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文档简介
专题03函数图象及性质应用
目录
01模拟基础练.......................................................2
题型一:函数定义域、值域、解析式...................
题型二:函数单调性、周期性、奇偶性、对称性..........................6
题型三:函数零点所在区间及分段函数值域求参问题.....................12
题型四:对数的实际应用.............................................18
题型五:指对幕比较大小.............................................23
题型六:指对幕运算及解不等式......................................26
02重难创新练......................................................32
梢阳建础飨
//
题型一:函数定义域、值域、解析式
1.函数/(©=里的定义域为()
x-1
A.(0,+oo)B.(0,1)51,y)
C.[0,+00)D.[0,l)u(l,+w)
【答案】B
【解析】令x>0且xTwO即可求解.
,,fx>0
【详解】由题思得z:\得%>0且xwl,
所以函数的定义域为(O,l)u(l,y),
故选:B
2.函数〃x)=J的定义域为()
-2x
A.(0,2)B.[0,2]
C.(—,0)(2,+oo)D.(-oo,0][2,+oo)
【答案】c
【解析】由分母中根式内部的代数式大于0,解一元二次不等式得答案.
【详解】由/一2彳>0,得尤<0或无>2,所以函数〃x)=J的定义域为(F,0)(2,例).
7x-2x
故选:c
3.函数=\库]的定义域为()
V%+1
A.(-1,2]B.[2,+动
C.(-00,-1)t[1,+OO)D.(-8,-1)、[2,+OO)
【答案】B
【解析】根据二次根式需被开方数大于等于零,可得选项.
【详解】函数小卡,令三彳川’得A2N。,解得
所以/(X)的定义域为[2,+8).
故选:B.
4.函数/(X)=Jx?-5x+6的定义域为()
A.{x|%,2或x..3}B.{x|%,-3或x…一2}
C.{x|2M3}D.{x|-3M-2}
【答案】A
【解析】根据被开方数是非负数,求解一元二次不等式,则问题得解.
【详解】由/-5x+6..O,解得2或x..3,
,函数/(x)=7X2-5X+6的定义域为*I苍,2或x..3}.
故选:A
5.已知函数=则对任意实数无,函数/'(X)的值域是()
A.(0,2)B,(0,2]C.[0,2)D.[0,2]
【答案】C
【分析】根据给定条件,利用不等式的性质求出函数值域得解.
【详解】依题意,尤卜氢21"_2=2_
'72%2+12X2+1
22
显然2/+121,则0<丁二《2,于是0W2-二「<2,
2X2+12X2+1
所以函数〃尤)的值域是[0,2).
故选:C
6.下列函数中,是偶函数且值域为[0,+s)的是().
A.f(x)=x2-1B./(x)=/
C.f(x)=log2xD.f(x)=\x\
【答案】D
【分析】分别判断每个选项函数的奇偶性和值域即可.
【详解】对A,/(^)=%2-1>-1,即值域为卜1,4«),故A错误;
对B,/(x)=/的定义域为[0,+功,定义域不关于原点对称,不是偶函数,故B错误;
对C,/(力=1082工的定义域为(0,y),定义域不关于原点对称,不是偶函数,故C错误;
对D,/(x)=|x|的定义域为火,/(-x)=|x|=/(x),故〃x)是偶函数,且〃力=N20,即值域为[0,y),
故D正确.
故选:D.
7.下列函数中,既是奇函数,又满足值域为R的是()
A.y=-B.y=x+—C.y=x~—D.y=sinx
xxx
【答案】C
【分析】由函数的奇偶性和值域直接判断可排除A、B、D,对C,采用导数法,函数函数图象可判断正确
【详解】对A,>=工为奇函数,值域为故A错;
对B、y=x+-,函数为“对勾函数”因为xwO,所以yw。,故B错误;
X
对C,y=x-L为奇函数,当尤>0时,因为y'=l+'r>0,故〉=苫」在x>0为增函数,X=1时,函数值
XXX
为o,当xfo+时,y—,尤―”,丁一+00,画出图形如图:
所以yeR,故c正确;
对D,y=sinx,函数为奇函数,值域为[-1』,故D错误;
故选:C
8.下列函数中,值域为R且区间(0,+8)上单调递增的是()
A.y=-x3B.y=x|x|C.y=x-1D.y=Vx
【答案】B
【分析】求出各选项中函数的值域,并判断出各函数在区间(0,+8)上的单调性,由此可得出结论.
