湖南省衡阳市衡阳县2023-2024学年高二年级上册1月期末考试数学试题

湖南省衡阳市衡阳县2023-2024学年高二上学期1月期末考试数学试题

姓名：班级：考号：

题号——四总分

评分

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的

1.在等比数列｛。九｝中，若改=1，。4=2，则他=()

A.3B.4C.6D.8

2.已知直线Z的倾斜角a满足120。135。，贝!的斜率々的取值范围是()

A.[―1,-[―V3,-1]

C.(—V3,—1]D.(—8,—V3]U(—1,+oo)

3.已知曲线>普=l(mHO)的焦距为4,则m=()

A.4B.8C.12D.20

4.若抛物线C：y2=2p%(p>0)的焦点到直线8％—y+2g=0的距离为28，贝K的准线方程为()

A.x=2B.%=1C.x=-1D.%=—2

5.已知向量五=(1,-2,3),石=(1,%,1),c=(2,0,y-1),且五||@+2),贝年+y=()

A.-6B.-3C.3D.6

6.我国古代数学名著《九章算术》中将有三条棱互相平行且只有一个面为平行四边形的五面体称为刍薨.如

图，今有一刍蔓，四边形ABCD为平行四边形，EFII平面ABCD,且AB=2EF,点M在棱FC上，且2FM=MC.

12T2

--b-

333

B.D

42T1

--b-

336

7.已知实数x,y满足/+/—6久+1=0,则集的最小值是()

A.1B.1C.1D.1

8.已知斜率为2的直线/与椭圆C：圣+技=l(a>b>0)交于4B两点，M为线段ZB的中点，。为坐标原

点，若OM的斜率为―焉，贝儿的离心率为()

O

A•苧B-IC.|D.|

二'多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题

目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知点P(l,3)与Q(-3,1)到直线/的距离相等，则/的方程可以是()

A.2久+y=0B.%—2y—3=0C.2x+3y—5=0D.3久—2y+7=0

。且多记也｝的前几项和分别为右，

10.已知｛a",｛"｝均是公差不为。的等差数歹U，1=31=Tn,

则()

A.bi=4B.an=2n+1

C.谯｝为递增数列D-含高著

11.已知F为抛物线C：y2=2p%(p>0)的焦点，直线AB过点T(2p,0)且与C交于A,B两点，。为坐标原点,

贝I()

A.|AF|的最小值为考

B.以线段AB为直径的圆与C的准线相离

C.ZkAOB的面积为定值

D.OA1OB

12.已知四棱台4BC0-4B1QD1的底面为正方形，棱Z41底面ABC。，且4。=AAX=2A1D1=2,则下列

说法正确的是()

A.直线CD1与平面相交

B.若直线AC】与平面BDDiBi交于点M,则M为线段的中点

C.平面&CD将该四棱台分成的大、小两部分体积之比为5：2

D.若点p,Q分别在直线A4,CD1上运动，则线段PQ长度的最小值为呼

三'填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.双曲线/—普=1的一条渐近线方程为.

14.直线/：(3a—l)x+(a+2)y+a—5=0(aCR)所过定点的坐标为.

c

15.已知公比q。1的等比数列满足03,a9,成等差数列，设的前n项和为Sn,则券=.

16.如图，已知AB,BC是圆E的弦，\AB\>\BC\,P为四C的中点，且P在弦AB上的射影为Q,则|4Q|

幽产L该定理称为阿基米德折弦定理.在上述定理中，若已知A(-3,2),B(5,6),点C在直线下方,

PQ||BC,|AQ|=3*，则过点B,C,Q的圆的方程为.

四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.

(1)已知等差数列｛即｝满足%+2an+i=9n,求｛时｝的通项公式;

(2)已知等比数列｛tin｝的公比q=3,且雄€；6=1，求｛&t｝的前n项和Sn.

18.已知椭圆C：与+耳=l(a>b>0)的左、右焦点分别为尸M—遍，0),F2(V3,0),离心率为冬

ab,

(1)求C的方程；

(2)设直线y=x与C交于4B两点，求AABF2的周长.

