江苏省苏州市六校2024-2025学年高二年级上册12月联考调研测试数学试卷（解析版）

苏州市2024-2025学年高二年级12月六校联考调研测试

数学试卷

2024.12

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选

项是正确的.

1.在等差数列｛%｝中，已知q=工S3=18,则应等于（）

A.12B.13C.14D.16

【答案】C

【解析】

【分析】根据等差数列求和公式及下标和性质求出。2=6,即可求出公差d,从而得解.

【详解】因为数列｛。“｝为等差数列，所以53=3（4；%）=3g=]8,解得。2=6,

所以公差d=%-4=4,所以为=4+3d=14.

故选：C

4

2.斜率为且经过点（1,-1）的直线方程为（）

A.4x+3y+l=0B.4x+3y-l=0

C.4x-3y-7=0D.4x-3y-l=0

【答案】B

【解析】

【分析】根据直线的点斜式方程求解即可.

4

【详解】所求直线方程为y+l=—§（x—1）,即4x+3y—1=0.

故选：B.

3.已知M是抛物线尤2=4y上一点，尸是抛物线的焦点，NOEM=60°.则|£做|=（）

43

AA.-B.-C.3D.4

32

【答案】A

【解析】

【分析】设河（毛，％），根据NOFN=60°得到相关方程，解出即可.

【详解】由题得F(0,1),准线方程为y=-l,设/(%%)，

根据对称性，不妨假设"点位于第一象限，过点“作轴，

因为NOFM=60。，^\MF\=2\FN\,

则其+(%—1)2=[2(1—%)丁，又因为M是抛物线炉=4》上一点，

则x；=4几,代入上式有4%+(%T)2=[2(1—%)了，解得%=g或3,

显然由图知0＜为＜1,则%=:，则+1=

故选：A

4.设尸是椭圆C：?+y2=i的上任一点，点又(0,2),贝”正闸的最大值为()

A.B.3C.20D.-

【答案】A

【解析】

【分析】运用参数法，结合三角函数求最值即可.

【详解】设点尸(2cos。,sin。),则

|PM|2二4cos之。+（sin。-2）2=4cos2^+sin?。-4sin6+4=-3sin2^-4sin。+8

=-sfsin^+j

228

当sin8=—§时，取到最大值

故选：A.

22

5.已知尸是双曲线上〒—上行=1（。〉0）上的点，耳,且是其左、右焦点，且西•恒=0.若4月的

16。一9a~

面积为18,则。=（）

A.2B.20C.72D.3

【答案】C

【解析】

【分析】利用勾股定理与双曲线的定义可求出忸耳，质|,结合三角形的面积公式可求出。的值.

【详解】由而•三耳=0得度工度,

由勾股定理得=|及同2=（2。16a2+9叶=100标,

由双曲线的定义得|两H阿卜镰，

64a2=附『+隹1_2〔可.陷=]00a2_2用,

所以|两口阿卜18。2,

则APE工的面积为:西，唱=9/=18,

<2>0,解得。=・

故选：C.

【点睛】本题考查焦点三角形面积的计算，涉及双曲线的定义和勾股定理的应用，考查计算能力，属于中

等题.

6.已知圆C:（x—4+0—2a）2=1（。>0）,点｛_2,0）,3（2,0）.若圆C上存在点p使得

NAPB=90°，则a的最小值为（）

1+A/5„—1+A/5C3.63+V5

------D.-------D.

22,~2-2

【答案】B

【解析】

【分析】先转化为两圆有交点，根据圆与圆的位置关系列不等式计算求解得出参数范围即可.

【详解】若NAP5=90°，则点尸在以AB为直径的圆上，即圆/+9=4,即两圆存在公共点尸,

由两圆位置关系可得|«-2|<3+4〃<^+2n<a<上乎

即a的最小值为T+逝,

2

故选:B

7.已知等差数列｛4｝的前〃项和为S..若数列｛2｝满足：对任意的“eN*，都有-1,且

S"=b:,则0n)=()

A.10B.19C.20D.39

【答案】B

【解析】

【分析】根据等差数列通项公式及前n项和公式计算得出四=l,d=2,计算即可求出通项.

=1

【详解】由题设1=-1叫仇=。’

氏=%=4也1

设｛4｝公差为2,由题意知：bn=--c1n+n—1=(1—+d—%—1,

S.=b；由S〃=：“2+,一|_｝=(1-1J〃2+20一1)〃+(1_/一1『，

f=(i-4

3=(1-

由结构特征知：彳n,d

4=,，

d—q—1=0

7—tZj—1=0

d=2

综匕〈.,所以10=〃1+91二19.

m=i

故选：B.

