几何压轴题-2023年宁波中考数学复习试题分类汇编（原卷版）

专题18几何压轴题

1.(2022•宁波)【基础巩固】

(1)如图1,在A43C中，D,E,尸分别为N8,AC,2c上的点，DE/IBC,BF=CF,AF交DE

于点G,求证：DG=EG.

【尝试应用】

r)p

(2)如图2,在(1)的条件下，连结CD,CG.若CG_LOE,CD=6,AE=3,求——的值.

BC

【拓展提高】

(3)如图3,在口N3CD中，NADC=45。,4c与BD交于点、O,£为/。上一点，EG//BD交AD于点、

G,EFLEG交BC于点、F.若/EGF=40。，FG平分NEFC,FG=10,求2尸的长.

2.(2021•宁波)【证明体验】

(1)如图1,为A48c的角平分线，ZADC=60°,点£在上，AE=AC.求证：OE平分

ZADB.

【思考探究】

(2)如图2,在(1)的条件下，F为4B上一点,连结尸C交4D于点G.若FB=FC,DG=2,

CD=3,求8。的长.

【拓展延伸】

(3)如图3,在四边形ABCD中，对角线/C平分ABAD,ZBCA=2ZDCA,点£1在/C上,

ZEDC=AABC.若BC=5,CD=2遥,AD=2AE,求/C的长.

AA

A

D

图1图2图3

3.（2020•宁波）【基础巩固】

（1）如图1,在A4BC中，D为AB上一点、,ZACD=NB.求证：AC-=AD-AB.

【尝试应用】

（2）如图2,在口N5CD中，E为BC上一点,尸为CD延长线上一点，ZBFE=ZA.若29=4,

BE=3,求/D的长.

【拓展提高】

（3）如图3,在菱形ABCD中，£1是上一点，尸是NABC内一点，EF//AC,AC=2EF,

ZEDF=-ZBAD,AE=2,DF=5,求菱形ABCD的边长.

2

图3

4.（2019•宁波）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线.

（1）如图1,在A4BC中，AB=AC,ND是A48c的角平分线，E,尸分别是2D,上的点.

求证：四边形43所是邻余四边形.

（2）如图2,在5x4的方格纸中，A,8在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形使是

邻余线，E,尸在格点上.

（3）如图3,在（1）的条件下，取斯中点连接。M并延长交于点0,延长斯交NC于点

N.若N为/C的中点，DE=2BE,08=3,求邻余线N8的长.

5.(2018•宁波)若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形.

(1)已知AABC是比例三角形，AB=2,BC=3,请直接写出所有满足条件的/C的长;

(2)如图1,在四边形/BCD中，AD//BC,对角线3。平分乙48C,ABAC=ZADC.求证：AABC是

比例三角形.

D7~)

(3)如图2,在(2)的条件下，当NNDC=90。时，求一的值.

AC

6.(2022•镇海区一模)【基础巩固】

(1)如图1,AABC为等腰直角三角形,NABC=NADB=NBEC=90°,求证：AADB=NBEC.

【尝试应用】

(2)如图2,在(1)的条件下，连结AE=AC=10,求。£的长.

【拓展提高】

(3)如图3,在RtAABC中，D,E分别在直角边,8c上，AD=2DB=2CE,

2ZBAC+ZBED=135°,求tan/BNC.

ccA

7.(2022•宁波模拟)【证明体验】

(1)如图①，在ZU2C和zUOE中，NBAC=NDAE,AB=AC,AD=AE,连接助，CE.

求证：BD=CE；

【思考探究】

(2)如图②，在①的条件下，若A8=4,BC=3,ZABD=90°,BD=DE,求CE的长；

【拓展延伸】

AR

(3)如图③，在四边形/BCD中，AB=AC,BC=4,CD=8,BD=10,ABAC=2AADC,求一的

C

O-DB②D

8.(2022•北仑区一模)【根底巩固】

(1)如图，在A48c中，D为AB上一点、,ZACD=ZB.求证：AC2=AD-AB.

