江苏省“决胜新高考”2025届高三年级上册12月联考数学试卷（含答案）

江苏省“决胜新高考”2025届高三上学期12月联考数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知集合M=｛久|/一2乂一3<0｝,N=（x\x2-a<0｝,若集合MnN=N,则实数a的取值范围是（）

A.（―8,1]B.（―8,9]C.[1,9]D.[1,3]

2.“数列｛10g3an｝是等差数列”是“数列为等比数列〃的（）条件

A.充分不必要B.必要不充分C.既不充分也不必要D.充要

3.高路公路管理部门在某一测速点，测得100辆车辆的速度（单位：krn/h）并汇总整理车速数据如下表，根

据表中数据，下列结论中正确的是（）

车速[70,80)[80,90)[90,100)[100,110)[110,120)[120,130]

频数61218302410

A.100辆车的车速的中位数小于100km"i

B.100辆车中车速低于110kzn/h的车辆所占比例超过80%

C.100辆车的车速的极差介于40/OTI/九至60/wi/h之间

D.100辆车的车速的平均值介于80kni/至100/OTI"之间

S7=S]2,a[=（）

4.记％为等差数列｛加｝的前？i项和.已知a5=5,则

A.10B.9C.-9D.-10

5.已知正四棱台ABCD-4/1的。1，AB=4,4/1=2,二面角21一BC-4的正切值为2,则正四棱台

ABC。一必当的名的体积为（）

A.yB.56C.12<5+20D.12y/~5

6.已知P为抛物线C：V=4久上的一动点，过P作y轴的垂线，垂足为B,点Q是圆A/+（y-4门）2=1上

的一动点，则|PQ|+|PB|的最小值为（）

A.8B.7C.6D.5

7.已知函数〃久）=“今[<仇的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围为（）

XfXU

A.（―8,e）B.（―8,?2）C.[0,e）D.[0,e2）

8.在平面直角坐标系KOy内，将椭圆C:各'=l（a>b>0）绕原点。旋转得到椭圆G：/+y2一肛=6,

点是椭圆Q上任意一点，则下列说法错误的是（）

A.椭圆G的对称轴为y=±xB.zn+n的最大值为2，石

C.椭圆G的离心率为当D”的最大值为2度

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知z「z26C,下列说法正确的是()

A.若㈤=|z2|,则燹=zf

B.若Z1Z2=O则Zj_,Z2中至少有一个为0

C.zZ=|z/2

1

D.若|zi|=l,\z2\=1,ki-Z2I=1>贝J|z】+Z2I=C

10.已知函数/'(久)=COSK-sinx+x-J，则下列选项正确的是()

A"(x)的图象关于点弓,0)对称

B.］是“X)的极大值点

C.f⑺在久=0处的切线方程为y=1-J

D1(x)在区间年,沿上单调递增

11.某高校甲、乙两个班级举行团建活动，在活动中甲、乙两个班各派出由6人组成的一支队伍参加一项游

戏.甲班的队伍由2个女生和4个男生组成，乙班的队伍由4个女生和2个男生组成，为了增加游戏的趣味

性，先从甲班的队伍中抽取一名同学加入乙班的队伍，以必分别表示由甲班队伍中抽出的是女生和男

生;再从乙班的队伍中随机抽取一名同学加入甲班的队伍，以8表示从乙班队伍中抽出的是女生，则下列结

论正确的是()

A.事件&与事件42互斥B.事件4与事件B相互独立

413

C.P(B|X2)=iD.P(B)=^

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知sin(a+S)=：,=5,贝！Jsin(a—夕)=.

13.设&,&是双曲线C:捻—，=l(a>0,6>0)的左、右焦点，点2是C右支上一点，若AaFiF2的内切圆

的圆心为M,半径为a,且存在AeR,使得前+2两'=4两，则C的离心率为.

14.某校100名学生军训时进行队列训练，规则如下：从左到右按照序号1至100排列，进行1至2报数，报

到2的同学向前一步;把向前走一步的50位同学从左到右按照序号1至50排列，进行1至2报数，报到2的同学

向前一步;把向前走一步的25位同学从左到右按照序号1至25排列，进行1至2报数，报到2的同学向前一步；

依次类推，直到剩下一位同学为止.问走到最前面的同学第一次的序号是号，如果这位同学把每次的

序号记住，则这位同学的所有序号之和是.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

记AABC的内角a,B,C的对边分别为a,b,c,面积为S,己知/=2S+abcosC.

