高中数学求函数解析式解题方法与配套练习讲义-2025届高三数学一轮复习

高中数学求函:法大全

及配神习

一、定义法:

根据函数的定义求解析式用定义法。

【例。设|/(I+1)=——31+2],求|7(x).

/(x+l)=x2-3x+2=[(x+l)-l]2-3[(%+l)-l]+2

=(x+l)2-5(x+l)+6

/(%)=x2-5x+6

V-4-1---------

【例2】设了"(切=二‘求画

Y-I-1V4-1I

解：设・・.f[f(x)]=一=曰'=—・•・/⑴=

x+2%+1+1|1

1+X

1111----------

【例3】设/(%+—)=%9+—,g(x+-)=xq3+—,求/[g(x)]

XXXX1----------

解：V/(%+-)=%2+-^=(%+-)2-2/(X)=X2-2

XXX

,1、31(与

…了=X+-3(%+-)/.g(x)=x3-3x

XX

故-(犬3-3%)2-2=x6-6x4+9x2-2

【例4】设/(cosx)=cosl7x,^tf(sinx)

解：/(sinx)=

=COS6TT+--17%)=cos(^--17x)=sinl7x

待定系数法：（主要用于二次函数）

已知函数解析式的类型，可设其解析式的形式，根据已知条件建立关于待定系数的方程,

从而求出函数解析式。

它适用于已知所求函数类型（如一次函数，二次函数，正、反例函数等）及函数的某些

特征求其解析式的题目。其方法：已知所求函数类型，可预先设出所求函数的解析式，再根

据题意列出方程组求出系数。

【例1】设火必是一次函数,且|/V（x）］=4x词,求叵

【解析】设/(%)=ax+b(aw0),则

/[/(%)]=af(x)+b=a(ax+b)+b=a2x+ab+b

ci——2

或

[ab+b=3b=3

/(x)=2x+l或/(x)=-2x+3

【例2】已知二次函数f(x)满足f(0)=0,f(x+1)=f(x)+2x+8,求f(x)的解析式.

解：设二次函数f(x)=ax2+bx+c,贝!jf(0)=c=0①

f(x+1)=a(x+l)2+b(x+1)=ax2+(2a+b)x+a+b②

由f(x+1)=f(x)+2x+8与①、②得

2a+b=b+2

<故f(x)=X2+7X.

〃+b=8

【例3】已知/(X-2)=2/—9X+13,求

解：显然，||是一个一元二次函数。设］（乃=++笈+。（"0）

贝U/(%-2)=«(x—2)2+b(x-2)+c=ax2+(b-4a)x+(4a-2Z7+c)

又/(x—2)=2x?-9x+13

4=2a=2

比较系数得:<b-4a=-9解得:<b=-1/(x)=lx1-x+3

4〃一2/7+c=13c=3

三、换元（或代换）法:

已知复合函数][g（础的表达式时,还可以用换元法求切的解析式.用来处理不知

道所求函数的类型，且函数的变量易于用另一个变量表示的问题。使用换元法时要注意新元

定义域的变化，最后结果要注明所求函数的定义域。

如：已知复合函数f[g（x）]的解析式，求原函数f（X）的解析式，把g（X）看成一个

整体3进行换元，从而求出f（x）的方法。实施换元后，应注意新变量的取值围，即为函数

的定义域.

【例1】己知/(6+1)=x+2&,求/1(x+1)

【解析】令%=6+1，则三口无=«—1）2

[ZZ/(0--1)2+2(/-1)=产1,

/(%)=x2-1(%>1)

/(X+1)=(%+1)2-1=+2%(%>0)

【例3】设/（cos%-l）=cos2元，求/（X）

解：令/=cosx—l,...COS%=/+1又

-1<cosx<l,/.-2<cosx-l<0EP-2<r<0

.♦./«)=«+1)2,(-2<r<0)BPf(x)=(x+l)2,XG[-2,0]

Y—1

【例4】若/(%)+/(——)=l+x

(1)