【尝试应用】

(2)如图2,在菱形中，E,尸分别为3C,。。上的点，S.ZEAF=-ZBAD,射线/£交DC的

2

延长线于点"，射线/尸交3c的延长线于点N.若/尸=4,CF=2,AM=W.

求：①CM的长；

②FN的长.

【拓展进步】

(3)如图3,在菱形/BCD中，AB=6,48=60。，以点8为圆心作半径为3的圆，其中点尸是圆上的

动点，请直接写出即的最小值.

2

D

AD

Z>Z\

图1图2

9.（2022•宁波模拟）【证明体验】

（1）如图，A48c中，AB=AC,£是5c延长线上一点，连结/£,。为2C的中点，尸为4E的中点，

连结DF.求证：DF=EF.

【思考探究】

（2）如图（2）,在（1）的条件下，设。尸交/C干点G.若C为5E的中点，CG=2,0G=3,求CD

的长.

【拓展延伸】

（3）如图③，在菱形4BCZ）中，对角线/C,3。相交于点O,E是边/。的中点，尸在OC上，

OF=3CF,连结£尸交3。于点G.〃■是G尸的中点，连结MO并延长交边于点N,若NB=3,求菱

形/BCD的周长.

①②

10.（2022•宁波一模）对于平面直角坐标系X/中的两条直线，给出如下定义：若不平行的两条直线与x

轴相交所成的锐角相等，则称这两条直线为“等腰三角线如图1中，若2PQR=NPRQ,则直线尸。与

直线PR称为''等腰三角线”；反之，若直线尸。与直线尸R为''等腰三角线”，则NPQR=NPRQ.

(1)如图1,若直线P。与直线尸灭为''等腰三角线”，且点尸、。的坐标分别为(1,4)、(-3,0),求直线依

的解析式；

(2)如图2,直线y与双曲线>=!交于点N、3,点C是双曲线>='上的一个动点，点/、C的

4xx

横坐标分别为加、n(0<n<m),直线3C、NC分别与x轴于点。、E；

①求证：直线/C与直线8C为“等腰三角线”;

②过点。作x轴的垂线/,在直线/上存在一点尸，连结斯，当=时，求出线段。厂+斯的

值(用含〃的代数式表示).

11.(2022•北仑区二模)如果两个三角形的两边对应相等，且它们的夹角互补.那么这两个三角形叫做互

补三角形，如图1.ND是AA5C的中线，贝和A4CD就是互补三角形.

(1)根据定义判断下面两个命题的真假(填“真”或“假”)

①互补三角形一定不全等.—命题

②互补三角形的面积相等.—命题

(2)如图2,NABC和A4ZJE为互补三角形，AB=4E,AC=AD,N尸是A4BC的中线.

求证：AF=-DE；

2

(3)如图3,在(2)的条件下，若B,E,。三点共线，连结CE,CD,四边形N2EC为圆内接四边形,

当/84£=120。时，求BD-”的值.

CD

（图3）

12.（2022•郭州区模拟）（1）证明推断:如图（1）,在正方形48c。中，点、E,。分别在边5C,AB1.,

。。_14£于点。，点6,尸分别在边CD,AB1.,GFYAE.

①求证：DQ=AEx

②推断：变的值为；

AE

（2）类比探究：如图（2）,在矩形N2C。中，笥=左（左为常数）.将矩形4BCD沿G厂折叠，使点N落在

3c边上的点E处，得到四边形用PG,EP交CD于点H,连接NE交G尸于点。.试探究G厂与/£之间

的数量关系，并说明理由；

（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接CP,当左=2时，若tan/CGP=3,GF=25,求CP的长.

图⑴图⑵

13.（2022•海曙区一模）一个角的余角的两倍称为这个角的倍余角.

（1）若Nl=30。，N2是N1的倍余角，则N2的度数为；

若Nl=a,N2是N1的倍余角，则N2的度数为—；（用a的代数式表示）

（2）如图1,在A42c中，AC>BC,在/C上截取CD=CB,在48上截取/E=4D.