19.已知圆C经过4(-1,2)和B(8,5)两点，且与％轴的正半轴相切.

(1)求圆C的方程；

(2)若圆C'与圆C关于直线八2%+y=l对称，求圆C’的方程.

20.如图，在四棱锥P—/BCD中，PAJ■平面4BCD,^DAB=^ADC=90°,且ZB=2DC=2，PAAD=

V2.

(1)证明：直线BC1平面P4C；

(2)求平面PZC与平面PBC夹角的余弦值.

n(l,an).

21.已知在数列｛即｝中，%=1,a2=3,｛g｝的前n项和Sn=

(1)证明：｛&J为等差数列;

(2)已知bn=抑求数列｛跖｝的前n项和乙.

22.已知曲线C上的动点M满足||M&|-IMF2"=2,且％(—2,0),F2(2,0).

(1)求C的方程；

(2)已知直线1与C交于尸，Q两点，过P,Q分别作C的切线，若两切线交于点R,且点R在直线％=/上，证

明：I经过定点.

答案解析部分

L【答案】D

【解析】【解答】解：在等比数列中，因为。2=1,。4=2,设公比为q，

又因为的H0,所以,由q=I,（l）,aiq3=2,（2）,曷得出q2=2,

则=«296=1X（q2）3—23=8-

故答案为：D.

【分析】利用已知条件结合等比数列的通项公式，从而建立方程组求出公比的值，再利用等比数列的性质得

出等比数列第八项的值.

2.【答案】C

【解析】【解答】解：因为直线/的倾斜角a满足120。＜a＜135。，

又因为k=tana,当a=120。时，则k=一百，

当a=135。时，则k=—1,则直线/的斜率k的取值范围为（—国，-1].

故答案为：C.

【分析】利用已知条件结合直线的倾斜角的取值范围和直线的斜率与直线的倾斜角的关系式，再结合正切和

的图象求值域的方法得出直线/的斜率k的取值范围.

3.【答案】B

【解析】【解答】解：因为曲线苧+%1（771。0）的焦距为明

当4＞租＞0时，曲线为焦点在x轴上的椭圆，

所以小=4,b2=m,c=Va2—b2=V4—m,

所以，2c=2A/4—m=4,所以，m=0（舍）；

当m＞4时，曲线为焦点在y轴上的椭圆，

所以M=m,b2=4,c=Va2—&2=7m—4,

所以，2c=2Vm-4=4,所以，m=8；

当m=4时，曲线为圆，不存在焦点，所以，m=4（舍）；

当7HV0时，曲线为焦点在x轴上的双曲线，

所以小=4,b2=—m,c=-12_

所以，2c=2V4+m=4,所以，m=0（舍），

综上所述，m=8.

故答案为：B.

【分析】利用已知条件结合分类讨论的方法和双曲线、椭圆焦点的位置得出a,b的值，再结合双曲线、椭圆

中a,be三者的关系式，进而得出c的值，再结合双曲线、椭圆的焦距定义得出m的值.

4.【答案】D

【解析】【解答】解：因为抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F(%0),

因为抛物线焦点F到直线通支-y+2值=0的距离为2百，

所以，p=4翰=—12(舍)，则抛物线C的准线方程为久=一§=一2.

故答案为：D.

【分析】利用已知条件结合抛物线的标准方程得出焦点F的坐标，再利用点到直线的距离公式得出p的值,

从而得出抛物线的标准方程，进而得出抛物线的准线方程.

5.【答案】C

【解析】【解答】解：因为向量N=(l,-2,3),b=(1,x,1),c=(2,0,y-l)，

所以，b+K=(3,久,y)，又因为+所以存在唯一meR,使得a=7710+(：),

1=3mfm=i

所以，•一2=mx,则，久=_6，则久+y=-6+9=3.

(3=my[y=9

故答案为：C.

【分析】利用已知条件结合向量的坐标运算和向量共线的坐标表示，进而得出x,y值，从而得出x+y的值.

6.【答案】A

【解析】【解答】解：因为2FM=MC,得出AM=।华="G|"C丁F=।；儿,

又因为ZC=AB+AD.AF=AE+EF=AE+*AB,

所以，AM=弓a+c)+g(a+b)=++,c.