⑴+(3)-(2)得：2/(x)=l+x+二一生二1=一^1

x-1xx(x-1)

/(x)=」一『T

2x(x-l)

【例5】设/(x)满足勾+(其中瓦c均不为0,且aw±。)，求日而

X----

解：af(x)+bf(—)=ex

x

(1)用口来代替国，得4(3+妙(x)=c，

|XIIX.\X

(2)由

22

小1汨/2、acx-beacx-be

ax⑴一8x(2)得：(a-b)/(x)=--------;a力士b../(%)=—；---；—

x(a~~b')x

［例6］已知=炉+2,求/(%)

角翠：设f=优।A0,贝I]X—1=logat即x=log/+l

2

代入已知等式中，得：/(?)=(logfl/+1)+2=log^t+21ogflt+3

/(x)=log2x+21ogflx+3

四、代入法:

求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法.

【例1】已知：函数y=—+x与y=g(x)的图象关于点|(一2,3)|对称,求|g(x)|的解析式.

解：设M(x,y)为y=g(x)上任一点，且为Af(x,y)关于点(―2,3)的对称点.

y'=x'2+x'

元,——x—4------------------------

把<代入得：6—y=(-x—4)2+(―x—4)

整理得y=-x2-7x-6,[77g(%)=-x2-7x-6

(五)配凑法

已知复合函数—[g(x3的表达式,求①J的解析式，＞[g(x/的表达式容易配成区㈣

的运算形式时，常用配凑法.但要注意所求函数也更J的定义域不是原复合函数的定义域，

而是区切的值域.

【例。：已知I/(、5+1)=X+求I/(X)]的解析式.

分析：卜x+2«|可配凑成

国可用配凑法

解:由+1)=X+2*\/^=—1

即/(%)=%21(%>1)

当然，上例也可直接使用换元法

令t=A/X+1

贝Ijt=y/~X+1

X="l)2

得

.•・/⑺=d)2+2(D="l

即/(%)=x2-l(x>1)

由此可知，求函数解析式时，可以用配凑法来解决的，有些也可直接用换元法来求解。

11--------

【例2】：已知/(%——)=/9+求/(%).

XX-------

分析：此题直接用换元法比较繁锁，而且不易求出来，但用配凑法比较方便。

io~~inr

解析：由/(%—)=xH—T=(%—)+2

1

令t=x—x9一比-1二0

X

由区卫即?2+4>0得匹7?

/(0=r+2

即：/(x)=必+2(xeR)

实质上，配凑法也缰含换元的思想，只是不是首先换元，而是先把函数表达式配凑成用

此复合函数的函数来表示出来，在通过整体换元。和换元法一样，最后结果要注明定义域。

(六)构造方程组法(消去法)。

若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方

程组求得函数解析式.

构造方程组法适用的围是：题高条件中，有若干复合函数与原函数/(x)混合运算,

等式，通过解方程组达到消元的目的。

解析：EZ，(x)-2/d)=x..................①

x

显然，|%第0|,将闵换成口得

小结：函数方程组法适用于自变量的对称规律。互为倒数，如f(x)、;互为相反

数，如f(x)、f(-x),通过对称代换构造一个对称方程组，解方程组即得f(x)的解析式。

［例4］已知|［(。1)=炉+2|,求)国.

解：设=>o|,则X—l=log“/即x=loga/+l

2

代入已知等式中，得：/(?)=(loga?+1)+2=log^t+21ogflt+3

/(x)=log^x+21ognx+3

小结：消元法适用于自变量的对称规律。互为倒数，如陋、回；互为相反数，如

f(x)、f(-x),通过对称代换构造一个对称方程组，解方程组即得f(x)的解析式。

【例5】设，(刈为偶函数,而初为奇函数，又“X)+g(x)=工,试求|/⑴和g(x)|的

解析式

【解析】|〃切为偶函数,|g(x)|为奇函数,

•・•/(%)=/(x),g(—x)=g(x)

又f(x)+g(x)=

用尸可替换回得:〃T)+g(T)=一.