【详解】对于A选项,函数y=-/的值域为R且区间(0,+8)上单调递减;
_%<0
对于B选项,了=》国=4,当尤>0时,y=%2>0;当xVO时,y=-x2<0.
[无~,x>0
所以,函数y=x|x|的值域为R,且在区间(0,+8)上单调递增;
对于C选项,函数y=/的值域为{小W0},且在区间(0,+8)上单调递减;
对于D选项,函数y=«的值域为[0,+"),且在区间(0,+8)上单调递增.
故选:B.
9.下列函数中,与函数/(引=\]的定义域和值域都相同的是()
A.y=x2+2x,x>0B.y=
C.y=10-xD.y=x+-
X
【答案】c
【解析】根据指数函数性质得到f(x)定义域和值域,依次判断各个选项即可得到结果.
【详解】由指数函数性质知:=的定义域为R,值域为(0,+8).
对于A,定义域为(0,+8),与/(x)不同,A错误;
对于2,值域为[。,+8),与/(尤)不同,B错误;
对于C,定义域为R,值域为(0,+8),与相同,C正确;
对于O,定义域为{小*0},与不同,O错误.
故选:C.
10.已知函数/(》)=2j,/(6)=1,贝1|/(-四)=
A.1B.—C.—D.—
828
【答案】D
【分析】利用求得。的值,即求得函数/(》)的解析式,由此来求了卜亚)的值.
【详解】依题意/(6)=23-。=1=2-2,故3-。=一2,解得“=5.故〃x)=2/",所以/卜亚)=22-5=2-3=5
故选D.
题型二:函数单调性、周期性、奇偶性、对称性
H.下列函数中,是偶函数且在+8)上单调递减的是()
A./(x)=x2-|x|B./(%)=eH
C./(x)=|lnx|D.=2
【答案】D
【分析】先检验函数的定义域是否关于原点对称,再考查是否为偶函数,结合函数解析式,分析函数在(0,+OO)
上的单调性即得.
【详解】对于A,因〃_>=子一次|=/(劝,则函数/(X)为偶函数,
211
X-X—(X—)2—,x>0
24
且/。)=显然f(尤)在(0,+8)上先减后增,故A错误;
11
X9+X=(XH—)7—,XW0
24
ex,x>0
对于B,S/(-x)=ew=/(%),则函数/(x)为偶函数,且"x)=
e-x,x<0,
显然函数/(%)在(0,+8)上为增函数,故B错误;
对于C,函数〃x)=|l时的定义域为(0,+8),故/(无)是非奇非偶函数,故C错误;
对于D,因/'(x)=J的定义域为(-0,0)(0,+8),关于原点对称,
且〃r)=!=/(x),即函数f(x)是偶函数,且在(0,+8)上单调递减,即D正确.
故选:D.
12.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+8)上单调递减的是()
A.y=-B.y=YC.y=cosxD.y=-ln|x|
X
【答案】D
【分析】根据偶函数的定义和基本函数的性质逐个分析判断即可.
【详解】对于A,定义域为{小*0},令〃x)=L因为“-)=-1=」=一/(元),所以此函数为奇函数,
X—XX
所以A错误,
对于B,定义域为R,令网工)=X2,因为/z(-x)=(-x)2=产=g),所以此函数为偶函数,
因为y=Y在(0,+s)上单调递增,所以B错误,
对于C,定义域为R,令g(x)=cosx,因为g(-x)=cos(-x)=cos_x=g(x),所以此函数为偶函数,
因为y=cosx在(0,+勾上有增区间也有减区间,所以C错误,
对于D,定义域为{小力0},令机⑺=-1中|,因为m(―x)=-lnT=-1中|=机(幻,所以此函数为偶函数,
当x>0时,y=-\nx,因为y=lnx在(0,+s)上单调递增,所以y=-lnx在(0,+⑹上单调递减,所以D正确,
故选:D
13.下列函数中,是偶函数且在区间(0,+8)上单调递增的是()
A.y=e*B.y=x--C.y=|尤1D.>=cosx
X11
【答案】C
【分析】根据题意,结合函数奇偶性的定义和判定方法,结合初等函数的单调性,逐项判定,即可求解.
