江苏省淮安市2022-2023学年高一年级上册期末 数学试题

江苏省淮安市2022-2023学年高一上学期期末数学试题

姓名：班级：考号：

题号——四总分

评分

一'选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.已知集合知={对/<9},N={1,2,3,4,5},则（）

A.{1,2}B.[1,2,3)C.{3,4,5)D.{4,5}

2.命题“V久GR,都有cosx<1”的否定为（)

A.3%ER,使得cos久<1B.ER,使得cosx>1

C.VxeR,都有cosx<-1D.\/xeR,都有cosx>1

3.已知尢CR,若集合M={Lx},N={1,2,3},则'%=2”是“MUN”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过淮安方特、龙宫大白鲸世界、西游乐园三个景点时，甲说：我去过的景

点比乙多，但没去过淮安方特；乙说：我没去过龙宫大白鲸世界；丙说：我们三个人去过同一个景点.则乙一

定去过的景点是（)

A.淮安方特B.龙宫大白鲸世界

C.西游乐园D.不能确定

5.已知771=0.842,4,2

n=log074.2,p=0.7,则加、n、p的大小关系为（）

A.p<n<mB.n<m<pC.m<n<pD.n<p<m

6.我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休

在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数性质，也常用函数解析式来琢磨函数的图象特征，函数/Xx）

瑞翡的部分图象大致为（）

1

7.已知函数/（久）在（0,1）内有一个零点，且求得/（%）的部分函数值数据如下表所示:

X010.50.750.6250.56250.68750.656250.671875

义久）-11-0.3750.1718-0.1308-0.25950.01245-0.06113-0.02483

要使/（久）零点的近似值精确到0.1,则对区间（0,1）的最少等分次数和近似解分别为（）

A.6次0.7B.6次0.6C.5次0.7D.5次0.6

8.已知函数f（%）=eX~^X+ln^1+x2+%）.若不等式f（2久一4久）+/（m-2%-2）<0对VxeR恒成立，则

实数机的取值范围为（）

A.（—oo,2A/2+1）B.（—2^2+1,+oo）

C.（-2V2+1,2V2-1）D.（-oo,2V2-1）

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9.下列结论中正确的有（）

A.若a>b>0,则小>b2

B.若a<b<0,则次>ab>b2

C.若则

a>b>0,a+2bb

D.若a>0,b>0,且a+b=l,则工的最小值为4

ab

10.已知/（%）=/-2%+a有两个零点%1，到，且%1<%2,则下列说法正确的有（）

A.%i>0,x2>0

B.a<1

C.若打尢27。，则5+/+尤1尤2的最小值为2a

11.对于函数/'（X）=sin（3尤+卷），（3>0）,下列结论正确的有（）

A.当3=2时，f（x）的图像关于点兀，0）中心对称

B.当3=2时，-久）在区间（0,引上是单调函数

2

C.若f(无)W/弓)恒成立,则3的最小值为2

D.当3=1时，/(久)的图象可由9(久)=cosx的图象向右平移亨个单位长度得到

12.已知函数y=/(久)是定义在R上的偶函数,对于任意XER,都有/(%+4)=/(%)+/(2)成立.当久C[0,2)

时，/(久)=2、-1,下列结论中正确的有()

A./(2)=0

B.函数y=/(%)在(2,4)上单调递增

C.直线久=4是函数y=/(%)的一条对称轴

D.关于x的方程/(x)=log2|x|+2共有4个不等实根

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

+]。。()，x<2…

13•函数/(%)=%34—X，则加'(-5)]=________.

I3X-1,x>2

14.已知a,b为正实数，满足(a+3b)(2a+b)=6,贝！J8a+9b的最小值为.

15.如图，正六边形48CDET的边长为2,分别以点43为圆心，河长为半径画弧，两弧交于点G,则公，BG

,43围成的阴影部分的面积为.

16.近年来，淮安市依托地方资源优势，用风能等清洁能源替代传统能源，因地制宜实施新能源项目，在带来

了较好经济效益的同时，助力了本地农户增收致富.目前利用风能发电的主要手段是风车发电.如图，风车由

一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为120。，现有一座风车，塔高90米，叶片长40米.叶片按

照逆时针方向匀速转动，并且每6秒旋转一圈，风车开始旋转时某叶片的一个端点尸在风车的最低点(此时尸

离地面50米).设点尸转动。(秒)后离地面的距离为S(米)，则S关于f的函数关系式

为,叶片旋转一圈内点P离地面的高度不低于70米的时长为秒.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明'证明过程或演算步骤.

