函数图象及性质应用（练习）-2025年北京高考数学二轮复习（解析版）

专题03函数图象及性质应用

目录

01模拟基础练.......................................................2

题型一：函数定义域、值域、解析式...................

题型二：函数单调性、周期性、奇偶性、对称性..........................6

题型三：函数零点所在区间及分段函数值域求参问题.....................12

题型四：对数的实际应用.............................................18

题型五：指对幕比较大小.............................................23

题型六：指对幕运算及解不等式......................................26

02重难创新练......................................................32

梢阳建础飨

//

题型一：函数定义域、值域、解析式

1.函数/(©=里的定义域为()

x-1

A.(0,+oo)B.(0,1)51,y)

C.[0,+00)D.[0,l)u(l,+w)

【答案】B

【解析】令x>0且xTwO即可求解.

,,fx>0

【详解】由题思得z：\得％>0且xwl,

所以函数的定义域为(O,l)u(l,y),

故选：B

2.函数〃x)=J的定义域为()

-2x

A.(0,2)B.[0,2]

C.(—,0)(2,+oo)D.(-oo,0][2,+oo)

【答案】c

【解析】由分母中根式内部的代数式大于0,解一元二次不等式得答案.

【详解】由/一2彳>0,得尤<0或无>2,所以函数〃x)=J的定义域为(F,0)(2,例).

7x-2x

故选：c

3.函数=\库]的定义域为()

V%+1

A.(-1,2]B.[2,+动

C.(-00,-1)t[1,+OO)D.(-8,-1)、[2,+OO)

【答案】B

【解析】根据二次根式需被开方数大于等于零，可得选项.

【详解】函数小卡,令三彳川’得A2N。，解得

所以/(X)的定义域为[2,+8).

故选：B.

4.函数/(X)=Jx?-5x+6的定义域为()

A.{x|%,2或x..3}B.{x|%,-3或x…一2}

C.{x|2M3}D.{x|-3M-2}

【答案】A

【解析】根据被开方数是非负数，求解一元二次不等式，则问题得解.

【详解】由/-5x+6..O,解得2或x..3,

，函数/(x)=7X2-5X+6的定义域为*I苍,2或x..3}.

故选：A

5.已知函数=则对任意实数无，函数/'(X)的值域是()

A.(0,2)B,(0,2]C.[0,2)D.[0,2]

【答案】C

【分析】根据给定条件，利用不等式的性质求出函数值域得解.

【详解】依题意，尤卜氢21"_2=2_

'72%2+12X2+1

22

显然2/+121,则0＜丁二《2,于是0W2-二「＜2,

2X2+12X2+1

所以函数〃尤)的值域是[0,2).

故选：C

6.下列函数中，是偶函数且值域为[0,+s)的是().

A.f(x)=x2-1B./(x)=/

C.f(x)=log2xD.f(x)=\x\

【答案】D

【分析】分别判断每个选项函数的奇偶性和值域即可.

【详解】对A,/(^)=%2-1＞-1,即值域为卜1,4«),故A错误；

对B,/(x)=/的定义域为[0,+功，定义域不关于原点对称，不是偶函数，故B错误;

对C,/（力=1082工的定义域为（0,y），定义域不关于原点对称，不是偶函数，故C错误；

对D,/（x）=|x|的定义域为火，/（-x）=|x|=/（x）,故〃x）是偶函数，且〃力=N20,即值域为［0,y），

故D正确.

故选：D.

7.下列函数中，既是奇函数，又满足值域为R的是（）

A.y=-B.y=x+—C.y=x~—D.y=sinx

xxx

【答案】C

【分析】由函数的奇偶性和值域直接判断可排除A、B、D,对C,采用导数法，函数函数图象可判断正确

【详解】对A,>=工为奇函数，值域为故A错；

对B、y=x+-,函数为“对勾函数”因为xwO,所以yw。，故B错误；

X

对C,y=x-L为奇函数，当尤>0时，因为y'=l+'r>0,故〉=苫」在x>0为增函数，X=1时，函数值

XXX

为o,当xfo+时，y—,尤―”,丁一+00,画出图形如图：

所以yeR,故c正确；

对D,y=sinx,函数为奇函数，值域为［-1』，故D错误；

故选：C

8.下列函数中，值域为R且区间（0,+8）上单调递增的是（）

A.y=-x3B.y=x|x|C.y=x-1D.y=Vx

【答案】B

【分析】求出各选项中函数的值域，并判断出各函数在区间（0,+8）上的单调性，由此可得出结论.