【详解】对于A中,由指数函数的性质,可得函数丁=6,为非奇非偶函数,所以A不符合题意;
对于B中,函数〃同=尤-工的定义域为(-8,0)一(0,+8)关于原点对称,
X
且〃-x)=-(尤-J)=-〃x),所以/(X)为奇函数,所以B不符合题意;
对于C中,函数〃x)=|刈的定义域为R关于原点对称,且满足〃_0=卜刈=卜3卜”X),所以/(X)为偶
函数,
当x6(0,+8)时,/(x)=x3,在区间(0,+8)上单调递增,所以C符合题意;
对于D中,函数y=cosx在期间(0,+oo)上不是单调递增函数,所以D不符合题意.
故选:C.
14.下列函数中,是偶函数且在区间(0,+8)上单调递增的是()
A.=;B.f(x)=sin|x|
C.〃x)=2"+2TD./(x)=tanx
【答案】C
【分析】根据题意,由函数的奇偶性以及单调性的定义,对选项逐一判断,即可得到结果.
一,x>0
x
【详解】,则/'(X)为偶函数,但在区间(。,+e)上单调递减,
1
—,XC0
X
故A错误;
〃什巾5R广为偶函数,但在区间(0,+8)上不具有单调性,
故B错误;
/(x)=2,+2T的定义域为R,且〃—x)=2T+2*=/(x),
则〃x)为偶函数,令f=2",当xe(0,+oo)时,则fe(l,+oo),
则>=1+>>1,由对勾函数的性质可知,丫小+1■在(1,+s)单调递增,
所以7(x)=2"+2一工在区间(0,+“)上单调递增,故C正确;
〃x)=tanx为奇函数,故D错误;
故选:C
15.下列函数中,既是奇函数又在其定义域上是增函数的是()
A.f(x)=sinxB.fCx)=cosx
C./(%)=«D.f(x)=x3
【答案】D
【分析】根据已知的各个函数的性质,可以直接作出判断.
jrTT
【详解】八x)=sinx是奇函数,它在区间-5+2左肛5+2左万,左eZ上单调递增,在定义域内不是增函数,
所以选项A是错误的;
/(%)=cosx是偶函数,所以选项B是错误的;
/(*=6既不是奇函数又不是偶函数,所以选项C是错误的;
/("=丁满足既是奇函数又在其定义域上是增函数,所以选项D是正确的;
故选:D.
16.下列函数中,在区间(l,y)上单调递减的是()
A.f^x)=4xB.f(x)=e-^
C.f^x)=x+—D./(x)=lnx
【答案】B
【分析】根据基本初等函数的单调性判断A、B、D,利用导数判断C选项的单调性.
【详解】对于A:/(*)=石在定义域[0,小)上单调递增,故A错误;
对于B:=在定义域R上单调递减,故B正确;
对于C:f(x)=x+-,则((x)=]==(x+l),T),
XXX
当xe(l收)时/'(x)>0,所以=在(1,内)上单调递增,故C错误;
X
对于D:/(x)=lnx在定义域(0,+“)上单调递增,故D错误.
故选:B
17.下列函数中,是偶函数,且在(-8,0)上是减函数的是()
2
A.〃x)=tanxB./(x)=ex+e-xC./(x)=cosxD./(*)=”
【答案】B
【分析】根据基本初等函数的奇偶性、函数奇偶性的定义、函数导数判断函数单调性和特殊值判断函数单
调性,针对各个选项判断即可;
【详解】对于A,函数/(x)=tanx是奇函数,A错误;
对于B,函数/(一可=/+/=/(幻,所以函数为偶函数,/(x)=e,一尸=(?:T=©T;'+1),
令/'(无)=0,得尤=0,当xe(-8,0)时,0</<lJ'(x)<0,/(x)在xe(-oo,0)上单调递减,B正确;
对于C,函数/(x)=cosx为偶函数,在尤e(-8,0)上单调性有增也有减,C错误;
对于D,函数r=”=/(*),所以函数为偶函数,8)=(-8)3=:
/(_1)=(_1)-3=1,/(-8)</(-1),函数在xe(-8,0)上一定不是减函数,D错误;
故选:B.
