江苏省海安市2022-2023学年高一年级上册期末 数学试题

江苏省海安市2022-2023学年高一上学期期末数学试题

姓名：班级：考号：

题号——四总分

评分

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.已知全集U=R,集合X={%|—1<x<1],则=（）

A.(-1,1]B.(—oo,-1)U[1,+8)

C.[-1,1)D.(—oo,-1]U(1,+8)

2.命题p：%+240”的否定是（）

A.VxGR,%+2<0B.3%GR,%+2>0

C.VxGR,%+2>0D.3%ER,%+2>0

3.式子J(7T_4)2+'(3_")3的值为()

A.7—2.71B.2TT—7C.-1D.1

4.图中实线是某景点收支差额y关于游客量％的图像，由于目前亏损，景点决定降低成本，同时提高门票价

格，决策后的图像用虚线表示，以下能说明该事实的是（）

p是r的充分不必要条件，则q是r的（)

A.充分不必要条件B.充要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

6.将函数y=cos（2尤-5）的图象向左平移卬0>0）个单位长度后，所得图象关于原点对称，则R的最小值为

（）

7.已知函数/(%)=2%+炉,记a=/(20go.32)，b=/(203),c=/(0.32),则()

1

A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.c<a<b

8.已知函数f(x)满足:对任意的非零实数x,y,都八支+y)=(9+9)/(久)f(y)成立"⑴=2.若f⑺=+1),

九y

九eZ,贝！J九二()

A.-3B.-2C.2D.3

二'选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分.

9.若a>b>l>c>0,则()

A.「〉［B.ac>bc

ab

C.logac>logbcD.log±a>\logcb\

10.记无理数e=2.718281828459045…小数点后第n位上的数字为加，则m是关于n的函数，记作m=f(n),

其定义域为4值域为8则()

A.f(5)=8B.函数f(n)的图象是一群孤立的点

C.〃是关于m的函数D.BU4

11.奇函数/(久)与偶函数或久)的定义域均为R,在区间(a,b)(a<b)上都是增函数，则()

A.00(a,b)

B./(久)在区间(―b,—a)上是增函数，g(x)在区间(―b,—a)上是减函数

C./(久)g(x)是奇函数，且在区间(a,b)上是增函数

D./(%)-g(£)不具有奇偶性，且在区间(a,b)上的单调性不确定

12.我们知道，每一个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是y=Asin3k已知某音是由3个不同的纯音合

成，其函数为f(%)=s讥%+^s讥2%+可$讥3%,贝(J()

A.7•(£)是奇函数B.6久)的最小正周期为华

C.fO)在(0,看)上是单调增函数D.f(x)的最大值为年

三'填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知扇形的半径为1cm,弧长为2cm,则其圆心角所对的弦长为cm.

14.在平面直角坐标系、0y中，已知角a的终边经过点P(-1,2),若角S的终边与角a的终边关于

轴对称，则cos(a-TT)COS(^+/?)=.

c

15.已知圆和四边形(四个角均为直角)的周长相等，面积分别为Si，S2,则患的最小值为_______.

32

16.已知函数/(久)=1必5%-第562)在区间得，等)上是减函数，则n的取值集合为.(用

2

列举法表示)

四'解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明'证明过程或演算步骤.

17.已知集合4={%|-2/+7工一3>0},集合B={%|/—£>久+4<0,bER}

(1)若ACiB=(1,3),求b；

(2)若AUB=B,求b的取值范围.

18.已知xG(0,兀).

(1)若/=b,求芍篙的值;

（2）若sin%+cosx=9，求cos2%—sin2%的值.

19.已知函数/■(无)=4sin(3工+0)(4>0,co>0,切<苇)的振幅为2,最小正周期为兀，且其恰满足条件

①②③中的两个条件:

①初相为酎②图像的一个最高点为/，2)；③图像与y轴的交点为(0,V3).

(1)求/(%)的解析式;

（2）若/1（.）=•1，求sin（争—a）—sin2（萼+a）的值.