故答案为：A.

【分析】利用已知条件结合向量共线定理、三角形法则、平行四边形法则和空间向量基本定理，进而找出正

确的选项.

7.【答案】B

【解析】【解答】解：令卜=祟=存胃，

则k可看作圆%2+y2-6%+1=0上的动点到点(5,-4)的连线的斜率，

因为圆％2+y2-6%+1=0的圆心为(3,0),半径长为2/，

所以，法的最小值是当直线与圆相切时的斜率,

设直线方程为y+4=k(x+5),即kx-y+5k-4=0,

|3k+5k-4|方1

由圆心到直线的距离为d=I2=2迎,解得卜=1^=1

加+17

所以,集的最小值是;.

故答案为：

【分析】令九=塞=受胃，则k可看作圆久2+产—6%+1=0上的动点到点(5,-4)的连线的斜率，而直

■A*IJ人》iJJ

线与圆相切时的斜率为所求，再结合数形结合求出切线的斜率，进而得出缥的最小值.

8.【答案】D

【解析】【解答】解：设斜率为2的直线/方程为y=2久+

因为直线/与椭圆C：a+%=1(。>b>°)交于4B两点，

(芷+置=1

联立二者方程，即,层^2,整理可得(d+4Q2)/+4771。2%+q2ml2一人2)=0,

\y=2x+m

2

所以，%i+x=4ma:又因为M为线段43的中点,

2-29^xlx2/

b+4。2Z?2+4a2

2ma2,2

所以，M(乱弃，空4,所以，M(-mb•),又因为。为坐标原点,

庐+4。2庐+4。2

,2

mb

22

0M的斜率为—,所以，k°M=■+4。2=mb_b__3

2ma^2ma22a2&

所以，4=今则椭圆。的离心率为

故答案为：D.

【分析】设出直线的斜截式方程，再联立直线与椭圆方程，从而结合韦达定理和中点坐标公式得出点M的坐

,2

标，再利用两点求斜率公式得出「的值，再结合椭圆的离心率公式和椭圆中a,b,c三者的关系式，进而得出

az

椭圆C的离心率的值.

9.【答案】A,B,D

【解析】【解答】解：因为点P(l,3)与Q(-3,1)到直线/的距离相等，

所以，直线/过PQ的中点或直线PQ的斜率与直线/的斜率相等，

当直线/过PQ的中点时，因为PQ的中点坐标为“(与心,导)，

即M(—1,2),所以，直线2久+丫=0或3久—2y+7=0满足题意；

当直线PQ的斜率与直线/的斜率相等时，如=kPQ=言当=,=｝

所以，直线x—2y—3=0满足题意；

综上所述，直线］的方程可以是2x+y=0或x-2y-3=0或3x-2y+7=0.

故答案为：ABD.

【分析】利用已知条件结合点到直线的距离相等，得出直线Z过PQ的中点或直线PQ的斜率与直线/的斜率相

等，再利用中点坐标公式和直线过点的方法、两点求斜率公式，从而得出满足要求的直线方程.

10.【答案】A,B,D

【解析】【解答】解：因为数列｛0｝均是公差不为0的等差数列，所以，心。0,dzHO,

又因为劭=3且矩|=|,所以，^|=|,则昌=|，所以比=4,所以A对；

根据等差数列的通项公式特征结合=多则设an=2An+1也=3击i+1,壮0，

因为=3,所以，A=1,所以，册=2九+1,勾=3九+1,所以B对；

由选项B可知，令d=器=所以，Cn+1=3(n+l)+l=tnS'

_2n+32n+l_(2n+3)(3n+l)—(2n+l)(3n+4)_6n2+lln+3-6n2—lln—4_1口

Cn+1-4=3n+4-3n+l=(3n+4)(3n+l)=(3n+4)(3n+l)=一(3n+4)(3n+l)<U

所以％+i<d，所以数列｛孑｝为递减数列，所以C错；

un

由选项B可知由=24=242=34=3,由选项A可知比=4,又因为｛%J,｛%｝的前n项和分别为Sn,Tn,

同网+吗Dg+n_3」+吗"x2+n_6+2n_6+2n_2所以口对

人」而丐%豆一痴再不如一开而—丽用一宠所以口对.

