将军饮马模型（原卷版）-2023年中考数学几何模型重点突破训练

专题33将军饮马模型

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【模型1】两点一线

1.如图，在直线/两侧各有一个定点，分别是点A、B,怎样在直线/上找到一点P,使得PA+PB的值最小？

A

•B

思路：由“两点间线段最短”可得当A、P、B三点共线时，PA+PB的值最小，即为AB的长度.

构图：连接AB,AB与/的交点即为点P,如图所示：

2.如图，在直线/同侧有A、B两个定点，怎样在直线/上找到一点P,使得PA+PB的值最小？

A

构图：作点A关于/的对称点A，，连接A，B,A，B与直线/的交点即为点P,如图所示:

B

A

T

T

\_

+

A'

3.如图，在直线/同侧有A、B两个定点，怎样在直线/上找到一点P,使得|P4—的值最大？

•B

A

构图：连接AB并延长与/的交点即为点P,如图所示:

P

4.如图，在直线/两侧各有一个定点，分别是点A、B,怎样在直线/上找到一点P,使得|H4—的值

最大?

A

B・

构图：作点B关于直线/的对称点连接AB，并延长与/的交点即为点P,如图所示:

A

Bi

5.如图，在直线/同侧有A、B两个定点，怎样在直线/上找到一点P,使得|P4—的值最小？

A

B・

构图：连接AB,作AB的垂直平分线与直线/交于点P,此时为0,如图所示:

【模型2】一定两动

1.如图，点P在NAOB的内部，怎么样在OA上找一点C,在OB上找一点D,使4PCD的周长最小？

构图：分别作点P关于OA、OB的对称点P、P”,连接PT”,交OA、OB于点C、D,此时4PCD的周长

最小，PP”即为4PCD的周长最小值，如图所示：

A

2.如图，点P在NAOB的内部，怎么样在OA上找一点C,在0B上找一点D,使PD+CD的值最小？

构图：作点P关于0B的对称点P,过点P作PCLOA交0B于点D,交0A于点C,此时PD+CD的值

最小，PC即为PD+CD的值最小.

P'

3.如图，点P在/AOB的内部，怎样在OA、0B上分别取点C、D,使得APCD的周长最小？

A

构图：分别作点P、Q关于OA、OB的对称点P，、Q\连接P'Q'分别交OA、OB于点C、D,此时4PCD

的周长最小值为PQ+P'Q',如图所示：

【模型3】两点两线

在直线m、n上分别找两点P、Q,使得PA+PQ+QB的值最小.

l.A、B两点都在直线的外侧

2.一个点在内侧，一个点在外侧

A

m

A•

*B

--------------------------------------------n

3.两个点都在内侧

Ar

A•

|\/

•B.।b"

i/v

--------------------------------------n*

B'

【例1】如图，正方形4BC。的边长为4,点M在。C上,且。〃=1,N是NC上一动点，则DgMV的最

小值为（）

工j

A.4B.4&C.275D.5

【例2】如图，。为矩形45CZ）对角线4C,5。的交点，AB=8,M,N是直线5C上的动点，且MN=2,则

OM+ON的最小值是.

【例3】如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴的负半轴、了轴的正半轴交于/、2两点，其中

。4=2,S/3c=12,点。在x轴的正半轴上，MOC=OB.

(1)求直线43的解析式；

(2)将直线向下平移6个单位长度得到直线/”直线//与y轴交于点E,与直线C5交于点。，过点£作

y轴的垂线以若点尸为y轴上一个动点，0为直线为上一个动点，求BD+PQ+。。的最小值；

(3)若点“为直线上的一点，在了轴上是否存在点N,使以点/、D、M、N为顶点的四边形为平行四边

形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

一、单选题

1.如图，点M是菱形4BCD的边BC的中点，尸为对角线5D上的动点，若48=2,乙4=120。，则尸M+

PC的最小值为()

AD

P.

