沪教版八年级数学下册 第二十章 一次函数（7个知识归纳+20类题型突破）（原卷版）

第二十章一次函数（7个知识归纳+20类题型突破）

要求

i.掌握一次函数的概念、图象与性质；

2,掌握一次函数与方程、不等式之间的关系;

3.掌握一次函数的实际问题的解决；

基础知识归纳

知识点1:函数

一般地，在一个变化过程中.如果有两个变量％与y,并且对于％的每一个确定的值，y都有唯一确定

的值与其对应，那么我们就说》是自变量，y是x的函数.

y是％的函数，如果当》=。时丁=人，那么匕叫做当自变量为。时的函数值.

函数的表示方法有三种：解析式法，列表法，图象法.

i.在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量称之为常量。

2.一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y,并且对于x的每个确定的值，y都有唯一确定的

值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。如果当x=a时，y=b,那么b•叫做当自变量的值为

a时的函数值。

3.一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面

内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象。

画函数图像的步骤：

第一步：列表。在自变量取值范围内选定一些值，通过函数关系式求出对应函数值列成表格。

第二步：描点。在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应函数值为纵坐标，描出表中对应各点。

第三步：连线。按照坐标由小到大的顺序把所有点用平滑曲线连结起来。

知识点2：一次函数的概念

一般地，形如,=丘+匕（左，人是常数，k#0）的函数，叫做一次函数.

要点诠释：当b=0时，,=丘+人即y=依，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.一次函数的

定义是根据它的解析式的形式特征给出的，要注意其中对常数左，b的要求，一次函数也被称为线性函数.

一次函数有三种表示方法，如下：

1、解析式法

用含自变量X的式子表示函数的方法叫做解析式法。

2、列表法

把一系列x的值对应的函数值y列成一个表来表示的函数关系的方法叫做列表法。

3、图像法

用图象来表示函数关系的方法叫做图象法。

知识点3：一次函数的图像与性质

1.函数,=丘+匕（左、b为常数，且左W0）的图象是一条直线；

当b>o时，直线丁=丘+人是由直线y=区向上平移匕个单位长度得到的；

当匕<0时，直线，=丘+〃是由直线y=丘向下平移力I个单位长度得到的.

2.一次函数丁=丘+人（左、匕为常数，且左W0）的图象与性质:

解析式y=fa+i（化为常数，且krO）

自变量

全体实数

取值范围

过（0,3）和（-（,0）点的一条直线

形状

k、bk>0k<0

的取b>0b<02?>0b<0

值

上

图。央

不意

象*

IV

图0b卜

戊>0,6<0，*<0.6>0»

经过一、二、三经过一、三、四经过一、二、四经过二、三、四

位置

象限象限象限冢限

趋势从左向右上升从左向右下降

函数

1y随x的噌大而噌大1y随x的噌大而减小

变化规律

3.k、匕对一次函数y=卮+b的图象和性质的影响：

左决定直线?=履+人从左向右的趋势，Z?决定它与y轴交点的位置，k、b一起决定直线y=经

过的象限.

4.两条直线/1：丁=左述+々和心，=&》+4的位置关系可由其系数确定：

（1）《彳&O’l与‘2相交；（2）%=h,且4/4O4与4平行；

直线y=kx+b的图象和性质与k、b的关系如下表所示：

k>0,b>0：经过第一、二、三象限

k>0,b<0：经过第一、三、四象限

k>0,b=0：经过第一、三象限（经过原点）

结论：k>0时，图象从左到右上升，y随x的增大而增大。

k<0,b>0：经过第一、二、四象限

k<0,b<0：经过第二、三、四象限

k<0,b=0：经过第二、四象限（经过原点）

结论：kvO时，图象从左到右下降，y随x的增大而减小。

总结：

1、y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k。

即：y=kx+b（kr0）（k不等于0,且k,b为常数）。

2、当x=0时，b为函数在y轴上的交点，坐标为（0,b）o

当y=0时，该函数图象在x轴上的交点坐标为（-b/k,0）o

3、当b=0时（即y=kx）,一次函数图象变为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。

4、函数图象性质：当k相同，且b不相等，图像平行；

当k不同，且b相等，图象相交于Y轴；

当k互为负倒数时，两直线垂直。

5、平移时：上加下减在末尾，左加右减在中间。

知识点4：待定系数法求一次函数解析式

一次函数丁=履+匕（左，b是常数，左W0）中有两个待定系数乱b,需要两个独立条件确定两个关于左,

b的方程，这两个条件通常为两个点或两对无，y的值.