【详解】对于A选项，函数y=-/的值域为R且区间（0,+8）上单调递减；

_%<0

对于B选项，了=》国=4,当尤>0时，y=%2>0；当xVO时，y=-x2<0.

［无~,x>0

所以，函数y=x|x|的值域为R,且在区间(0,+8)上单调递增；

对于C选项，函数y=/的值域为{小W0},且在区间(0,+8)上单调递减；

对于D选项，函数y=«的值域为［0,+"),且在区间(0,+8)上单调递增.

故选：B.

9.下列函数中，与函数/(引=\］的定义域和值域都相同的是()

A.y=x2+2x,x>0B.y=

C.y=10-xD.y=x+-

X

【答案】c

【解析】根据指数函数性质得到f(x)定义域和值域，依次判断各个选项即可得到结果.

【详解】由指数函数性质知：=的定义域为R,值域为(0,+8).

对于A,定义域为(0,+8),与/(x)不同，A错误；

对于2,值域为［。,+8),与/(尤)不同，B错误;

对于C,定义域为R,值域为(0,+8),与相同，C正确；

对于O,定义域为{小*0},与不同，O错误.

故选：C.

10.已知函数/(》)=2j,/(6)=1,贝1|/(-四)=

A.1B.—C.—D.—

828

【答案】D

【分析】利用求得。的值，即求得函数/(》)的解析式，由此来求了卜亚)的值.

【详解】依题意/(6)=23-。=1=2-2,故3-。=一2,解得“=5.故〃x)=2/",所以/卜亚)=22-5=2-3=5

故选D.

题型二：函数单调性、周期性、奇偶性、对称性

H.下列函数中，是偶函数且在+8)上单调递减的是()

A./(x)=x2-|x|B./(%)=eH

C./(x)=|lnx|D.=2

【答案】D

【分析】先检验函数的定义域是否关于原点对称,再考查是否为偶函数，结合函数解析式,分析函数在(0,+OO)

上的单调性即得.

【详解】对于A,因〃_>=子一次|=/(劝,则函数/(X)为偶函数,

211

X-X—(X—)2—,x>0

24

且/。)=显然f(尤)在(0,+8)上先减后增,故A错误;

11

X9+X=(XH—)7—,XW0

24

ex,x>0

对于B,S/(-x)=ew=/(%),则函数/(x)为偶函数，且"x)=

e-x,x<0,

显然函数/(%)在(0,+8)上为增函数，故B错误；

对于C,函数〃x)=|l时的定义域为(0,+8),故/(无)是非奇非偶函数，故C错误；

对于D,因/'(x)=J的定义域为(-0,0)(0,+8),关于原点对称，

且〃r)=!=/(x)，即函数f(x)是偶函数，且在(0,+8)上单调递减，即D正确.

故选：D.

12.下列函数中，既是偶函数又在区间(0,+8)上单调递减的是()

A.y=-B.y=YC.y=cosxD.y=-ln|x|

X

【答案】D

【分析】根据偶函数的定义和基本函数的性质逐个分析判断即可.

【详解】对于A,定义域为{小*0},令〃x)=L因为“-)=-1=」=一/(元)，所以此函数为奇函数,

X—XX

所以A错误，

对于B,定义域为R,令网工)=X2,因为/z(-x)=(-x)2=产=g)，所以此函数为偶函数,

因为y=Y在(0,+s)上单调递增，所以B错误，

对于C,定义域为R,令g(x)=cosx,因为g(-x)=cos(-x)=cos_x=g(x),所以此函数为偶函数，

因为y=cosx在(0,+勾上有增区间也有减区间，所以C错误，

对于D,定义域为{小力0},令机⑺=-1中|,因为m(―x)=-lnT=-1中|=机(幻，所以此函数为偶函数，

当x>0时，y=-\nx,因为y=lnx在(0,+s)上单调递增，所以y=-lnx在(0,+⑹上单调递减，所以D正确，

故选：D

13.下列函数中，是偶函数且在区间(0,+8)上单调递增的是()

A.y=e*B.y=x--C.y=|尤1D.>=cosx

X11

【答案】C

【分析】根据题意，结合函数奇偶性的定义和判定方法，结合初等函数的单调性，逐项判定，即可求解.

