广东省六校2024-2025学年高二年级上册12月联考 数学试题（含解析）

广东省六校2024-2025学年高二上学期12月联考数学试题

一、单选题（本大题共8小题）

1.已知双曲线C:二-4=l（a>0,b>0）的离心率为45,则C的渐近线方程为（

ab

）

A.y=±^-xB..=±2否1

25

C.y=±^-xD.y=±2x

2

2.数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上

,这条直线称为三角形的欧拉线.已知△ZBC的顶点坐标为40,0）,3（0,4）,。（4,4）,则

△48C欧拉线的方程为（）

A.x+y-4=0B.x-y+4：=0

C.x+y+4=0D.x~y-4：=0

3.已知抛物线x*的准线为/,则/与直线8…，+3=。的交点坐标为（）

4.如图，在平行六面体/BCD-中，底面/BCD和侧面4/。，都是正方形

/8441=3,48=2,点尸是与空的交点，贝U~AP-ABX=（）

A.4-273B.2C.4D.6

5.在三棱锥P-/BC中，PA=PB=BC=6,AC=60ABLBC,平面平面

ABC,若球。是三棱锥P-4BC的外接球，则球。的表面积为（）

A.96兀B.84兀C.72兀D.48兀

6.已知点。（3,0）和圆M：x2+/-4x-4y+4=0,圆M上两点/,8满足

\AO\=2\AD\^BO\=2\BD\,。是坐标原点.动点P在圆M上运动，则点尸到直线

4B的最大距离为（）

A."B.2VIC.2+72D.4+V2

22

7.已知。是椭圆〃:/+方=1（0<6<3）上的动点，若动点。到定点尸（2,0）的距离

|尸◎的最小值为1,则椭圆M的离心率的取值范围是（）

「2八L4i~\rv2L屈一

[3J121[2J131

8.已知矩形/BCD,AB=3,AD<,M为边DC上一点且OW=1,AM与BD

交于点0,将△4DMr沿着NM折起，使得点。折到点尸的位置，贝Usin/P3。的最

大值是（）

二、多选题（本大题共3小题）

9.已知圆。：/+必=4]是直线/:x+y-6=0上一动点，过点P作直线尸/,PB%

别与圆C相切于点/,B,则（）

A.圆C上恰有1个点到直线/的距离为372-2

B.的最小值是714

C.存在最大值

D.川的最小值是晅

3

22

10.已知椭圆c：L+匕=1的左，右焦点分别为用修，抛物线「以工为焦点，过巴

43

的直线/交抛物线厂于力（网,弘）,8（x2,%）两点，下列说法正确的是（）

A,若玉+迎=8,贝1/引=10

B.当瓯=4月彳时，直线/的倾斜角为45°

C.若/（4,2）,尸为抛物线「上一点，则1PMl+「用的最小值为而

D,4|/阊+忸用的最小值为9

H.如图，三棱台/8C-44cl中，〃是/c上一点，/初=3爪,。。口平面/5。

,Z.ABC=90°,AB=BC=CCX=2,AXBX=1,则（）

A.48J/平面3MG

B.平面8Mq，平面3CG4

7

C.三棱台NBC-/4。的体积为j

D.若点P在侧面上运动（含边界），且CP与平面"3与4所成角的正切

值为4,则8P长度的最小值为咨

5

三、填空题（本大题共3小题）

12.已知直线4:ox-y-2024=0,/2：（3。一2卜+即+2025a=0,若八皿，则实数。的值

为_______

22

13.已知耳，巴,8分别是椭圆C:=+4=l（a>b>0）的左、右焦点和上顶点，连接

ab

2月并延长交椭圆C于点P,若为等腰三角形，则椭圆C的离心率为

14.已知实数x、V满足x|x|+My|=l,则|x+y-4]的取值范围是.

四、解答题（本大题共5小题）

15.如图，在四面体/2C。中，平面4BC_L平面/CD,ABA.BC,AC=AD=2,

BC=CD=1.

（1）求四面体N8C。的体积；

（2）求平面/2C与平面ABD所成角的正切值.