求证：N4BC是NED8的倍余角；

（3）如图2,在（2）的情况下，作5尸//。£交/C于点尸，将ASFC沿2尸折叠得到AB尸C,BC'交AC

于点尸，若N4BC=90。，设NCBF=a,求NCP2的度数.

AA

14.(2022•宁波模拟)［证明体验］

(1)如图1,在A48c中，点。在边8c上，点厂在边NC上，AB=AD,FB=FC,/D与2/相交于点

E.求证：NABF=NCAD.

［思考探究］

(2)如图2,在(1)的条件下，过点。作45的平行线交4c于点G,若DE=2AE,AB=6,求DG的

长.

［拓展延伸］

(3)如图3,在四边形/BCD中，对角线/C与AD相交于点O,AC1AD,NABC=NACB=675°,

OD=2OB,OA=41,求CZ>的长.

15.(2022•海曙区校级一模)【证明体验】

(1)如图1,正方形48co中，E,尸分别是边A8和对角线/C上的点，AEDF=45°,BE=gCF.求

证：MJBE^NDCF.

【思考探究】

(2)如图2,矩形ABCD中，AB=6,BC=8,E,尸分别是边N5和对角线4c上的点，

4

tanZEDF=~,BE=5,求CF的长.

3

【拓展延伸】

(3)如图3,菱形48co中，BC=5,对角线/C=6,5〃_L交。/的延长线于点〃，E,尸分别是

线段出和/C上的点，tan/EDF=—,CF=1,求DE的长.

4

16.(2022•郸州区校级一模)婆罗摩芨多是公元7世纪古印度伟大的数学家，他在三角形、四边形、零和

负数的运算规则，二次方程等方面均有建树，他也研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类对

角线互相垂直的圆内接四边形称为“婆氏四边形”.

(1)若平行四边形/BCD是“婆氏四边形"，则四边形N58是—(填序号)；

①矩形②菱形③正方形

(2)如图，四边形4BCA内接于圆，尸为圆内一点，AAPD=ABPC=90°,且NADP=NPBC,求证：四

边形4BCD为“婆氏四边形”；

(3)在(2)的条件下，BD=4,且=

①当。C=2百时，求/C的长度；

②当DC的长度最小时，请直接写出tan/ADP的值.

17.(2022•江北区一模)项目化学习：车轮的形状.

【问题提出】车轮为什么要做成圆形，这里面有什么数学原理?

【合作探究】

(1)探究N组：如图1,圆形车轮半径为4e〃，其车轮轴心O到地面的距离始终为—cm.

(2)探究2组：如图2,正方形车轮的轴心为O,若正方形的边长为40〃，求车轮轴心。最高点与最低点

的高度差.

(3)探究C组：如图3,有一个破损的圆形车轮，半径为4C7〃，破损部分是一个弓形，其所对圆心角为

90%其车轮轴心为。，让车轮在地上无滑动地滚动一周，求点。经过的路程.

探究发现：车辆的平稳关键看车轮轴心是否稳定.

【拓展延伸】如图4,分别以正三角形的三个顶点工,B,。为圆心，以正三角形的边长为半径作60。圆

弧，这个曲线图形叫做“莱洛三角形”.

(4)探究。组：使''莱洛三角形”沿水平方向向右滚动，在滚动过程中，其每时每刻都有“最高点”，“中

心点”也在不断移动位置，那么在“莱洛三角形”滚动一周的过程中，其“最高点”和“中心点”所形成

的图案大致是.

延伸发现：“莱洛三角形”在滚动时始终位于一组平行线之间，因此放在其上的物体也能够保持平衡，但其

车轴中心。并不稳定.

图4

18.(2022•镇海区校级模拟)定义：如果一个四边形的一组对角互余，那么我们称这个四边形为“对角互

余四边形”.

(1)如图1,在“对角互余四边形”/BCE(中，AD=CD,BD=6.5,ZABC+ZADC=90°,AB=4,

CB=3,求四边形4BCA的面积.

