几何图形初步易错训练与压轴训练（3易错+5压轴）（解析版）

目录

易错题型一分类讨论思想在线段的计算中的易错.................................................1

易错题型二|分类讨论思想在角的计算中的易错...................................................5

易错题型三|分类讨论思想在旋转中求角的多解易错..............................................8

压轴题型一|线段上动点定值问题..............................................................12

压轴题型二|线段上动点求时间问题............................................................19

压轴题型三|几何图形中动角定值问题..........................................................25

压轴题型四|几何图形中动角数量关系问题......................................................31

压轴题型五几何图形中动角求运动时间问题...................................................36

02易错题型

易错题型一分类讨论思想在线段的计算中的易错

例题：Q3-24七年级下•广东汕头・期末）已知线段A8=5,点C是A8所在的直线上的点，BC=2,则AC

的长为—.

【答案】3或7

【知识点】线段的和与差

【分析】本题考查线段的和差计算，分类讨论：当点C在线段上时，AC=AB-BC；当点C在线段AB

的延长线上时，AC=AB+BC,分别进行求解即可.

【详解】解：当点C在线段A8上时，如图，

VBC=2,=5,

：AC=AB-BC=5-2=3；

IIi

ACB

当点。在线段A8的延长线上时，如图，

vBC=2,AB=5,

•*.AC=AB+BC=5+2=7,

III

ABC

综上所述，AC的值为3或7,

故答案为：3或7.

巩固训练

1.（23-24六年级下•山东烟台・期末）己知A,B,C是同一直线上的三点，若AB=8cm,8c=4cm,点M

是线段AC的中点，则线段AM的长为.

【答案】2cm或6cm

【知识点】线段中点的有关计算、线段的和与差

【分析】本题主要考查两点间的距离，熟练掌握中点的性质是解题的关键.应考虑到位置关系的多种可能

性，即可得到答案.

【详解】解：①当点C在线段A8的延长线上时，此时AC=48+8C=12cm,

Q点M是线段AC的中点，

AM=—AC=6cm；

7

②当点C在线段AB上时，此时AC=AB-BC=4cm,

Q点M是线段AC的中点，

AAM=—AC=2cm.

7

故答案为：2cm或6cm.

2.（23-24七年级上•江苏盐城•阶段练习）如图，有公共端点P的两条线段MP,NP组成一条折线

M-P-N,若该折线M-P-N上一点。把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点。叫做这条折线的

“折中点”，己知。是折线4-C-B的“折中点”，E为线AC的中点，CD=1,CE=3,则线段8c的长为.

【答案】4或8/8或4

【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算

【分析】本题考查了两点间的距离，中点的定义，解决本题的关键是根据题意画出两个图形进行解答-根

据题意分两种情况画图解答即可得出答案.

【详解】解：①如图，

Q点D是折线A-C-B的“折中点”,

:AD=DC+CB,

Q点E为线段AC的中点，

AE=EC=-AC=3

2

:AC=6,

:AD=AC-DC=5,

:DC+BC=5,

：BC=4；

②如图，

VCD=1,CE=3,

Q点。是折线4-C-B的“折中点”,

■.BD=DC+CA

Q点E为线段AC的中点，

:.AE=EC=-AC=3

9

：AC=6,

：AC+DC=7,

:BD=1,

■.BC=BD+DC=8.

综上所述，8c的长为4或8.

故答案为：4或8.

3.Q3-23七年级上•黑龙江哈尔滨•开学考试）已知线段AB=12,在线段AB上有一点C,且3c=3,点、M

是线段AC的一个三等分点，点N为线段BC的中点，则线段MN的长为.

【答案】8.5或3.5或7.5或4.5

【知识点】线段之间的数量关系、线段中点的有关计算、线段的和与差

【分析】本题主要考查线段中点，”等分点的计算，根据题意，图形结合分析，线段的和差运算即可求解,

掌握线段中点的计算方法是解题的关键.

【详解】解：点C在点B右边，点M是靠近点A的三等分点，如图所示，

II11I

AMBNC

..AC=AB+BC=12+3=15,

:,AM=-AC=-x\5=5.

