解答中档题型：圆的性质与计算综合题（解析版）

专题17解答中档题型：圆的性质与计算综合题

1.(2023•安徽)已知四边形4BCD内接于。。，对角线是。。的直径.

(1)如图1,连接。4,CA,若OA工BD,求证：CA平分/BCD；

(2)如图2,£为。。内一点，满足CELAB.若BD=3杷,AE=3,求弦2C的长.

【答案】见解析

【详解】(1)证明：，

AB=AD,

ZACB=ZACD,

即CA平分/BCD；

(2)延长4£交5。于”,延长CE交48于N,

AE1BC,CE上AB,

ZAMB=ZCNB=90°,

•••3。是。。的直径，

ABAD=/BCD=90°,

:./BAD=/CNB,/BCD=/AMB,

AD/INC,CD//AM,

四边形4£CZ）是平行四边形，

...AE=CD=3,

BC=yjBD2-CD2=7(373)2-32=372.

2.(2022•安徽)已知48为。。的直径，C为。。上一点，。为胡的延长线上一点，连接C7).

(1)如图1,若CO_L/8,ZD=30°,OA=1,求的长；

(2)如图2,若。。与°。相切，E为。1上一点，且ZACD=N4CE.求证：CE1AB.

【答案】见解析

【详解】(1)•.•CM=1=OC,CO1AB,ZD=30°,

：.OD=5OC=6,

AD=OD-OA=43-I；

(2)与OO相切，

OC1CD,

即ZACD+ZOCA=90°,

OA=OC,

AOCA=AOAC,

ZACD=ZACE,

ZOAC+ZACE=9Q°,

ZAEC=90°,

即CE1AB.

3.(2021•安徽)如图，圆O中两条互相垂直的弦N2,CD交于点E.

(1)M是CD的中点，OM=3,CD=12,求圆。的半径长；

(2)点尸在C。上，且CE=E尸，求证：AFLBD.

【答案】见解析

【详解】(1)连接OD,如图:

■.・M是CO的中点，0=12,

:.DM=-CD=6,OMLCD,ZOMD=90°,

2

RtAOMD中，0D=^OM2+DM2,且OAf=3,

OD=V32+62=375,即圆。的半径长为3行;

(2)连接NC,延长N尸交8。于G,如图:

•••AB1CD,CE=EF,

AB是CF的垂直平分线，

AF=AC,即A4C尸是等腰三角形,

CE=EF,

NFAE=NCAE,

■：BC=BC,

NCAE=ZCDB,

ZFAE=ZCDB,

RtABDE中，ZCDB+ZB=90°,

ZFAE+ZB=90°,

ZAGB=90°,

AG1.BD,即/尸_L8D.

4.(2020•安徽)如图，N8是半圆。的直径，C,。是半圆。上不同于/,8的两点，AD=BC,/C与

AD相交于点尸.3E是半圆。所在圆的切线，与/C的延长线相交于点E.

(1)求证：ACBA^ADAB；

(2)若BE=BF,求证：AC平分NDAB.

【答案】见解析

【详解】(1)证明：・・・/5是半圆。的直径，

ZACB=/ADB=90°,

*一\BC=AD

在RtACBA与RtADAB中，4,

[BA=AB

RtACBA二RtADAB(HL)；

(2)解：•/BE=BF,由(1)知BC上EF,

/E=/BFE,

••・BE是半圆。所在圆的切线，

/ABE=90°,

/.ZE+/BAE=90°,

由(1)知ZD=90。，

/.ZDAF+/AFD=90°,

•・•ZAFD=NBFE,

ZAFD=ZE,

vZDAF=900-ZAFD,ZBAF=90°-ZE,

/.ZDAF=ZBAF,

:.AC^^ZDAB.

5.(2023•瑶海区一模)如图，A4BC是。O内接三角形，/C是0。的直径，点不是弦。5上一点，连接

CE,CD.

C)若/DCA=/ECB,求证：CE1DB；

(2)在(1)的条件下，若4B=6,DE=5,求sin/QgC.

c

【答案】见解析

【详解】(1)证明：连接4。，

・・・4C是。O的直径，

:.ZADC=90°,

ZDAC+ZACD=90°,

•・•ZDCA=ZECB,ZCAD=ZCBD,

/.ZBCE+ZCBE=90°,

/BEC=90°,

/.CE.LBD；

(2)解：是OO的直径，

/./ABC=90°,

・・•CEVBD,

ZCED=90°,

ZCED=/ABC,

•・•ND=/A,

\ABC^\DEC,

.DE_CE

…茄一茄’

AB=6,DE=5,

6.（2023•合肥一模）如图1,N8为。。的直径，BC为弦，过圆心。作OZ>_L8C于。，点£■为N5延长线

上一点，CE是。。的切线.