即/⑴-g(x)=一匕卜

解①②联立的方程组，得

1

kg(x)=

…7lX2-x

七、特殊值法：(赋值类求抽象函数)

当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进

行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式.

【例1】：设灰即是定义在N上的函数，满足7⑴=1],对于任意正整数瓦刊，均有

/W+f(y)=f(x+y)-xy,求/(x)

解:由，(D=l，f(x)+f(y)=f(x+y)-xy

设y=l得：/(x)+l=/(x+l)-x

即：/(X+1)-/(X)=x+1

在上式中，国分别用11,2,3,…/—1|代替,然后各式相加

1191

可得：/(^)=-(r+2)a-l)+l=-?+-r

/./(X)=+](XGN*)

【例2】设是定义在R上的函数，且满足f(0)=1,并且对任意的实数X,y,有f(x

—y)=f(x)—y(2x—y+1),求f(x)函数解析式.

分析：要f(0)=1,x,y是任意的实数及f(x—y)=f(x)—y(2x—y+1),得到

f(x)函数解析式，只有令x=y.

解：令x=y,由f(x-y)=f(x)-y(2x—y+1)得

f(0)=f(x)—x(2x—x+1),整理得f(x)=x2+x+l.

八.利用给定的特性求解析式.

【例1】.设例(X)是偶函数,当x>0时，/(x)=+e",求当x<0时，/(x)的表

达式.

练习.对XGR,|/(X)|满足|/(X)=+且当XG[—1,0]时,/(X)=X2+2%

求当x£[9,10]时/(X)的表达式.

九、累加法:

累加法核心思想与求数列的通项公式相似。

【例若/⑴=lgL,且当

a

x22时,满足f(x-1)=/(X)-1ga*T,(aA0,xeN*),求/(%)

解：•.•/(x)=/(x-l)+lgaxT(a>0,xeN*)

递推得：f(x-l)=/(x-2)+lg«1-2

/(x-2)=/(x-3)+lg^-3

/(3)=/(2)+lg4z2

/(2)=/(l)+lg«

以上（X-1）个等式两边分别相加，得:

/(x)=/(l)+lga+lg«2+---+lgaA-2+lgax-1

/⑴+lga1+2+…+(>2)+(1)

1双--1)x(x-l)1

=1g—+1g42=1g〃2

aJ

%(犬—1)

二[-----------l]lgtz

十、归纳法:

【例。：已知/■（x+i）=2+gy（x）,口€"*）且/\1）=。，求叵

解:.・./(l)=a,/(2)=2+1/(l)=2+1a=4-2+1«

/'(3)=2+gy(2)=2+g(2+ga)=4—2。+白

/(4)=2+1/(3)=2+1(3+^a)=4-2-1+^a

/(5)=2+1/(4)=2+|(31+|a)=4-2-2+^a

,依此类推，得

十一、递推法：

若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者

迭代等运算求得函数解析式。

［例1］设叵］是定义在区上的函数，满足口⑴=1］,对任意的自然数还都有

/⑷+7⑦)=/(<+>)一同,求|/(x)

【解析】/(«)+/(/?)=f(a+b)-ab,a,beN+,

反不妨令a=x,、=l,得：/(x)+/⑴=f(x+1)-x,

又|/⑴=1,故/Xx+1)-/(x)=x二1|①

分别令①式中的|%=1,2…"-1|得：

/(2)-/(1)=2,

/⑶-/(2)=3,

/(〃)-/(4-1)=”,

将上述各式相加得：|/(〃)/•⑴=2+3+…小

f(九)=1+2+3H—n=--—

十二、对称性法

即根据所给函数图象的对称性及函数在某一区间上的解析式，求另一区间上的解析式.

【例1】已知是定义在R上的奇函数，当x20时，f(x)=2x—x2,求f(x)函数解

析式.

解：・・・y=f(x)是定义在R上的奇函数，・・.y=f(x)的图象关于原点对称.

当x20时，f(x)=2x—X?的顶点(1,1),它关于原点对称点(一1,一1),

---------2-X——

因此当x<0时，y=(%+I)2—1=X2+2X.故f(x)=<xNO,

-----------lx+2xx<0.