(1)求力；

(2)若8C边上的高为1且3bcosC=ccosB,求△ABC的面积S.

16.(本小题15分)

已知函数/'(x)=x—^―21nx(aER).

(1)己知/(x)在x=3处取得极小值，求a的值；

(2)对任意xN1,不等式x-?-21nx-1+aN0恒成立，求a的取值范围.

17.(本小题15分)

记％为数列｛an｝的前71项和，且4sli=3an+4.

(1)证明：数列｛Sn-1｝为等比数列；

(2)求数列｛(一1尸-1•华｝的前几项和；

⑶数列也｝的前几项和为加且源=媒生炉(几€*)，求证：)

n^n-riJd/i-i-21乙

18.(本小题17分)

如图，在直四棱柱48CD中，4411平面4BCD,ADLAB,BC1CD,其中4B=AD=合，

AA1=2^5,P是ZQ的中点，Q是的中点.

4!----------------

C

B

(1)求证：〃平面CBiQ;

(2)若异面直线BC,BiQ所成角的余弦值为苧，求二面角Bi-CQ-D的余弦值.

19.(本小题17分)

已知椭圆C:^+,=l(a>b>0)过点(后苧)，且离心率为等.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)已知动圆M与椭圆C相交于4,B,C,D四个不同的点，直线AB,CD相交于点P(4,m),记直线ZB,CD

的斜率分别为后，k2.

①比较|P4|•|PB|与|PC|•|PO|的大小(不要给出证明);

②试问七+6是否为定值，如果为定值，求出定值;如果不为定值，请说明理由.

参考答案

1.71

2.4

3.C

4.B

5.B

6.D

1.D

8.C

9.BCD

1Q.AC

U.ACD

1

z

3-

13.2

14.64；126

15.解：(1)丁b2=2S+abcosC且SAABC=5absinC,

・•.b2=a/j(sinC+cosC)即b=a(sinC+cosC),

由正弦定理得，sinB=sin/(sinC+cosC),

•・•sinB=sin(>1+C)=sirL4cosc+cosZsinC,

•••sin/sinC=cosAsinC,

又在ZL4BC中，AG(O,TT),CE(O,TT),贝！Jsin/>0,sinC>0,

•••sinA=cosA,即tanA=1,

a71

•••A=-.

4

(2)3/?cosC=ccosBn3sinFcosC=sinfcosB=3tanB=tanC,

在44BC中，作Z”IBC于高H,Z”为BC边上的高，贝=1,

设CH=x,BH=a-x,则士=工=4x=a,则CH=gBH=当,

•在Rt/ABH中，tan/BAH=铝=当，在RtzMCH中，tan/C力H=%=?，

AH4AH4

tanz.BAH-^-tanz.CAHa

且1=tanZ.Bi4C=tan(Z-BAH+Z-CAH)

1-tanz.BAH-tanz.CAH1-^a2

•••^a2+a-1=0(a>0),解得。=一叱”,

C1ATT1-4+2W

^AABC=2XBCXAH=-CL=-•

16.解：(1)因为/(%)=%—2—21n%,定义域为(0,+8),

所以.(%)=1+A_|=Nq+a,

因为/(x)在工=3取得极小值，

所以((3)=话±£=0,所以a=_3,

检验：f(x)=比+|-21n久，定义域为(0,+8),/(%)=1-^-|=十二=(〜3譬+1)

列表如下，

X(0,3)3(3,+oo)

f'(X)—0+

/(X)单调递减极小值单调递增

所以a=-3符合题意;

(2)因为久~~~21nx-1+a>0对V%G[1,+8)恒成立,

所以令g(%)=x―三―2lnx—1+a,xE[1,+oo),

，/、.,a2%2—2x+a(x—l)2+a—1

g^=l+^--=—^=---,

①Q-1N0即@之1时，g'(%)N0恒成立,g(X)在[L+8)单调递增,

所以g(%)>g(l)=0>0恒成立；

②a—1<0即a<1时，gJ(x)=0,得x=1+V1—a,

X1(1,1+V1-CL)1+V1—a(1+V1—a,+8)

“(久)CL—1—0+

g(x)0单调递减极小值单调递增

所以gQ)min=g(i+，1一a)<g(i)=o,与题意不符，舍去.

综上所述aG[1,+8).