(1)求证：NBCE=NBOD；

(2)如图2,取弧/C的中点尸，连接。P,AP,若/B=13,BC=5,求弦尸/的长.

【答案】见解析

【详解】(1)证明：连接。C,如图1,

；CE是OO的切线，

OC1CE,

ZOCE=90°,

即ZOCB+ZBCE=90°,

•••OC=OB,

NOCB=AOBC,

OD±BC,

ZBOD+ZOBD=90°,

ZBOD+ZOCB=90°,

/BCE=ZBOD；

(2)解：连接/C交。尸于尸，如图2,

是直径，

:.AACB=90°,

AC=siAB2-BC2=V132-52=12,

•.•P为/C弧的中点，

OFAC,

AF=CF=6,

:.OF=-BC=-

22

135

：.PF=OP—OF=--------=4,

22

在RtAAPF中，AP=y/AF2+FP2=府+4?=2后，

即弦正/的长为2屈.

7.(2023•庐阳区校级一模)如图，已知0O是RtAABC的外接圆，点。是RtAABC的内心，8。的延长线

与。。相交于点E,过E作直线///NC.

(1)求证：/是。。的切线；

(2)连接CE,若N8=3,AC=4,求CE的长.

【答案】见解析

【详解】(1)证明：连接OE,

，.•点。是RtAABC的内心，

NABE=NCBE,

OB=OE,

NEBC=NOEB,

NABE=ZOEB,

ABHOE,

ABAC=ZOGC=90°,

■：U/AC,

OELI,

为半径，

l是。。的切线;

（2）解：在RtAABC中，由勾股定理得,

BC=A/32+42=5,

OC=-,

2

OG1AC,

113

CG=-AC=2,OG=—AB=—,

222

EG=---=1,

22

在RtACEG中，由勾股定理得，

CE=yjEG2+CG2=A/12+22=也.

8.（2023•合肥三模）如图，N3是OO的直径，点。为半圆的中点，四边形为平行四边形.

（1）请用无刻度直尺画出圆心。的位置，并说明理由；

（2）点£为8。中点，EH工AB于H,交。。于点尸，求NA4尸的度数.

【答案】见解析

【详解】（1）解：如图，点O即为所求.

理由：；48为直径,

ZADB=90°,

V为平行四边形,

z./DBG=90°,

DG为直径，

/.AB.QG交点为圆心O；

(2)设AD=2®.

•・•。为半圆的中点，

/.AD=BD,

/.AB=4,ADAB=ZDBA=45°.

•;E为BD中点,

BE=DE=V2,

・・・EHAB,

/.EH=BH=1,

AH=3.

连接8厂，贝ljNBE4=90。，

^BFHs\BAF,

.BHHF

1HF

-----------,

HF3

:.HF=y[i,

FH百

..tan/F4H=——,

AH3

...ZFAH=30°.

9.(2023•庐阳区一模)如图，。。的直径48垂直于弦CD,垂足为E,AE=2,CD=8.

(1)求。。的半径长；

(2)连接8C,作8_L8C于点尸，求OF的长.

c

【答案】见解析

【详解】(1)连接8,如图，设。。的半径长为厂，

---ABLCD,

ZOED=90°,DE=CE=-CD=-x8=4,

22

在RtAODE中，-：OE=r-1,OD=r,DE=4,

：.(r-2)2+42=r2,

解得r=5,

即。。的半径长为5；

(2)在RtABCE中，•••CE=4,BE=AB-AE=8,

BC="F?=475，

OF±BC,

：.BF=CF=-BC=245,ZOFB=90°,

2

在RtAOBF中，OF=y/OB2-BF1=旧-Q舟=亚,

即OF的长为右.

10.(2023•合肥模拟)如图，在AA8C中，AB=AC,以为直径作OO交8c于点。.过点。作

DE1AC,垂足为E,延长C4交。。于点尸.

(1)求证：是。。的切线；

(2)若tanB='，。。的半径为5,求线段CF的长.

2

【详解】(1)证明：,••03=0。，

AABC=ZODB,

•・•AB=AC,

AABC=NACB,

ZODB=/ACB,

:.OD//AC,

vDEVAC,OQ是半径，

DELOD,

.•.Q£是。。的切线；

(2)解：连接4D,BF,

•・•为OO的直径，

ABDA=90°,

・/45=10,

AC=AB=10,

/./B=/C,

AT)1

在RtAADC中，tanB=tanC=-----=—

DC2

/.4斤+(2皿2=102,

AD=275,

:.CD=4出,

在RtACED中，tanC=—

CE2

,DE2+(2DEy=(4V5)2,

DE=4,

/.CE=8,

AB=AC,AD1BCf

BD=DC,

•••ZB为。。的直径，

/BFA=90°,

•・•DELAC,

DE//BF,

EF=CE=8,

.\CF=16.