要点诠释：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而具体写出这个式子的方法，

叫做待定系数法.由于一次函数丁=丘+匕中有左和人两个待定系数，所以用待定系数法时需要根据两个条

件列二元一次方程组（以左和匕为未知数），解方程组后就能具体写出一次函数的解析式.

分段函数

对于某些量不能用一个解析式表示，而需要分情况（自变量的不同取值范围）用不同的解析式表示，

因此得到的函数是形式比较复杂的分段函数.解题中要注意解析式对应的自变量的取值范围，分段考虑问

题.

要点诠释：对于分段函数的问题，特别要注意相应的自变量变化范围.在解析式和图象上都要反映出自

变量的相应取值范围.

知识点5：一次函数与方程

用函数的观点看方程、方程组、不等式

函数问题

方程（组）、不等式问题

从“数”的角度看从“形”的角度看

求关于％、y的一元一次确定直线丁=以+）与x轴

x为何值时，函数丁=以+》的

方程ax+Z>=0（aWO）

（即直线y=o）交点的横坐

的解值为0?

标

求关于x、y的二元一次

x为何值时，函数y=。逮+4与确定直线y=%x+4与直线

fy=a1%+右，

方程组'的解.

[y=a2x+b2.函数y=。2%+4的值相等？y=a2x+b2的交点的坐标

求关于X的一元一次不等确定直线y=ox+）在x轴

X为何值时，函数y=«x+b的

式砒+匕>0（。#0）的

（即直线V=0）上方部分的

解集值大于0?

所有点的横坐标的范围

一次函数与一元一次方程的关系

一次函数,=区+人（左wo,匕为常数）.当函数y=o时，就得到了一元一次方程H+b=o,此时

自变量》的值就是方程区+b=o的解.所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为o时,

求相应的自变量的值.

从图象上看，这相当于已知直线,=丘+人（.kwo,匕为常数），确定它与％轴交点的横坐标的值.

一次函数与二元一次方程组

每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于

考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确

定两条直线交点的坐标.

要点诠释：

1.两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图

象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两

313x=3,_

个一次函数的图象的交点.如一次函数丁=-2*+4与丁=一》——图象的交点为(3,-2),贝叶C就是

227=-2

y=-2x+4

二元一次方程组1313的解.

y=—x--

122

2.当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函

数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.如二元一次方程组

\无解，则一次函数y=3x—5与y=3x+l的图象就平行，反之也成立.

3x-y=-1

3.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立.

方程组解的几何意义

1.方程组的解的几何意义：方程组的解对应两个函数的图象的交点坐标.

2.根据坐标系中两个函数图象的位置关系，可以看出对应的方程组的解情况：

根据交点的个数，看出方程组的解的个数；

根据交点的坐标，求出(或近似估计出)方程组的解.

3.对于一个复杂方程组，特别是变化不定的方程组，用图象法可以很容易观察出它的解的个数.

知识点6：一次函数与一元一次不等式

由于任何一个一元一次不等式都可以转化为at+匕>0或+或+或砒+Z>WO(a、b为常

数，的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数y=ax+b的值大于0(或小于0或大

于等于0或小于等于0)时求相应的自变量的取值范围.

要点诠释：求关于x的一元一次不等式砒+匕>0(々WO)的解集，从“数”的角度看，就是％为何

值时，函数y=ax+匕的值大于0?从“形”的角度看，确定直线丁=。％+6在X轴(即直线y=0)上方

部分的所有点的横坐标的范围.

ax+b>cx+d(a/c,且acHO)的解集=y=依+)的函数值大于y=cx+d的函数值时的自

变量了取值范围Q直线y=ax+b在直线y=cx+d的上方对应的点的横坐标范围.