BM

A.2B.V3C.V2D.1

2.已知线段N2及直线/,在直线/上确定一点P,使尸N+P3最小，则下图中哪一种作图方法满足条件

3.如图1,在菱形/BCD中，AB=6,48/0=120。，点E是8c边上的一动点，点尸是对角线8。上一动

点，设PD的长度为x,PE与尸C的长度和为力图2是/关于x的函数图象，其中〃（a,b）是图象上的

最低点，则a+b的值为（）

4.如图，等边A42C的边长为6,40是2C边上的中线，〃是40上的动点，E是边/C上一点，若/£=

2,则EM+Q0的最小值为（）

A.V26

5.如图，正方形48co的边长是4,点E是。C上一个点，且DE=1,尸点在NC上移动，则PE+尸。的

最小值是（）

A.4B.4.5

6.如图，在PA48c中，ZC=9O°,AC=6,BC=8,点尸在边/C上，并且CF=2,点£为边上的动

点，将△CEF沿直线即翻折，点C落在点P处，则点尸到边48距离的最小值是（）

A.1.5B.1.2C.2.4D.以上都不对

7.如图，矩形/BCD中，奶=4,3C=6,点尸是矩形/BCD内一动点，且则尸C+尸。的最

小值是（）

A.4GB.475

C.2万D.2729

8.如图，在△ZSC中，AB=2,Z^5C=60°,乙4cB=45。，。是8c的中点，直线/经过点D,AEH,

BFLI,垂足分别为£,F,则NE+AF的最大值为（）

A.-^6B.2V2

二、填空题

9.在现实生活中，我们经常会看到许多“标准”的矩形，如我们的课本封面、N4的打印纸等，其实这些矩形

的长与宽之比都为血：1，我们不妨就把这样的矩形称为“标准矩形”，在“标准矩形中，如图所示,

点0在DC上，且若G为边上一动点，当△/G。的周长最小时，则穿的值为

GB

10.如图，点P是乙4。5内任意一点，0P=3cm,点初和点N分别是射线CM和射线。上的动点,

N/OB=30。，则APAW周长的最小值是

11.如图，菱形/BCD的边长为6,445c=120。，M是2c边的一个三等分点，P是对角线NC上的动点,

当PB+PM的值最小时，的长是

D

12.如图，等边AABC的边长为4,点E是NC边的中点，点P是AABC的中线40上的动点，则EP+CP的

最小值是.

13.如图，等边三角形/8C的边2C上的高为6,是8C边上的中线，M是线段上的-一个动点，E

是/C中点，则EM+CM的最小值为.

14.如图，正方形/BCD的边长为8,点M在。C上且ZW=2,N是NC上的一动点，则DN+MV的最小

值是.

三、解答题

15.如图，在一条东西向的马路上有广场/和医院C,在各自正北方向上分别有汽车站3和汽车站。，己

知，C=14ktn,^5=4km,CD=8km,市政府打算在马路NC段之间建造一个加油站尸.

(1)若要使得加油站尸到两汽车站的距离之和最小，请用尺规作图在图1中作出加油站P的位置，并直接

写出此时的最小值.(作图请保留痕迹，结果可以保留根号)

(2)若要使得加油站到两汽车站的距离相等，请用尺规作图在图2中作出加油站P的位置，并求出此时

PA的距离.(作图请保留痕迹)

图1图2

16.如图，一个牧童在小河的南4华里(长度单位)的/处牧马，而他正位于他的小屋8的西8华里北7

华里处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家，他要完成这件事情所走的最短路程是多少?

小河

北

牧童工♦

_Lt

h.

8小屋

17.如图，在平面直角坐标系中,已知点火2,5),8(2,1),C(6,l).

(1)画出A48C关于了轴对称的△43©；

(2)在x轴上找一点尸，使尸B+PC的值最小(保留作图痕迹)，并写出点尸的坐标.

18.如图，方格图中每个小正方形的边长为1,点B,C都是格点.

(1)画出A42C关于直线MN对称的△44G.

(2)若8为坐标原点，请写出4、B”。的坐标，并直接写出44的长度..

(3)如图2,A,C是直线同侧固定的点，。是直线九W上的一个动点，在直线上画出点D,使AD+ZX?

19.如图，一次函数了=h-6过点/(-2,-2),与了轴交于点2.

(1)求一次函数表达式及点B坐标;

(2)在x轴上找一点C,连接8C,AC.当8C+/C最小时，

①请直接写出点C的坐标为;

②请直接写出直线3C的函数表达式为；

③在坐标轴上找点。，连接2D,CD,使请直接写出点。的坐标为

20.教材呈现：下图是华师版八年级下册数学教材第111页的部分内容.

如图1925,在菱形.438中，NBAD=

2NR试求出N3的大小，并说明A4SC是等边B

三角形.

图③

图①图②

(1)问题解决：请结合图①，写出例1的完整解答过程.

(2)问题探究：在菱形4BCD中，对角线/C、AD相交于点O,48=4,乙BAD=2乙4BC.过点D作DE//AC

交BC的延长线于点£.如图②，连结。£