3

17.（1）已知sina=2cosa,求sina•cosa的值;

2

（2）求值log23，iog9i6+10垃一83-

18.设全集为U=R,集合4={久|log2（——7久）>3},B={x\a+1<x<2a-3}.

(1)当a=6时，求图中阴影部分表示的集合C；

(2)在①(CRA)CB=0；②AnB=B；③AUB=4这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数a的

取值范围.

19.已知函数/■(%)=V^COS(3X+0)(3>0,阿W5)的部分图象如图所示.

（1）求函数/（%）的解析式；

（2）将函数人吗的图象向左平移J个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得

到函数。（犯的图象，若关于x的方程g（X）+a=0在区间［0,1］上有两个不同的实数解，求实数。的取值范围.

20.2022年新冠肺炎疫情仍在世界好多国家肆虐，目前的新冠病毒是奥密克戎变异株，其特点是：毒力显著

减弱，但传染性很强，绝大多数人感染后表现为无症状或轻症，重症病例很少，长期一段时间以来全国没有一

例死亡病例.某科研机构对奥密克戎变异株在特定环境下进行观测，每隔单位时间7进行一次记录，用x表示

经过的单位时间数，用了表示奥密克戎变异株感染人数，得到如下观测数据：

双T)123456

y（人数）636216

若奥密克戎变异株的感染人数y与经过%（%EN*）个单位时间7的关系有两个函数模型y=+n•与y=

k-a\k>0,a>1)可供选择.

（参考数据：&=1.414,遮=1.732,lg2=0.301,lg3=0.477）

（1）判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；

（2）求至少经过多少个单位时间该病毒的感染人数不少于1万人.

5

21.已知函数/(%)=生|螯±£是定义在R上的奇函数，且f(2)=

(1)求函数/(%)的解析式；

(2)判断并证明/(%)在(―2,2)上的单调性；

(3)若存在实数久e[-1,2],使得不等式4/Q)]2—/(久)+1〈血有解，求实数”的取值范围.

22.已知函数/(%)=Inx.

(1)若函数y=/[/(%)]+/(%)的零点在区间(鼠k+1)上，求正整数上的值；

(2)记g(x)=f[(3-d)ex-1]-/(a)-2%,若g(%)<0对任意的%G[0,+8)恒成立，求实数a的取

值范围.

6

答案解析部分

1.【答案】A

【解析】【解答】解：由尤2＜9,解得一3＜久＜3,则集合M={刘—3＜久＜3},N={1,2,3,4,5},

则MCN={1,2}.

故答案为：A.

【分析】解不等式求得集合M,再根据集合交集的定义求解即可.

2.【答案】B

【解析】【解答】解：根据全称量词命题的否定可得：VxER,都有cosx＜1的否定为三久eR,使得cosx＞1.

故答案为：B.

【分析】根据题意，由全称命题的否定为存在量词命题直接写出答案.

3.【答案】A

【解析】【解答】解：当x=2时，集合M={1,2},满足MUN,故充分性满足；

当MUN,x=2或3,故必要性不满足；

所以依=2"是“McN”的充分不必要条件.

故答案为：A.

【分析】根据题意，分别验证充分性、必要性即可判断.

4.【答案】C

【解析】【解答】解：乙说他没有去过龙宫大白鲸世界，则乙可能去过淮安方特或西游乐园；再根据甲说的，

可以推出甲去过龙宫大白鲸世界和西游乐园，则乙只能去过淮安方特和西游乐园中的一个，再结合丙说的，利

用集合交集的思想，即可判断乙一定去过西游乐园.

故答案为：C.

【分析】根据题意分析结合集合的交集思想即可判断.

5.【答案】D

【解析】【解答】解：因为指数函数＞=0.8%单调递减，所以0.8°＞0.842＞0.7九2,所以1＞血＞「＞0,

又因为n=log074.2＜log07l=0，所以n＜p＜zn.

故答案为：D.