3

20.设计一个印有“红十字”logo的正方形旗帜/'B'C'D'(如图).要求“红十字”logo居中，其突出边缘之间留空宽

度均为2cm，"红十字”logo的面积(阴影部分)为100cm2s〃的长度不小于ZB的长度.记=FG=CD=EH=

xcm,AH=IF=JC=KH=ycm.

Df

Br

(1)试用工表示y,并求出x的取值范围；

(2)当久为多少时，可使正方形AB'C'D的面积最小？

参考结论：函数/(久)=K+1(k〉0)在(0,源)上是减函数

21.已知函数f(%)是定义在R上的奇函数,其图象经过点4(1,2),B(-2,—4),当％>0时,/(x)=ax2+1-

1.

(1)求a,b的值及/(%)在R上的解析式；

(2)请在区间(-8,-1)和(0,1)中选择一个判断/(%)的单调性，并证明.

22.已知函数/(%)=+%—3,g(x)=x—2+logax.

(1)若a=2,/(m)=m,求自(2血)；

(2)若/(zn)=-l,g(jn)=-1,求zn；

(3)若/(7H)=0,g(71)=0,问：7?1+九是否为定值(与Q无关)？并说明理由.

5

答案解析部分

1.【答案】D

【解析】【解答】解：•.•全集U=R,集合4={久|一1＜久＜1},

•,C(/^4—(—8,—1]u(1,+8).

故答案为：D

【分析】根据补集的定义直接求解即可.

2.【答案】C

【解析】【解答】解：命题p：FKCR,尤+2W0”为存在量词命题，

其否定为'卬久GR,x+2＞0”.

故答案为：C.

【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断即可.

3.【答案】A

【解析】【解答】解：J(兀-4尸+.(3—兀＞=|兀一4|+3—兀=4—兀+3—兀=7—27r.

故答案为：A.

【分析】利用指数幕的运算性质求解即可.

4.【答案】D

【解析】【解答】解：A.当x=0时，虚线y值减小，说明成本提高了，不满足题意，故A错误;

B.两函数图象平行，说明票价不变，不合题意，故B错误；

C.当x=0时，y值不变，说明成本不变，不满足题意，故C错误；

D.当尤=0时，虚线y值变大，说明成本见减小，又.••虚线的倾斜角变大，

说明提高了门票的价格，符合题意，故D正确.

故答案为：D.

【分析】根据直线的纵截距表示成本，倾斜角与门票价格的关系判断即可.

5.【答案】A

【解析】【解答】解：若p是q的必要不充分条件，则q=p,p4q,

p是r的充分不必要条件，则p3r,r#p,

则q今r,r#q,所有q是r的充分不必要条件.

故答案为：A.

【分析】利用题给条件判断q与r的逻辑关系即可.

6.【答案】C

6

【解析】【解答】解：将函数y=cos(2x—苓)的图象向左平移0体>0)个单位长度后，

77"7T

可得y=cos[2(%+卬)-可]=cos(2x+2(p—j),

Vy=cos(2x+2(p-可)关于原点对称，

—=

2(p??+kn9kEZ,・,.0二骂+/，kEZ,

J乙izz

.•.W的最小值为普.

故答案为：C.

【分析】根据条件得到平移后的解析式，由余弦函数的对称性得到2w-3=£+Mr,kEZ,再求出9的取值

即可.

7.【答案】B

【解析】【解答】解：=2*，y=久③在R上单调递增，

=2X+/在R上单调递增，

032

又logo,32<log0,3l=0,1=2°<2-<2】=2,0<0.3=0.09<1,

••f(log()^2')<f(0.32)</(203),'.a<c<b.

故答案为：B.

【分析】判断函数;•(乃的单调性，比较指对数的大小，再结合单调性判断即可.

8.【答案】B

【解析】【解答】解：由题意，可得.(1+n)=(1+J)f(l)y(zi)=*x2f(n),

又/'(n)=f(n+1),.,.写ix2=1,又nCZ,.'.n=—2.

故答案为：B.

【分析】根据条件得到/(I+九)=噜x2/(九)，再结合f(n)=f(n+1)求解即可.