评注：对于一些函数图象对称性问题，如果能结合图形来解,就会使问题简单化.

十三、函数性质法

利用函数的性质如奇偶性、单调性、周期性等求函数解析式的方法。

【例1].已知函数1=以初是R上的奇函数,当"耐f(x)=3X-1,求f(x)|的解析式。

解析：因为画是R上的奇函数，

所以|f(-x)=-f(x),即f(x)=-f(-x八

当x〈时,-x>0.

f(x)=-f(-x)=-(3-x-1)=-3-x+1

3X-l,x>0

-3-x+l,x<0

十四、反函数法

利用反函数的定义求反函数的解析式的方法。

已知函数卜=

【例1】.Mx+l(x>0)求它的反函数。

解：因为反

y=Inx+1GR

由y=lnx+l,得lnx=y-l,

所以

臼反函数为¥i(x*R)

十五、“即时定义”法

给出一个“即时定义”函数，根据这个定义求函数解析式的方法。

Df'Dg|的函数|y=f(x),y=g(x)

【例1].对定义域分别是规定：函数

f(x)g(x),当xeDf且xeDg

h(x)=,f(x),当xeDf且xeDg,

g(x),当x任Df且xedg

f(x)=----,g(x)=XkzSI

若I_____a________L写出函数蚂的解析式。

■x2

——X€(-cq1)U(L+8),

h(x)=<x-1

1,x=1

十六、微积分法：

当你学了导数和微积分之后，就会用到，不过平时的考题还是比较少出现的，多见识下

各种题型对你有帮助的。

［例D：设|/'(sin2x)=cos2x,<(1)=2］,求|y(x).

解：,//Xsin2x)=cos2x=1-sin2x/.f'(x)=l-x(|x\<1)

十七：坐标转换法

例7已知函L理二』，当且仅当点(xo,yo)在丫=国］图像上时

点(2x。，2y。)在丫=“)|图像上，求函数夙%)|的解析式.

解：设p(x,y)是函数y=|g(x)］图像上的任一点,由已知得点(同，同)

在函数y=log。(x-1)的图像上.

即m=隧"1f-仇所以y=2loga-D

--------------------x------

故所求函数g(x)的解析式是，g(x)=21og(-——1)

-------------------a-1-2-----

点评：抓住所求函数图像上的点与已知函数图像上的点的关系，再利用已知点满足已知

函数，从而转换坐标，代入即可求得.

其它相关题型

1、定义法

例1.若/(Vx+1=x+2>[x)，求fix)o

解：x+2-\J~x=(Vx+1)2-1

/(Vx+l)=(Vx+I)2-1

Vx+121

•'-fQx)=x2+l(X>1)

2、配凑法

例2、已知/(x+1)=无2x,求/(x).

解：/(X+1)=(X+1)2-2X-1-2X

=(X+1)2-4X-1

=(x+l)2-4(x+l)+3

/(x)=x2-4x+3.

3、换元法

2।11

X+1X+1:,求f(x)的解析式

例3、已知f(----)+

xx2X

x+11

解：设——=t，则X=——(tWl)

t-1

=1+(?-1)2+(t—1)=t2—1+1

1

t-1t-1

故f(x)=x2—x+1(xWl).

评注：实施换元后，应注意新变量的取值围，即为函数的定义域

4、待定系数法

例4、已知二次函数f(x)满足f(0)=0,f(x+1)=f(x)+2x+8,求f(x)的解析

式.

解：设二次函数f(x)=ax2+bx+c,贝！Jf(0)=c=0①

f(x+1)=a(x+l)2+b(x+1)=ax2+(2a+b)x+a+b②

由f(x+1)=f(x)+2x+8与①、②得

2〃+b=b+2[a=1,

<7门解得《故f(x)=x2+7x.

Q+b=8[b=7.

评注：已知函数类型，常用待定系数法求函数解析式.