(2)如图2,在四边形4BCD中，连接/C,ZBAC=90°,点。是A4CD外接圆的圆心，连接。4,

ZOAC=ZABC.求证：四边形是“对角互余四边形”；

(3)在(2)的条件下，如图3,已知=DC=b,AB=3AC,连接AD,求3。的值.(结果用带

有a,6的代数式表示)

图1图2图3

19.(2022•宁波模拟)新知学习：若一条线段把一个平面图形分成面积相等的两部分，我们把这条线段叫

做该平面图形的二分线.

解决问题：

(1)①三角形的中线、高线、角平分线中，一定是三角形的二分线的是一；

②如图1,已知A45c中，4D是8c边上的中线，点E,尸分别在48,0c上，连接£尸，与4D交于点

G.若%EG=SADGF，则即(填''是"或“不是")AA8C的一条二分线•

(2)如图2,四边形4BCD中，CD平行于N8,点G是/。的中点，射线CG交射线A4于点£,取防

的中点尸，连接CF.求证：C尸是四边形4BCD的二分线.

(3)如图3,在A/43c中，AB=CB=CE=1,NA=NC,ZCBE=NCEB,D,E分别是线段3C,AC

上的点，且NBED=N4,M是四边形N5DE的一条二分线，求。尸的长.

A

20.(2022•宁波模拟)【基础巩固】

(1)如图①，在A4BC中，8c于点£>,若BD=3,CD=\,求的值；

【尝试应用】

(2)如图②，点C在AABD的边2。上，满足/2=NC.求证：AD2-AC2=BD-CD；

【拓展提高】

(3)如图③，已知点。为RtAABC斜边上一点，过点。作的垂线，交4C于点£,点G在CE的中垂

线上，连结4G,^CG=^BD,求证：AG=^(AD+AB).

21.(2022•邦州区一模)如图1,平行四边形Z5CD中，48=9,BC=12,点尸是3c边上的点，连结

AP,以/尸为对称轴作AABP的轴对称图形2UQP.

(1)如图2,当点0正好落在边上时，判断四边形N8P0的形状并说明理由；

(2)如图1,当点尸是线段8C的中点且C0=4时，求/P的长；

(3)如图3,当点尸，Q,。三点共线时，恰有/PQC=NP。/,求AP的长.

22.(2022•慈溪市一模)［证明体验］(1)如图1,在AA8C和AS0E中，点/、B、。在同一直线上，

NA=NCBE=ND=90°,求证：AABC^ADEB.

(2)如图2,图3,20,点3线段/。上的点，AC±AD,AC=4,连结2C,加■为3C中点，将

线段2M绕点2顺时针旋转90。至,连结DE.

［思考探究］①如图2,当。£=时，求的长.

［拓展延伸］②如图3,点G是C4延长线上一点，且/G=8,连结GE,/G=/D,求的长.

（图1）（图2）（图3）

23.（2022•镇海区二模）［基础巩固］

（1）如图1,在AA8C中，AB=AC,ZBAC=90°,点。为CS延长线上一点，连结ND,将线段ND绕

点A逆时针旋转90°得到线段AE,连结CE.求证：NABD=\ACE；

［尝试应用］

（2）如图2,在（1）的条件下，连结。£,若4E交。C于点尸，已知尸C=3,tanZADC=~.求线段DE

4

的长；

［拓展提高］

（3）如图3,在正方形N8CA中，点E是对角线◎延长线上的一点，连结过。点作DE的垂线交NC

于厂点，交边8c于G点，若GC=C,AE=3,求/尸的长.

24.（2022•余姚市一模）若一个三角形的两条边的和等于第三条边的两倍，我们把这个三角形叫做和谐三

角形.

（1）已知A43C是和谐三角形，AB=3,8c=4,请直接写出所有满足条件的4C的长.

（2）在A48C中，/8=4,BC=8,。为3c边上一点，BD=2,连结若A48。为和谐三角形，求

AC的长.