【分析】根据题意，由指数函数与对数函数的单调性判断大小关系即可.

6.【答案】A

【解析】【解答】解：函数/'（＞）=漓耘的定义域为R,定义域关于原点对称，且满足/（-久）=亏篝昌=-

湍法=—/（%）,所以函数/（久）=温耘为奇函数，故排除CD；

7

当xe(0,*)时，cos久〉0,sin久>0,故/(%)=2+$也|%|〉依故A正确，B错误.

故答案为：A.

【分析】先求定义域，判断函数的奇偶性，排除CD选项，再求出当久6(0,冷)时，/(%)>0,从而判断B错

误，A正确.

7.【答案】C

【解析】【解答】解：由题意可知，区间(0,1)有一个零点，需要求解;'(0.5),f(0.75),f(0.625),f(0.6875),

“0.65625)的值，然后达到fO)零点的近似值精确到0.1,所以零点的近似解为0.7,共计算5次.

故答案为：C.

【分析】根据题意，结合二分法代入计算，即可求解.

8.【答案】D

【解析】【解答】解：函数/(%)=竺*(旧，+乃的定义域为凡定义域关于原点对称，满足

/(—%)+/(%)=-~7^—+Zn(71+%2—%)+-~---FZn(V1+%2+久)=0+Ini=0,所以函数/(%)=

-~---FInQ1+K2+%)为奇函数，且y(x)=-~---1-1+x2+久)在R上单调递增，

因为f(2x-4X)+f(m-2x-2)<0,所以f(2x-4Z)<-f(m-2Z-2)=/(2-m-2Z),

所以2，一平<2—m2,m-2x<2-2x+4X,所以VxeR,血<巳绥竺=2工+义一1恒成立，

因为2%〉0,所以28+套一12212工义叁一1=2迎一1，所以m<2鱼一1.

故答案为：D.

【分析】先求函数fQ)定义域，再判断函数的奇偶性和单调性，然后根据性质化简不等式，分离参数后得

2,+叁-1,最后结合基本不等式求解即可.

9.【答案】A,B,D

【解析】【解答】解：A、若a>b>0,则。2>房成立，故A正确；

B、若a<bV0,则次>“b,ab>都成立，即小>0力>力2成立，故B正确；

C、由a>b>0结合选项A,(2a+吃潇+2匕)=£<0,即空缥<白成立，故C错误；

a+z/7b(a+2b)b^a+2b)ba+2bb

D、若a>0,b>0,且a+b=l,则RR弓+由①+b)=,+斛2之4,当且仅当、=岑且a+b=1,

即a=b=J时等号成立，故工+1的最小值为4,故D正确.

故答案为：ABD.

【分析】利用不等式的性质判断AB选项；利用作差比较法进行判断C选项；利用基本不等式结合“1”的妙用

进行判断D选项.

8

10.【答案】B,D

【解析】【解答】解：由题意可得：修，到是方程/-2久+。=0的两个不等实根，

则△=(—2>-4a>0=>a<1,由韦达定理可得：x1+x2=2,xIx=a)故B正确；

若a=0,显然满足a<1,此时久i=0,尤2=2，故A错误；

吉+a+久62=?答+%1久24+。，当a<。时，|+«<0,故C错误；

「,zn+n、m2—2m+a+n2—2n+a,7H+TI、2,。，血+九、m2+n2—2mn1,、？

2—=-------------2----------------(^―)+2(^—)-a=--------5-------=4(TH—ri)，，

因为TH7",所以四军@—/(%#)>0今四与@>八%尹)，故D正确，

故答案为：BD.

【分析】根据函数零点的定义，结合一元二次方程根的判别式、韦达定理以及作差法逐项判断即可.

11.【答案】A,C,D

【解析】【解答】解：A、当3=2时，函数/(久)=sin(2久+看)，令久=^兀，解得y=0,所以当3=2时，

函数/(%)的图像关于点(月兀，0)中心对称，故A正确；

B、当a=2时，函数人工)=sin(2尤+看)，xe(0,引时，2%+“/，普)，由正弦函数图象可知，函数/(久)

在区间(0,引上不具有单调性，故B错误；

C、若/(>)恒成立，则无=飘，函数/(久)取得最大值，即触+看=2Mr+f,

kEZ,a>>0,解得3=2+12k,kGZ,所以3的最小值为2,故C正确；

D、当3=1时，函数/■(£)=sin(x+^),将g(x)=cosx的图像向右平移1个单位长度得到

y=cos(x-卜)=cos谶-x)=sin片一谶一*)]=sin(x+1)=/(x),故D正确.