'.BM=AB-AM=12-5=7,

13

:.BN=-BC=-

99i

.■.MN=BM+BN=1+-=S.5；

7

点M是靠近点B的三等分点，如图所示，

I1111

AMBNC

22

.­.=JA/=-JC=-xl5=10

aa

3

..BM=AB-AM=12-10=2,BN=-,

9

.-.A/?V=2+-=3.5

?;

当点。在点3的坐标，点M是靠近点A的三等分点，如图所示，

Ilill

AMCNB

..AC=AB-BC=12-3=9,

:.AM=-AC=-x9=3i

：.CM=AC-AM=9-3=6,CN=-,

2

3

:.MN=CM+CN=6+±

点M是靠近点C的三等分点，如图所示,

।।」।।

AMCNB

22

.-.MZA/=—/C=-x9=6,

33

■■.CM=AC-AM=9-6=3,CN=',

7

.­.MN=CM+CN=3+-=4.5i

2

故答案为：8.5或3.5或7.5或4.5.

易错题型二分类讨论思想在角的计算中的易错

例题：Q4-25七年级上•全国.课后作业)在同一平面内，若上804=50.5°,上80C=10°3(X,则。4OC的

大小是.

【答案】61°或40°

【知识点】几何图形中角度计算问题

【分析】本题考查了角的计算，分OC在的内部和外部讨论即可.

【详解】解：当。C在。4。8的内部时，

•••上BOA=50.5°,±BOC=10°30',

DAOC=±AOB-±BOC=50.5°-10°30'=50°3ff-10°3(y=40°;

当OC在。的外部时，

上BOA=50.5°,±J3OC=10°30,,

±AOC=±AOB+±BOC=50.5°+10°3。=50°30r+10°30'=61°;

故答案为：61°或40。.

巩固训练

1.（22-23七年级下•安徽淮南•开学考试）已知上A08=50°,上AOC=40°,射线OM平分080C,则

±BOM=.

【答案】45°或5（75°或45°

【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算

【分析】本题主要考查了角的和差、角平分的定义等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键.

先分两种情况画出图形，再分别运用角的和差求得D80C,然后根据角平分线的定义即可解答.

【详解】解：如图：±4。8=50°,上40c=40°,

•••上BOC=±AOB-±AOC=10°,

,射线0M平分D80C,

:.ABOM=-ABOC=50■

7

如图：±AOB=50°,±AOC=40。,

±BOC=±AOB+±AOC=90°,

•.,射线OM平分£)BOC,

.-.ZBOA/=-ZBOC=45°.

2

综上，上80M=45°或5°.

故答案为：45°或5°.

2.（24-25七年级上•黑龙江哈尔滨•阶段练习）0C是从£）AOB的顶点。引出的一条射线，若上AOB=80°,

±AOB=2±B0C,则DAOC的度数是°.

【答案】40。或120

【知识点】几何图形中角度计算问题

【分析】本题主要考查了几何图形中角度的有关计算，掌握数形结合以及分类讨论思想成为解题的关键.

分。C在内部和外部两种情况，分别画出图形，运用角的和差及已知条件计算即可.

【详解】解：①如图所示：当。C在。4QB内部时，

±AOB=80°,±AOB=2±BOC,

.•.4比=力。8=40。，

2

±AOC=±AOB-1JBOC=80°-40°=40°;

②如图所示：当OC在。4。8外部时，

±AOB=80°,±AOB=2±BOC,

：.ZBOC=-^AOB=^°,

7

±AOC=±AOB+±BOC=800+40°=120°.

综上，DAOC的度数是40°或120°.

故答案为：40。或120.

3.Q2-23七年级上•广东茂名•期末）如图，已知OC是内部的一条射线，图中有三个角：DAOB,

DAOC^DBOC,当其中一个角是另一个角的两倍时，称射线0c为£UOB的“巧分线”.如果

±MPN=60°,PQ是的“巧分线”，则上MPQ=度.

Z-

OB

PN

【答案】20或30或40

【知识点】几何图形中角度计算问题

【分析】本题主要考查角的计算和理解能力.

分3种情况，根据“巧分线''定义即可求解.

【详解】解：若上MPN=60°,PQ是DMPN的“巧分线”，则由“巧分线”的定义可知有三种情况符合题意:

①JjVPQ=,此时"/3。=2ILMPN=20°;

②±JdPN=2_tWQ,此时±MPQ=、±JdPN=30°;

1

2

③上WPQ=2±NPQ,此时上M产Q=；_bWPN=40°；

故答案为：20或30或40.