9.【答案】B,C,D

【解析】【解答】解：A.-：a>b>1>O0,：.a-b>0,c>0,

・ccc(b—a),***~<^9故A错误;

^a~b=~ab-<

B.\*a>b>l>c>0,»\ac>bc,故B正确;

C.*.*a>b>l>c>0,Iga>0,lg&>0,Ige<0,且lga-lgb>0,

.../。9"一］。9*=鲁一鲁=鹿儒亮眄>0,：.logac>logbc,故C正确;

1&LtLbu

h

D.\9a>b>l>c>0,/.0<—<1,

a

7

；.logxa-\logcb\=logc^+logcb=Zo^c|>logcl=0,>〃。。冽，故D正确.

—Cv(X「

CC

故答案为：BCD.

【分析】根据条件利用作差法判断ACD；根据幕函数的性质判断B.

10.【答案】A,B

【解析】【解答】解：根据函数的定义可知，定义域4=N*,

对应关系为数位n对应数字7,1,8,2,8,1,8,2,8,

f(5)=8,函数f(n)的图象是一群孤立的点，故A,B正确，

对于C.〃不是关于m的函数，当TH=8时，

n可能为3,5,7,9,不符合函数的定义，故C错误，

VOGB,OiA,，D错误.

故答案为：AB.

【分析】根据函数的定义，结合选项判断即可.

11.【答案】A,B,D

【解析】【解答】解：A.若0e(a,b),为偶函数，

则函数gQ)在(a,0)和(0,b)上的单调性相反，

与函数。(久)在区间(a,b)(a<6)上是增函数矛盾，0(a,b),故A正确；

B.•.•函数/(%)与偶函数g(x)的定义域均为R,在区间(a,b)(a<b)上都是增函数，

根据奇函数和偶函数的性质可知，/(%)在区间(-瓦-a)上是增函数，

g(久)在区间(一七一a)上是减函数，故B正确；

C.令/(%)=—%,gQ)=/,则/(久)。(久)=—久3在R上为减函数，故C错误；

D.设F(久)=/(%)—g(x),其定义域为R,

由题意，可得/(_%)=_/(久),g(-x)=g(x),

则F(-x)=f(-x)-g(-x)=-/(x)-g(x),/(%)-g(%)不具有奇偶性.

,.♦/(久)在(a,b)(a<b)上是增函数，而g(x)在区间(a,b)(a<b)上都是增函数，

则-9(久)在区间(a,b)上是减函数，

=/(%)-g(x)在区间(a,b)上的单调性不确定，故D正确；

故答案为：ABD.

【分析】A.若0e(a,b),根据偶函数的图象性质推出矛盾即可；B.根据奇函数和偶函数图象的性质结合已

8

知条件即可判断；C.举出反例即可；D.根据奇偶函数的定义和单调性的性质即可判断.

12.【答案】A,C

【解析】【解答】解：A./(%)=sinx+^-sin2x+其定义域为R,关于原点对称,

11

又/(—%)=-sinx—2-Sin2x—^sin3x=—/(%)，;・函数/(%)为奇函数，故A正确；

B.函数y=sin%的最小正周期为2my=1^112%的最小正周期为兀，

y-gsin3%的最小正周期为冬，则/(%)=sinx+^-sin2x+gsin3%的最小正周期为2TT,

且/H—=svn(x++-^-si7i2(x+51713(%+

・・・冬不是函数/(%)的周期，故B错误；

C.函数y=sin%,y=*sin2%和y=I'SinB]在(0，看)上为增函数，

则函数/(%)=sinx+|-sin2x+|-sin3%在(0，看)上为增函数，故C正确；

D.函数y=sin%的最大值为1,且当％=5+2上兀，ZcGZ时取最大值，

函数y=*sin2%的最大值为：且当第=今+而，/cGZ时取最大值，

函数y=Jsin3%的最大值为主且当久=枭攀，/CGZ时取最大值，

,3D63

，三个函数的最大值不能同时取到，则/(久)的最大值要小于1+号+*=,，故D错误.

故答案为：AC.

【分析】根据正弦函数的图象和性质，根据选项分别判断即可.