【详解】对于A中，由指数函数的性质，可得函数丁=6,为非奇非偶函数，所以A不符合题意；

对于B中，函数〃同=尤-工的定义域为(-8,0)一(0,+8)关于原点对称，

X

且〃-x)=-(尤-J)=-〃x)，所以/(X)为奇函数，所以B不符合题意；

对于C中，函数〃x)=|刈的定义域为R关于原点对称，且满足〃_0=卜刈=卜3卜”X),所以/(X)为偶

函数，

当x6(0,+8)时，/(x)=x3,在区间(0,+8)上单调递增，所以C符合题意；

对于D中，函数y=cosx在期间(0,+oo)上不是单调递增函数，所以D不符合题意.

故选：C.

14.下列函数中，是偶函数且在区间(0,+8)上单调递增的是()

A.=；B.f(x)=sin|x|

C.〃x)=2"+2TD./(x)=tanx

【答案】C

【分析】根据题意，由函数的奇偶性以及单调性的定义，对选项逐一判断，即可得到结果.

一,x>0

x

【详解】，则/'(X)为偶函数，但在区间(。,+e)上单调递减,

1

—,XC0

X

故A错误;

〃什巾5R广为偶函数，但在区间(0,+8)上不具有单调性,

故B错误；

/(x)=2,+2T的定义域为R,且〃—x)=2T+2*=/(x),

则〃x)为偶函数，令f=2",当xe(0,+oo)时,则fe(l,+oo),

则>=1+>>1,由对勾函数的性质可知，丫小+1■在(1,+s)单调递增,

所以7(x)=2"+2一工在区间(0,+“)上单调递增，故C正确；

〃x)=tanx为奇函数，故D错误；

故选：C

15.下列函数中，既是奇函数又在其定义域上是增函数的是()

A.f(x)=sinxB.fCx)=cosx

C./(%)=«D.f(x)=x3

【答案】D

【分析】根据已知的各个函数的性质，可以直接作出判断.

jrTT

【详解】八x)=sinx是奇函数，它在区间-5+2左肛5+2左万，左eZ上单调递增，在定义域内不是增函数,

所以选项A是错误的；

/(%)=cosx是偶函数，所以选项B是错误的；

/(*=6既不是奇函数又不是偶函数，所以选项C是错误的；

/("=丁满足既是奇函数又在其定义域上是增函数，所以选项D是正确的；

故选：D.

16.下列函数中，在区间(l,y)上单调递减的是()

A.f^x)=4xB.f(x)=e-^

C.f^x)=x+—D./(x)=lnx

【答案】B

【分析】根据基本初等函数的单调性判断A、B、D,利用导数判断C选项的单调性.

【详解】对于A：/(*)=石在定义域[0,小)上单调递增，故A错误；

对于B：=在定义域R上单调递减，故B正确；

对于C：f(x)=x+-,则((x)=]==(x+l),T),

XXX

当xe(l收)时/'(x)>0,所以=在(1,内)上单调递增,故C错误；

X

对于D：/(x)=lnx在定义域(0,+“)上单调递增，故D错误.

故选：B

17.下列函数中，是偶函数，且在(-8,0)上是减函数的是()

2

A.〃x)=tanxB./(x)=ex+e-xC./(x)=cosxD./(*)=”

【答案】B

【分析】根据基本初等函数的奇偶性、函数奇偶性的定义、函数导数判断函数单调性和特殊值判断函数单

调性，针对各个选项判断即可；

【详解】对于A,函数/(x)=tanx是奇函数，A错误；

对于B,函数/(一可=/+/=/(幻，所以函数为偶函数，/(x)=e，一尸=(?：T=©T；'+1),

令/'(无)=0,得尤=0,当xe(-8,0)时，0</<lJ'(x)<0,/(x)在xe(-oo,0)上单调递减，B正确;

对于C,函数/(x)=cosx为偶函数，在尤e(-8,0)上单调性有增也有减，C错误；

对于D,函数r=”=/(*),所以函数为偶函数，8)=(-8)3=：

/(_1)=(_1)-3=1，/(-8)</(-1),函数在xe(-8,0)上一定不是减函数，D错误；

故选：B.