16.已知点P、。的坐标分别为（-2,0）、（2,0）直线加、加相交于点且它们

的斜率之积是-

4

（1）求点M的轨迹方程；

（2）若直线48与点M的轨迹交于48两点，且O/JLO8,其中点。是坐标原点.试

判断点。到直线的距离是否为定值.若是，请求出该定值；若不是，请说明理

由.

17.如图，在斜三棱柱N3C-4qG中，V/3C是边长为2的等边三角形，侧面

BCCB为菱形，NBB[C=60°,AB1=3.

A

(1)求证：BXCX1BXA-

(2)若P为侧棱34上(包含端点)一动点，求直线pq与平面/CG4所成角的正弦

值的取值范围.

18.已知双曲线C的渐近线方程为6x±y=0,过右焦点P(2,0)且斜率为左的直线/

与C相交于A、8两点.点3关于X轴的对称点为点£.

(1)求双曲线C的方程：

(2)求证：直线恒过定点，并求出定点的坐标；

(3)当《22时，求△)£尸面积的最大值.

19.如图所示，在平面直角坐标系中，点尸(x,y)绕坐标原点。逆时针旋转角夕

至点P(x',y').

fx'=xcos。一ysin0,

⑴试证明点的旋转坐标公式：

(2)设。40,2万)，点用(0,-1)绕坐标原点O逆时针旋转角d至点点<再绕坐标

原点。旋转角。至点心，且直线4A的斜率左=-1,求角夕的值；

(3)试证明方程x2+星=6的曲线。是双曲线，并求其焦点坐标.

参考答案

1.【答案】D

【详解】由题意可得e，=Jl+与=5可得2=2,

因此，双曲线。的渐近线方程为y=±^x=±2x.

a

故选：D.

2.【答案】A

【详解】由N(0,0),8(0,4),C(4,4),得工BC,则的垂心为8(0,4),外心为

(2,2),

2-4

所以V/3C欧拉线的方程为了=”工+4,即x+y-4=0.

2—0

故选：A

3.【答案】D

【详解】对于抛物线/=弋，2P二,可得。=:，所以，其准线方程为k-2

224o

7

1X=-------

y=一16

联立＜8,解得＜

1

8x—4>+3=0y=--

18

因此，/与直线8x-4y+3=0的交点坐标为［一记,蓝)

故选：D.

4.【答案】B

AB1

【详解】在平行六面体N3CD-48£。中，AD,AAXLAD,AB=AD=AAX=2,

由点P是c。与CA的交点，^AP=AD+DP=Al5+^(DC+DDl)=^AB+^AA}+Al5

'''»,，♦»•--------*I•••,--------*

而AB】=AB+AAyf因止匕AP,AB^=—(AB+AAX+2AD).(AB+AA^

-2----2)兀

1---►-----1°22-2

=3(4B+44+2AB-AA1)=-(2+2+2X2X2XCOS—)=2.

故选：B

5.【答案】B

【详解】在V/3C中，BC=6,AC=66,AB1BC,则/8=P/=P8=6,/C中点Q

为V4BC的外心,

于是OO]_L平面/5C,取48中点。，连接尸。，则而平面平面

ABC,

平面尸48c平面48c=48,PZ>u平面尸N8,则尸。_1_平面48C,OOJ/PD,

令正VE48的外心为Q，则。，为尸。的3等分点，OID=-PD=-X-AB=43,

一332

又。。2,平面尸则。。2，9，而则四边形。。］。。2是矩形，

Oq=QD=6,因此球0的半径/=。/="(0>+(3&y=5，

所以球。的表面积为S=4TIR2=84兀.

故选：B

【详解】设满足100=2|。0的动点。(x,y),贝［2j(x—3)?+/，

整理得/+，-8》+12=0,则点。的轨迹是以(4,0)为圆心，2为半径的圆，

依题意，点48在圆X，+y-8x+12=0上，圆M:(x-2)2+(y-2)2=4的圆心Af(2,2),

半径为2,

因为,(4—2)2+(0—2)2=2亚e(0,4),所以两圆相交，

贝IJ直线方程为x_y_2=0,

点M(2,2)到直线的距离d=^=血，所以点P到直线4B的最大距离为2+VL

故选：C

7.【答案】D

【详解】由题意可设：Q(3cos/6sine),

贝ij闻『=(3cos6-2)2+/sin26=(3cos6-2)2+/(1_cos?