18.下列函数中,是奇函数且在区间(。,+e)上单调递减的是()
A./(x)=^-j-B,f(x)=-x3C./(x)=tanxD.”x)=l°gJN
【答案】B
【分析】由奇函数的性质可判断A、D错误;由奇函数的性质和导数可得B正确;由正切函数的定义域可
得C错误.
【详解】A:因为〃_尤)=二匕=占2-〃尤),所以〃x)不是奇函数,故A错误;
B:因为/(x)的定义域为R,
又“T)=-(-W=X3=-“X),所以“X)是奇函数,
又f(x)=-3x2<0在(o,+8)恒成立,
所以在区间(。,+")上单调递减,故B正确;
C:由正切函数的定义域可得函数〃x)=tanx在(0,+巧上不连续,
所以/■(%)在区间(。,+“)上不单调,故C错误;
D:因为/(一力二题]一仁题/尤花一“尤),所以〃尤)不是奇函数,故D错误;
22
故选:B.
19.已知函数“力对任意xeR都有〃x+2)=-〃x),且J(r)=-〃x),当xe(—1』时,〃力=如.则下
列结论正确的是()
A.函数y=/(x)的图象关于点伏,0)仕eZ)对称
B.函数y=〃x)的图象关于直线彳=2左仕€2)对称
C.当xe[2,3]时,〃无)=(尤—2)3
D.函数y=|/(x)|的最小正周期为2
【答案】D
【分析】根据〃x+2)=-〃力得至!J“x+2)"(x-2),所以/(X)的周期为4,根据/(r)=—〃x)得到
关于x=-l对称,画出了⑺的图象,从而数形结合得到AB错误;再根据〃x)=-/(x-2)求出xe[2,3]
时函数解析式;D选项,根据>=〃无)的最小正周期,得到y=|/(x)|的最小正周期.
【详解】因为〃x+2)=—〃x),所以〃x)=—2),故/(x+2)"(x-2),
所以“X)的周期为4,
又=所以/(—x)=/(x-2),故“X)关于x=-l对称,
又1』时,/(x)=x3,故画出“X)的图象如下:
A选项,函数'=/(尤)的图象关于点。,0)不中心对称,故A错误;
B选项,函数y=f(x)的图象不关于直线x=2对称,B错误;
C选项,当xe[2,3]时,x-2e[0,l],则/(可=一〃无一2)=-@一2)3,C错误;
D选项,由图象可知y=/(x)的最小正周期为4,
又|〃X+2)H-〃X)|=『(X)|,故y=的最小正周期为2,D正确.
故选:D
20.设为定义在R上的偶函数,且〃x)在[0,+。)上为增函数,则〃-2)、〃-兀)、/⑶的大小顺序为
()
A./(-7i)</(-2)</(3)B./(-2)</(3)</(-7T)
C./(-7T)</(3)</(-2)D.f(3)</(-2)</(-7r)
【答案】B
【分析】根据函数为偶函数,将自变量转化到同一个单调区间,再根据函数的单调性比较大小即可.
【详解】因为/'(X)为定义在R上的偶函数,
所以/(—2)"(2),/(-兀)=/(江
又因为〃龙)在[。,+8)上为增函数,2<3<兀,
所以"2)<"3)<〃兀),即/(-2)</(3)</(-K).
故选:B.
题型三:函数零点所在区间及分段函数值域求参问题
21.函数/(》)=-工+bg,尤的零点所在区间是()
X
A.(ofB.gjC.(1,2)D.(2,3)
【答案】C
【分析】计算端点函数值,根据零点存在性定理和单调性直接判断可得.
【详解】易知增函数加增函数为增函数,函数/(x)在定义域(0,+勾上单调递增,且〃I)=log21-;=T<0,
f(2)=log22——=1——=—>0,所以/(x)存在唯一"零点X。,且%e(l,2).
故选:C.
22.已知函数/(x)=e'-尸,下列命题正确的是()
①是奇函数;
②方程/(%)=%2+2彳有且仅有1个实数根;
③在R上是增函数;
④如果对任意x«0,+oo),都有〃x)>",那么左的最大值为2.