18.下列函数中，是奇函数且在区间(。,+e)上单调递减的是()

A./(x)=^-j-B,f(x)=-x3C./(x)=tanxD.”x)=l°gJN

【答案】B

【分析】由奇函数的性质可判断A、D错误；由奇函数的性质和导数可得B正确；由正切函数的定义域可

得C错误.

【详解】A：因为〃_尤)=二匕=占2-〃尤)，所以〃x)不是奇函数，故A错误；

B：因为/(x)的定义域为R,

又“T)=-(-W=X3=-“X),所以“X)是奇函数，

又f(x)=-3x2<0在(o,+8)恒成立，

所以在区间(。,+")上单调递减，故B正确；

C：由正切函数的定义域可得函数〃x)=tanx在(0,+巧上不连续，

所以/■(%)在区间(。,+“)上不单调，故C错误；

D：因为/(一力二题]一仁题/尤花一“尤)，所以〃尤)不是奇函数，故D错误；

22

故选：B.

19.已知函数“力对任意xeR都有〃x+2)=-〃x),且J(r)=-〃x),当xe(—1』时,〃力=如.则下

列结论正确的是()

A.函数y=/(x)的图象关于点伏,0)仕eZ)对称

B.函数y=〃x)的图象关于直线彳=2左仕€2)对称

C.当xe[2,3]时，〃无)=(尤—2)3

D.函数y=|/(x)|的最小正周期为2

【答案】D

【分析】根据〃x+2)=-〃力得至！J“x+2)"(x-2),所以/(X)的周期为4,根据/(r)=—〃x)得到

关于x=-l对称，画出了⑺的图象，从而数形结合得到AB错误;再根据〃x)=-/(x-2)求出xe[2,3]

时函数解析式；D选项，根据>=〃无)的最小正周期，得到y=|/(x)|的最小正周期.

【详解】因为〃x+2)=—〃x),所以〃x)=—2),故/(x+2)"(x-2),

所以“X)的周期为4,

又=所以/(—x)=/(x-2),故“X)关于x=-l对称,

又1』时,/(x)=x3,故画出“X)的图象如下：

A选项，函数'=/(尤)的图象关于点。,0)不中心对称，故A错误；

B选项，函数y=f(x)的图象不关于直线x=2对称，B错误；

C选项，当xe[2,3]时，x-2e[0,l],则/(可=一〃无一2)=-@一2)3,C错误；

D选项，由图象可知y=/(x)的最小正周期为4,

又|〃X+2)H-〃X)|=『(X)|,故y=的最小正周期为2,D正确.

故选：D

20.设为定义在R上的偶函数，且〃x)在[0,+。)上为增函数，则〃-2)、〃-兀)、/⑶的大小顺序为

()

A./(-7i)</(-2)</(3)B./(-2)</(3)</(-7T)

C./(-7T)</(3)</(-2)D.f(3)</(-2)</(-7r)

【答案】B

【分析】根据函数为偶函数，将自变量转化到同一个单调区间，再根据函数的单调性比较大小即可.

【详解】因为/'(X)为定义在R上的偶函数，

所以/(—2)"(2),/(-兀)=/(江

又因为〃龙)在[。,+8)上为增函数，2<3<兀，

所以"2)<"3)<〃兀)，即/(-2)</(3)</(-K).

故选：B.

题型三：函数零点所在区间及分段函数值域求参问题

21.函数/(》)=-工+bg,尤的零点所在区间是()

X

A.(ofB.gjC.(1,2)D.(2,3)

【答案】C

【分析】计算端点函数值，根据零点存在性定理和单调性直接判断可得.

【详解】易知增函数加增函数为增函数，函数/(x)在定义域(0,+勾上单调递增，且〃I)=log21-；=T<0,

f(2)=log22——=1——=—>0,所以/(x)存在唯一"零点X。，且%e(l,2).

故选：C.