知识点7：一次函数的平移

将函数向上平移n格，函数解析式为y=kx+b+n,将函数向下平移n格，函数解析式为y=kx+b-n,将

函数向左平移n格，函数解析式为y=k(x+n)+b,将函数向右平移n格，函数解析式为y=k(x-n)+b。

平移时：上加下减在末尾，左加右减在中间

重要题型

题型——次函数的概念

._________Q

1.（2024上•甘肃兰州•八年级统考期末）下歹U各式①y=j2x+3；©y=--,③y=-8x；©y=-9x2+l；⑤

X

y=0.5x-3,是一次函数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

31

2.（2023上•江西吉安•八年级校联考期中）下列函数①'=-5无；②y=-2x+l；③}-二；©y=l--x-⑤

w2

y=kx+b.⑥y=d-l中，是一次函数的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

巩固训练：

1.（2021下•上海宝山•八年级校考期中）下列函数中，是一次函数的是（）

A.>=-+1B.y=-2x

X

C.y=kx+b（左、8是常数）D.y=x2+2

2.（2022下•上海•八年级专题练习）以下函数中y是％的一次函数的有个.

13

（1）y=2x2+x+1；@y=2/rx；（3）y=—；④）y=；⑤y=l—⑥y=2x.

%4

3.（2023下•上海•八年级专题练习）下列函数中哪些是一次函数，哪些又是正比例函数？

（1）y=-8x；（2）y=—；（3）y=5x2+6；（4）j=-O.5x-l.

X

题型二根据一次函数的定义求参数

3.（2023上•安徽蚌埠•八年级统考阶段练习）己知一次函数>=履+6的图象经过3（%，%）两点，

且当4=3+%时，为=%-1,则人的值为（）

A.—3B.3C.—D.

33

4.（2023下•辽宁葫芦岛•八年级统考期末）若函数y=（a-2）/Z+4是一次函数，则〃的值为（）

A.-2B.+2C.2D.0

巩固训练

1.（2023下・上海•八年级专题练习）已知函数y=（〃?+3）x+2是一次函数，则相的取值范围是（）

A.m。一3B.C.mwbD.m手3

2.（2021下•上海闵行•八年级校考期中）如果函数y=（机-2）x-l是一次函数，那么小的取值范围为.

3.（2023下•上海•八年级专题练习）已知y=（m-2卜+忸-2.

（1）机满足什么条件时，y=（m-2）x+同-2是一次函数？

（2）机满足什么条件时，y=（m-2）x+同-2是正比例函数？

题型三求一次函数自变量或函数值

5.（2023上•广东佛山•八年级校考阶段练习）下列各点中在直线，=-5彳-1上的是（）

A.（0,0）B.（1,6）C.（-1,4）D.

6.（2023上•吉林长春•九年级校考阶段练习）描点法是画函数图象的主要方法，一般有三个步骤：列表、描

点、连线.小明同学在画一次函数的图象时列出了如下表格，小颖看到后说有一个函数值求错了.这个错

D.5

巩固训练

1.（2023下•上海•八年级专题练习）下列各点中，在函数＞=-3尤+2上的是（）

A.（1,5）B.（-2,4）C.（2,-3）D.（1,-1））

2.（2021下•上海长宁•八年级校考期中）已知一次函数〃x）=3x-l满足八"）=5,则4=.

3.（2023上•上海松江•八年级统考期中）定义：对于给定的两个函数，当xNO时，它们对应函数值相等;

当x<0时，它们对应的函数值互为相反数.我们称这样的两个函数互为相关函数.

-x(x>0)

例如：正比例函数y=-x,它的相关函数为y

x(x<0)

⑴已知点M（-UW）在正比例函数y=-x的相关函数的图象上，则根的值为,

⑵已知正比例函数y=2x

①这个函数的相关函数为；

②若点N（〃,3）在这个函数的相关函数的图象上，求n的值.