=(9-62)COS26»-12COS<9+4+^2,

令f=cos6e[-l,l],则\PQ(=(9-b2)t2-12t+4+b2,

注意至U0<6<3,则9一弱>(),

可知以。=(9-〃)/-⑵+4+〃的图象开口向上，对称轴为f=/^>o,

y-b

当占<1,即0<〃<3时，可知在内的最小值为了［$7

整理得/一6/+9=0,解得〃=3,不合题意；

当占21,即3V〃<9时，可知〃。在［T1］内的最小值为"1）=1,符合题意;

综上所述：3<Z?2<9.

可得椭圆M的离心率e=（=2二，9；©卜,半,

所以椭圆/的离心率的取值范围是,，手.

故选：D.

8.【答案】A

【详解】在矩形/BCD,4B=3,AD=6DM^1,

h

由tan/BDC=］-可得/8Z）C=30°,由tan4MO=G可得N/MD=60°,

则ZDQM=90°,即8。_L/M,

可知折起后，必有,PQ^BQ=Q,尸。,JB。u平面P8。，

故平面P30,

因为是确定的直线，故对任意点P,尸,瓦。都在同一个确定的平面内，

因为尸。=。0=孚，可知点P在以点。为圆心，半径为事的圆上（如图），

由图知，当且仅当尸2与该圆相切时，/网。取到最大值，贝UsinNPB。也取到最大

值，

此时48尸0=90。，50=述，则sin/PB。的最大值为志=：

故选:A.

9.【答案】ABD

【详解】圆。：/+r=4的圆心C（0,0）,半径7=2,

对于A,点C到直线/的距离"=鬓=3行，点P到直线/的距离的最小值为

"-r=3亚-2，

因此圆C上恰有1个点到直线/的距离为3亚-2,A正确；

对于B,|PA|=VlPC|2-MC|2=7lPC|2-r2>>]d2-r2=V14,当且仅当尸Cl/时取等

号,B正确；

对于CD,由PC垂直平分48得，SPACB=11PC|=2S.PAC=|PA\\AC\,

则I油1=设=4-懵24n高=孚，当且仅当PC'/时取等号，D正确

,C错误.

故选：ABD

10.【答案】AD

【详解】A选项，由题意得用（1,0）,故抛物线方程为产=4x,

由抛物线定义得1/*=玉+X2+2=8+2=10,A正确；

B选项，由于直线/的斜率为0时，与抛物线只有一个交点，不合要求，舍去,

设直线48：X=阳+1,联立_/=4x,得了2_4中-4=0,

设）潭（工2，>2），则%=-4%

由韦达定理得%+%=4租,%%=-4,

33

故一3%=4加4y；=—4,解得必=±1,加=一7必=±^，

4

故直线/的斜率为±],倾斜角不为45°,B错误；

C选项，由题意得，准线方程为--1,过点尸作尸G垂直x=-1于点G,

由抛物线定义得1PM=|PG|,

故1PM+|尸刃=|PG|+|尸周，

要想求得|尸M+I尸用的最小值，则过点M作“0垂直直线X=-1于点0,

故1PM+1尸用的最小值为M@,最小值为4+1=5,C错误；

D选项，由题意得|/闾=%+1,忸与|=尤2+1,

由于必％=-4,故再无必上=1，

16

4Mg|+忸g|=4工］+4+x2+1=4无］+X。+5,

因为X］,%>0,由基本不等式得41+\BF21=4玉+/+522+5=9,

当且仅当4苍=马时，等号成立，

所以4|/闾+忸闾的最小值为9,D正确.

故选AD.

11.【答案】ACD

R「AD1

【详解】对于A,令BGnqc=。，连接MO,由qc""c,器=釜=：,得

BCAB2

BQBG_1

~OC~1SC^~2,

由4W=』CW,得坐=1=跑，则

2MC2OC

而MOu平面3clM,/与（Z平面3clM,则/4//平面3clM,A正确;