22

8.如图，双曲线C：\—匕=1(。),0)的左、右焦点分别为公,鸟,〃是C上位于第一象限内的一点，且

aa

直线月M与y轴的正半轴交于A点,△AMR1的内切圆在边M耳上的切点为N,若MN=1,则双曲线

C的离心率为(

A.手B.75C.2D.72

【答案】D

【解析】

【分析】设出N|=x,|M|=y,结合对称性与切线长定理可得%=丁+1,再利用双曲线定义即可得。，即

可得其离心率.

【详解】设闺N=羽眼闾=丁，设A6、Ag与AAM6的内切圆切于点尸、Q,

由对称性可得内切圆圆心在y轴上，

结合切线长定理可得出H=|4N=|。闾，=|九刑，

则闺NT居耳=依町=1^^+1晒1，即％=，+1,

故=x+l-y=2=2。，则a=l,

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.已知等比数列｛4｝的前〃项和为S“，公比为4,且满足q=8,a“+i=S〃+c,贝。()

A.4=2

则4+4+…优=1—式不

若优=

B.a

(nT)(aa+1)'

C.c=2

D.若优=养^,则当b也L6“最小时，«=10

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据4=S“-计算即可判断A；分别由通项公式和和公式两个角度计算4+b2即可判断B；

根据等比数列求和公式计算5“即可求解判断C；根据如<1,%>1,得出伪劣L2最小时，〃=10即可判

断D.

【详解】对于A,由。“+1=5“+。,%=571_1+。(〃22)可得。"+1-。"=。"=>an+l=2a“=>-^=2,

an

所以数列｛%｝是公比为2的等比数列

由。3=8,贝ijq=2,a2=4,c1n—2,A正确;

2〃

对于B,b“=

(«„-1)(«„+1)-(2--1)(2"+1))

,2414,1,1414…

则4+Z72=-H=—,1T---=1=—W—,B错快;

123151522+15515

对于C,2"r=2n+1=S+2'所以C=2,C正确;

an2"所以数列他.｝单调递增,

对于D,bn—

20242024

T210

又当〃<10时，0<2=三伪0=<1;

20242024

2"―2112048,

当〃211时，bn-Nhi=---=--->1,

20241120242024

所以当Z?也L%最小时，〃=10,D正确.

故选：ACD.

10.已知点P（0,—2）,Q（0,2）,动点M（x,y）与尸,Q两点连线的斜率分别为勺水2且左（X为常

数)，下列结论正确的有：()

A.若2＜0,则动点M(x,y)一定在椭圆上

B.若几＞0,则动点M(x,y)一定在双曲线上，且双曲线的焦点在＞轴

C.若/l=T,则x+y取值范围是［—石,、后］

D.若几=一1,0为坐标原点，且直线x+y+/=。上存在点A使得NQ4M=30°，则一4夜＜4夜

【答案】BCD

【解析】

【分析】由左/2=4可得丁-/1f=4,再由椭圆以及双曲线定义可判断A错误，B正确，利用椭圆的参数

方程以及辅助角公式计算可得C正确，利用直线和圆的位置关系，由点到直线距离解不等式可得结果.

【详解】由左/2=几可得•匕2=4，即y?_^2=4

XX

对于A,若；l=—1,则点M在圆f+y2=4上，选项A错误

对于B,若几＞0,则点M轨迹为焦点在＞轴上的双曲线，B正确

2

对于C,若4=-4,则y2+4%2=4,即x2+?=i(xwo),

可设点”(cos6,2sin。),

则工+,=0)58+251118=7^8亩(8+9)6［—下,逐］,可得C正确

对于D,当；1=一1时，点M轨迹为*+/=4(%/0),

当04垂直于直线x+y+/=0,月.41/为圆切线时，此时NO4M最大,

此时需满足ZOAM230°，即。4＜4,

+＜4,解得—404/44形，D正确.

由点到直线距离』=

故选；BCD

11.已知直线/经过抛物线。：丁2=2.(〃＞0)的焦点产，且与C交于A3两点，过A,3分别作直线

x=-g的垂线，垂足依次为4,用，若A3长的最小值为4,则下列结论正确的有()

A.\AB\=\AF\-\BF\

B.若AB的倾斜角为60°，点A在第一象限，贝同=3忸同

C.若|A4tl.忸叫=8,则A3的斜率为1

D.若点监N在C上，且通+标+标=0,则|A耳+|"F|+|NF|=6

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据卜目的最小值求得P，利用根与系数关系、向量法、抛物线的定义对选项进行分析，从而确

定正确答案.