题型四列一次函数解析式并求值

7.（2022下•八年级单元测试）一段导线，在0℃时的电阻为2欧，温度每增加FC,电阻增加0.008欧，那

么电阻R欧表示为温度/℃的函数关系为（）

A.7?=-1.992f+2B.R=0.008t+2C.R=2.008/+2D.R=2t+2

8.（2021下•天津和平•八年级校考阶段练习）一次函数y=ax-a+3（ax0）中，当x=l时，可以消去。，求

出V=3.结合一次函数图象可知，无论“取何值，一次函数、=G-。+3的图象一定过定点（1,3）,则定义像

这样的一次函数图象为“点旋转直线”•若一次函数y=（。-3）x+a+3（ow3）的图象为“点旋转直线”，那么它的

图象一定经过点（）

A.（1,3）B.（-1,6）C.（1,-6）D.（-1,3）

巩固训练

1.（2020上.甘肃兰州•八年级校考期中）对于一次函数丫=履+。（k,b为常数），下表中给出5组自变量及

其对应的函数值，其中恰好有1个函数值计算有误，则这个错误的函数值是（）

X0123

y-2-5-8-12-14

A.-14B.-12C.-8D.-5

2.（2023•上海嘉定•统考二模）新定义：函数图象上任意一点P（x,y）,，一工称为该点的“坐标差，，，函数图

像上所有点的“坐标差”的最大值称为该函数的“特征值”，一次函数y=2x+3的“特征值”

是.

3.（2023下•上海•八年级专题练习）下表中，》是x的一次函数，写出该函数表达式，并补全下表.

X-3-2-101

y64

题型五一次函数的图象

9.（2023上•宁夏银川•八年级银川一中校联考期中）已知正比例函数，=履（笈W0）的函数值了随为的增大而

减小，则一次函数y=-履+%的图象大致是图的（）

10.（2024上•甘肃酒泉•八年级校联考期末）已知一次函数%=依+方，和%=法+。（。4），函数X和内的

图象可能是（）

巩固训练

1.（2023上•陕西榆林•八年级校考期末）在同一平面直角坐标系中，正比例函数＞=依和一次函数＞=依-左

2.（2023上•江苏苏州•八年级苏州市立达中学校校考阶段练习）若点C（2,a）在函数y=3x+2的图像上，则

a=

3.（2023上•江苏苏州•八年级苏州工业园区星湾学校校考阶段练习）己知y+6与x+1成正比例，当x=3时,

y=2

⑴求出y与x的函数关系式;

（2）试判断点（1,-3）是否在此函数图象上，说明理由.

题型六已知函数经过的象限求参数范围

11.（2023上•江苏•八年级专题练习）若一次函数y=（2-m）x+〃-4的图象不经过第二象限，则（）

A.m>2,〃>4B.m<2,n<4C.m>2,n>4D.m<2,n<4

12.（2024上•广东揭阳•八年级统考期末）一次函数＞=依+2的图象如图所示，则左值可能是（

C.D-I

33

巩固训练

1.（2024上•江苏南京•八年级期末）在平面直角坐标系中，已知点A（-2,-2）,若一次函数>=依+4+1的图

像与射线AO有交点，则上的取值范围是（）

A.0<左<1或左>3B.左（3且左

C.k<0^k>3D.左vl或左23,且左。0

2.（2024上•陕西渭南•八年级统考期末）在平面直角坐标系中，若一次函数y=（左+2）x-3（左为常数）经过

一、三、四象限，则上的值可以是（写出一个即可）

3.（2023上•甘肃兰州•八年级校考期中）己知函数y=（3-2租）尤-加+2,

（1）当机为何值时，该函数图象经过原点；

（2）若该函数图象与y轴交点在无轴上方，求m的取值范围；

（3）若该函数图象经过一、二、四象限，求相的取值范围.

