河北省某中学2024-2025学年高二年级上册开学考试数学试题（解析版）

数学试卷

一、选择题：本题共7小题，每小题5分，共35分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

］已知集合M={xIx+230},N={xIx—1<0},则MC|N=（）

A.{x|-2<x<1}B.{xI-2<x<1}

C.{x|x>-2}D.{xIx<1}

【答案】A

【解析】

【分析】先化简集合M,N,然后根据交集的定义计算.

【详解】由题意，M={x|x+2>0}={x|x>-2},N={x|x—1<0}={X|X<1},

根据交集的运算可知，Mn^={x|-2<x<l}.

故选：A

2.在复平面内，（l+3i）（3—i）对应的点位于（）.

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【解析】

【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断.

【详解】因为（1+3讥3-i）=3+8i—3i?=6+8i,

则所求复数对应的点为（6,8）,位于第一象限.

故选：A.

3.已知向量Q==（1,—1）,若（a+&）_L（Q+,则（）

A,丸+4=1B.%+4=-1

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C2/z=1D.2/z=-1

【答案】D

【解析】

【分析】根据向量的坐标运算求出Z+；lB，a+nb,再根据向量垂直的坐标表示即可求出.

【详解】因为2=(1,1)范=(1,—1),所以Z+XB=(1+41—2),«+//S=(1+//,1-//),

即(1+丸)(1+〃)+——〃)=0,整理得：2//=-1.

故选：D.

4.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为石，则圆锥的体积为()

A.2山兀B.3岛C.6G兀D.9岳

【答案】B

【解析】

【分析】设圆柱的底面半径为，，根据圆锥和圆柱的侧面积相等可得半径r的方程，求出解后可求圆锥的体

积.

【详解】设圆柱的底面半径为，，则圆锥的母线长为+3,

而它们的侧面积相等，所以2兀rxG=7irxV3+r2即2百=，3+口，

故厂=3,故圆锥的体积为』7rx9xG=3G7r.

3

故选：B.

5.某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛

同学抽到不同主题概率为()

5211

A.-B.-C.—D.一

6323

【答案】A

【解析】

【分析】对6个主题编号，利用列举列出甲、乙抽取的所有结果，并求出抽到不同主题的结果，再利用古

典概率求解作答.

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【详解】用1,2,3,4,5,6表示6个主题，甲、乙二人每人抽取1个主题的所有结果如下表:

乙

123456

甲

1(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)。,5)。,6)

2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)

3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)

4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)

5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)

6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)

共有36个不同结果，它们等可能,

其中甲乙抽到相同结果有(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),共6个,

305

因此甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的结果有30个，概率P=—=—.

366

故选：A

6.在VASC中，(a+c)(sin/-sinC)=6(sin/—sin5),则NC=()

7C712,71

A.—B.—C.—

633

【答案】B

【解析】

【分析】利用正弦定理的边角变换与余弦定理即可得解.

【详解】因为(a+c)(sinA-sinC)=&(sinA-sinB),

所以由正弦定理得(a+c)(a—c)=b(a—b),^a2-c2=ab-b2，

则/+〃一故COSC=CY-=心」,

2ablab2

TT

又0<C<7T,所以C=—.

3

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故选：B.

7.已知/(0,0,2),B(1,0,2),C(0,2,0),则点N到直线8C的距离为()

A.B.1C.V2D.272

3

【答案】A

【解析】

【分析】利用向量的模，向量的夹角及三角函数即可求出点到直线的距离.

【详解】(0,0,2),B(1,0,2),C(0,2,0),

,AB=(1,0,0),3c=(-1,2,-2),

点/到直线3C的距离为:

ABJl-(cos<AB,BC>)2

d=

故选：A

【点睛】本题主要考查了向量坐标的运算，向量的模，向量的夹角，属于容易题.

二、多选题：本题共1小题，共6分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选

对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

8.下列说法正确的是()

A.用简单随机抽样的方法从含有60个个体的总体中抽取一个容量为6的样本，则每个个体被抽到的概率

是0.1

B.已知一组数据1,2,m,m+l,8,9的平均数为5,则这组数据的中位数是5

C.已知某班共有45人，小明在一次数学测验中成绩排名为班级第9名，则小明成绩是全班数学成绩的第

20百分位数

D,甲班和乙班各有学生20人、40人,甲班的数学成绩的平均数为80分，方差为2,乙班的数学成绩的平

均数为82分，方差为4,那么甲班和乙班这60人的数学成绩的方差是3

【答案】AB

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【解析】

【分析】根据数据的平均数、中位数、百分位数、分层抽样的方差的计算方法逐一分析选项即可.