【详解】抛物线C:V=2加（0>0）的焦点厂、，°］，

依题意可知直线I与x轴不重合，设直线I的方程为x=my+-^,

由｛一'2消去x并化简得y2—2pmy—/=0,

y=2px

A=4p2m2+4p2>0,设A(Xi，yi),B(>2，y2)，

2

则M+%=2pm,yYy2=-p，

2

yj=p'

%1+x2=m(y1+y2]+p=2pm~+p,xtx2=

'一2P2p~4

2

|AB|=x1+x2+p=2pm+2p>2p,当m=0时等号成立,

所以2夕=4,夕=2,所以抛物线Uy?=以，焦点为F(l,0),

2

对于选项A：由上述分析可知|AB|=X,+X2+p—4m+4,

|AF|-|BF|+-|Yfx2+-|1=(x1+l)-(x2+l)

22

=xj,+%1+x2+1=（+2pm+p+l=4m+4,

所以同=|4+忸可，故A正确；

对于选项B：因为A3的倾斜角为60°，抛物线C：：/=4%的焦点为F（l,0）,点A在第一象限,

设力（久1，%）,8（久2，丫2）>

由直线的点斜式方程可得：直线A3的方程为：J=A/3(X-1),

其与抛物线C：V=4x联立方程组可得：3X2-10X+3=0，

解得\—3,%2~~；

石+5

所以A一F\=——工；+1=3,故B正确;

-+1

My3

对于选项C：设直线AB的方程为：y=fc(x—1)，

其与抛物线C：V=4x联立方程组可得：扰"Q《2+4卜+左2=0,

由韦达定理可得：项+%2=丝三2,西入2=1，

K

所以|A41H5阎=|"卜忸同=(改+1)(9+1)=8,

即XyX2+石+%2+1=8,

所以1+：+1=8,解得左=±1,故C错误；

k2

对于选项D：由衣+赤；+板=0，

得：xA+xM+xN=3xf=3,

所以口典+|MF|+|NF|=4+与+/+弓=6,故D正确;

三、填空题：本题共3题，每小题5分，共15分.

12.已知等比数歹!]｛。“｝满足。4+。8=-3,。5。7=2，则4='

【答案】—行

【解析】

【分析】利用等比数列的通项性质可得城=2,再判断出。4，%的正负，从而可知等比数列｛%｝中偶数项

均为负，从而得出结论.

【详解】因为数列｛«„｝为等比数列，由a5a7=2n%%=2，

所以a：=2,a6-±V2,

由。4+。8=-3<0,。4。8=2〉0,知％，网均为负数，

所以等比数列｛4｝中偶数项均为负，即4=-J5

故答案为：—形.

13.在平面直角坐标系xOy中，已知8,C为圆好+丁=9上两点，点AQ1）,且回工人。，则线段

BC长的取值范围是.

【答案】［4-^,4+72］

【解析】

【分析】设5C的中点为由已知忸。=2|40］,因此可设求出M点的轨迹方程知M点

轨迹是圆，从而易得的取值范围.

【详解】设5C的中点为因为|O5「=|OM「+忸叫2=|0闸2+1AMl2,

所以9=/+y2+（%_1）2+（y_1）2,化简得（X_g）2+（y_g）2=4,

所以的取值范围是［2-曰,2+等］

从而忸C|的取值范围是［4-应,4+0］.

故答案为：[4—J5,4+0].

Y

14.已知双曲线。：J=l(a>0,Z?〉0)的左,右焦点分别为耳,耳，点尸在双曲线C上，且满足

a'—后

耳6•尸耳=0,倾斜角为锐角的渐近线与线段尸耳交于点Q,且耳尸=4QP,则而吉的值为.

I।

7

【答案】一##3.5

2

【解析】

b

【分析】双曲线C的半焦距为C,根据给定条件求出点尸、。坐标，再由点。在渐近线y=-x上求出a,

a

6的关系，然后结合双曲线定义计算作答.