题型七一次函数图象与坐标轴的交点问题

13.（2024上•广东佛山•八年级校考期末）若函数>="+1图象与坐标轴围成的三角形的面积为2,则下列

说法正确的是（）

A.y的值随x的增大而增大B.该函数图象一定经过第一、二、四象限

C.1fc的值为J或D.在0VxV4在范围内，y的最大值为1

14.（2023上•陕西西安•九年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，若将直线丫=丘+3向左平移3个单位

长度后与y轴的交点在点（0,6）的上方，则上的值可以为（）

A.-1B.-2C.2D.1

巩固训练

1.（2024上•陕西汉中•八年级统考期末）一次函数V=2x+3的图象与y轴的交点是（）

A.（2,3）B.（0,2）C.（0,3）D.

2.（2023上•陕西咸阳•八年级咸阳市实验中学校考阶段练习）已知一次函数>=履+4（%70）经过A®m）、

3（。+1,两点，m-n>0,且该函数的图象与坐标轴围成的三角形面积是4,则人的值是.

3.（2023上•宁夏银川•八年级校考期中）已知：一次函数y=gx+2,图象与x轴、y轴分别相交于点A,B.

（1）在直角坐标系内画出该函数的图象.

（2）求AAOB的面积.

题型八一次函数的平移问题

15.（2024上•福建三明•八年级统考期末）在平面直角坐标系中，直线/是函数y=2x-l的图象，将直线/

平移后得到直线＞=2尤+1,则下列平移方式正确的是（）

A.将直线/向上平移2个单位长度B.将直线/向下平移2个单位长度

C.将直线/向左平移2个单位长度D.将直线/向右平移2个单位长度

16.（2024上•江苏南京•八年级期末）在平面直角坐标系中，把直线y=-2x+l沿y轴向上平移2个单位长度

后，得到的直线的函数表达式为（）

A.y=-2x-3B.y=-2x+3C.y=-2x-lD.y=-2x+7

巩固训练

1.（2024上•陕西榆林•八年级统考期末）在平面直角坐标系中，将直线y=履-2向下平移6个单位后，正好

经过点（2,4）,则左的值为（）

A.6B.5C.4D.3

2.（2024上•上海静安•八年级上海田家炳中学校考期末）若直线＞与直线＞=-3*-5平行，在y轴上

的截距为5,则一次函数的解析式为.

3.（2023下•浙江台州•八年级统考期末）设一次函数>=履+6（k,b是常数，且ZwO）.

（1）若左+6=0,此函数的图象过下列哪个点.

A（0,l）B（l,0）C（0,-l）D（-l,0）

（2）若点在该一次函数的图象上，把点尸先向右平移2个单位，再向下平移2个单位，得到点P,

也在该函数图象上，求上的值；

⑶若左+。<0,点M（4,4）（q>3）在该一次函数图象上，求上的取值范围.

题型九一次函数与方程的关系

17.（2023上•陕西西安•八年级校考期中）若关于x的方程2x+0=0的解是尤=1,则直线y=2尤+6一定经过

点（）

A.（-1,0）B.（0,-1）C.（1,0）D.（0,1）

3

18.（2023下•全国•八年级专题练习）已知方程q+匕=0的解为x=-],则一次函数y="+b的图象与x轴

交点的坐标为（）

A.（3,0）B.（-1,0）C.（-2,0）D.（--,0）

32

巩固训练

1.（2023上•贵州毕节•八年级校考期中）如图，直线6过点46,0）和点8（0，-2）,则方程依+b=0的

D.x=-6

2.（2023上•山西太原•八年级统考阶段练习）如图，一次函数>=公+6与丁=〃a+〃的图象交于点口-1,2）,

3.（2023上•安徽阜阳•八年级校考阶段练习）如图，一次函数>=，加+〃的图象为直线/,求关于x的方程

几=0的解.