故答案为：ABD.

【分析】利用已知条件结合代入法得出力的值，从而判断出选项A；利用等差数列的通项公式的结构特征和

已知条件得出数列｛%J,｛%｝的通项公式，从而判断出选项B；利用数列｛%｝,｛.｝的通项公式得出数歹U垮)

的通项公式，再结合数列单调性的定义，从而判断出选项C；利用已知条件结合等差数列前n项和公式和选项

A以及选项B,进而判断出选项D,从而找出正确的选项.

n.【答案】B.D

【解析】【解答】解：设蟹孙,女"(孙，冲)，

对于A,若|AF|=刍，则点A与坐标原点O重合,

直线AT为x轴，与抛物线C不可能有两个交点，所以A错;

对于B,如图，设AB的中点为M,过A,B,M分别向准线引垂线,

垂足分别为当,Mi，

则幽“]|=出吗四=吗幽＞挈，因为以线段AB为直径的圆与抛物线C的准线相离，所以B对;

对于C,三角形A40B的面积为S=号|。7|X|治-'BI，1。71为定值，|力一丫/51显然不是定值，所以C错；

对于D,设直线AB的方程为x=my+2p,联立x=my+2P与y2=2px,

(yA+yR=2mp

整理可得y2—2mpy_4P2=0,再由根与系数的关系可得y?_4p2,

且y：=2P办，yj=2pxB,止匕时•日=鬻=恶=

所以，。41OB,所以D对.

故答案为：BD.

【分析】利用已知条件结合抛物线的定义、几何法、抛物线的性质、韦达定理、直线与圆的位置关系、三角

形的面积公式、两点求斜率公式和两直线垂直斜率之积等于-1,进而找出正确的选项.

12.【答案】A,C,D

【解析】【解答】解：根据题意，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系如图所示：

对于A,由ZB=AD=A4i河知暖=(1,1,1)为平面&BZ)的一个法向量，

又因为b=4、一品=(_2,—1,2),所以,盂•=-2—1+2=—1H0,

所以，：与不垂直，即直线CD1与平面相交，所以A对；

对于B,连接ZCi，&Ci，AC,设正方形ABCD的中心为O,正方形&8也山1的中心为0,

则。为AC的中点，。1为&Ci中点，连接0。「可得。3u平面u平面AiGCA,所以，。。1

与4G的交点即为点M,

1

由=/4=2A1D1=2,所以，01cl||0A,且0道1=方。4

所以，AZ0M与AQ01M相似，所以，CrM=^AM,

所以点M是/J的一个三等分点，所以B错；

对于C,如图，延长&B1至点E,使得2止=4R

1111f)

X2x2x2-XX2X2><2=，

则K41B1-/BCD=AIAD-EBC~BX-EBC=232T

又因为匕4m1。遇1一/58=gx(lxl+2x2+Vlxlx2x2)x2=竽，

所以，乙11%。-/C1C=%从而，平面&CD将该四棱台分成的大、小两部分体积之比为学：1=5：2,所以，C

对；

对于D，区ZP=(0,0,4),4Q=/C+mCOi=(2-2m,2-zn,2zn),其中4，mER,

因此，PQ=(2-2m,2-m,2m-A)>贝"PQ|=V(2-2m)2+(2-m)2+(2m-A)2=

J5(m-§+(2m—A)2+

当且仅当4=卷，加=机寸取等号，所以，线段PQ长度的最小值为等，所以D对.

故答案为：ACD.

【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，借助空间向量得到线与平面的法向量不垂直判断出选项A；借助

相似三角形计算判断出选项B；由棱台和棱锥的体积公式结合作差法判断出选项C；设出点P,Q坐标结合距

离公式计算判断出选项D,从而找出说法正确的选项.