A.①②④B.①③④C.①②③D.②③④
【答案】B
【分析】对于①,根据奇函数的定义判断,对于②,令g(x)=〃x)-可得g(0)=0,再结合零点
存在性定理分析判断,对于③,对函数求导后利用导数判断,对于④,问题转化为-质>0恒成立,构
造函数6(x)=e*-er-近,求导后分析判断.
【详解】对于①,因为/(x)=e£-的定义域为R,
且〃-司=1—e,=—伫―b)=-〃尤),所以〃元)是奇函数,所以①正确,
对于②,令g(x)=/(^)-x2-2x=ex-e-x-x2-2^,
因为g(0)=0,所以方程所以〃x)=V+2x有一个根为0,
33
因为g(2)=e2—e-2_8<0,g(3)=e-e--15>0,
所以方程/(X)=X2+2X在(2,3)至少有一个根,所以②错误,
对于③,由/(力=—得于(6=打+b>0,
所以在R上是增函数,所以③正确,
对于④,若对任意都有/(x)>Ax,即/-b-辰>0恒成立,
令h(x)=ex-e~x-kx,贝!Jhr(x)=ex+e~x-k,
er+e-x>2Vev-e-x=2>当且仅当炉=片"即无=0时取等号,
因为无>。,所以取不到等号,所以
若%V2,则"(尤)>0恒成立,所以飘尤)在X€(0,y)上递增,
所以h(x)>伙0)=0,即e工一e-,—爪>0恒成立,
若人>2,则存在为仁(0,+<»)使/75)=0,
所以当0cx<无0时,h'(x)<0,当X>X0时,I(无)>0,
所以〃(X)在(0,%)上递减,在(为,+8)上递增,
所以h(x)在(0,%)上,有/z(x)<九(0)=0不合题意,
综上,k<2,所以上的最大值为2,所以④正确,
故选:B
23.已知函数/(元)=(卞,-声,那么在下列区间中含有函数零点的为()
A.(0,1)B.(|,1)C.(1,1)D.(1,2)
【答案】B
11
【详解】试题分析:由题意知:/1=仕¥_仁¥>0,
⑴⑶⑴
1r1\2111
=/(2)=—-23<0,由零点判定定理知在区间(二,彳)内原函数有零点.
2\2J?■
故选B
24.设函数/(元)=g尤-Inx(尤>0),则函数/(x)
A.在区间(0,1),(1,y)内均有零点
B.在区间(0,1),。,内)内均无零点
C.在区间(0,1)内有零点,在区间(L+8)内无零点
D.在区间(0,1)内无零点,在区间(1,+⑹内有零点
【答案】D
【分析】先求导确定函数的单调性,再计算了(X)min=/(3)<。,f(l)>0,即可判断.
【详解】”x)=:x7nx,尸(x)=!-士当0<x<3时,八尤)<0,/⑺单调递减;当x>3时,/«>0,
〃元)单调递增,
所以/(X)疝n=/(3)=lTn3<0,ffi]/(l)=1-lnl=|>o,所以函数在区间在区间(0,1)内无零点,在区间
(1,+co)内有零点.
故选:D.
x+1,x<1,
25.若函数〃x)=°存在最大值,则实数。的取值范围为()
—,X>1
A.(0,2]B.(-oo,2]C.(2,+co)D.[2,+功
【答案】D
【分析】当X<1时,/(x)=x+l<2,无最大值,所以函数在*21时取到最大值,然后根据反比例函数的图像
和性质分析即可.
【详解】当X<1时,fM=x+l<2,
X+1,X<1,
又函数/(尤)=1a1存在最大值,
—,x>1
、了
所以函数在XN1时取到最大值,又X21时,/«=-,
X
当。=0时,显然不合题意,当awO时,/(X)=@为反比例函数,
故选:D.
x?—+in+x<2
26.已知函数/(元)=<2加工>2'—,当彳=2时,取得最小值,则根的取值范围为()
A.B.[2,4]C.[-1,2]D.[-1,1]
【答案】B
【分析】根据二次函数和指数函数的性质,及分段函数的最值即可得求解.