易错题型三分类讨论思想在旋转中求角的多解易错

例题：Q4-25七年级上•全国•期末）如图①，点。在直线A8上，过O作射线OC,上BOC=120。，三角板的

顶点与点0重合，边OM与。B重合，边ON在直线A8的下方.若三角板绕点O按10°/s的速度沿逆时针

直线ON恰好平分锐角RAOC（图@）.

【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算

【分析】本题考查了角平分线的定义，解题的关键是分两种情况进行讨论，分别依据直线ON恰好平分锐角

DAOC,得到三角板旋转的度数，进而得到r的值.

【详解】解：Q±BOC=120°,

:上AOC=60°,

当直线ON恰好平分锐角DAOC时，如图：

C\M

ZBON=一N4OC=30°,

A0X7B

N

此时，三角板旋转的角度为90°-30°=601

：t=60°+10°=6；

当CW在R4OC的内部时，如图:

三角板旋转的角度为360。-90。-30。=240。，

：t=240°+10°=24；

工的值为：6或24.

故答案为：6或24.

巩固训练

1•Q3-24七年级下•广东广州•期末）在同一平面内，将两副直角三角板的两个直角顶点重合，并摆成如图

所示的形状.已知上0=30。，上E=60。，±B=ZC=45°,若保持三角板ADE不动，将三角板ABC绕点A

在平面内旋转.当时，上EAC的度数为.

【知识点】三角板中角度计算问题、三角形内角和定理的应用

【分析】本题考查了三角板中角度计算问题及三角形内角和，根据题意画出图形，再根据角之间的关系结

合三角形内角和即可得出答案.

【详解】解：当DE〃AC时，AB.LDE,分以下两种情况:

如图1所示，

E

C

QDEnAC,上E=60°

D

图1

：±EAC=±E=60°;

如图2所示,

90°

图2

:上1=上CAB=90°

Q±£=60°

:上EAB=90°-上E=30°

:上E4C=±£AB+上CAB=30°+90°=120'

综上所述，上E4C的度数为60°或120°

根据答案为：60°或120°.

2.Q3-24七年级下•天津和平•期中)在数学研究中，观察、猜想、实验验证、得出结论，是我们常用的几

何探究方式.请你利用一副含有45°角的直角三角板ABC和含有30°角的直角三角板尝试完成探究.试

探索；保持三角板ABC不动，将45°角的顶点与三角板8DE的60。角的顶点重合，然后摆动三角板8DE,

使得£)ABD与OABE中其中一个角是另一个角的两倍，请写出所有满足题意的DABE的度

数

图3

【答案】20°或40°或60°或120°

【知识点】几何图形中角度计算问题、三角板中角度计算问题

【分析】本题考查的是角的和差运算.分四种情况分别画出图形，再结合角的和差运算可得答案.

【详解】解：如图,

±ABD=2±ABE,±EBD=60°,

:±ABE+60°=2±ABE,

:±ABE=60°;

如图，

±ABD=2±ABE,±EBD=60°,

:±EBD=±ABE+±ABD=3±ABE=60°,

:±ABE=20°,

如图，

±ABE=2±ABD,上EBD=60°,

NEBD=ZABE+ZABD=ZABE+-AABE=60°,

2

:±ABE=40°,

如图，

A

±ABE=2±ABD,上EBD=60°,

:"EBD=NABE-ZABD=-ZABE=60°,

7

:±ABE=120°,

综上：DABE为20°或40°或60°或120°.

故答案为：20°或40°或60°或120°.

03压轴题型

压轴题型一线段上动点定值问题

例题：(23-24七年级上.全国•期末)如图，已知直线/上有两条可以左右移动的线段：AB=m,CD=n,且

m,n满足帆-4|+("-8)2=0,点M,N分别为AB,CD中点.

1111111

AMBCND

(1)求线段AB,CD的长；

(2)线段A8以每秒4个单位长度向右运动，线段CO以每秒1个单位长度也向右运动.若运动6秒后，

MN=4,求此时线段BC的长；

(3)若BC=24,将线段CO固定不动，线段A8以每秒4个单位速度向右运动，在线段AB向右运动的某一

个时间段f内，始终有MN+A。为定值.求出这个定值，并直接写出/在哪一个时间段内.