^/DC

11.（2023•蜀山区二模）如图，为OO的直径，C为OO上一点，4D和过点C的切线互相垂直，垂足

为。，ND交。。于点£,连接8C,CE.

（1）求证：BC=CE；

（2）若NC=2CE=4,求4E的长.

【答案】见解析

【详解】（1）证明：连接。C,

;CZ）是0。的切线，

OCLCD.

■：AD1CD,

OC//AD,

Z1=Z3.

又OA=OC,

Z2=Z3,

，Z1=Z2,

CE=CB；

(2)解：・・・45是直径,

ZACB=90°,

•.•ZC=4,CB=CE=2,

AB=y/AC2+CB2=A/42+22=2V5.

•・•/ADC=ZACB=90°,Z1=Z2,

\ADCs\ACB,

ADACCD

~AC~AB工即与二已~2~

DC=^

AD=

在直角ADCE中，DE=^EC1-DC2

12.(2023•蜀山区校级一模)己知等腰A48C,AB=AC,且2C=C£>,连接/。交2c于点E,以。E为

直径的。。上有一点尸，使得俞=万？，连接C尸交。E于点G,若NA4D=90。.

Cl)判断2C与。。的关系，并说明理由;

(2)若CE=1,求C尸.G尸的值.

【答案】见解析

【详解】（1）4。与。O相切，理由:

连接OC,如图，

•・•OE=OC,

ZOEC=ZOCE.

vAB=AC,

.\ZACB=ZB.

/BAE=90°,

ZB+/AEB=90°.

•・•/AEB=ZOEC,

ZACB+ZOCE=90°,

/.ZOCA=90°,

OC1AC,

・••oc为oo的半径，

「.4。与。O相切；

（2）连接3。，交OO于点H,连接EF,如图,

•・•DE为OO的直径，

/.ZECD=90°,

•・•/BAD=90°,

/BAD=ZECD=90°,

.•.点/,C,D,8四点共圆，

•・•AB=AC,

/./ADC=/ADB,

:.EC=EH,

EC=EH=1.

DE为OO的直径,

...EHLBD.

•「BC=CD,/BCD=90°,

/CBD=45。,

二.\EBH为等腰直角三角形，

/.BE=42EH=V2,

:.BC=BE+EC=®+\,

：.CD=BC=®+\,

DE=dEC?+CD?=V4+2V2.

•・・EF=DF,

:.EF=DF,

•：DE为OO的直径，

/.ZEFD=90°,

・•.AEED为等腰直角三角形，

:.EF=*DE72m.

-EF=DF,

ZECF=ZDCF=-/BCD=45°,

2

/./FED=ZECF=45°,

•••ZEFC=ZCFE,

/.\EFGs\CFE,

.EF_FG

'~CF~~EF'

CFGF=EF?=2+亚.

13.(2023•瑶海区二模)45是的直径，4C是。。的切线，连接5C交于点。，连接4D.

(1)如图1,AB=AC=2,求5。的长；

DF

(2)如图2,作N/D8的角平分线。尸交。。于点尸，交于点£,若/8=4,AC=3,求一的值.

EF

【答案】见解析

【详解】(1)如图1,

•・,/C是。。的切线,

AC1AB,

ABAC=90°,

AB=AC=2,

BC=®AB=2V2,

；4B是OO的直径，

ZADB=90°,

即AD±BC,

：.BD=CD=-BC=4I；

2

(2)过。点作于X点，连接。尸，如图2,

在RtAABC中，BC=^AC1+AB2=732+42=5,

ADVBC,

-ADBC=-ABAC,

22

3x412

A.D=------——,

•・•LDHAB'ADBD,

22

1216

—x—.c

:.DH=^^-=—,

425

•••。尸平分ZADB,

ZADF=-ZADB=45°,

2

ZAOF=2ZADF=90°,

:.DH//OF,

48

DE_25_24

EF-OF-2-25

14.(2023•包河区二模)已知如图1,N8为OO的直径，点C为。。外一点，AC=AB,连接2C交。。

于。.

(1)若/C为OO的切线，求证：ODLAB-,

(2)如图2,若/A4C>90。时，请用尺规作图在A48c内部选一点尸，使44尸2=45。，以下是部分作图

步骤:

第一步：过点。作48的垂线，交。。于点£；

第二步：连接/£、BE；

问题:

①请完成接下来的作图，并保留作图痕迹;

②在操作中得到/APB=45°的依据是

【答案】见解析

【详解】(1)证明：如图1,连接ND,

A

C

图1

・••/c为。。切线，

ABAC=90°,

NB为直径，

NADB=90°,

---AB=AC,

BD=CD,

OB=OA,

:.ODtIAC,

ODLAB■,

(2)解：①如图2:

第一步：过点。作N8的垂线，交。。于点E;

第二步：连接/£、BE；

第二步：以£1为圆心，以4E1为半径作OE,在OE上且在AA8C的内部取一点尸连接/尸，BP,贝IJ44四

即为所求；

②在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半.