题型十一次函数与不等式的关系

19.（2023上•安徽淮北•八年级校联考阶段练习）一次函数%=依+人与%=如+〃的图像如图所示，由图像

可知不等式v如+〃的解集是（）

C.x>-lD.x>2

20.（2023上广东梅州•九年级校考开学考试）一次函数弘=&+6与%=工+。的图像如图，则下列结论①

左>0；②〃>0；@b>0；④当尤<3时，Ax+b>x+a中，正确的是（）

(y^3\x

"y\=kx~\~b

A.③④B.①②C.①③D.②④

巩固训练

1、（2023上•江苏徐州•八年级校考阶段练习）已知一次函数＞=履+万的图象（如图），当x＞0时，y的取值

2.（2024上•上海静安•八年级上海田家炳中学校考期末）函数＞=6+6的图像，如图所示与x轴的交点坐标

为（2,0）,与y轴的交点坐标为（0,3）,若0VxV2时，则y的取值范围是.

3.（2023上•河南郑州•八年级郑州市第七十三中学校考阶段练习）根据一次函数丫=履+》的图象，写出下列

问题的答案：

（1）关于X的方程履+6=0的解是一;

（2）关于尤的方程kx+b=-3的解是_；

（3）当尤20时，y的取值范围是一.

题型十一求直线围成的图形面积

21.（2024下・全国.八年级假期作业）如图，-次函数y=3+3的图象与x轴交于点A,与N轴交于点5,与

9

正比例函数y=的图象交于点C,则AAOC的面积为（）

22.（2023上•重庆沙坪坝•八年级重庆一中校考期中）如图，将直线y=3x+2向下平移8个单位长度后，与

直线y=；%+4及X轴围成的融。的面积是（）

A.25B.28C.30D.35

巩固训练

1.（2023上•四川眉山•九年级校考阶段练习）如图，直线产半x+6交x轴于点4交y轴于点8,与直

线，=船的交点C的纵坐标是-忘，则AAOC的面积为（）

A.76B.也C.VioD.叵

22

2.（2023下•四川巴中•八年级校考期中）已知一次函数＞=2x+4与y=-才-2的图象都经过点A,且与，

轴分别交于点8，C,若点以m,2）在一次函数y=2x+4的图象上，贝的面积为一.

3.（2024上•陕西宝鸡•八年级统考期末）如图，己知直线CO:y=；x+l与直线AB:y=-x+4交于点A.

（1）求点A和点C的坐标;

（2）在〉轴上是否存在一点P,使得S*BC=SAABC?若存在，请求出尸点的坐标；若不存在，请说明理由.

题型十二根据一次函数增减性求参数

23.（2023上・江苏•八年级专题练习）若一次函数，=（左-2）x+l的函数值y随x增大而增大，则（）

A.k＞0B.左＜0C.k＜2D.k＞2

24.（2024上•北京海淀•九年级校考开学考试）若一次函数y=（2l）x+5的图像经过点A&,%）和点

3（9,女）,当王＜々时，%＞当，则机的取值范围是（）

A.m<QB.m>0D.

巩固训练

1.（2024上•安徽滁州•八年级校考阶段练习）若点A（/yJ和点网吃,力）都在一次函数y=（机T）尤+7（m

为常数）的图象上，且当3时，乂<%，则根的值可能是（）

A.0B.-1C.-2D.3

2.（2024上.广东深圳.八年级深圳中学校考期末）已知一次函数>=履+万，当-1WXW2时，对应的函数值y

的取值范围是o<y<4,则6的值为.

3.（2023上•浙江杭州•八年级杭州育才中学校考阶段练习）己知一次函数>=（左+l）x-2左+3,其中2工-1.

（1）若点（T，2）在y的图象上，求上的值.

（2）当-24xW3时，若函数有最大值9,求y的函数表达式.

题型十三比较一次函数值的大小

25.（2023上•江苏•八年级专题练习）已知点卜6必），（1，%），（-2,%）都在直线>=-++匕上，贝U

%，%，%的大小关系是（）

A.%<%<必B.%<%<%C.%<%<%D.%<%<必

26.（2024上,广东河源.八年级统考期末）点4（占,%）和8（孙％）都在直线了=-5尤+1上,且玉<%，则%与

%的关系是（）

A.B.C.D.%>为

巩固训练

X

1.（2023上•陕西西安•八年级校考期中）点。-1,%）在一次函数了=-5-6的图像上，则M，%的

大小关系是（）

A.%<%B.%=%C.必>为D.无法确定

2.（2024上•陕西榆林•八年级统考期末）已知A（-l,yJ,3（2,%）是一次函数V=（6是常数）的图象

上的两点，则％为.（填或“=”）

3.（2023上•浙江杭州•八年级校联考阶段练习）已知y是x的一次函数，且当x=l时，y=l；当x=-2时,

y=7.