【答案】(1)线段AB的长是4,线段CD的长是8

(2)16或8

(3)当7.54/49时，MN+AO为定值，定值为6

【知识点】线段中点的有关计算、绝对值非负性、与线段有关的动点问题、几何问题(一元一次方程的应

用）

【分析】（1）根据非负数的性质即可得到结论；

（2）若6秒后，AT在点“左边时，若6秒后，根在点M右边时，根据题意列方程即可得到结论;

(3)根据题意分类讨论于是得到结果.

【详解】(1)解：•・，m-4+(n-8)2=0,

-4=0,(n-8)2=0,

:机=4,〃=8,

:AB=4,CD=8,

即线段A8的长是4,线段的长是8；

(2)解：•.・A8=4,CZ)=8,

:.MB==AB=2,CN==CD=4

设运动后点M对应点为ML点N对应点为N,分两种情况，

若6秒后，M1在N的左侧时：MN+NN4=MM<i+,

:MB+BC+CN+NN《=,即2+8C+4+6'1=6'4+4,

解得BC=16.

若6秒后，在N的右侧时：MM&=MN+NNC+M&N<t,

:MM=MB+BC+CN+NN+MN",

即6'4=2+BC+4+6'l+4,

解得8C=8.

即线段BC的长为16或8；

(3)解：•■-BC=24,AB=4,C£>=8,

11

:MN=BC+0AB+2CD=24+2+4=30,AD=BC+AB+CD=24+4+8=36,

•••线段CD固定不动，线段A8以每秒4个单位速度向右运动，

:运动t秒后，MN=30-4?,AD=36-4/,

当04r<7.5时，MN+AD=30-4t+36-4t=66-8t；

当7.54/49时，MN+AD=4t-3Q+36-4t=6；

当f>9时，MN+AD=4t-30+4t-36=St-66；

故当7.54f49时，MN+A。为定值，定值为6.

【点睛】本题考查非负数的性质，一元一次方程的应用，线段的和差关系，以及数轴上的动点问题，解题

的关键是掌握分类讨论思想.

巩固训练

1•Q3-24七年级上.江苏南通•阶段练习)如图，8是线段AO上一动点，沿4―。-4的路线以2<；01/5的

速度往返运动1次，C是线段8D的中点，AD=10cm,设点8的运动时间为fs(0WfW10).

IIII

ABCD

⑴当f=2时，则线段=cm,线段C£>=cm；

(2)当f为何值时，AB=CD

(3)点8从点A出发的同时，点E也从点A出发，以acm/s(0<a<2)的速度向点。运动，若当运动时间f满

足0VY5时，线段EC的长度始终是一个定值，求这个定值和。的值.

【答案】(1)4;3

(2审5或2争5

(3)a=l,定值为5

【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算、整式加减中的无关型问题

【分析】本题考查线段动点问题，线段中点性质，线段和差关系

(1)根据1=2可求出A8的长以及BC的长，再由C是线段8。的中点，即可求得；

(2)分情况讨论，当A-D时，存在A8=C。；当。一A时，存在AB=C。，考虑两种情况即可；

(3)根据点8和点E的速度，可以大概画出示意图，从而表示出线段EC,即可求得.

【详解】(1)解：AD=10cm,点8以2cm/s的速度运动，

"=2时，AB=4cm,BD=6cm,

是线段8。的中点，

:BC=CD=3cm

故答案为：4,3

(2)解：・.・C是线段50的中点，

:・BC=CD=、BD

-AB=CD,

:AB=BC=CD,

与

3AB=10,AB=CD=cm,

当点B从A-£)时,

10、5/、

t=—+2=—(s)

当点8从£)一A时,

,・,点B沿A-。—A的路线需要(10+10)+2=10(s)

故"io-5=^25(s)

综上所述，当/为乙5或上25s时，AB=CD.

(3)解:如图,

由题意得：点石的速度是acm/s,点5速度为2cm/s

0<o<2,

.•.点B在点E右侧,

由题意可知A8=2r,AE=at,BD=\0-2t

・•.EB=2t-at

-C是线段8D的中点

.­.BC=-BD=5-i

7

即EC=EB+BC=2t-at+5-t

••・线段EC的长度始终是一个定值

<-EC=

故1-。=0解得a=l,定值为5

AEBCD

2.Q3-24七年级上.江苏泰州・期末)【背景知识】

数轴是重要的数学学习工具，利用数轴可以将数与形完美结合.已知结论：数轴上点A、B表示的数分别为

a、b,则A、B两点之间的距离AB=卜-bi；线段AB的中点表示的数为宇

【知识运用】

(1)点4、B表示的数分别为a、b,若。与J互为倒数，6与-7互为相反数.则A、B两点之间的距离为

；线段A8的中点表示的数为

【拓展迁移】

（2）在（1）的条件下，动点P从点A出发以每秒3个单位的速度沿数轴向左运动，动点Q从点8出发以

每秒5个单位的速度沿数轴向左运动，点M是线段PQ的中点.