故答案为：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半.

15.(2023•庐阳区二模)如图，在OO中，48是直径，点C在圆上，AD、3。分另I」平分N8NC和N/3C,

的延长线交。。于点£,连接BE.

(1)求证：BE=DE；

(2)若NB=10,BC=6,求2E的长.

【答案】见解析

【详解】（1）证明：・・,4。、分别平分N5/C和N/BC,

NCAE=/BAD,ZCBD=/DBA,

•・•ZCBE=/CAE,

ZEBD=ZCBE+ZDBC=ZCAE+ZCBD=ZBAD+/DBA,

・・・/EDB=/BAD+/DBA,

/.ZEBD=ZEDB,

/.BE=DE；

(2)解：4£与5。相交于点/，如图,

•・・为直径，

:.ZACB=90°,

在RtAABC中，AC=ylAB2-BC2=A/102-62=8,

•・•AF平分ABAC,

.•.点F到AC和AB的距离相等，

S“CF-S^BF="C：AB,

・SMCF-S^BF—CF:BF9

,CFAC8_4

:.CF^-BC=~,BF=-BC=—,

9393

在RtAACF中，AFNCF?+AC?=

ZCAF=ZEBF,ZC=ZE,

?.\ACF^\BEF,

o[

:.AC:BE=AF.BF,即=

33

解得BE=®,

即BE的长为府.

16.(2023•庐阳区校级二模)如图，A4C。内接于。(9,CD为直径,射线。EL/C于点E,交。。于点

F,过点工作OO的切线交射线于点2.

(1)当/2=25。时，求/。的度数；

(2)当/。=2,——=上时，求8方的长.

【答案】见解析

【详解】(1)连接04,如图,

•.・CZ)为直径，

:.ZDAC=90°.

ZD+ZC=90°,

・・•AB为OO的切线，

OALAB,

/.NAOB+/B=90°,

•・•ZB=25°,

:.ZAOB=65°.

­：OELAC,

ZOAC+ZAOB=90°,

ZOAC=25°.

•・•OA=OC,

:.ZC=ZOAC=250.

N£>=90。一NC=65。；

(2)•.匹1

EF2

.•.设OE=a,贝UEF=2a,

OF=OE+EF=3a.

•・•OELAC,

...AE=EC.

OD=OC,

为AC。/的中位线,

/.AD=2OE=2a,

•/AD=2,

..CL—\•

OE=1,OA=OF=3.

OALAB,AELOB,

AOAEsAOBA,

.OAOB

…~OE~~OA'

3OB

—=----,

13

17.(2023•庐江县模拟)如图，N2是。。的直径，C是彷的中点，CE工4B于点E,BD交CE于点

F.

(1)求证：CF=BF；

(2)若BE=OE=2,求弧4D的长度.

c

一

【答案】见解析

【详解】(1)证明：・・・。是弧5。的中点,

ZDBC=ABAC,

在A/15C中，ZACB=90°,CE上AB,

/BCE+ZECA=ABAC+ZECA=90°,

/BCE=ABAC,

又。是弧的中点，

/.ZDBC=ZCDB,

/./BCE=ZDBC,

/.CF=BF.

(2)解：连接OD,OC,

•・•BE=OE=2,

:.OB=BE+OE=2+2=4,

•・•OB=OC,

OF1

二.cos/COE=——=—,

OC2

/.ZCOE=60°,

•.•C是IB的中点,

.../DOC=/COE=60°,

/.N/OD=180—/DOC-/COE=60°,

.../D弧长="山=色.

18.(2023•合肥二模)如图，以"5为直径的。。经过A42c的顶点C,AE,2E分别平分/A4c和

NABC,/£的延长线交。。于点。，连接AD.

(1)判断A8DE的形状，并证明你的结论；

(2)若48=10,BE=25,求8c的长.

【答案】见解析

【详解】(1)ASDE为等腰直角三角形，理由如下:

・.・NE平分N8/C,BE平分ZABC,

ZBAE=ZCAD=ZCBD,ZABE=NEBC.

ABED=NBAE+NABE,ZDBE=NDBC+NCBE,

ABED=NDBE,

BD=ED,

・・•/8为直径,

ZADB=90°.