【详解】当x>2时,,(x)=2㈤单调递增,则/(x)>8;
当x<2时,=-2〃眈+/找+疗开口向上,且对称轴为x="z,
又当尤=2时,“X)取得最小值/'(2)=4-4〃?+〃2+1,
m>2
所以解得2<m<4,
4—4m+m+m2<8
所以加的取值范围为[2,4].
故选:B.
上x<l
27.已知函数〃x)=x-l'的值域为R,则实数。的取值范围是()
2"—Q,%21
A.(-oo,0)B.(0,+oo)C.(-00,1]D.口,+8)
【答案】D
X
【分析】由于当x<l时,」7<1,所以当时,求出丁-々的最小值,使其最小值小于等于1即可.
x-1
【详解】当X<1时,/。)=1+工<1,
X-L
当兀N1时,f(x)=2x-a>2l-a=2-a,
x
X<1
因为函数/(%)=卜-1'的值域为R,
Y—a,x>\
所以2—a<l,得〃21,
所以实数。的取值范围是[1,欣),
故选:D.
—x<0
28.已知函数/(%)=/的值域为R,则实数。的取值范围是()
2'—a,x20
A.(-oo,0)B.(0,+8)C.(-oo,l]D.[l,+oo)
【答案】D
【分析】由于当尤<0时,-<o,所以当X20时,求出的最小值,使其最小值小于等于零即可.
X
【详解】当xvO时,/(x)=-<0,
X
当xNO时,/(x)=2X-a>2Q-a=1-a,
因为函数/(x)=1X,的值域为R,
2"—x20
所以1-a<0,得
所以实数〃的取值范围是[1,+<Q),
故选:D.
29.若函数〃尤)=,有最小值,则实数加的取值范围是()
[lx2-4mx+3m,x>l
A.(-°o,0)B,[2,+oo)
C.(-oo,0)u[l,+co)D.(0,1)[2,+oo)
【答案】B
【分析】分类讨论x<l与尤21两种情况,结合指数函数的单调性与二次函数的性质,即可求得机的取值范
围.
【详解】因为〃尤,有最小值,
[2x2-4mx+3m,x>l
当尤<1时,〃x)=2;相,显然在(-*1)上单调递增,且〃x)>-机,即〃”在(-8,1)上没有最小值;
当xNl时,f(x)=2x2-4inx+3m,易知〃x)在[1,+℃)上必有最小值,
因为“X)开口向上,对称轴为x=〃J
当〃zWl时,/(力晶=/(1)=2-机,易知/(0)=2°_〃7=1_〃2<2_〃7=/(1),
故/⑴不是/(尤)在R上的最小值,则/'(*)在R上没有最小值,不满足题意;
2
当相>1时,〃x)1n=/(^)=-2m+3m,
要使得/(m)是〃x)在R上的最小值,贝!]/(旬4-〃z,即-2病+3山4-〃7,
解得机40或加-2,所以帆-2;
综上:机,2,即机e[2,+oo).
故选:B.
30.已知〃=2m若〃x)存在最小值,则实数a的取值范围为()
[2a,x>2
A.[o,;B.10怖C.(0,g(1,2)D.(oj51,2)
【答案】A
【分析】通过对参数。分类讨论,研究/(x)在(-8,2]和(2,+⑹的单调性,再结合已知条件,即可求解.
【详解】解:由题意,不妨令g(x)=(a—2)x+4a+l,XG(-OO,2];/z(x)=2ax~l,XG(2,-FW),
①当Ovavl时,g(%)=(a-2)X+4a+l在(一8,2]上单调递减,
/?(%)=2优t在⑵+8)上单调递减,易知/?(%)=2优t在(2,+8)上的值域为(0,2a),
又因为/(X)存在最小值,只需g(2)=(a—2)x2+4a+lwo,解得awg,
又由Ovavl,从而0<Q4?;
2
②当1vav2时,g(%)=(a—2)X+4a+1在(-*2]上单调递减,h(x)=2优一】在(2,+s)上单调递增,
又因为/(%)存在最小值,故g(2)4/i(2),
3
即(a—2)x2+4a+lW2a,角星得,a<—,这与lva<2矛盾;
4
—f9,x<2
③当。=2时,/(%)=、易知了。)的值域为(4+8),显然/(%)无最小值;
[2x,x>2
④当。>2时,g(%)=(a-2)%+4a+1在(-oo,2]上单调递增,h(x)=2ax~l在(2,+oo)上单调递增,从而/(%)无
最小值.