13.【答案】y=3%或y=-3%

9

【解析】【解答】解：因为双曲线尤2—若=1，所以a2=i,M=9,

又因为a>0,b>0,所以，a-1,b=3,

所以，双曲线的一条渐近线方程为y=:久=3%弱;=—:久=_3x

故答案为：y=3%或y=-3久.

【分析】利用已知条件结合双曲线的标准方程确定焦点坐标，从而得出a,b的值，进而得出双曲线的一条渐

近线方程.

14.【答案】(-1,2)

【解析】【解答】解：因为直线/：(3a-1)%+(a+2)y+a-5=0(ae/?),

所以a(3%+y+1)+(—龙+2y—5)=0,所以，

所以｛初11，则直线/所过定点的坐标为(—1,2).

故答案为：(—1,2).

【分析】利用已知条件结合直线方程变形，从而建立x,y的二元一次方程组，进而解方程组得出直线恒过的

定点坐标.

15.【答案】

【解析】【解答】解：因为公比q丰1的等比数列满足。3,。9,成等差数列，且由丰0,

a3

所以，2a9=a3+6,所以，2%_q8=%勺2+%q5,所以，2q&—g—1=o,

则(2q3+i)(q3—1)=0,所以/=—$或“3=1(舍)，设的前n项和为Sn,

9(l-q9)3

mi|^9___7_1-e3)_1-(T)_64

则后一刊yrETm同一千司一钎

故答案为：需

【分析】利用已知条件结合等差中项公式和等比数列的通项公式，从而建立公比的方程，进而解方程得出q3

C

的值，再利用等比数列前n项和公式得出含的值.

?27

16.【答案】x2+y2—10%—7y+31=0

【解析】【解答】解：设圆的一般方程为/+y2+D6+Ey+尸=0,其中。1，瓦9CR,

因为力(一3,2),5(5,6),所以，线段AB的长度为|48|=J(—3-5尸+(2-6尸=4逐,

根据阿基米德折弦定理，MQ|=叫；四,\AQ\=3遥，所以线段BC的长度为2|/Q|-|43|=2近，

由于PQ||BC,所以，kpQ=0°=:=跖c,

XQXPXCXB

pi=-10

所以将点B,C,D的坐标代入圆的一般方程可得E=-7,

VF=31

所以过点3,C,Q的圆的方程为了+y2—io%—7y+31=0.

故答案为：x2+y2—10%—7y+31=0.

【分析】利用已知条件结合两点距离公式和阿基米德折弦定理得出BC的长，再结合两直线平行斜率相等和两

点求斜率公式，进而得出C,D的坐标，再结合圆的一般方程和点代入法得出圆的一般方程.

17.【答案】⑴解:设等差数列的公差为d,

则与+2an+1=%+(n•-l)d+2al+2nd=3dn+3al—d=9n,

3d=9,

所以角牟得的=1,d=3,

3。1d—0,

所以即=1+3(n—1)=3n—2

(2)解：因为等比数列｛册｝的公比q=3,且强即=1，

所以城即=a：q9=3%；=1,%=2，

所以s一"1—q")分(1一3，3n-31

皿一—一q一1一3一^-一54

【解析】【分析】(1)利用已知条件结合等差数列的通项公式，从而建立首项和公差的方程组，再解方程组得

出首项和公差的值，再结合等差数列的通项公式得出数列｛为3的通项公式；

(2)利用已知条件结合等比数列的通项公式得出首项的值，再结合等比数列前n项和公式得出数列的前

71项和5葭.

18.【答案】(1)解：由题意知C的半焦距c=8，

因为周心率e——=乌，所以a=V6>

a2

b=Va2—c2=V3,

所以C的方程为合+^=1

63

(6铲弹4方产加(<+4=1'铲衿卜1=卜2=一企，

(2)解：联“方程得J63解得JM

、y=x,81=42,(y2=-V2,

所以|4B|=y[2\x1-x2\=4.