故答案为：ACD.

【分析】根据题意，由正弦型函数的对称性以及单调性即可判断AB选项；由正弦型函数的最值列出等式即可

判断C选项；根据三角函数的图象变换，即可判断D选项.

12.【答案】A,C

【解析】【解答】解：A、因为函数/(%)是定义在R上的偶函数，满足/(%+4)=/(久)+/(2),令％=-2,则

/(2)=/(-2)+/(2),即6—2)=0,所以/(2)=/(-2)=0,故A正确；

B、C、由A知，/(2)=0,则/(久+4)=/(久)，所以函数/(久)是以4为周期的周期函数，结合xe[0,2)时,

/(X)=2X-1,画出大致图象如下：

9

由图象可知，函数y=/(x)在(2,4)上单调递减，直线久=4是函数y=/(x)的一条对称轴，故B错误，C正

确;

D、画出函数y=log2|久|+2的大致图象如下:

由图象可知，函数y=/(x)和y=log2|x|+2有两个交点，所以方程f(x)=log2|x|+2共有2个不相等的实根,

故D错误.

故答案为：AC.

【分析】由/(久+4)=f(x)+/(2),令％=—2可得f(—2)=0,结合函数的奇偶性即可判断A；由f(2)=0

可得/(%+4)=/(久)，即函数/(%)是以4为周期的周期函数，结合题设画出大致图象，由图象即可判断BC；

再画出函数y=log2|x|+2的大致图象，即可判断D.

13.【答案】9

【解析“解答】解：因为函数/⑴所以-5)=W9=3,

故川•(-5)]=/⑶=32=9.

故答案为：9.

【分析】根据函数解析式代值计算求值即可.

14.【答案】12

【解析】【解答】解：因为a>0,b>0,满足(a+3b)(2a+b)=6,所以(2a+6b)(6a+3b)=36,

36=(2a+6b)(6a+3b)<3+6与6a+36)2=(咒9")],则8a+9b212,

当且仅当I。比：鼠/鼠3,即0=卷，b=g时等号成立，故8a+9b的最小值为12.

I(乙a1ou}1ocz.1ou)—DO□j

故答案为：12.

【分析】利用基本不等式求解即可.

15.【答案】^7T-V3

10

ED

【解析】【解答】解：如图，连接G4GB,

___TT

因为正六边形ABCDEF的边长为2，所以线段GA=GB==2,故小GAB为正三角形，则NGB4=NG4B=可

所以△GAB的面积为Si=字x22=旧，

扇形GB力的面积为S2=与x2=g兀，根据图形的对称性可知，扇形GAB的面积与扇形GBA的面积相等，所以

阴影部分的面积S=2S2—Si=1一V3.

故答案为：

【分析】连接G4GB，根据正六边形的性质可得A4BG为等边三角形，求得ZGAB,则阴影部分的面积用扇

形与等边三角形面积表示求解即可.

TT

16.【答案】S=90—40cos"(t20)；4

【解析】【解答］解：(1)由题意，风车中心距地面的高度h=90米，风车半径R=40米，风车转动一圈为

6秒,即周期为6秒,则7=6=曾，解得3=.吗以风车中心。为坐标原点，以与地面平行的直线为工

轴，建立如图所示直角坐标系:

当t=0时，风车开始旋转时某叶片的一个端点尸在风车的最低点，设Po,以0%为始边，0P。为终边的角不妨

取0=_*

那么经过t(秒)后，运动到点P(x,y),所以以。％为始边，0P为终边的角为=-I+可t,

由三角函数定义知y=Rsm(cot+R)=40sin(5t—5),贝1]S=y+/i=40sin(5t—与)+90=90-AOcos^t,

77"

所以S=90-40cos-jt(t>0).

(2)令90—40cos"270,所以cos亚W号,所以2/OT+苓〈亚〈2/OT+孚，kGZ,

所以6k+lWtW6k+5,kCZ.当k=0时，1WtW5,所以叶片旋转一圈内点尸离地面的高度不低于70米

的时长为4秒.