①点M表示的数是（用含f的代数式表示）;

②在运动过程中，点A、P、Q中恰有一点是另外两点连接所得线段的中点，求运动时间入

③线段尸Q、A"的长度随时间/的变化而变化，当点Q在点P左侧时，是否存在常数机，使mPQ+AM为

定值？若存在，求常数相及该定值；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）12；1：（2）①1-书；②1.5最4.③存在，m=-2,此时定值沉尸Q+AM=18.

7

【知识点】数轴上两点之间的距离、线段中点的有关计算、数轴上的动点问题

【分析】（1）根据题意，求出。、b,再根据结论解答即可求解；

（2）①根据题意，表示出f秒后点尸、Q表示的数，再根据线段中点计算公式求解即可；

②根据线段中点计算公式分三种情况解答即可求解；

③根据两点之间的距离公式求出PQ、AM,得到mPQ+AM=（2根+4）f-12〃z-6,当2m+4=0时即可求出

常数机的值，进而求出定值.

【详解】解：（1）「a与-1互为倒数，6与-7互为相反数，

5

。=-5,b=7j

/.AB=-5-7=12；

线段短的中点表示的数为士^=1:

9

故答案为：12；1；

（2）①/秒后，点尸表示的数为-5-3,点。表示的数为7-5/,

•・,点M是线段尸。的中点，

・••点M表示的数-5是-3"r++/7-5r=1-书，

故答案为：1-4八

②当点尸为A、。中点时，则2（-5-3/）=7-5/-5,

解得r-12,不合，舍去；

当点A为P、Q中点时，则2x（-5）=-5-3,+7-5/,

解得/=1.5；

当点。为P、A中点时，则2x（7-5f）=-5-3f-5,

解得LB24；

74

.•.运动时间f的值为1.5或7；

③当点Q在点尸左侧时，PQ=-5-3t-^-5t）=2t-U,AM=-5-（l-4r）=4r-6,

■■mPQ+AM=m（it-12）+4/-6=（2m+4）f-12机-6,

当2m+4=0时，

•••m=-2,

此时，定值相PQ+AM=-12x（-2）-6=18.

【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离计算公式，线段中点计算公式，掌握两点间的距离计算公式和线

段中点计算公式是解题的关键.

3.Q3-24七年级上•江苏泰州•阶段练习）【阅读材料】若数轴上两点A、8所表示的数分别为。和b（点A

在点B的左侧）,则有①A、B两点的中点表示的数为小；②4、3两点间的距离为48=加”.

【解决问题】

数轴上两点A、B所表示的数分别为。和6,且满足。+2+伍-8）2=0,

（1）直接写出A、8两点的中点C表示的数为；

（2）若数轴上有一点。，且AD+8。=16,则点。在数轴上对应的数为；

【拓展思考】

若数轴上两点A、8所表示的数分别为。和b（点A在点8的左侧），点C为线段AB上一点（点C不与A、

B重合），当AC:2C=1:2时，称点C为线段AB的左三等分点；当AC:8C=2:1时，则称点C为线段A8

的右三等分点.

（3）①如图，若点C为线段的左三等分点，则点C表示的数为：；（用含a、b的代数式表示），

ACB

11

---a----------------------------1n-------►

②在【解决问题】（1）的条件下，点P以每秒1个单位的速度从原点。出发向右运动，同时，点M从点A

出发以每秒3个单位的速度向左运动，点N从点8出发，以每秒6个单位的速度向右运动，点尸为线段MB

的左三等分，点。为ON的中点.设运动时间为f秒，试探究下列结论：随着f的变化，是否存在机，使得

MN+OF-mPQ的值为定值，若存在，求出根的值，若不存在，请说明理由.