对于B,由CG，平面48C,4Bu平面/8C,得CQ_L48,而/8_LBC,

C£n8C=C,CG，BCu平面BCC",则平面8C。4，在BC上取点N,

使得BN=LNC,则也=则，MNHAB,因此平面8CG4，

2MCNC

即点M在平面BCG可上的投影为线段3C上靠近点8较近的3等分点N,又点N不

在直线8G，

则过点M与平面8CC4垂直的直线不在平面内，因此平面BMC1与平面

3CC4不垂直，B错误；

，S\/431G-2xlxl=g,Sv/Bc=-1X2X2=2,

对于C,依题意，ZAiBiCi=90

三棱台48C-44C]的体积jz=；g+FI+2)x2=g,C正确；

对于D,由选项B知，平面8CC£,而/Bu平面则平面/844_1平

面BCCg,

过C作C"，3用于平面4844口平面BCG4=84，则C//L平面

在直角梯形8CG4中，sinNCBB广冷,在直角V87/中，

4

CH=CBsinNCBB1:〒,

BH=当,由CP与平面所成角的正切值为4,得tan/CPH=4,

HP=———=—，

tanNCPH5

因此尸点轨迹是以“为圆心，当为半径的圆在侧面43片4内圆弧，8P的最小值为

BH卫卫,D正确.

55

B

故选：ACD

12.【答案】0或1

【详解】直线4:办—y-2024=0,Z2:(3〃-2)x+ay+2025〃=0,

由4J_，2,得Q(3Q_2)_Q=0,解得Q=0或〃=],

所以实数a的值为0或1.

故答案为：0或1

13.【答案】争修

【详解】由为等腰三角形，4|=|人则有|尸切=|尸鸟而

\PFl\+\PF2\=2a,

|PB|=|PFX|+1BFX|,^\PFi\=m,则|P5|=〃+加，|PF2\=2a-m,

由Q+加=2。一加，得加="|,则I尸片,

在中，cos

ABFiF?ABFXF2=||

a

IWF+I片&『―|尸正『

在VP片g中,cosZPFiF?=

2\PFi\\FiF2\ac

cosZP££+cos4G£=0,即£=土生,整理得3c2=/,则？=9=桂

aaca3

14.【答案】［4-0,4)

【详解】当xNO,了20时，曲线方程可化为尤2+r=i；

当xWO,yNO时，曲线方程可化为「一尤2=1；

当xVO,yWO时，曲线方程可化为-x2-r=i,即曲线小|+MM=1不出现在第三象

限；

当xNO,”0时，曲线方程可化为/一r=1,

作出曲线xW+M"=l的图形如下图所示:

设^t=xy—4,即xy—t—4=0,

由图可知，当直线无+夕--4=。与圆/+/=1相切，且切点在第一象限时,

则W^=l,且T-4<0,解得"亚一4，

由因为双曲线X?-/=1、了2-工：!=1的渐近线方程均为工士^=0,

当直线工+>_/_4=0与直线x+y=O重合时，?=-4,

所以，-4</4应-4，故旧+了-4|=卜同4-血,4）.

故答案为：［4-72,4）.

15.【答案】⑴"；

8

⑵江

7

【详解】（1）在四面体/8C。中，在平面/CD内过点。作DOL/C于O,

由平面/2。，平面/。。，平面48CCI平面NCZ»=/C,得。01平面4BC,

lc£)

…，则…J…

于是。O=CZ)sinNNCD=姮，在VABC中，AB1BC,BC=\,则AB=d2,—I2=行

4

SBC=；AB.BC=F，所以四面体/BCD的体积展式"。=?今乎邛

（2）由（1）知，。01平面NBC,NBu平面N8C,则DO_L/8,

过。作OE//BC交N8于E,连接DE,由N8JLBC,得OE，4B,

而。£1口。。=。,。£,。。<=平面。0£,则4g_L平面。OE,又DEu平面DOE,

因此"_LDE,/DE。是平面N8C与平面所成的角，

由（1）知OC=J,40二,由器=奖，得0£=:，

44BCAC8

所以平面/2C与平面所成角的正切值tanNDEO=2^=名屿.

OE7

16.【答案】⑴）+廿=l（xw±2）

（2）是定值，且定值为冬5

5

【详解】（1）设点M（x,y）,则xw±2,

由题意可得%整理可得上+r=1.

x+2x-244

所以，点M的轨迹方程为:+/=l(xw±2).