.•.A50E为等腰直角三角形;

(2)如图：连接。C,CD,OD,OD交BC于点、F.

---ZDBC=ZCAD=ABAD=Z.BCD,

BD=DC.

■：OB=OC,

垂直平分8c.

•.•ABDE是等腰直角三角形，BE=2屈,

BD=2遥.

•/45=10,

/.OB=OD=5.

设。尸=f,贝UZ)尸=5-7.

在RtABOF和RtABDF中，52-t1=(275)2-(5-疔，

解得1=3,

BF=4,

BC=8.

19.(2023•庐阳区校级一模)如图，N8是的直径，C,。都是。。上的点，4D平分NC4B,过点、D

作的垂线交/C的延长线于点E,交48的延长线于点尸.

(1)求证：跖是。。的切线；

(2)若/8=10,AC=6,求CE的值.

【答案】见解析

【详解】(1)证明：如图1,连接

AD平分ZCAB,

ZOAD=ZEAD,

,/OD=OA,

ZODA=ZOAD,

ZODA=ZEAD,

...OD//AE,

•・•ZODF=ZAEF=90。且。在OO上,

尸是。。的切线；

(2)连接5C,交OD于H,

4B是OO的直径，

:.ZACB=90°,

AB=10»AC=6,

BC=>JAB2-AC2=7102-62=8,

•・•ZE=ZACB=90°,

BC!!EF,

/OHB=ZODF=90°,

ODLBC,

:.CH=-BC=4,

2

CH=BH,OA=OB,

:.OH=-AC=3,

2

:.DH=5—3=2,

•・•/E=ZHCE=ZEDH=90°,

.•.四边形/CM)是矩形，

:.ED=CH=4,CE=DH=2.

20.(2023•庐阳区校级一模)如图，在。。中，直径为MN,正方形/BCD的四个顶点分别在半径(W、OP

以及OO上，并且NP(W=45。.

(1)若45=2,求夕。的长度；

(2)若半径是5,求正方形ZaCQ的边长.

【答案】见解析

【详解】(1)・・•四边形45CQ为正方形,

DC=BC=AB=2,ZDCO=/ABC=90°,

•・•/POM=45°,

CO=DC=2,

OD=血CO=2V2,

连接40,则A45O为直角三角形，

AO=y]AB2+BO2=A/22+42=275,

/.即。。的半径为2瓶，

PD=OP—OD=2至-2后;

(2)♦.•四边形43CQ是正方形，

/./ABC=/BCD=90°,AB=BC=CD,

ZDCO=90°,

•・•/POM=45°,

ZCDO=45°,

CD=CO,

BO=BC+CO=BC+CD,

BO=2AB,

•:MO=NO=5,

AO=5,

在RtAABO中，AB2+BO2=AO2,

即AB2+(2/3)2=52,

解得：AB=4S,

则正方形ABCD的边长为V5.

21.(2023•合肥一模)如图，在。。中，为直径，点3、C在。。上，BC交4D于点E(4E>DE)连接

CA,BD.

(1)求证：\AEC^NBED；

⑵若BE=CE=2a,AD=10,求DE的长.

【答案】见解析

【详解】(1)证明：•・•//=N2,NC=ND,

NAECSABED；

(2)解：\AEC^NBED,

DE:CE=BE:AE,

:.DEAE=CEBE,

BE=CE=276,AD=\0,

DE-(10-DE)=246x2y/6,

整理得DE2-10£>£+24=0,

解得。£=4或。E=6,

,/AE>DE,

DE=4.

22.(2023•庐阳区校级一模)RtAABC中，ZC=90°,。为4B上一点,以。为。心,CM为半径的O与

5C相切于点。.

(1)求证：4。平分NA4C；

(2)连接。若AB=2BD,求cosNCDE的值.

E

DB

【答案】见解析

【详解】(1)连接OD,

・/5C切。。于。，

/.ODLBC,

NODB=NACB=90。,

:.OD//AC,

ZODA=/CAD,

OA=OD,

ZOAD=ZODA,

ACAD=/BAD,

二.AD平分/BAC；

(2)设45交OO于方，

连接。月，

・・•力/为的直径，

/.ZADF=90°,

由(1)得NODB=90。,

ZODA=ABDF=ZOAD,

/B=/B,

\BDFs\BAD,

.ADBAc

--=-----=2,

DFBD

tanZ.AFD=2,

•・•四边形/瓦汨内接于。O,

ZCED+/AED=ZAED+ZAFD=180。，

ZCED=ZAFD,

tanZ.CED=tanZAFD=2,

•・•N/CZ)=90。，

，=2,

CE

设CE=Q,贝IJCZ)=2Q,

DE=>JCE2+CD2=45a,

CDla_2A/5

...cosZCDE=—

DEyj5a5

23.（2023•合肥模拟）如图，是。。的直径，C,。是。。上两点，过点C的切线垂直于ND的延长线,

垂足为点E,AC,AD相交于点厂.