22.已知函数/(x)=e'-尸，下列命题正确的是()

①是奇函数；

②方程/(%)=%2+2彳有且仅有1个实数根；

③在R上是增函数；

④如果对任意x«0,+oo),都有〃x)>"，那么左的最大值为2.

A.①②④B.①③④C.①②③D.②③④

【答案】B

【分析】对于①，根据奇函数的定义判断，对于②，令g(x)=〃x)-可得g(0)=0,再结合零点

存在性定理分析判断，对于③，对函数求导后利用导数判断，对于④，问题转化为-质>0恒成立，构

造函数6(x)=e*-er-近，求导后分析判断.

【详解】对于①，因为/(x)=e£-的定义域为R,

且〃-司=1—e，=—伫―b)=-〃尤)，所以〃元)是奇函数，所以①正确，

对于②，令g(x)=/(^)-x2-2x=ex-e-x-x2-2^,

因为g(0)=0,所以方程所以〃x)=V+2x有一个根为0,

33

因为g(2)=e2—e-2_8<0,g(3)=e-e--15>0,

所以方程/(X)=X2+2X在(2,3)至少有一个根，所以②错误,

对于③,由/(力=—得于(6=打+b>0,

所以在R上是增函数，所以③正确，

对于④，若对任意都有/(x)>Ax,即/-b-辰>0恒成立,

令h(x)=ex-e~x-kx,贝！Jhr(x)=ex+e~x-k,

er+e-x>2Vev-e-x=2>当且仅当炉=片"即无=0时取等号,

因为无>。，所以取不到等号，所以

若％V2,则"(尤)>0恒成立，所以飘尤)在X€(0,y)上递增,

所以h(x)>伙0)=0,即e工一e-，—爪>0恒成立，

若人>2,则存在为仁(0,+<»)使/75)=0,

所以当0cx<无0时，h'(x)<0,当X>X0时，I(无)>0,

所以〃(X)在(0,%)上递减，在(为,+8)上递增，

所以h(x)在(0,%)上，有/z(x)<九(0)=0不合题意,

综上，k<2,所以上的最大值为2,所以④正确，

故选：B

23.已知函数/(元)=(卞，-声，那么在下列区间中含有函数零点的为()

A.(0,1)B.(|,1)C.(1,1)D.(1,2)

【答案】B

11

【详解】试题分析：由题意知：/1=仕¥_仁¥>0,

⑴⑶⑴

1r1\2111

=/(2)=—-23<0,由零点判定定理知在区间(二,彳)内原函数有零点.

2\2J?■

故选B

24.设函数/(元)=g尤-Inx(尤>0),则函数/(x)

A.在区间(0,1),(1,y)内均有零点

B.在区间(0,1)，。,内)内均无零点

C.在区间(0,1)内有零点，在区间(L+8)内无零点

D.在区间(0,1)内无零点，在区间(1,+⑹内有零点

【答案】D

【分析】先求导确定函数的单调性，再计算了(X)min=/(3)<。，f(l)>0,即可判断.

【详解】”x)=：x7nx,尸(x)=!-士当0<x<3时，八尤)<0,/⑺单调递减；当x>3时，/«>0,

〃元)单调递增，

所以/(X)疝n=/(3)=lTn3<0,ffi]/(l)=1-lnl=|>o,所以函数在区间在区间(0,1)内无零点，在区间

(1,+co)内有零点.

故选：D.

x+1,x<1,

25.若函数〃x)=°存在最大值，则实数。的取值范围为()

—,X>1

A.(0,2]B.(-oo,2]C.(2,+co)D.[2,+功

【答案】D

【分析】当X<1时，/(x)=x+l<2,无最大值，所以函数在*21时取到最大值，然后根据反比例函数的图像

和性质分析即可.

【详解】当X<1时，fM=x+l<2,

X+1,X<1,

又函数/(尤)=1a1存在最大值，

—,x>1

、了

所以函数在XN1时取到最大值，又X21时，/«=-,

X

当。=0时，显然不合题意，当awO时，/(X)=@为反比例函数，

故选：D.

x?—+in+x<2

26.已知函数/(元)=<2加工>2'—，当彳=2时，取得最小值，则根的取值范围为()

A.B.[2,4]C.[-1,2]D.[-1,1]

【答案】B

【分析】根据二次函数和指数函数的性质，及分段函数的最值即可得求解.