由对称性可知IBF2I=\AFr\,

所以△ABF2的周长为|AB|+IAF2I+IBF2I=\AB\+\AF2\+\AF1\=4+2a=4+2遍

【解析】【分析】(1)利用已知条件结合焦点坐标得出c的值，再利用椭圆的离心率公式得出a的值，再结合

椭圆中a,b,c三者的关系式得出b的值，从而得出椭圆的标准方程;

(2)利用已知条件联立直线与椭圆方程得出交点A,B的坐标，再结合两点距离公式和图形的对称性，进而

由三角形的周长公式得出三角形△ABF2的周长.

19.【答案】(1)解：根据题意设圆C的方程为Q—a)2+y2+by=o,其中。＞0.

将力(―1,2),5(8,5)两点的坐标代入方程得(一1一?+4+25-0,

((8-a)2+25+56=0,

解得a=3,b=—10.

2

因此圆C的方程为(％-3)2+y2-ioy=0,标准方程为。一3尸+(y-5)=25.

(2)解：因为圆C'与圆C关于/对称，所以两个圆的圆心关于Z对称，半径相等.

由(1)知圆C的圆心为C(3,5),设圆C’的圆心坐标为(久0，y。)，

yp-5_i

x-3—2，

则0

2x吟+空=1

解得劭一一5‘即c'(—5,1),

(y0=1，

所以圆C'的方程为(％+5/+(y-I)2=25.

【解析】【分析】(1)利用已知条件结合圆的标准方程和点代入法，从而解方程组得出圆的标准方程；

(2)利用圆C,与圆C关于直线/对称，所以两个圆的圆心关于Z对称，半径相等，再利用圆的标准方程求出圆C

的圆心坐标，设出圆C,的圆心坐标，再结合中点坐标公式和点代入法以及两直线垂直斜率之积等于-1,从而建

立方程组得出圆C,的圆心坐标，进而得出圆C’的方程.

20.【答案】(1)证明：根据题意，以4为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则4(0,0,0),8(0,2,0),C(V2,1,0),D(V2,0,0),P(0,0,a),

所以丽=(或，-2,0),AC=(V2,1,0),AP=(0,0,V2).

因此丽•存=0,BD-AC=0,

所以BDLAP,BDVAC,

又因为APClAC=A,所以直线BQ1平面PAC.

⑵解：根据⑴知，~BD=(V2,一2,0)为平面24c的一个法向量.

因为阮=(/，-1,0),7c=(V2,1,一鱼)，

设元=(%,y,z)为平面PBC的法向量,

n-=y/2x—y=0,仃「

则一一LLW=(l,V2,2).

n-PC=V2x+y—V2z=0,

因为|cos伍，BD)\=^^=-^=^.

所以平面PAC与平面PBC夹角的余弦值为答

【解析】【分析】(1)根据题意，以4为坐标原点，建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标和向量的坐标,

再结合数量积为0两向量垂直的等价关系和数量积的坐标表示，从而证出线线垂直，再结合线面垂直的判定

定理证出直线BC1平面P4C；

（2）根据（1）知，~BD=（V2,-2,0）为平面24c的一个法向量，再利用诙=（鱼，-1,0）,PC=

（V2,1,-鱼）结合数量积为0两向量垂直的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面的法向量，再

结合数量积求向量夹角的余弦值的公式得出平面PAC与平面PBC夹角的余弦值.

21.【答案】（1）证明：因为所以Sn+1=>+l）（；+4+D，

两式相减得即+i=（>+1）（；+囹+1）,"1产）,

整理得（九—l）an+1=nan—1,所以（n—2）an=（n-1）纵_1-1,n,2,

两式相减整理得2a九=an+1+%i_i，n》2,

即为等差数列.

（2）解：由条件及（1）知｛。九｝是首项为1,公差为2的等差数列，所以也九｝的通项公式为即=2n-1.

所以勾=铝，

则Tn++京+黄+…+笑I+竽，

11352n-32n-l

246=2—+2—+2—+".+1/+2”+i'

两式相减得抗="8+玄+…+雅）—翁

_工12九一1_32n+3

22九—12九+122九+1'

整理得〃=3—竽.

【解析】【分析】（1）利用已知条件结合5„,即的关系式和分类讨论的方法，再结合检验法和等差数列的定义，

进而证出数列为等差数列；

（2）由条件及（1）知数列｛a"是首项为1