（1）求证：点C是病的中点；

⑵若BD=4,DC=&求4D的长.

【详解】（1）证明：连接OC交于G,

•••CE切圆于C,

半径OCYCE,

•・•AE1CE,

OC//AE,

ZOCA=ZEAC,

•・•OA=OC,

ZOCA=AOAC,

AEAC=NOAC,

:.CD=BC,

「.C是的中点;

(2)解：设圆的半径是r,

OCLBD,

:.DG=-BD=2,

2

DC=6

:.CG=y]CD2-DG2=1,

OG=r-l,

OB2=OG2+BG2,

r2=(r-1)2+22,

/.r=2.5，

OG=OC-CG=2.5-1=1.5,

AO=OB,

OG是的中位线，

二.AD=20G=3.

24.(2023•包河区一模)如图，45是。。的直径，CD是。。的一条弦，45_LCQ于点连接QD.

(1)若NOD5=54。，求NA4C的度数；

(2)AC,的延长线相交于点尸，C£是的切线，交BF于点E,若CE上DF,求证:

【答案】见解析

【详解】(1)解：•・•00=05,

ZODB=ZOBD=54°,

/./DOB=180。—ZOBD-ZODB=72°,

•••48是。。的直径，ABLCD,

:.BC=BD,

/BAC=L/BOD=36。,

2

故/84C的度数为36。；

(2)证明：连接OC,BC,

・•・CE是。。的切线，

OC1CE,

CE工DF,

OC//DF,

/.NACO=ZF,

•・•OA=OC,

/.N4=/ACO,

/./A=NF,

AB=BF,

・・•AB是OO的直径，

BCLAF,

:.AC=CF,

•・•/A=ZCDB,

/.ZCDB=ZF,

CD=CF,

:.AC=CD.

25.（2023•合肥模拟）如图，四边形48co内接于OO,AB=BC,对角线/C为。。的直径，£■为。。外

一点，4B平分/DAE,AD=AE,连接3E.

（1）求乙4£8的度数；

(2)连接CE,求证：2BE2+AE2=CE2.

【答案】见解析

【详解】（1）解：连接

;AB平分NDAE,

/EAB=/BAD,

,/AE=AD,AB=AB,

\ABE二AABD(SAS),

/.NAEB=ZADB,

•・•AADB=ZACB,

/./AEB=ZACB,

・・・/c为。。的直径，

/ABC=90°,

•・•AB=BC,

ZACB=45%

ZAEB=ZACB=45°；

(2)证明：延长E4交QO于方，连接CF,

丁4C是圆的直径，

ZAFC=90°,

/.EF2+CF2=CE2,

由(1)知/在5=45。，

•・•/BFE=ZACB=45°,

，AB尸E是等腰直角三角形,

EF2=2BE2,

BD=BE,

BD=BF,

:.BD=BF,

AF=CD,

:.AD=CF,

CF=AD=AE,

2BE2+AE2=CE2.

26.（2023•庐阳区校级三模）如图，42是。。的直径，点C是2。的中点，过点C的切线与4D的延长线

交于E,连接CD,AC.

（1）求证：CELAE■,

⑵若CD//AB,DE=\,求。。的面积.

【答案】见解析

【详解】（1）证明：如图，连接。C,

是。。的切线，

OCLCE,

•.•点C是8。的中点,

BC=CD,

NCAB=ACAD,

•・•OA=OC,

ZOAC=ZOCA,

ZOCA=/CAD,

/.OC//AE,

CE-LAE；

(2)解：如图，连接OQ,

•:CD11AB,OC//AE,

.,・四边形/OCE是平行四边形,

又・.・cu=oc,

.•・四边形4OCD是菱形，

/.AD=CD=OA,

OA=AD=OD,

\AOD是等边三角形，

/.ZOAD=60°,

••CD//AB,

ZCDE=ZOAD=60°,

/.ZDCE=30°,

CD=IDE=2,

/.OA=CD=2f

QO的面积=27rx22=87r.

即Q)O的面积为8%.

-----B

27.（2023•庐阳区模拟）如图，点5为圆。外一点，过点5作圆。的切线，切点为4,点尸为08上一点,

连接力尸并延长交圆。于点C,连接OC,若以与OC垂直.

(1)求证：BP=AB；

(2)若08=10,圆。的半径为8,求4尸的长.