17.(1)证明：?4Sn=3azi+4(J),

4s九+i=3an+1+4②，

(D—①得,4sli+i-4szi=4an+1=3a九+i—3a九,即％i+i=-3a九,

又当n=1时，4sl=4al=3al+4n%=4,

・•・是首项为4,公比为-3的等比数列，

斯=4•(一3)所】，Sn=当圭罗=1-(-3)",

n+1nn+2n+1

Sn-1=一(一3严=(-l)-3,Sn+1-1=(-l)-3,

•••当兀=1时，&-1=3力0,=一3,

Dn1(—1)J

・・・｛Sn—1｝首项为3,公比为—3的等比数列.

(2)解：由(1)得即=4•(―3)"T,数列｛(—l)nT•等｝的前几项和为“小

.吧_.4n(3)相_n^n-l；

12n2n-1

Mn=1-3°+2•3+3•3+•••+(n-1)-3-+n-3③，

n

3Mn=1•31+2・32+…+(n—2)•3"-2+(n-1)-3"T+n-3©,

③一④得，-2Mn=1•3°+3]+32+…+3nT一展3"=暑一展3n=一^+弓一九)3”,

111n

••-Mn=i+(|n-i)-3,

.・•数列｛(-l)nT­等｝的前n项和为*+(1n-♦3n.

(3)解：•.•数列｛g｝前ri项和为七，%=需著电，new*,

n(n-]-i)-an+2

_(-l)n+1(2n+3)111_111

bnn+1n[][nn+1]

"~n(n+l)4(-3).4-3n-3(n+1)-4n-3-(n+1)-3

_1111111

++

^=4[T73-^2^2-^3-+^-(n+1).3„+i]

=lrl_1]=±_]v±

-4L3(n+l).3n+1J-124(n+l)-3n+112'

1'-Tn＜今得证.

18.解：(1)取B,C中点M,连接MQ,PM,在直四棱柱ABCD中，

1

•••Q是DDi中点••・DrQ//CG,DiQ=/G,

•••P是B]C中点，“是中点，

PM//CG,PM=：CG•••PrQ//PM,PrQ=PM,

四边形PMQA是平行四边形,

•••DrP//MQ,D/C面8CBQ1，MQu面BCB&i，

D]P〃平面CBiQ；

(2)连接GQ,设8c=BG=x,连接B/i，

异面直线BC,BiQ所成余弦值即直线/Qi，BiG所成余弦值，

在直四棱柱ABC。一a/iGA中，DiQ1面44的。1，

B1D1c[I]X151C1D1B/i1IQ,

,•,在Rt/ZiBiDi中，4[Bi=A1D1=V2,且力iB11

・•.B]D]=2

•••。为DDi中点，SLDDX=2/5,

二在Rtd/DiQ中，BD]=2,D-^Q—B1Q—V4+5=3,

CC11面4/1GD1，BlClu面&B1GD1，CC11B1G，

又BlCl1C1A，CC「CMU面CDD1G，B1C1C面CDDiQ,

BiG1面CDDiG，又•••CiQu面CDDiG，B±Q1CrQ

.•.在RMBiQG中,COSNGZQ=靠=>苧,

,*•x—73,

连接BD,取其中点0,连接Z。，0C连接J4其中点。「连接4。2，0G连接。。1，建立以。为原点的空间

直角坐标系。一xyz,

0(000),/(1,0,0),8(0,1,0),。(0,-。,0),4式1。2")，8式0,1,2怖)，

。1(0产1,2四,C(一年，曰|,0),

6(一?,一，24)，(2(0,-1,75)

设面BiCQi的法向量近=(刈月0)，面DCQ的法向量底=(%2，丫2*2)，

一一V33

n2=BC=(—2-,—2

率=(-苧,一?,一2四,布=(0,一2,一四，

一苧X1一|%-2<^Zi=0,-2y1-y/-5z1=0,%]=苧%，z]=一等y「

yr=，15时，五=(5^/^5,V15,—2V^)

nj-nj_-|AAT5-|AAT5—4715_-AAT90

cos<n^,nJ>=

同同/3-/152—19

由题意可得二面角Bi-CQ-。的余弦值为二翟

19.解：（1）•.•椭圆C：^+，=1过点（门苧），且离心率为净，2设焦距为2c（c>0）,

r"且一1

混十/一上

(a=32

a2=b2+c2b=1，椭圆C的标准方程为"+