【详解】当x>2时，，(x)=2㈤单调递增，则/(x)>8；

当x<2时，=-2〃眈+/找+疗开口向上，且对称轴为x="z,

又当尤=2时，“X)取得最小值/'(2)=4-4〃?+〃2+1,

m>2

所以解得2<m<4,

4—4m+m+m2<8

所以加的取值范围为[2,4].

故选：B.

上x<l

27.已知函数〃x)=x-l'的值域为R,则实数。的取值范围是()

2"—Q,%21

A.(-oo,0)B.(0,+oo)C.(-00,1]D.口,+8)

【答案】D

X

【分析】由于当x<l时，」7<1，所以当时，求出丁-々的最小值，使其最小值小于等于1即可.

x-1

【详解】当X<1时，/。)=1+工<1,

X-L

当兀N1时，f(x)=2x-a>2l-a=2-a,

x

X<1

因为函数/(%)=卜-1'的值域为R,

Y—a,x>\

所以2—a<l,得〃21,

所以实数。的取值范围是[1,欣)，

故选：D.

—x<0

28.已知函数/(%)=/的值域为R,则实数。的取值范围是()

2'—a,x20

A.(-oo,0)B.(0,+8)C.(-oo,l]D.[l,+oo)

【答案】D

【分析】由于当尤<0时，-<o,所以当X20时，求出的最小值，使其最小值小于等于零即可.

X

【详解】当xvO时，/(x)=-<0,

X

当xNO时，/(x)=2X-a>2Q-a=1-a,

因为函数/(x)=1X,的值域为R,

2"—x20

所以1-a<0,得

所以实数〃的取值范围是[1,+<Q)，

故选：D.

29.若函数〃尤)=，有最小值，则实数加的取值范围是()

[lx2-4mx+3m,x>l

A.(-°o,0)B,[2,+oo)

C.(-oo,0)u[l,+co)D.(0,1)[2,+oo)

【答案】B

【分析】分类讨论x<l与尤21两种情况，结合指数函数的单调性与二次函数的性质，即可求得机的取值范

围.

【详解】因为〃尤，有最小值，

[2x2-4mx+3m,x>l

当尤<1时，〃x)=2;相，显然在(-*1)上单调递增，且〃x)>-机，即〃”在(-8,1)上没有最小值；

当xNl时，f(x)=2x2-4inx+3m,易知〃x)在[1,+℃)上必有最小值，

因为“X)开口向上，对称轴为x=〃J

当〃zWl时，/(力晶=/(1)=2-机，易知/(0)=2°_〃7=1_〃2<2_〃7=/(1),

故/⑴不是/(尤)在R上的最小值，则/'(*)在R上没有最小值，不满足题意；

2

当相>1时，〃x)1n=/(^)=-2m+3m,

要使得/(m)是〃x)在R上的最小值，贝！]/(旬4-〃z,即-2病+3山4-〃7,

解得机40或加-2,所以帆-2；

综上：机，2,即机e[2,+oo).

故选：B.

30.已知〃=2m若〃x)存在最小值，则实数a的取值范围为()

[2a,x>2

A.[o,；B.10怖C.(0,g(1,2)D.(oj51,2)

【答案】A

【分析】通过对参数。分类讨论，研究/(x)在(-8,2]和(2,+⑹的单调性，再结合已知条件，即可求解.

【详解】解：由题意，不妨令g(x)=(a—2)x+4a+l,XG(-OO,2]；/z(x)=2ax~l,XG(2,-FW),

①当Ovavl时，g(%)=(a-2)X+4a+l在(一8,2]上单调递减，

/?(%)=2优t在⑵+8)上单调递减，易知/?(%)=2优t在(2,+8)上的值域为(0,2a),

又因为/(X)存在最小值，只需g(2)=(a—2)x2+4a+lwo,解得awg,

又由Ovavl,从而0<Q4?；

2

②当1vav2时，g(%)=(a—2)X+4a+1在(-*2]上单调递减,h(x)=2优一】在(2,+s)上单调递增,

又因为/(%)存在最小值，故g(2)4/i(2),

3

即(a—2)x2+4a+lW2a,角星得，a<—,这与lva<2矛盾；

4

—f9,x<2

③当。=2时，/(%)=、易知了。)的值域为(4+8),显然/(%)无最小值；

[2x,x>2

④当。>2时，g(%)=(a-2)%+4a+1在(-oo,2]上单调递增，h(x)=2ax~l在(2,+oo)上单调递增,从而/(%)无

最小值.