【详解】对A,由古典概型计算公式可得每个个体被抽到的概率是金=01，故A正确；

60

对B,已知一组数据1,2,m,m+1,8,9的平均数为5,

110

则一（1+2+加+冽+1+8+9）=5,即一（21+2加）=5,解得加二一，

662

199

则数据的中位数为5乂（5+'+1）=5,故B正确；

对C,已知某班共有45人，小明在一次数学测验中成绩排名为班级第9名，

将数学成绩从小到大排列，小明成绩为第36名，

又由一=80%,则小明成绩的百分位数是80,故C错误；

45

20x80+40x82244

对D,由题意得甲班和乙班这60人的数学成绩的平均数为上零一匕2=—

20+403

甲班和乙班这60人的数学成绩的方差为

20[2+(80—72]+40r/，oc24*13480114”

[4+(82-------Y]=——+—=——士4.2,

20+4020+403272727

故D错误.

故选：AB.

三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分.

9.在正四棱台4BCD—481G，中，AB=2,4耳==④，则该棱台的体积为

［答案］巫#J屈

66

【解析】

【分析】结合图像，依次求得从而利用棱台的体积公式即可得解.

【详解】如图，过4作垂足为易知4〃为四棱台ABCD—481G3的高,

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因为/8=2,4片=1,/4=血,

则4G=<4G=|xGA禺=与AO==：xGAB=41，

故=4cJ=字，则4M=J%/_"="g=

所以所求体积为「=』*(4+1+"1”包=趣.

326

故答案为：巫

6

10.已知点/（一1,一2）,5（2,2）,C（-2,-l）,则V4BC的面积为.

【答案】47

【解析】

【分析】先计算出三角形的边长，再用余弦定理计算出cosB,进而得到sinB,再套用三角形面积公式即

可求解.

【详解】点/（T—2）,5（2,2）,C（-2,-l）

，一，厂ccu222_25+25-2_24

cnAB+BC-ACsinB=Jl-cos2B=一,

:.AB=5,AC=y/2,BC=5,「.cosB=----------------,

2ABBC2x5x5-2525

1177

S“BC=—iBBCsinB：—x5x5x——=

222

7

故答案为：—

2

四、解答题：本题共5小题，第11小题13分，第12、13小题15分，第14、15小题17分,

共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

11.已知i是虚数单位，复数z的共粗复数是三，且满足z+21=3-2i.

（1）求复数Z的模目;

（2）若复数z（2-mi）在复平面内对应的点在第二象限，求实数加的取值范围.

【答案】（1）V5

（2）（-oo,-l）

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【解析】

【分析】（1）利用复数及其共软复数、复数的相等、复数的模运算即可得解.

（2）利用复数的运算、复数的相等、复数的几何意义运算即可得解.

【小问1详解】

解：设2=。+历R）,贝！|三=”历，

z+2z=a+bi+2（a-bi^=3a-bi=3-2i,

••tz—1>b=2,

「・2=1+2i,则|z|=A/12+22=V5；

【小问2详解】

解：由（1）知，z=1+21,

z（2—mi）=（1+2i）（2-mi）=（2+2加）+（4—加）i,

由题意，复数z（2-加i）在复平面内对应的点在第二象限，

2+2m<0

5.八，解得：m<-l,

4-m>0

即实数m的取值范围为（---1）.

12.已知Q=（l,cosx）,加=[g,sinx],xe（0,7i）

一一八sinx+cosx…4

（1）右。//6，求1---------的值；

sinx-cosx

（2）若£_[_3，求sinx—cosx的值.

【答案】（1）—2

⑵姮

3

【解析】

【分析】（1）由向量平行求出tanx,将所求式子转换为含有tanx的式子即可;

（2）由向量垂直求得sinxcosx=-1，进一步根据角的范围即可求解.

3

【小问1详解】

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当X时，3=(1,0),B=IxlwOx；,此时)与否不平行,

IT

所以cosxwO,

2

a=(l,cosx),B=[g,sinx],allb

,1

sinx=—cosx,

3

sinx1

/.tanx=-----=—,

cosx3

.-+1

sinx+cosxtanx+133

...-----------=--------二三—二-2；

sinx-cosxtanx-1，_】

3-

【小问2详解】

・「方j_B,

.,.万=0,

11•

/.lx-+sinxcosx=0A,

3

即sinxcosx=--<0,

sinx>0,cosx<0，

sinx-cosx>0,

_V15

一亍.

13.某中学高一年级举行了一次数学竞赛，从中随机抽取了一批学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部

介于50至100之间，将数据按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的分组作出频率分布直方

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图如图所示.

(1)求频率分布直方图中°的值，并估计本次竞赛成绩的中位数和平均数；

(2)若按照分层随机抽样从成绩在［80,90),［90,100］的两组中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求

至少有1人的成绩在［90,100］内的概率.