【答案】见解析

【详解】(1)证明：•.・OB_LOC,

ZPOC=90°,

ZC+ZCPO=90°,

•••OC=OA,

Z.C=AOAC,

/.NOAC+NCPO=9。。,

•・•ZBPA=ZCPO,

/.NOAC+/BPA=9U。,

0.•BA与圆切于A,

半径OA1AB,

ZOAC+ZBAP=90°,

ZBAP=ZBPA,

/.AB=PB；

(2)解：作尸于”，

•・•AB=PB,

AP=2PH,

-OB=10,圆O的半径为8,

/.AB=ylOB2-OA1=V102-82=6,

/.BP=AB=6,

:.OP=OB-PB=10-6=4,

/.PC=y/OP2+CO2=A/42+82=4A/5,

•:/BHP=/COP,/BPH=/CPO,

\BPH^\CPO,

...PH\PO=BP\CP,

:.PH:4=6:475,

:.PH$

5

AP=2PH=,

5

N尸的长是坦

28.Q023•合肥二模）如图，？。为zMBC的外接圆，直线MV与。。相切于点C,弦2O//MV,AC与BD

相交于点£.

(1)求证：ZCAB=ZCBD；

(2)若BC=5,BD=8,求OO的半径.

【答案】见解析

【详解】证明：（1）连接OC,交BD于H,连接30,

直线与。。相切于点C,

OC.LMN,

•・•BD//MN,

/.OCLBD,

:.BC=CD,

ABAC=ZCBD；

(2)•/OCLBD,

:.BH=HD=-BD=4,

2

:.CH=^BC2-BH2=>/25-16=3,

■：OB1=OH2+BH2,

.•.OB?=3-3)2+16,

：.。。的半径为生.

6

29.(2023•瑶海区三模)如图，在RtAABC中，ABAC=90°,。是边上的一点，以。4为半径的。。

与边3C相切于点E.

(1)若48=8,。。的半径为3,求NC的长.

(2)过点£■作弦£F_L4B于G,连接/尸，若NAFE=2NABC.求证：四边形NCEF是菱形.

【答案】见解析

【详解】(1)解：连接

;4B=8,。。的半径为3,

OB=8—3=5,

O。与边8C相切于点£,

OELBC,

BE=y]OB2-OE2=A/52-32=4,

•・•ZBAC=90°,

.•.C4是OO的切线，

/.CA=CE,

在RtAABC中，AC2+AB2=BC2,BP^C2+82=(4+^C)2,

解得：AC=6；

(2)证明：由圆周角定理得：/AOE=2/AFE,

•・•ZAFE=2ZABC,

/.ZAOE=4/ABC,

ZAOE=90°+ZABC,

/ABC=30°,

/.ZAFE=60°,

EFLAB,

/FEB=60°,

/.ZAFE=/FEB,

AF//BC,

vABAC=90°,EF上AB,

:.AC//EF,

四边形4CE尸为平行四边形，

CA=CE,

・•・平行四边形力CE尸为菱形.

30.(2023•庐江县二模)如图，点C是。。直径45延长线上一点，BC=OB,点尸是上一个动点(不

与点4,3重合)，点£为半径08的中点.

(1)如图1,若PE=6求尸。的长；

(2)如图2,当尸时，求证：C尸是。。的切线.

p

p

CB^^0，C

图1图2

【答案】见解析

【详解】（1）解：如图1,连接OP.

・・•OP=OB=BC=2OE,

.OE_OP_1

,~OP~~OC~21

又、:/COP=/POE,

z.bOEPs'OPC,

.PEOEOP

,1PC~~OP~~OC~21

•；PE=6

•・・点E为半径08的中点,

:.OE=OB=-OP.

2

•••PELOB,

ZPEO=90°.

OE1

cosZEOP=——=一,

OP2

/./EOP=60°.

又、：OP=OB,

/.\OPB是等边二角形，

AOBP=ABPO=60°,OB=PB,

•・•BC=OB,

BC=PB,

.-.zc=ZBPC=-ZOBP=30°,

2

NOPC=NBPO+NBPC=90°,

・；OP是oo的半径，

；.CP是oo的切线.

31.(2023•蜀山区校级一模)如图，为。。的直径，点C是。。上一点，过点C的直线交的延长线

于点作4D_LMC,垂足为点。，己知/C平分

(1)求证：MC是。。的切线；

⑵若AB=BM,MC=4,求OO的半径.

【详解】（1）证明：•.•4D_LMC,

ZD=90°,

OA=OC,

ZOCA=AOAC,

•••/C平分，

ADAC=AOAC,

NOCA=ADAC,

OC//DA,

/.ZD=ZOCM=90°,

・・,OC是。O的半径，

「.MC是。。的切线；

(2)解：^OA=OB=OC=r.

'：BM=AB=2r,

OM=3r,

•・•ZMCO=90°,

:.CM2+OC2=OM2,

「.16+/=9尸2,

:.r=42(负根已经舍去)，

QO的半径为行.