综上所述，实数。的取值范围为.

故选：A.

题型四：对数的实际应用

31.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记

录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足乙=a+〃gV(其中。，6为常数)，已知某同

学视力的五分记录法的数据为3。时小数记录法的数据为0.01,五分记录法的数据为4。时小数记录法的数

据为0.1,则()

A.a—5,b=IgeB.a-5,b=lC.a-5,Z?=lnlOD.a=\,b=5

【答案】B

【分析】根据题中函数模型，列方程，结合对数运算求解即可.

【详解】由五分记录法的数据为3.0时小数记录法的数据为0.01,

五分记录法的数据为4.0时小数记录法的数据为0.1,

3=tz+Z?lg0.01b=l

解得

4=«+MgO.la=5

故选：B.

32.今年8月24日，日本不顾国际社会的强烈反对，将福岛第一核电站核污染废水排入大海，对海洋生态

造成不可估量的破坏.据有关研究，福岛核污水中的放射性元素有21种半衰期在10年以上；有8种半衰期在

1万年以上.已知某种放射性元素在有机体体液内浓度c（Bq/L）与时间f（年）近似满足关系式c=bd（k,a为

大于。的常数且"D•若时,若时，T。.则据此估计，这种有机体体液内该放射性元

素浓度c为——时,大约需要（）（参考数据：logz3引.58,log25^2.32）

120

A.43年B.53年C.73年D.120年

【答案】B

6解方程组求出。次的值，当。二卷时，在等式两边取对数即可求解.

【分析】根据已知条件得

—=k­a20

112

—=k-屋

6

【详解】由题意得:

—=k-a20

112

两边取对数得£=l°g13=lo§240=3+log25P3+2.32=5.32,

1U24U

所以7=5.32x10=53.2,

即这种有机体体液内该放射性元素浓度。为工时，大约需要53年.

120

故选：B.

33.近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口.Peukert于1898年提

出蓄电池的容量c（单位：Ah）,放电时间r（单位：h）与放电电流/（单位：A）之间关系的经验公式：

C=Ft,其中〃为Peukert常数.为测算某蓄电池的Peukert常数”，在电池容量不变的条件下，当放电电流

/=20A时，放电时间t=20h；当放电电流/=50A时，放电时间f=5h.若计算时取坨2=0.3,则该蓄电池

的Peukert常数”大约为（）

A.1.25B.1.5C.1.67D.2

【答案】B

【分析】由已知可得出"可得出=4,利用指数与对数的互化、换底公式以及对数的运算

5ux5=C

法则计算可得〃的近似值.

【详解】由题意可得④;二，所以2。隈2。=5。"5,所以||；=4,

,41g421g221g22x0.3,<

n=log54=——=——=----------x-------------=1.5

所以|lg5lg10l-21g21-2x03

故选：B.

34.荀子《劝学》中说：“不积度步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”所以说学习是日积月累的过程,

每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把。+1%）戚看作是每天的“进步”率都是1%,一年后是

1.01睡*37.7834；而把（1-1%户5看作是每天“退步”率都是1%,一年后是。吩港名00255;这样，一年后的“进

1（）1365

步值”是“退步值”的3^^1481倍.那么当“进步”的值是“退步”的值的3倍，大约经过（）天.（参考

0.99365

数据：1g10b2.0043,lg99~1.9956,lg3«0.4771）

A.19B.35C.45D.55

【答案】D

【分析】设大约经过〃天“进步”的值是“退步”的值的3倍，由题设有（/）"=3,应用指对数关系求值.