综上所述,实数。的取值范围为.
故选:A.
题型四:对数的实际应用
31.青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量,通常用五分记录法和小数记录法记
录视力数据,五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足乙=a+〃gV(其中。,6为常数),已知某同
学视力的五分记录法的数据为3。时小数记录法的数据为0.01,五分记录法的数据为4。时小数记录法的数
据为0.1,则()
A.a—5,b=IgeB.a-5,b=lC.a-5,Z?=lnlOD.a=\,b=5
【答案】B
【分析】根据题中函数模型,列方程,结合对数运算求解即可.
【详解】由五分记录法的数据为3.0时小数记录法的数据为0.01,
五分记录法的数据为4.0时小数记录法的数据为0.1,
3=tz+Z?lg0.01b=l
解得
4=«+MgO.la=5
故选:B.
32.今年8月24日,日本不顾国际社会的强烈反对,将福岛第一核电站核污染废水排入大海,对海洋生态
造成不可估量的破坏.据有关研究,福岛核污水中的放射性元素有21种半衰期在10年以上;有8种半衰期在
1万年以上.已知某种放射性元素在有机体体液内浓度c(Bq/L)与时间f(年)近似满足关系式c=bd(k,a为
大于。的常数且"D•若时,若时,T。.则据此估计,这种有机体体液内该放射性元
素浓度c为——时,大约需要()(参考数据:logz3引.58,log25^2.32)
120
A.43年B.53年C.73年D.120年
【答案】B
6解方程组求出。次的值,当。二卷时,在等式两边取对数即可求解.
【分析】根据已知条件得
—=ka20
112
—=k-屋
6
【详解】由题意得:
—=k-a20
112
两边取对数得£=l°g13=lo§240=3+log25P3+2.32=5.32,
1U24U
所以7=5.32x10=53.2,
即这种有机体体液内该放射性元素浓度。为工时,大约需要53年.
120
故选:B.
33.近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐,新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口.Peukert于1898年提
出蓄电池的容量c(单位:Ah),放电时间r(单位:h)与放电电流/(单位:A)之间关系的经验公式:
C=Ft,其中〃为Peukert常数.为测算某蓄电池的Peukert常数”,在电池容量不变的条件下,当放电电流
/=20A时,放电时间t=20h;当放电电流/=50A时,放电时间f=5h.若计算时取坨2=0.3,则该蓄电池
的Peukert常数”大约为()
A.1.25B.1.5C.1.67D.2
【答案】B
【分析】由已知可得出"可得出=4,利用指数与对数的互化、换底公式以及对数的运算
5ux5=C
法则计算可得〃的近似值.
【详解】由题意可得④;二,所以2。隈2。=5。"5,所以||;=4,
,41g421g221g22x0.3,<
n=log54=——=——=----------x-------------=1.5
所以|lg5lg10l-21g21-2x03
故选:B.
34.荀子《劝学》中说:“不积度步,无以至千里;不积小流,无以成江海.”所以说学习是日积月累的过程,
每天进步一点点,前进不止一小点.我们可以把。+1%)戚看作是每天的“进步”率都是1%,一年后是
1.01睡*37.7834;而把(1-1%户5看作是每天“退步”率都是1%,一年后是。吩港名00255;这样,一年后的“进
1()1365
步值”是“退步值”的3^^1481倍.那么当“进步”的值是“退步”的值的3倍,大约经过()天.(参考
0.99365
数据:1g10b2.0043,lg99~1.9956,lg3«0.4771)
A.19B.35C.45D.55
【答案】D
【分析】设大约经过〃天“进步”的值是“退步”的值的3倍,由题设有(/)"=3,应用指对数关系求值.