【答案】(1)3(2)-5或11；(3)①ja+g；②存在，机=£,理由见解析

【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、线段中点的有关计算、数轴上的动点问题、绝对值非负性

【分析】本题考查了数轴上两点间距离，数轴上线段的中点对应的数的表示，数轴上动点的问题，绝对值

得非负性的应用，一元一次方程的应用，熟练利用一元一次方程解决数轴上动点问题是解题关键.

(1)利用绝对值，乘方的非负性求出a,b值的大小再利用题中给出的方法求出结果即可；

(2)由题意可知，。点可能在A点左侧，也可能在8点右侧，根据AD+8D=16列出方程求解即可；

(3)①设C点为相，则AC为机-。，BC为b-m,根据点C为线段AB的左三等分点，列式结算即可；②

45

--/

由题意得，M:-2-3t,N:8+6/，F,t,P:-332：4+3z,得出MN=%+10,OF=t,

+y,根据MN+O尸-mPQ的值为定值，进行求解即可.

【详解】解：Qa+2+伍-8)2=0,

：〃+2=0旦。-8=0,

a=-29Z?=8>

4、2两点的中点表示的数为色坦=±^=3,

9?

故答案为：3；

(2)设点。表示的数为羽

vAD+BD=16

当点。在点A左边时，-2-x+8-%=16,

解得：x=-59

当点。在点3右边时，x-(-2)+x-8=16,

解得：x=ll,

：D点为-5或11；

(3)①设C点为m,则AC为加-a,BC为b-m,

Q点C为线段A8的左三等分点，

,.AC:BC={m-a):{b-m)=1:2,

••b-m=2(m-«),

WWw=-a+-,

:点c表示的数为2。+。；

@存在.理由如下：

45

由题意得，M:-2-3t,N:8+6r,F:t,p,--t,0:4+3?,

33~

■.MN=9/+10,OF=t,PQ=——

3t+3,

:.MN+OF-mPQ=^\0-m^t+\0-ymt

Q随着r的变化，上式的值为定值，

1415

：10-^w=0解得〃[=].

压轴题型二线段上动点求时间问题

例题：Q4-25七年级上•黑龙江哈尔滨•阶段练习)【新知理解】如图①，点C在线段48上，图中共有三条

线段A8、AC和8C,若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段A8的“巧

点”.

(1)线段的中点这条线段的“巧点”(填“是”或“不是”兀

(2)若42=12cm,点C是线段4B的巧点，则AC最长为cm；

【解决问题】

(3)如图@,已知42=12cm,动点尸从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点8匀速移动；点。从点8出

发，以lcm/s的速度沿历1向点A匀速移动，点P、。同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移

动的时间为f(s).当/为何值时，P为A、。的巧点？说明理由.

AcB

图①

।__।

AB

图②

।।

AB

图②备用图

i______।

AB

图②备用图

1212

【答案】(1)是；Q)8；(3)当/为3s或s或s时，尸为A、Q的巧点

75

【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、与线段有关的动点问题、线段的和与差、线段中点的有关计算

【分析】本题考查了线段的相关计算，与线段有关的动点问题，一元一次方程的应用.

⑴根据“巧点”的定义解答即可；

2

(2)点C为线段A8的巧点，则AC最长时，满足AC=28C,即AC=AB,即可求解；

3

(3)根据“巧点”的定义，分为AP=2PQ或PQ=2A尸或4P=P。，三种情况，分别计算即可求解.

【详解】(1)解：•・•点C在线段AB上，点C为线段48的中点，

AB=2AC,

.••点C是线段AB的的“巧点”，

故答案为：是.

(2)解：点C在线段A8上，点C为线段AB的巧点，

.,.则AC最长时，满足AC=2BC,

2

即AC=AB,

3

AC=8cm,

故答案为：8.

(3)解：/秒后，AP=2t,AQ=12-1fPQ=AQ-AP=12-t-2t=12-3t,

・••P为A、Q的巧点

AP=2PQ或尸Q=2AP,或AP=PQ,

当A尸=2尸Q时，2t=2(12-3?),

解得：f=3,

当PQ=2AP时，12-3f=2x2乙

12

解得：f=,

7

当4P=PQ时，12-3r=2t,

,12

At=

解得：5>

1212

...当/为3s或一s或一s时，尸为A、。的巧点.

