2024-2025学年高中数学课时分层作业6棱柱棱锥棱台和球的表面积含解析新人教B版必修2

PAGE1-课时分层作业(六)棱柱、棱锥、棱台和球的表面积(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．矩形的边长分别为1和2，分别以这两边所在直线为轴旋转，所形成几何体的侧面积之比为()A．1∶2 B．1∶1C．1∶4 D．1∶3B[以边长为1的边所在直线为轴旋转形成的几何体的侧面积S1＝2π×2×1＝4π，以边长为2的边所在直线为轴旋转形成的几何体的侧面积S2＝2π×1×2＝4π，故S1∶S2＝1∶1，选B.]2．圆台OO′的母线长为6，两底面半径分别为2,7，则圆台OO′的侧面积是()A．54π B．8πC．4π D．16πA[S圆台侧＝π(r＋r′)l＝π(7＋2)×6＝54π.]3．如图是一个几何体的三视图，依据图中数据，可得该几何体的表面积是()A．9π B．10πC．11π D．12πD[由三视图可知，该几何体为一个球和一个圆柱组合而成，其表面积为S＝4π×12＋π×12×2＋2π×1×3＝12π，故选D.]4．长方体的体对角线长为5eq\r(2)，若长方体的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是()A．20eq\r(2)π B．25eq\r(2)πC．50π D．200πC[∵对角线长为5eq\r(2)，∴2R＝5eq\r(2)，S＝4πR2＝4π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5\r(2),2)))eq\s\up10(2)＝50π.]5．已知圆锥的侧面绽开图为半圆，半圆的面积为S，则圆锥的底面面积是()A．2SB.eq\f(S,2)C.eq\r(2)SD.eq\f(\r(2),2)SB[设圆锥的底面半径为r，母线长为l.则由题意，得S＝eq\f(1,2)πl2，S＝πrl，所以eq\f(1,2)πl2＝πrl，于是l＝2r，代入S＝πrl，得S＝2πr2，所以圆锥的底面面积πr2＝eq\f(S,2).]二、填空题6．一个棱柱的侧面绽开图是三个全等的矩形，矩形的长和宽分别为6cm,4cm，则该棱柱的侧面积为________cm2.72[棱柱的侧面积S侧＝3×6×4＝72(cm2)．]7．已知正四棱锥底面边长为6，侧棱长为5，则此棱锥的侧面积为________．48[正四棱锥的斜高h′＝eq\r(52－32)＝4，S侧＝4×eq\f(1,2)×6×4＝48.]8．侧面是直角三角形的正三棱锥，底面边长为a，该三棱锥的表面积为________．eq\f(3＋\r(3),4)a2[底面边长为a，则斜高为eq\f(a,2)，故S侧＝3×eq\f(1,2)×a×eq\f(1,2)a＝eq\f(3,4)a2.而S底＝eq\f(\r(3),4)a2，故S表＝eq\f(3＋\r(3),4)a2.]三、解答题9.如图所示，一个正方体的棱长为2，以相对两个面的中心连线为轴，钻一个直径为1的圆柱形孔，所得几何体的表面积为多少？[解]几何体的表面积为：S＝6×22－π×(0.5)2×2＋2π×0.5×2＝24－0.5π＋2π＝24＋1.5π.10．已知一个几何体的三视图如下，试求它的表面积．(单位：cm)[解]图中的几何体可看成是一个底面为直角梯形的直棱柱，且直棱柱的某个侧面在水平面上．直角梯形的上底为1，下底为2，高为1；棱柱的高为1.可求得直角梯形的四条边的长度为1,1,2，eq\r(2).所以此几何体的表面积S表＝2S底＋S侧＝eq\f(1,2)×(1＋2)×1×2＋(1＋1＋2＋eq\r(2))×1＝(7＋eq\r(2))(cm2)．[等级过关练]1．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为eq\r(3)，则这个圆锥的表面积是()A．3π B．3eq\r(3)πC．6π D．9πA[依据轴截面面积是eq\r(3)，可得圆锥的母线长为2，底面半径为1，所以S＝πr2＋πrl＝π＋2π＝3π.]2．底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为eq\r(2)，体对角线长为eq\r(6)，则这个棱柱的侧面积是()A．2 B．4C．6 D．8D[由已知得底面边长为1，侧棱长为eq\r(6－2)＝2.∴S侧＝1×2×4＝8.]3．如图所示，圆台的上、下底半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的侧面积为________．100π[设圆台的上底半径为r，则下底半径为4r，高为4r.由母线长为10可知10＝eq\r(3r2＋4r2)＝5r，∴r＝2.故圆台的上、下底面半径和高分别为2,8,8.所以圆台的侧面积为π(2＋8)×10＝100π.]4．已知如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为________．8π[由三视图可得原几何体的图形，如图所示，其中PA⊥底面ABC，AB⊥BC，PA＝2，AB＝BC＝eq\r(2)，AC＝2，将此几何体补成一长方体，则长方体的对角线长为eq\r(22＋\r(2)2＋\r(2)2)＝2eq\r(2).从而外接球的半径为eq\r(2)，于是外接球的表面积为4π×(eq\r(2))2＝8π.]5．已知一个表面积为120cm2的正方体的四个顶点在半球的球面上，四个顶点在半球的底面上，求半球的表面积．[解]如图所示为过正方体对角面的截面图．设正方体的棱长为a，半球的半径为R，由6a2＝120，得a2＝20，在Rt△AOB中，AB＝a，OB＝eq\f(\r(2),2)a，由勾股定理，