11

故答案为：90-40cos|t(t>0)；4.

【分析】(1)由题意，根据物理意义，结合三角函数定义得S=Rsin(3t+0)+/i,待定系数即可求得S关于。

的函数关系式；

(2)由(1)可知，叶片旋转一圈内点尸离地面的高度不低于70米，即解不等式90-40。。51070求解即

可.

17.【答案】(1)由题意有tana=2

sincrcosa_tana2

则sina-cosa=

sin2a+cos2atan2a+l5,

(2)原式=log23-|log32+2—4=2+2—4=0.

【解析】【分析】(1)由已知条件求得tana=2,再根据弦化切公式以及同角三角函数基本关系化简求解即可;

(2)根据对数运算性质以及对数恒等式求解即可.

18.【答案】(1)由集合A知log?。2—7%)>log28,即％2—7久>8,解得％<—1或%>8,

所以？1=(—oo,-1)U(8,+oo)9当a=6时B—(7,9),

••C=CRBnZ=(-8,-1)U[9»+8).

(2)选择①②③，均可得814

当3=0时，a+1>2a-3,解得a44；

当…时,｛片上2匕3或｛七匕5/，Ma<tC>r即a/

综上所述，实数a的取值范围是(—8,4]U[7,+oo).

【解析】【分析】(1)先解对数不等式求得集合4再根据韦恩图以及集合的交、补运算求集合C即可;

(2)根据条件可得BU4分B=0、BH0讨论列不等式组求参数范围即可.

19.【答案】(1)由图可知±=17=1.因为3>0,所以改=1,3=27r.

ZZ60

[，.11

代入(g,迎)有&COS(2TT・百+R)=鱼=COS(2TT•。+R)=1,

77TT

9+4=2k7i(kGZ)=0=2ku—4(kGZ),

又<^,・・.0=_$/./(%)=V2COS(2TTX

(2)由题意知变换后g(x)=V2COS(TTX+*)

当力€[0,1]时,令t=+^7r],BPh(f)=V2cost>

函数五(七)在te[^,兀]时单调递减，此时h(7i)<h(t)<八(左)=-V2<h(t)<1,

函数九0在te(7T,苧]时单调递增，此时以兀)</I(t)<以苧)=>-V2</i(t)<-1,

12

g(x)+a=0等价于-a=h(t)有两解.

所以当—aC(—应，-1］时符合题意，即a的取值范围为［1,V2).

【解析】【分析】(1)易得4再根据图象结合余弦函数的性质求处结合特殊点求解即可得函数的解析式；

(2)根据余弦型函数图象的变换性质，结合余弦型函数的性质进行求解即可.

20.【答案】⑴若选y=mx2+n,将x=2,y=6和尤=4,y=36代入得｛1黑t：二解得］m~2

得了=!■/—4,代入久=6有y=867216,不合题意.

若选y=k•a*(k>0,a>1)?将久=2,y=6和％=4,丫=36代入得｛j2二枭

解得［击，得y=(通产代入久=6有y=216,符合题意.

(2)设至少需要x个单位时间，则(通)x>10000,即%lgV6>4,

则久•(Ig2+lg3)N8,又lg2=0.301,值3=0.477,

X-0.301+0.477~10-283,，N*，

•••x的最小值为11,即至少经过11个单位时间不少于1万人.

【解析】【分析】(1)将数据代入函数模型进行验证判断哪个函数模型更合适；

(2)根据指数函数、对数函数互化以及对数运算求解即可.

21.【答案】(1):/(久)为定义在R上的奇函数，.../(())=0,则有"=03c=0

由/•(-%)+/(久)=0得嘿竽+笑管=。，，a=0,/(%)=篇

又/(2)=,,•,号=/b-1,/W=%2+4,

(2)任取—2<久］<冷<2,/。1)-，出)=示-曲=］芦)(革4)，

2<<%2<2,.,.%2-%1>0,%1%2-4<0,且xj+4>0,%|+4>0,

(久？一比1)(久1%)—4)八

；•£+；)(若与.V(%i)</(%2),人吗在(—2,2)上单调递增.

(3)由(2)知/(x)在［-1,2］上单调递增，/./