7S

巩固训练

1.Q3-24七年级上•陕西咸阳•期末)【问题背景】如图，P是线段AB上一点，AB=18cm,C,。两动点分

别从点P,8同时出发沿射线BP向左运动，其中一点到达点A处即两动点均停止运动.

【问题探究】(1)点C,D的速度分别是lcm/s,2cm/s

①若AP=8cm,当动点C,Z)运动了2s时，求CD的长度；

@若经过f秒，点C到达4P中点时，点D也刚好到达B尸的中点，求t的值；

【问题解决】(2)动点C,。的速度分别是lcm/s,3cm/s,点C,。在运动时，总有PZ)=3AC,求AP的

长度.

ACPDR

9

【答案】⑴①8cm；@r=3；Q）cm

2

【知识点】几何问题（一元一次方程的应用）、与线段有关的动点问题、线段中点的有关计算

【分析】本题考查了线段上动点问题、线段中点的有关计算、一元一次方程的实际应用.

（1）①先根据线段的和差计算8尸，再根据运动时间得出CP、BD,然后根据线段的和差即可得出答案;

@先根据运动时间得出。尸=人8。=2%,再根据线段的中点得出AP=2CP,BP=28。，然后根据A8=18列

方程求解即可得出答案；

（2）设运动时间为则尸C=f,8D=3f,得出8O=3PC,再根据线段的和差及等量代换得出尸8=3AP,

从而得出答案.

【详解】（1）①QAB=18,AP=8

,BP=AB-AP=10

QC,。运动了2s

：CP=2,B£>=2x2=4

：CD=CP+BP-BD=2+lQ-4=8cm；

@根据题意得，CP=t,BD=2t

Q点C为4P的中点，点D为8尸的中点

:AP=2CP,BP=2BD

：2/+2x2/=18

=3；

（2）设运动时间为才,则尸

：BD=3PC

QPD=3AC

：PB=PD+BD=3PC+3AC=3（PC+AC）=3AP

19

,\AP=-AB=-cm.

2.Q4-25七年级上•吉林长春•阶段练习）如图，直线/上有A、8两点，A3=6,/上有两个动点尸、。.点

尸从点A出发，以每秒!个单位长度的速度沿直线/向右运动，同时点。从点8出发，以每秒（个单位长度

的速度沿直线/向右运动.设运动时间为，(秒).

APBQC

-------1----------11I____________I/

(1)请用含t的代数式表示线段PB的长.

(2)当点B是线段P。的中点时，求r的值.

(3)运动过程中，点尸和点。能否重合？若能重合，几秒后重合？

(4)运动过程中，线段PQ与线段AQ的长度能否相等？若能相等请求出f值，若不能请说明理由.

【答案】(1］当作12s时,PB=6--t；当f>12s时,PB=-r-6

噌'

⑶能重合，20

(4)r=120s

【知识点】用代数式表示式、几何问题(一元一次方程的应用)、数轴上两点之间的距离、线段中点的有关计

算

【分析】(1)根据题意，点尸每秒;个单位长度，点P运动到点B需要用时间为5+：=12(s),当KI2s时，

f秒过后，点尸运动的路程为1乙结合A8=6,得it+PB=6,得到

22

PB=6-t；当A12s时，f秒过后，点P运动的路程为:f,结合A8=6,^-AB+PB=PA,得至+=

即PB=5-6.

(2)设点尸、。出发f秒钟后，点B是线段PQ的中点.根据题意得到等量关系：8尸=8Q列式计算即可；

(3)假设点P、。出发/秒钟后，点P和点。重合，则AB+8Q=A尸，列式计算即可；

(4)需要分类讨论：当点尸在点。左侧和右侧两种情况下的t的值.

【详解】(1)解：根据题意，点P的速度为每秒1个单位长度，点尸运动到点2需要用时间为

2

6+1=12(s),当T⑵时，/秒过后，点尸运动的路程为丁，

AB=6,

:.-t+PB=6.

7

:.PB=6--t；

当f>12s时，f秒过后，点尸运动的路程为,人

•••AB=6,AB+PB=PA,

:6+PB=lt即lf-6.

22

(2)解：根据题意，点P每秒1个单位长度，点尸运动到点2需要用时间为6+』=12(s),

1

当作12s时，f秒过后，点尸运动的路程为2人

AB=6,

：lt+PB=6

2

.­.PB=6--t•

•・•点。从点B出发，以每秒J个单位长度的速度沿直线/向右运动.