【详解】设双曲线C的半焦距为c,即有耳（-c,0）,鸟（c,0）,

因斗E-W=o,则耳豆，苗,

即直线x=c与双曲线c交于点P,且点尸在第一象限，

\x-CA2—.A2

由<b2x2-a2y2—a2b2得点"6了）’由耳尸二（2c,），

__（3/72、

而辟=c4酬，得二J，

/7hr

代入y=—x得：—,即35=2c,不妨b=2k,c=3k,则a=6上，

a4〃2a

2

AA14IPFI7

故|尸鸟|=一=〒攵，贝iJ|P£|=|PKI+2〃=一左，因此七缶二彳

a，5v5I户户212

7

故答案为：一.

2

四.解答题：本题共5题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知G）C:（x—。了+⑶―匕了=/（0<。<2,>0）与两坐标轴均相切；且过点（2,1）,直线/过点

p(—L1)交圆。于A3两点.

(1)求圆C的方程；

(2)若2S“PAC=S/BC，求直线I的斜率k.

【答案】(1)(x-l)2+(y-l)2=l

【解析】

【分析】(1)分析可知a=Z?=r,结合圆的定义列式求得。=1,即可得圆的方程；

(2)分析可知点A为依中点，根据垂径定理可得圆心C到直线/的距离的平方为进而列式求解即可.

【小问1详解】

由题意知圆心。在第一象限，圆C与两坐标轴均相切，则Q==

由圆C过点(2,1),所以J(a—2)2+(°—1)2=an〃-64+5=o,解得。=1或5,

因为0<a<2,所以a=l,

所以圆C方程为(x—Ip+(y—Ip=1.

小问2详解】

由25外=S-PBC可得2|期=\PB\,即点A为PB中点，

设弦A8中点为E,则CE1AB,

T^|AE|=|-B£'|=m,贝!|卢国=37徨,

在RtA4EC中，由勾股定理得CE,「+m2=|C4|2=]①,

在RSPEC中，由勾股定理得|CE『+(3m)2=|PC|=4②,

联立①②解得=j,即圆心C到直线/的距离的平方为

88

设直线/：y一1二左(％+1),即京一丁+左+1=0,

贝=［半文］=-,解得左=±@5.

1117F7TJ89

16.已知抛物线一丁2=20%(〃>0)的焦点为产，点M在抛物线「上，若△3M的外接圆与抛物线「

9兀

的准线相切，且该圆的面积为一.

16

(1)求抛物线「的方程；

(2)过焦点产的两条直线分别与抛物线「交于A、3和C、D,若A6LCE),求四边形A3CD面积的

最小值.

【答案】(1)姜9兀

16

(2)8

【解析】

【分析】(1)分析可知，△OFM的外接圆半径为亚，结合圆的面积公式求出P的值，即可得出抛物线的

4

标准方程；

(2)分析可知，直线A3、都不与轴重合，设直线A3的方程为》=m>+；(m/0),设点

4(久1，月)、B(久2，治)，将直线A3的方程与抛物线方程联立，列出韦达定理，结合弦长公式求出|人同，同

理得出\CD\,利用基本不等式可求得四边形ABCD面积的最小值.

【小问1详解】

因为点F［'!，。］,所以线段O尸的中垂线为X=(.

即△3M的外接圆圆心在直线x=K上，圆心到准线x=-4的距离为亚，

424

所以的外接圆半径为亚，所以该圆面积兀(2］=%1=电.

44J1616

解得P=l,所以抛物线C的方程为丁=2x.

【小问2详解】

若直线A3与*轴重合，则直线A3与抛物线「只有一个交点，不合乎题意，

所以，直线A3、都不与x轴重合，

所以，直线A3、的斜率存在且都不为零，

易知抛物线「的焦点为设直线A3的方程为x=砂+gw0),

1

联立彳■2可得产一2根>一1=0,A=4m+4>0.

y2=2x

由韦达定理可得%+%=2加，％%=-1

所以|AB|=yjl+m2+%)'-4%%=2(m?+1)，

因为所以可设直线CD方程为x=—工丁+1,

m

用一，代替加可得|CD|=+1

所以S四边…，阴m=2（/+l）J+l=22+。+/422+2心荷=8,

19

当且仅当[二加2时，即当加=±1时，等号成立，即四边形ABC。的面积最小值为8.

m

【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：

一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值;

二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函

数的单调性或三角函数的有界性等求最值.

17.已知双曲线a的离心率e=虚轴在＞轴上且长为2.

2

（1）求双曲线C1的标准方程;

211

（2）已知椭圆。2：2炉+]=1,若43分别是。1，。2上的动点，且求----T-----7的

|OA|2\0B\l

值，以及|4同的最小值.

