7若对∀x∈R,ax2+2x+1>0恒成立,求实数a的取值范围.分析:由题意可知,对∀x∈R,ax2+2x+1>0恒成立.先考虑a=0的状况,再考虑a≠0的状况,可结合二次函数的图象解决此类问题.解:由题意可得,∀x∈R,ax2+2x+1>0恒成立.(1)当a=0时,ax2+2x+1=2x+1>0,明显不恒成立,不合题意.(2)当a≠0时,要使ax2+2x+1>0恒成立,则a>0综上可知,所求实数a的取值范围是(1,+∞).8★函数f(x)对一切实数x,y均有f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x成立,且f(1)=0.(1)求f(0)的值;(2)当f(x)+2<logax,x∈0解:(1)由f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)·x对随意x,y都成立,