13.【答案】2sinl

【解析】【解答】解：如图，

圆心角乙4。8=a,AB=2(cm),OA=OB=l(cm),

过点。作0C_L4B,。为垂足，

AB=ax1=2(cm)，=2,

贝！JZJ1OC=1,在中，AC=OAsinl=sinl(cm),

9

.♦.其圆心角所对的弦长为2sinl（cm）.

故答案为：2sinl.

【分析】由弧长公式求出圆心角，再求出圆心角所对的弦长即可.

14.【答案】%（或y）；|（或一看）

【解析】【解答】解：角a的终边经过点P（-1,2）,

则等，cosa=1=-电.

若角。的终边与角a的终边关于x轴对称,

则sin/3=—sincr=—,cos/3=cosa=—学，

cos(a—Wcos(>«=(-cosa)X(—sin£)=(一造)x(一2

=5；

若角。的终边与角a的终边关于y轴对称,

则sin/3—since=,cos/?=—cosa=唱

cos(a-7r)cos(^+/?)=(—cosa)x(-sin0)=善x(-2

=一丁

故答案为:%（或y）,|（或-»

【分析】根据三角函数的定义和诱导公式求解即可.

15.【答案】1

71

【解析】【解答】解：四个角均为直角的四边形是矩形，

设长为a，宽为b,周长为C,圆的半径为r,

贝！J271T=C,a+b=],Si=7rr2=,S?—ab，

S〔c?C2c24

二同=2轨.（萼）2=懑=元,当且仅当。=8=亨时，等号成立,

・••2的最小值为生

故答案为：

71

根据条件得到如益,

【分析】四个角均为直角的四边形是矩形，设长为a，宽为b,周长为C,圆的半径为r,

C

再利用基本不等式求出甘的最小值.

16.【答案】｛—3,-2）

【解析】【解答】解：由/（%）在区间弓，等）上是减函数，则”0,且等一旌俞,解得|川44,

VnGZ,An=-4或n=—3或n=—2或？；=—1,

10

当71=-4时,/(x)=-tan(Ax+^'),当(〈,券)时,孚<4%+今<竿，

当4x+*=竽，即％=时，函数无意义，故几=一4不成立.

当n=-3时,/(x)=-tan(3x+J),当得，等)时，居<3%+今<等，

由>=1211%在(普，寺)上单调递增，.•"(%)在区间俏，等)上是减函数，

故n=-3满足题意.

当n=—2时，/(x)=-tan(2x+5),当xe(泉等)时，[<2[+)<兀,

由〉=121%在得，兀)上单调递增，••"(%)在区间得，警)上是减函数，

1NOO

故n=-2满足题意.

当n=-l时，/-(x)=-tan(%+J),当xe/,等)时，等<%+'〈普,

当%+*=*,即％=今时，函数无意义，故n=-l不成立.

故答案为：{一3,-2).

【分析】由正切函数的单调性结合条件得到n<0,由正切函数的单调区间与周期性可得|MW4,再对n的值

进行逐一验证即可.

i

17.【答案】(1)/={%|—2/+7%—3>0}=(2，3),B—[x\x2—bx+4<0,bE/?),

­：AC\B=(1,3),

:.1是方程%2-加:+4=0的一个根，

1-b+4=0

・・・b=5；

(2)・.・4UB=B,则ZUB,

t(l)2.1+4<0)解得一-学

132-3/?+4<0

【解析】【分析】(1)化简集合4根据ZCB=(1,3),得到1是方程/—bx+4=0的一个根，再求出b的

值；

(2)由AUB=B,可得4UB,再根据二次函数的性质列不等式求解即可.

18.【答案】(1)因为久e(0,兀)，所以sin久力0,cosx1>

因为盘＜=8，且1=sin2%_sin2x_sin%sin。

1—cosx'sin2x1—cos2x1—cosx1+cosx

grprSin%_1所以斗常=遮.

所^1+COSX一店

11

(2)将已知等式sin%+cos%='

两边平方得：(sinx+cos%)2=1+2sinxcosx=否,

即2sinxcosx=—<0,

・49

..(sinx—cosx)9z=1—2sinxcosx=否,

V%G(0,Ti),sinx>0,cos%VO,即cos%-sinxV0,

.7

••cosx—sinx=一耳，

•*.cos2%—sin2%=(cosx+sinx)(cosx—sinx)=/x(-()=——•

【解析】【分析】(i)利用1=4'•言求解即可；

1—COSX1-rCOSX

(2)由sin%+cos%=9，求出cos%—sinx=一耳，再求出cos2%—sin2%的值即可.