32.(2023•芜湖模拟)如图1,已知为。。的直径，C为。。上一点，CE工AB于E,。为弧2c的中

点，连接分别交CE、C8于点尸和点G.

(1)求证：CF=CG；

(2)如图2,若AF=DG,连接OG,求证：OG±AB.

【答案】见解析

【详解】证明：(1)连接NC,

图1

・・・AB为OO的直径，

:.AACB=90°,

:.ZCAG+ZAGC=90°,

•・•CE工AB,

/CEA=90°,

/.ZFAE+NAFE=90°,

・・・D为弧5C的中点,

/.DC=DB,

ZCAG=ZFAE,

ZAGC=ZAFE,

•・・ZAFE=4CFG,

/.ZAGC=ZCFG,

CF=CG；

.•.180。—/CFG=180°-ZCGF,

ZAFC=ZCGD,

•・•CF=CG,AF=CD,

\AFC=\DGC(,SASy

:.AC=CD,

AC=CD,

CD=DB,

:.AC=DB,

ZABC=/DAB,

GA=GB,

•・•OA=OB,

GOLAB.

33.(2023•包河区校级一模)如图，四边形/BCD为OO的内接四边形，且/C为。。的直径，AD=CD,

延长5C到石，使得BE=4B,连接。£.

(1)求证：AD=DE；

(2)若。E为QO的切线，且DE=2®,求数的长度.

【答案】见解析

【详解】(1)证明：连接8。,

•・•AD=CD,

NABD=ZDBE,

•/AB=BE,BD=BD,

\ABD=\EBD(SAS),

AD=DE；

(2)解：连接OD,

D

uB-----1E

-：AD=CD,

AD=CD,

•・•AD=DE,

CD=DE9

•・,4C为OO的直径，

，ZB=ZADC=90°,

vAD=CD,O为/C的中点,

/.ZODC=-/ADC=45°,

2

・：DE为OO的切线，

/ODE=90°,

ZCDE=45°,

.•./ZOE=90。+45。=135。，

•・•CD=DE,

ZDCE=/DEC=67.5°,

/./BAD=67.5°,

vAD=CD,ZADC=90°,

ZDAC=45°,

ZBAC=22.5°,

AD=CD=2V2,

:.AC=4f

OC=2,

数的长度是45万*2=工.

1802

34.（2023•瑶海区模拟）如图，是。。的直径，点C是叁的中点，过点C的切线与的延长线交于

E，连接CD，AC.

(1)求证：CE1AE；

(2)若CQ//ZB,DE=\,求OO的半径.

【答案】见解析

【详解】(1)证明：如图，连接OC,

・•・CE是。。的切线，

OCLCE,

•・•点C是防的中点，

:.BC=CD,

NCAB=ACAD,

•・•OA=OC,

/.ZOAC=ZOCA,

ZOCA=ACAD,

/.OC//AE,

/.CELAE；

(2)解：如图，连接8,

-CD//AB,OC//AE,

四边形AOCE是平行四边形，

又・.・CM=OC,

二.四边形/OCQ是菱形，

AD=CD=OA,

OA=AD=OD,

\AOD是等边三角形，

ZOAD=60°,

-CD//AB,

...ZCDE=ZOAD=60°,

NDCE=30°，

CD=IDE=2，

OA=CD=2,

35.(2023•庐阳区校级一模)如图1,已知A45C是。。的内接三角形，43是。。的直径，CD是。。的

弦，连接20,交4C于点E.

(1)求证：ZCEB=ZABD+ZCDB；

(2)如图2,连接OE、AD,若OE//4D,且/8=10,BD=8,求2C的长.

【答案】见解析

ABAC=NCDB,

•••ZCEB=NABD+ABAC,

/CEB=NABD+ZCDB；

(2)解：方法一：

■：OEHAD,点。为48的中点,

:.OE为AADB的中位线，

DE=BE=-BD=4,

2

•••48为直径，

NADB=90°,NACB=90°,

AD=dAB2-BD。=V102-82=6,

AE=y]AD2+DE2=A/62+42=2而,

设8C=x,EC=y,

在RtAABC和RtABCE中，

^\AB2=AC2+BC2

[BE2=BC2+CE2'

J102=(2VB+J/)+X2

整理得：一48二。，

尤二16

16+4V13y-48=0,

解得：y=-^=

岳

.J64

解得：》=坦叵或》=_呸叵（舍去）,

：.BC的长为应叵；

13

方法二：-OE//AD,点。为N8的中点,

.•.0£为儿4。5的中位线，

DE=BE==BD=4,

・・・4B为直径,

/.AADB=90°,NACB=9