【详解】设大约经过〃天“进步”的值是“退步”的值的3倍,
则焉)"=(岁1g3
3n〃章5天.
lgl01-lg99
故选:D
35.记地球与太阳的平均距离为R,地球公转周期为7,万有引力常量为G,根据万有引力定律和牛顿运动
4/R3R3
定律知:太阳的质量M=(kg).已知1g2Q0.3,1g兀as0.5,1g。28.7,由上面的数据可以计算出太阳
GT2GT7
的质量约为()
A.2xl030kgB.2xl029kgC.3xlO3OkgD.3xl029kg
【答案】A
【分析】利用对数运算性质计算即可.
R3
【详解】因为lg2ao.3,坨兀。0.5,1g“28.7
GT1
所以由哈察得:
3
...2,R
IgM=lg1GrJ=lg4+lgji-+lg—
R3
=21g2+21g7t+lg^-»2x0.3+2x0.5+28.7=30.3,
即1gMa30.3nM*IO303=1030+03=IO03xlO30,
又lg2它0.3=>10°3®2,
所以M,2xlO3<>kg.
故选:A.
36.某教学软件在刚发布时有100名教师用户,发布5天后有1000名教师用户.如果教师用户人数R⑺与天
数f之间满足关系式:畋)=用炉,其中%为常数,%是刚发布时的教师用户人数,则教师用户超过20000
名至少经过的天数为()(参考数据:笆2土0.3010)
A.9B.10C.11D.12
【答案】D
InlO
【分析】根据已知条件求得R⑺=100e甘',结合尺⑺>20000及指对数关系、对数运算性质求解集,即可得
结果.
&=100
R(0)=&e°=100
【详解】由题设7In10,
尺⑸=&e5%=1000’寸k=-------
5
InlOInlO^^=51g200=5x(lg2+2)«11.505>11,
所以R(r)=100e5>贝口004>20000,故'=
所以教师用户超过20000名至少经过12天.
故选:D
37.等额分付资本回收是指起初投资P,在利率i,回收周期数〃为定值的情况下,每期期末取出的资金A
为多少时,才能在第九期期末把全部本利取出,即全部本利回收,其计算公式为:A=尸'某农业
种植公司投资33万元购买一大型农机设备,期望投资收益年利率为10%,若每年年底回笼资金&25万元,
则该公司将至少在()年内能全部收回本利和.(lgll604,1g5ao.70,坨3。0.48)
A.4B.5C.6D.7
【答案】C
【分析】根据题意,将对应的数据代入计算公式,化简整理后两边同时取对数,计算即可求解.
【详解】由题意,知A=8.25万元,P=33万元,z=10%,
由公式可得8.25=33片:;;;1;,整理得(,)"=1
(1+'U.1J—11Uj
等式两边取对数,得-3573=1^/7。一。.48一5.5
寸联」乂付Igll-lglOlgll-11.04-1
故选:C.
38.荀子《劝学》中说:“不积蹉步,无以至千里;不积小流,无以成江海.”我们可以把(1+1%产5看作是每
天的“进步”率都是1%,一年后是(1+1%)胶^37.7834;而把(1-1%产5看作是每天“退步”率都是1%,一年
后是(1-1%产5。0.0255.若经过200天,贝U“进步”的值大约是“退步”的值的()(参考数据:
IglOl«2.0043,lg99®1.9956,IO087a7.41)
A.45倍B.50倍C.55倍D.60倍
【答案】C
【分析】先求出经过20。天后的进步值和退步值,再根据对数与指数关系,对数与指数的运算性质求值.
【详解】由已知经过200天,“进步”的值为(1+1%产,“退步”的值为(1-1%产,
(1+0.01户°
所以“进步”的值与是“退步”的值的比值t=;-----U,两边取对数可得
(1-0.01)
lgt=200(lgl.01-lg0.99)=200(lgl01-lg99),又IglOl»2.0043,lg99»1.9956,
lgf=l-74,所以/=10S,因为io。》?。74i,所以"10。4=。00.87)2=(7.41)2=54.9081“55,所以经过2()o
天,则“进步”的值大约是“退步”的值的55倍,
故选:C.
39.2020年,由新型冠状病毒(&4RS-CoV-2)感染引起的新型冠状病毒肺炎(COWLM9)在国内和其他国
家暴发流行,而实时荧光定量尸CR(RT-PCR)法以其高灵敏度与强特异性,被认为是COV0-19的确诊方
法,实时荧光定量PCR法,通过
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