19.【答案】(1)因为/(%)的振幅为2,最小正周期为m

O-T7-

所以4=2,pjj-=7T(a>>0),即3=2.此时/(%)=2s讥(2%+g).

若满足条件①，则0=*

若满足条件②,则呜)=2,即s皿争+@)=1,

所以■^+9=*+2/OT,kEZ,即卬=—看+2/CT,kEZ,

又|0|<£所以⑴=一强

若满足条件③，则-0)=遮，即s仇0=孚，

又|创<p所以0=*

因为f(x)恰满足条件①②③中的两个条件，所以只能满足条件①③.

-JT

此时/(%)=2s讥(2%+可).

(2)因为由(1)知,sin(a+J)=|.

又因为sin2(a+y)+cos2(a+^)=1,

所以cos2(a+^-)=1—(-|)2=芸.

原式=sin[n—(a+j)]-sin2[j+(a+1)]

TC7TC

—sin(a+@)-cos(a+g)

_3_16__J_

=5-25="25,

12

【解析】【分析】(1)由振幅和周期得出43,再分别讨论①②③得出/(久)的解析式；

(2)由平方关系得出cos2(a+^),再利用诱导公式求解即可.

20.【答案】(1)由题意可知:4xy+x2=100=>y=勺—*，

因为的长度不小于AB的长度，

所以丫2久=在一3?久=至2学，v%>0=>%2<20=>0<%<2V5»

'x4x4x4

即y=§—左,0<X<2V5；

(2)设正方形A'B'C'D'的面积为S,

所以S=(%+2y+4)2,要想正方形A'B'C'D'的面积最小，只需久+2y最小，

,,25x、I,1100、

久+2ny=x+n2z(〒-4)=2(久+丁>

因为函数/。)=%+¥在(0,10)上是减函数，

所以函数f(x)=%+¥在［0,2通］上是减函数，

因此当x=2逐时，/'Or)有最小值，即％+2y有最小值，因此正方形Z‘B'C'。'的面积最小.

【解析】【分析】(1)根据面积列出等式，用久表示y,并求出工的取值范围即可；

(2)根据题意得到Z‘B'C'。'面积表达式，结合(1)的结论和题中所给函数的单调性求出最值即可.

21.【答案】(1)因为/(久)的图象经过点4(1,2),B(-2,—4),所以/(1)=2,/(—2)=—4.

因为/(%)是定义在R上的奇函数，所以/(一0)=—/(0)，/(—2)=—/(2),

所以/(0)=0,/(2)=4.

fa+b-1=2,((2=1,

所以i解得；

(4。+9—1=4,(b=2.

所以当久〉0时，/(%)=x2+^-l.

当x<0时，—%>0,所以/(—%)=(—久)2+告—1=—/(%),所以/(%)=—/+］+1.

—xH----F1,%<0,

x

所以，/(%)在R上的解析式为人%)={0,久=0,

02

xH------1/%>0.

Ix

(2)①若选择区间(—8,-1),则/(%)在区间(―8，—1)上是单调递增.

证明：设％1，应为区间(-8,-1)上的任意两个实数，且久1<%2.

则fQi)-/3)=(一£+9+1)-(一片+2+1)

1X1zx2

13

=(工2一K1)。2+久1)+

=3,产+?)产+2,

X2X1

因为％1，所以％i+》2<—2,%i%2>1，％2-11>。，

于是(%2++2V0,故f(%l)—/(%2)V。，即f(%l)Vf(%2)，

所以/(%)在区间(-8,-1)上是单调递增；

②若选择区间(0,1),则/(久)在区间(0,1)上是单调递减.

证明：设X1，久2为区间(0，1)上的任意两个实数，且无1<久2.

则/(%1)-/(久2)=(好+怖+1)一((+0+1)

1X1'%2