(2)由题意可知，直线04、02的斜率存在且都不为零,

设直线。4的方程为N=辰，则直线OB的方程为y=-^x,

224+442

=x+y=-----

■l+4k2

则原点。到直线的距离为

d_|。/|燧_|04|Qg|_]_]_2>/5

\AB\J\O^+\OB?|[।].[1+4-2+75.

加工「\OB^\4^+4

因此，点O到直线的距离为乂.

5

17.【答案】(1)证明见解析

取8。的中点为。"C£名为菱形，且/88夕=60。,

所以vqBC为等边三角形，BCLBfi,

又V/3C为等边三角形，则3C，/。，

所以8CL平面AOB,,

又BC〃B\G，Bg，平面AOB］，耳/u平面/。片,

所以耳

(2)如图所示,

由余弦定理可得

(后+(6)2-321271

cosZAOB=心，所以乙4。4=胃,

l2x6x6

由(1)得3C_L平面/。鸟，因为BCu平面4BC,所以平面/。与，平面/8C,

所以在平面/。耳内作Oz_LQ4,则OzJ_平面N3C,

以。4。。,Oz所在直线为x轴、V轴、Z轴建立空间直角坐标系如图所示:

字"，小

则'i--^",0,2

\乙)

7\

设元=(xfyfz)是平面44的一个法向量，=(-73,1,0),

-V3x+y=0

3n-AC=0

AQ=M,则即,3百3

n-AC^O--x+2v+-z=0

I22

取z=l得力

设丽画

=4(OV/lVl),、

、fV33S凡3)

CP=C]B+BP=C]B+ABB]=石一匚+TT；12

、77

7

设直线pq与平面/CG4所成角为e，

则sin。=卜os。7,万卜ac、p63

[4(.，-32+3)VoxA/A*—3A+3

3

令/(%)=(0W4V1),则/⑷在［0,1］单调递增,

V13x7A2-32+3

V39岳

所以/(%)£3

-IF513

故直线PG与平面/CG4所成角的正弦值的取值范围为胃，噜

2

18.【答案】⑴龙2一匕=1

3

⑵证明见解析，定点坐标为&,0

(3)18

22

【详解】(1)根据题意，设双曲线C的标准方程为方=1(°>0,6>0),

a1+b2=4

bi-=1

由题意可得一=6,解得Q，厂，故双曲线C的方程为/-匕=1.

Q[b=j33

a>0,b>0

(2)当人=0时，此时，点A、8为双曲线的顶点，不合乎题意;

当左N0时，设加二,，则直线/的方程为x=7肛+2,

设点4(X1，y。、S(x2)y2)>则点£(尤2,-%)，

由对称性可知，直线/E过x轴上的定点7。,0),

x=my+2

联立可得(3疗+12my+9=0,

3/__/=3

3机2-1/036(/+1)>0'解得加争土£,

由题意可得

A=144/n2-36(3m2-l

12m9

由韦达定理可得必+%=-3加2-1'"%一3加2_1

则4E的斜率为3E="十%,直线/E的方程为>-必=必+)2(》一再),

演—x2x{-x2

将点7的坐标代入直线/£的方程可得一必

西~X2

曰，乂(占一工2)y+xy(my+2)y+(my+2)y

口J倚/=再----------=-X-1--2----2-t=-----1-----2------2------I

%+为必+歹2%+%

18m

=迦及+2=匈4+2」，

%+%__12m2

3m2-1

此时，直线/E过定点（goj.

综上所述，直线/£过定点?[go]

\（119

（3）因为左22,则加=7£。,彳,且必为=c2[<0，

左I2」3m-1

^=|M-|hl-hll=1x|x^+^|=|-^3=^7=-n-

A

乙乙乙।D，YI1J.D，11々

---3

m

因为函数〃加）=：-3加在（0,；上单调递减，

1—^—=18

故当加二时，Sv取最大值，且最大值为。310.

22~2

乃7万11%

19.【答案】（1）证明见解析；（2）U=一、--、—（3）证明见解析；焦点

266

坐标为4(-26,-2)与巴(26,2).

【详解】（1）设将x轴正半轴绕坐标原点O旋转角。至点OP,OP=r,

x=rcoscr,、=TCOS(6+〃),

则，由任意角的三角比定义，有.和

[y=rsmayf=〃sin(e+a).

x=rcosaco