（1）求此函数表达式和自变量尤的取值范围.

⑵当y<2时，求自变量尤的取值范围.

（3）若玉=，W,x2=m+\,对应的函数值分别为%,%.比较%与%的大小.

题型十四一次函数的规律探究题

27.（2023•陕西西安•高新一中校考模拟预测）已知一次函数y=2x+6,点A为其图象第一象限上一点，过

点A作AB人x轴于点2,点B的横坐标为2018,若在线段43上恰好有2018个整点（包括端点），则b的取

值范围是（）

A.-2018<&<-2017B.-2019</?<-2018

C.-2018<&<-2017D.-2019<£?<-2018

28.（2023上•陕西西安•八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，函数丫=%和〉=-3工的图象分别为

直线卜4,过点乍x轴的垂线交乙于点4,过点4作y轴的垂线交4于点过点43作工轴的垂

线交4于点4,过点4作y轴的垂线交4于点人……依次进行下去，则点4侬的横坐标为（）

C.-21011D.21011

B.

巩固训练

1.（2023上•江苏盐城•八年级校联考阶段练习）如图，已知直线＞=彳，直线6：y=和点尸（1,0）,

过点尸作y轴的平行线交直线。于点片，过点［作x轴的平行线交直线匕于点鸟，过点名作y轴的平行线交

直线。于点4,过点骂作X轴的平行线交直线匕于点《，…，按此作法进行下去，则点鸟必的横坐标为（）

2.（2024上•甘肃兰州•八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点4，4，As，…分别在X轴上，

点用，B2,名，…分别在直线y=x上，AO4耳，△444，△4星人，△为4A3，△为为43,…都是等腰

直角三角形，如果。4=1,则点&023的横坐标为.

3.（2023下•江苏•八年级统考期末）【定义】如果在平面直角坐标系中，点尸（x,y）在直线y=-x+加上，我

们就把直线y=r+〃?叫做点P的“依附线”，点尸叫做这条直线的“依附点”，加叫做点尸的“依附数例如，

点尸（T5）在直线y=r+4上，所以直线y=r+4为点尸的“依附线”，点尸的“依附数”为4.

【应用】

（1）已知点尸（—2,7）,在4（0,4）,5（-1,4）,C（-5,10）中,与点P的“依附数”相同的点是；

（2）已知矩形EFGH中，点E（-5,2）,F（-5,-2）,G（5,-2）,H（5,2）.若矩形EPGH边上存在两个不同的点

M,N都是直线丫=-％+机的“依附点”，求机的取值范围;

⑶若直线'=日-左+2上存在点且点"的“依附数”为机，当aWO,0W〃?W4时，求上的取值范围.

题型十五一次函数与反比例函数的实际问题

29.（2023•河北保定・统考一模）某种玻璃原材料需在0℃环境保存，取出后匀速加热至600℃高温，之后停

止加热，玻璃制品温度会逐渐降低至室温（30℃）,加热和降温过程中可以对玻璃进行加工，且玻璃加工的

温度要求不低于480℃.玻璃温度y（℃）与时间x（min）的函数图象如下，降温阶段>与尤成反比例函数关系，

根据图象信息，以下判断正确的是（）

A.玻璃加热速度为12O℃/minB.玻璃温度下降时，y与x的函数关系式为丫=——

X

C.能够对玻璃进行加工时长为1.8minD.玻璃从600℃降至室温30℃需要的时间为80min

30.（2021上•山西.九年级山西实验中学校考期中）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首