【答案】⑴--y2=l

2-

(2)1,2

【解析】

【分析】(1)根据题意，利用待定系数法，即可求解;

c受

（2）利用对称性，分别取左=0和左e,0u0,两种情况，利用斜率表示点A3的坐标，并表

Jk7

11

不|Q4|2+|C5|2的值'以及利用坐标表示利用换元，以及基本不等式法求最值.

【小问1详解】

「a2=2c

a2

由题意＜2b=2/=1,所以双曲线G的方程为二—

2.2-

/+62=c1c=3

【小问2详解】

因为双曲线C1的渐近线方程为y=±1x,则直线OA的斜率上e

7

①当上=0时，由对称性，不妨取G右顶点（后,0）,OAJ_O3,点2在y轴上，不妨取（0,、也）

11

此时。=Z贝"西+听=1"=2

、/、

fV20

②当ke[2,0D0,时

7k~T7

y=kx

2

联立直线方程与双曲线C1方程＜X2=>

—-y2=l~l-2k2

I2-

因为Q4_LQB,则直线05方程为y=——%,联立直线0B方程与椭圆C2方程

k

1

2k

2x2+^=l4/+1

2

1111111

-------1-------=-----——十——

所以|O4『|（9B|2x；++竭+|"2-3x：36k2

-12-

1—2左24F+1

上空+尤±L山=i

2k2+22左2+22k-+2

11

综上'104'为7H41

我+|

2+2左22k2+2j__92F+1

AB2=0^+OB2=------V+

l-2k24k2+1-（1-2左2）（4/+1）2~2（1—242）（4左2+1）2

42F+l=/e（l,2）

2k~+l1

所以f+*12怖

贝1J（1-2k1）（4左2+1）--2r+5-2因为viz，

e（l,+oo）92k2+11

（4,+oo）

所以5《_2如）（4/+l）---e

2

所以AB?e（4,+“）,ABe（2,+“），综上ABe[2,+”），

所以AB最小值为2

18.已知数列｛4｝满足q=1，4+an_1=2n-l(n>2).

（1）求数列｛%｝的通项公式;

'an,n=2k-1(k^\

⑵若数列也｝前〃项和为2"DkN*)'求邑…

T111

(3)设(=7=+-/=+…+~/=求［写24］的值（其中［可表示不超过X的最大整数）.

V41出

【答案】（1）4=〃;

,4"-4

(2)rr+---

3

(3)88.

【解析】

【分析】（1）由题设可得4+i-=2,n>2,即数列｛%｝奇数项成等差数列，偶数项成等差数列,

公差均为2,再结合4=1,%=2可得数列｛%｝为以1为首项，1为公差的等差数列，进而求解即可;

n,n=2k-l(k6N")

（2）由题意可得用=<,进而结合分组求和求解即可;

T,n=2k(k^K\

（3）利用裂项相消法与累加法证得88<1+击+丧+…+岛正<89,从而得解.

【小问1详解】

由4+4-1=2〃T,n>2,

a

则n+i+%=2（〃+1）—1=2n+1,

两式相减得。“+1—=2,n>2,

所以数列｛%｝奇数项成等差数列，偶数项成等差数列，公差均为2,

又。1=1,且。2+4=3,即％=2,

所以数列｛%｝为以1为首项，1为公差的等差数列，

则%=l+(ra-l)xl=ra.

【小问2详解】

%〃=2左一1(左eN*)

由题意勿=(，

2",n=2^(yteN)

所以S2"-I=伯+4+…+么"-])+02+d+…-2)

=(l+3+---+2n-l)+(22+24+---+22,,-2)

+4x(1—4"T)之4"-4

+--------

3

【小问3详解】

,111

由(1)知％=〃,贝1J1m>024=1+~~r+~~rI，

&73V2024

得?2『一叫,心

故1〉2(A/^—1),~~r^>2(A/3—A/2),L,I------>2(42025-，2024),

'7A/2V2024

以上各式相加，得1+乙=+-----1/>2(42025-1)=2(45-1)=88.

V2V3V2024

由广〉,左，得[(〃

J1+1—&=-—/eN*------<2+1-左eN*，

4k+l+4k4k+l、'

故《<2(加—1),3<2(6—&),L,-^^<2(72024-72023),

V2V3V2024

以上各式相力口，得■1-----1■,2024<2(0024-1)<2(45-1