【详解】设大约经过〃天“进步”的值是“退步”的值的3倍,

则焉）"=（岁1g3

3n〃章5天.

lgl01-lg99

故选:D

35.记地球与太阳的平均距离为R,地球公转周期为7,万有引力常量为G,根据万有引力定律和牛顿运动

4/R3R3

定律知：太阳的质量M=(kg).已知1g2Q0.3,1g兀as0.5,1g。28.7,由上面的数据可以计算出太阳

GT2GT7

的质量约为（）

A.2xl030kgB.2xl029kgC.3xlO3OkgD.3xl029kg

【答案】A

【分析】利用对数运算性质计算即可.

R3

【详解】因为lg2ao.3,坨兀。0.5,1g“28.7

GT1

所以由哈察得：

3

...2,R

IgM=lg1GrJ=lg4+lgji-+lg—

R3

=21g2+21g7t+lg^-»2x0.3+2x0.5+28.7=30.3，

即1gMa30.3nM*IO303=1030+03=IO03xlO30,

又lg2它0.3=>10°3®2,

所以M，2xlO3<>kg.

故选：A.

36.某教学软件在刚发布时有100名教师用户，发布5天后有1000名教师用户.如果教师用户人数R⑺与天

数f之间满足关系式：畋）=用炉,其中％为常数，%是刚发布时的教师用户人数，则教师用户超过20000

名至少经过的天数为（）（参考数据：笆2土0.3010）

A.9B.10C.11D.12

【答案】D

InlO

【分析】根据已知条件求得R⑺=100e甘'，结合尺⑺>20000及指对数关系、对数运算性质求解集，即可得

结果.

&=100

R(0)=&e°=100

【详解】由题设7In10,

尺⑸=&e5%=1000’寸k=-------

5

InlOInlO^^=51g200=5x(lg2+2)«11.505>11,

所以R(r)=100e5>贝口004>20000，故'=

所以教师用户超过20000名至少经过12天.

故选:D

37.等额分付资本回收是指起初投资P,在利率i,回收周期数〃为定值的情况下，每期期末取出的资金A

为多少时，才能在第九期期末把全部本利取出，即全部本利回收，其计算公式为：A=尸'某农业

种植公司投资33万元购买一大型农机设备，期望投资收益年利率为10%,若每年年底回笼资金&25万元,

则该公司将至少在（）年内能全部收回本利和.（lgll604,1g5ao.70,坨3。0.48）

A.4B.5C.6D.7

【答案】C

【分析】根据题意，将对应的数据代入计算公式，化简整理后两边同时取对数，计算即可求解.

【详解】由题意，知A=8.25万元，P=33万元，z=10%,

由公式可得8.25=33片：；；；1；,整理得（,）"=1

（1+'U.1J—11Uj

等式两边取对数，得-3573=1^/7。一。.48一5.5

寸联」乂付Igll-lglOlgll-11.04-1

故选：C.

38.荀子《劝学》中说：“不积蹉步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”我们可以把（1+1%产5看作是每

天的“进步”率都是1%,一年后是（1+1%）胶^37.7834；而把（1-1%产5看作是每天“退步”率都是1%,一年

后是（1-1%产5。0.0255.若经过200天，贝U“进步”的值大约是“退步”的值的（）（参考数据：

IglOl«2.0043,lg99®1.9956,IO087a7.41）

A.45倍B.50倍C.55倍D.60倍

【答案】C

【分析】先求出经过20。天后的进步值和退步值，再根据对数与指数关系，对数与指数的运算性质求值.

【详解】由已知经过200天，“进步”的值为（1+1%产,“退步”的值为（1-1%产，

（1+0.01户°

所以“进步”的值与是“退步”的值的比值t=；-----U,两边取对数可得

（1-0.01）

lgt=200（lgl.01-lg0.99）=200（lgl01-lg99）,又IglOl»2.0043,lg99»1.9956,

lgf=l-74,所以/=10S，因为io。》？。74i,所以"10。4=。00.87）2=（7.41）2=54.9081“55,所以经过2（）o

天，则“进步”的值大约是“退步”的值的55倍,

故选：C.

39.2020年，由新型冠状病毒（&4RS-CoV-2）感染引起的新型冠状病毒肺炎（COWLM9）在国内和其他国

家暴发流行，而实时荧光定量尸CR（RT-PCR）法以其高灵敏度与强特异性，被认为是COV0-19的确诊方

法，实时荧光定量PCR法，通过