（3）如图，在等腰A42c中，AB=AC,。为/C的中点，MZDBC=ZA,E为N8上一点，满足

AE:EB=3:2,连结DE,求证：AAEZ)为和谐三角形.

A

25.(2022•江北区模拟)定义：若连结三角形一个顶点及其对边上一点的线段将该三角形分割成的两个小

三角形中，有一个与原三角形相似，则称该线段为三角形的相似分割线；若分割成的两个小三角形都与原

三角形相似，则称该线段为全相似分割线.

(1)如图1,在A48c中，N4BC为钝角，相似分割线是8c边上的中线，求证：BC=42AB.

111

(2)如图2,在A48c中，/D是AA8C的全相似分割线，求证:

(3)在A42C中，ND是AASC的全相似分割线，将A34D绕3点顺时针旋转，。点旋转到E点，/点旋

4CD

转到厂点，当旋转到如图3的位置时，E,F,C三点共线，AF恰好是A5EC的相似分割线,求——

BD

值.

26.(2022•宁波模拟)如图，菱形4BCD的对角线/C,8。相交于点O,过点。作的垂线交8C的延

长线于点E,连结OE交CD于点、F.

(1)求证：四边形NCE。为平行四边形；

(2)求CC的值.

AD

A

B

27.(2022•宁波模拟)定义：若四边形有一组对角的差为90。，则称这个四边形为余角四边形.

(1)判断命题：“有一个内角为45。的圆内接四边形是余角四边形”是真命题还是假命题？

(2)在5x4网格中，A,3是如图①，②所示的格点(小正方形的顶点)，分别在图①，图②中各画一个

互不全等的格点四边形N2CD,使它是一个余角四边形.

(3)如图③，在A52C中，ZE=2ZB,A,。分别是EC上的点，且笈1=ED.

①求证：四边形为余角四边形.

②若CD:工3:4E1=1:2:3,求sin5的值.

28.(2022•宁波模拟)定义：若一动点尸到一条线段N2的两个端点的距离满足产/=3可，则称点尸为线

段的"点，但点尸不是线段A4的0点.

(1)如图1,在RtAABC中，ZC=90°,AB=10,若点C是线段48的"点，求/C的长.

(2)如图2,在A42C中，。是边N8上一点，连结CD,若点/分别是线段CD,线段3C的乃•点，求证

点C是线段3。的7?点.

(3)如图3,在菱形48co中，AB=6,N8=120。，点E,尸分别是BC,CD上的点，且满足

ZAEF=nO°,连结/尸.若点E是线段N尸的"点，求。尸的长.

D

图1图2图3

29.(2022•宁波模拟)【基础巩固】

(1)如图①，在四边形4BCD中，ADI/BC,ZACD=NB,求证：KABC-NDCA；

【尝试应用】

(2)如图②，在平行四边形4BCD中，点E在2c上，NN皮)与NC互补，BE=2,EC=4,求4E■的长

【拓展提高】

(3)如图③，在菱形4BCD中，E为其内部一点，/4ED与NC互补，点尸在CD上，EF//AD,且

AD=2EF,AE=3,CF=\,求。£的长.

30.(2018•长春一模)定义：若四边形中某个顶点与其它三个顶点的距离相等，则这个四边形叫做等距四

边形，这个顶点叫做这个四边形的等距点.

D

图3

(1)判断：一个内角为120。的菱形—等距四边形.(填“是”或“不是”)

(2)如图2,在5x5的网格图中有/、2两点，请在答题卷给出的两个网格图上各找出C、。两个格点,

使得以N、8、C、。为顶点的四边形为互不全等的“等距四边形”，画出相应的“等距四边形”，并写出

该等距四边形的端点均为非等距点的对角线长.

端点均为非等距点的对角线长为一端点均为非等距点的对角线长为—

(3)如图1,已知AABE与\CDE都是等腰直角三角形，NAEB=ZDEC=90°,连接AD,AC,BC,若

四边形/8CD是以/为等距点的等距四边形，求NBCD的度数.

31.(2022•勤州区校级三模)问题提出：

(1)我们把两个面积相等但不全等