次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度〉（微克/毫升）与服药时间x小时之间函数关系如

图所示（当时，y与无成反比例）.血液中药物浓度不低于6微克毫升的持续时间为（）

吊雕室升）

71A

A.-B.3C.4D.—

33

巩固训练

1.（2023上•福建福州•九年级福建省福州铜盘中学校考阶段练习）教室里的饮水机接通电源就进入自动程序,

开机加热时每分钟上升7匕，加热到100℃,停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与开机后用时（min）成

反比例关系.直至水温降至30℃,饮水机关机.饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序.若在水

温为30℃时，接通电源后，水温y（C）和时间（min）的关系如图，为了在上午第一节下课时（8:45）能喝到不

超过50℃的水，则接通电源的时间可以是当天上午的（）

2.（2023•山东青岛・统考二模）为了预防“流感”，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，

室内每立方米空气中的含药量y（mg）与时间x（min）成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例（如图）.现

测得药物8min燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6mg.研究表明，当空气中每立方米的含药量不

低于3mg才有效，那么此次消毒的有效时间是分钟.

3.（2024上.广东江门•九年级统考期末）通过试验研究发现：一节40分钟的课堂，初中生在数学课上听课

注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳

状态，随后开始分散.如图，学生注意力指标y随时间无（分钟）变化的函数图象，当0Wx<10和10Wx<20

时，图象是线段；当20VXW40时，图象是反比例函数的一部分.

（1）求反比例函数解析式和点4、。的坐标;

（2）陈老师在一节课上讲解一道数学综合题需要16分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的

讲解时，注意力指标都不低于32?请说明理由.

题型十六一次函数与反比例函数的综合

31.（2023上•广东茂名•九年级校考阶段练习）如图，一次函数,=米+可上70）图象与反比例函数

〉=二（加为）图象交于点A（T,2）,8（2,-1）,则不等式依+6V包的解集是（）

A.x<-l^x>2B.-14%<0或0<xW2C.x<-1^0<x<2D.-1<%<0或

x>2

32.（2023•广东梅州•统考一模）已知双曲线"勺与双曲线y=2（匕•网>（））与直线y=7nr（〃z<0）从左到右

XX

依次交于AB,C,。四点，若OB=3AB（。为坐标原点），则C三D的值为（）

21X_z

A.-B.-C.-D.-

7575

巩固训练

1.（2023•内蒙古•统考中考真题）如图，直线y=«x+》（"0）与双曲线y=：（4力0）交于点A（-2,4）和点

3（m，-2）,则不等式。<以+b<：的解集是（）

A.—2<x<4B.—2<x<0

C.xV-2或0v%<4D.一2Vx<0或无>4

2.（2022•河北石家庄•校联考三模）如图，直线丁=尤+5与反比例函数y=々/为常数，左wO）的图象相交于A、

X

6两点，其中A点的坐标为（T祖）.

（1）%的值为;

（2）若点M是该反比例函数图象上一点，点P（x,y）是直线y=x+5在第二象限部分上一点，分别过点M、

P作x轴的垂线，垂足为点N和。.若NOMN<S,OP2时，则x的取值范围是.

3.（2023上•四川达州•九年级校考期末）如图，一次函数V=b+方的图像与反比例函数y=@的图像交于A,

X

8两点，与X轴交于点C,与y轴交于点£）,已知04=百，点2的坐标为（g,〃2）,过点A作AH_L尤轴，垂

足为H,AH=—HO.

（1）求A点坐标和反比例函数关系式;

（2）求一次函数的解析式；

（3）求AAOB的面积。

题型十七一次函数的应用之分配方案问题

33.（2022・全国•八年级假期作业）网红“脏脏包”是时下最流行的一款面包，“脏脏包”正如其名，它看起来脏

脏的，吃完以后嘴巴和手上会因沾上巧克力而变“脏”，因而得名“脏脏包”.某面包店每天固定制作甲、乙两

种款型的脏脏包共200个，且所有脏脏包当天全部售出，原料成本、销售单价及店员生产提成如表所示：

甲（元/个）乙（元/个）

原料成本128

销售单价1812

生产提成