:r秒过后，点。运动的路程为8。=；/,

・・・点B是线段尸。的中点.

.BP=BQ,

解得/=胆

7

即点尸、。出发‘0秒钟后，点5是线段尸。的中点.

7

(3)解：假设点尸、。出发/秒钟后，点尸和点。重合，则A3+3Q=AP,

/11

・\6+—t=­t.

52

解得：t=20；

故点尸、。出发20秒钟后，点P和点。重合.

(4)解：当点尸在点。左侧时，线段PQ与线段4Q的长度不可能相等.

当点P在点。右侧时，设点尸、。出发/秒钟后，线段PQ与线段AQ的长度相等，根据题意，得

n11LM

52I5/

解得：/=120.

当f=120s时，线段P。与线段AQ的长度相等.

【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，线段的中点，线段的和差，数轴，列代数式，解题关键是要读

懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解.

3.(22-23七年级上•江苏宿迁•阶段练习)如图1,已知线段AE=48cm,点、B、C、O在线段上，且

AB:BC:CD:DE=1:2:1:2.

A(E)D

liii।

ABCDEBC

图1图2

(1)BC=cm,CD=cm；

(2)已知动点M从点A出发，以2cm/s的速度沿A-B-C-D-E向点E运动；同时动点N从点E出发，以

lcm/s的速度沿E-O-C-B-A向点A运动，当点M到达点E后立即以原速返回，直到点N到达点A,运

动停止；设运动的时间为J

①求才为何值，线段的长为12cm；

@如图2,现将线段AE折成一个长方形A8C。(点A、E重合)，请问：是否存在某一时刻，以点A、B、

M、N为顶点的四边形面积与以点C、D、M、N为顶点的四边形面积相等，若存在，求出f的值；若不

存在，请说明理由.

【答案】⑴16,8

(2)①⑵或20s或36s；@存在，r=8s

【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、线段n等分点的有关计算、与线段有关的动点问题

【分析】本题主要考查了与线段有关的动点问题，线段等分点的相关计算，列一元一次方程解决实际问题

等知识，解决问题的关键是弄清运动的过程和画出图形.

(1)根据比值列方程或直接列乘积式求得结果；

(2)①分为相遇前，相遇后以及M点返回三种情形，通过线段图列方程求得；@分为相遇前(点M在8c

上，N在AD上)，此时CM=AN即可列出方程求得，当M点返回时，点M在AD上，点N在BC上，止匕

时AM=CN,列出方程求得，

【洋解】I)解：BC=48x--=16cm,CD=48x-=8cm,

故答案是：16,8；

(2)①当M、N第一次相遇时，/=-？—=165,

14-?

48

当M到达E点时，/=一=24s,

7

如图1,

t«2/-------»12—>|

AE

图1

当0<r<16时，2f+12+f=48,

.，"=12,

如图2,

2/12

------------1-

图2

当12</<24时，21-12+/=48,

=20,

如图

3,*一

1^*--------/

图3

当24<f<48时，?=2Z-48+12,

t=36,

综上所述:t=12s或20s或36s；

②如图4,

4(E)N。

BMC

图4

当0<r<16时，

由A7V=CM得，24-27=f,

・"=8,

当24V32时，2f-48=>24,

"=24,此时不构成四边形，舍去

综上所述：f=8s.

压轴题型三几何图形中动角定值问题

例题：Q023秋・湖南怀化•七年级统考期末)已知如图ON是上80c的平分线，是上AOC的平分线,

±AOC=28°,上CO8=42°

(1)求上M0N的度数.

(2)当射线0C在上AOB的内部线绕点。转动时，射线OM、ON的位置是否发生变化？说明理由.

(3)在(2)的条件下，上M0N的大小是否发生变化？如果不变，求其度数；如果变化，说出其变化范围.

【答案】(1)35°

(2)发生变化，理由见解析

(3)不变，上MON=35°

【分析】⑴根据角平分线的定义得出上CON'JIBOC,上COM=-±AOC,进而根据

22

±M0N=上CON+±.C0M=1(ZBOC+ZJOC)即可求解；

(2)根据上AOM=』_b40C,则0c转动时0M同样在动，同理ON也在动；

(3)根据(1)的结论即可求解.

【详解】(1)解：•••ON是上BOC的平分线，0