5、直接图像法

例5.函数在闭区间［-1,2］上的图象如右图所示,

解：/(%)邛产(-IWxVO).

x(0<x<2)

6、方程组法

1

例6,设函数f(x)满足f(x)+2f4)=x(xWO)求f(x)函数解析式.

x

11

分析：欲求f(X)必须消去已知中的f(一)若用一去代替已知中X,便可得到另一

XX

个方程，联立方程组求解即可.

1

解：：f(x)+2f(—)=x(xWO)①

X

111

由代入得2f(x)+f(-)=(xWO)②

XXX

2x

解①②构成的方程组，得f(x)=--(xWO).

3x3

7、特殊值法

例7、设是定义在R上的函数，且满足f(0)=1,并且对任意的实数x,y,有

f(x-y)=f(x)-y(2x-y+D求f(x)函数解析式.

分析：要f(0)=1,x,y是任意的实数及f(x—y)=f(x)—y(2x—y+1)得到

f(x)函数解析式，只有令x=y.

解：令x=y，由f(x—y)=f(x)—y(2x—y+1)得

f(0)=f(x)—x(2x-x+l)整理得f(x)=x2+x+l.

8、对称性图像法

即根据所给函数图象的对称性及函数在某一区间上的解析式，求另一区间上的解析式.

例8、已知是定义在R上的奇函数，当x20时，f(x)=2x—x2,求f(x)函数解析

式.

解：Tyuf(x)是定义在R上的奇函数，.*.y=f(x)的图象关于原点对称.

当xNO时，f(x)=2x—x2的顶点(1,1)它关于原点对称点(一1,—1)

f

2X一

JX>O

-I\

因此当x<0时，y=(x+1)~—1=x?+2x.故f(x)--22

X+42XXX<O

评注：对于一些函数图象

对称性问题,如果能结合

图形来解,就会使问题简

单化.

9、利用奇偶性法

已知了(%)是定义在火上的奇函数，且当x>0时，

/(x)=+X+1,^/(%)的解析式.

解析：本题已知当X>()时，/。)=X3+工+1,求^(1)的解析式，只需要求出

X=0及JT〈弼表达式即可，已知/'(X)是奇函数，贝叭一X)=-/"),利用这

条件将X>0的解析式进行转化可求得X<附解析式.

解：设％<0,则-■¥>(),用7替换/(x)=x2+X+1中的X,得

/(—X)=(―X)3+(-X)+1=-X3-x+1.

又；〃X)是奇函数，贝I」f(-X)=-f(x).,.-X3-x+l=-/(x),

UP/(x)=x3+x—l

.•.当x<0时，/(乃=/+X-1.%(幻是奇函数，物(0)=0.

x3+x+1,x>0,

f(x)=«0,x=0,

X34-X-l,X<0c.

相关练习

1V---------

2.若勺)=匚］求画

(一)换元法L已知f(3x+l)=4x+3,求f(x)的解析式.

191-----

(二).配变量法3.已知/(九)=%H5,求/(X)的解析式.4.若/(V^+1)—X+2y1~X

XX-----

求/(x)

(三).待定系数法5.设/(X)是一元二次函数g(x)=2x-f(x),且

g(x+l)-g(x)=2^-x2

求f(x)与g(x)

6.设二次函数f(x)满足/(X-2)=/(-X-2),且图象在y轴上截距为1,在x轴上截得的线段长为

12挺求f(x)的表达式.

(四).解方程组法7.设函数/(X)是定义(一8,0)u(0,+8)在上的函数，且满足关系式

3/(x)+2/(-)=4x,求|/(%)|的解析式.

X-----

Y—1-----

8.(i)若——)=i+x,求y(x).(2)若f(x)+f(l-x)=l+x,求f(x).

X----------

(五).特殊值代入法9.若/(%+J)=/(%)•/(J),且/(I)=2求值

/(2)/•⑶/(4)工/'(2005)

/(I)/(2)/(3)/(2004)

10.已知：f(0)=1,对于任意实数x、y,等式f(x—y)=f(%)—y(2尤一y+1)恒成立，求