【答案】(1)a=0.020,中位数约为74.3,平均数约为75；

5

【解析】

【分析】(1)利用频率分布直方图所有小矩形面积之和等于1求出。的值，再估计中位数和平均数.

(2)求出抽取的6人中在［80,90),［90,100］的人数，再利用列举法结合古典概率求解即得.

【小问1详解】

由频率分布直方图，M10(0.005+0.030+0.035+a+0.010)=1,解得a=0.020,

成绩在［50,60),［60,70),［70,80),［80,90),［90,100］的频率依次为0.05,0.3,0.35,0.2,0.1,

显然本次竞赛成绩的中位数加e(70,80),则0.35+(加—70)x0.035=0.5,解得加374.3,

本次竞赛成绩的平均数为x=55x0,05+65x0.3+75x0.35+85x0.2+95x0.1=75>

所以a=0.020,中位数约为74.3,平均数约为75.

【小问2详解】

由⑴知，成绩在［80,90),［90,100］的频率之比为0.2:0.1=2:1,

则在［80,90)中随机抽取6x:=4人，记为1,2,3,4,在［90,100］中随机抽取6x—=2人，记为a,b,

33

从6人中随机抽取2人的样本空间为。={12,13,14,la,1823,24,2a,2b,34,3a,3A4a,4Aa",共15个样

本点,

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设事件/="至少有1人的成绩在［90,100］内”,则/={1。/”2a,2"3a,3"4a,4"必},有9个样本点,

93

因此p(z)=百

5

3

所以至少有1人的成绩在［90,100］内的概率］.

14.已知在V/8C中，A+B=3C,2sin(>l-C)=sinB.

(1)求sirk4；

（2）设48=5,求45边上的高.

【答案】（1）亚

10

（2）6

【解析】

【分析】（1）根据角的关系及两角和差正弦公式，化简即可得解；

（2）利用同角之间的三角函数基本关系及两角和的正弦公式求sinB,再由正弦定理求出6,根据等面积法

求解即可.

【小问1详解】

-.-A+B=3C,

7T

...兀一C=3C,即。二一，

4

又2sin(4-C)=sin5=sin(4+C),

/.2sinAcosC-2cosAsinC=sinAcosC+cosAsinC,

/.sinAcosC=3cos/sinC,

/.sin4二3cos/,

71

即tan4=3,所以0</<—,

2

Vwio

【小问2详解】

上,…，1丽

由(1)知，cosA---^=------,

Vioio

由sin"sin(/+C)=sin,cosC+cos.sinCq呼+祟=等

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02V5

5x----

b

由正弦定理，—,可得6=—^-=2V10,

sinCsinBVf

V

:.-AB-h=-AB-AC-smA,

22

h=b-sin^4=2^/wx£3=g.

10

15.如图，在三棱台45C—451G中，4/_1平面48。,48,2。,48=2。=44]=2,4。1=1,M为

5C中点.，N为4g的中点,

(1)求证：4N//平面ZMG；

(2)求平面ZMG与平面ZCG4所成夹角的余弦值;

(3)求点。到平面的距离.

【答案】(1)证明见解析

⑵2

3

(3)-

3

【解析】

【分析】(1)先证明四边形跖MG是平行四边形，然后用线面平行的判定解决；

(2)利用二面角的定义，作出二面角的平面角后进行求解；

(3)方法一是利用线面垂直的关系，找到垂线段的长，方法二无需找垂线段长，直接利用等体积法求解

【小问1详解】

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B

AT

连接上W,C/.由M,N分别是20,54的中点，根据中位线性质，MN//AC,且4加=十=1,

由棱台性质，4Q//AC,于是〃N〃4G，由"乂=4G=i可知，四边形是平行四边形，则

4N//MG，

又4N(Z平面G〃Z,MC]U平面G〃Z,于是4N〃平面ZMC].

【小问2详解】

过M作垂足为E,过E作EELZG，垂足为P，连接旅,。也.

由Affiu面ABC,面Z8C,故又ME工AC,ACHAA,=A,ZC,Z4u平面

ACCAAX,则ME，平面zcc/i.

由NC]U平面ZCG4,故世，ZG，又EF工4孰,MEcEF=E,ME,EFu平面MEF,于是

ACA，平面"EE,

由MFu平面MEF,故A。，"F.于是平面AMC,与平面ACC.A,所成角即ZMFE.

JR122

又ME二-2二1,cosZ.CACX——j=,贝ijsin/C/G=,故£/二Ixsin/CZG=,在

中，ZMEF=90°＞则MF=Jl+g=卡,

EF