2024-2025学年高二数学同步课件（选择性必修第一册人教A版2019）第一章 空间向量与立体几何章末题型归纳总结 （八大题型）（课件）

第一章空间向量与立体几何章末题型归纳总结010203目录CONTENTS思维导图知识梳理典型例题01思维导图思维导图02知识梳理知识梳理1.空间向量的有关概念名称定义空间向量在空间中，具有

和

的量相等向量方向

且模

的向量相反向量长度

而方向

的向量共线向量(或平行向量)表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相

或

的向量共面向量平行于

的向量大小方向相同相等相等相反平行重合同一个平面知识梳理2.空间向量的有关定理(1)共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使

.(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在

的有序实数对(x，y)，使p＝

.(3)空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝

.{a，b，c}叫做空间的一个基底.a＝λb唯一xa＋ybxa＋yb＋zc知识梳理3.空间向量的数量积及运算律(1)数量积非零向量a，b的数量积a·b＝

.|a||b|cos〈a，b〉知识梳理(2)空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).

向量表示坐标表示数量积a·b_______________共线a＝λb(b≠0，λ∈R)________________________垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)__________________a1b1＋a2b2＋a3b3a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3a1b1＋a2b2＋a3b3＝0知识梳理

向量表示坐标表示模|a|____________夹角余弦值cos〈a，b〉＝______________________知识梳理4.空间位置关系的向量表示(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l平行或重合，那么称此向量a为直线l的方向向量.(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则称向量a为平面α的法向量.知识梳理(3)空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1∥l2n1∥n2⇔n1＝λn2(λ∈R)l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2＝0直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m，l⊄αl∥αn⊥m⇔n·m＝0l⊥αn∥m⇔n＝λm(λ∈R)平面α，β的法向量分别为n，mα∥βn∥m⇔n＝λm(λ∈R)α⊥βn⊥m⇔n·m＝0知识梳理5.异面直线所成的角若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cosθ＝|cos〈u，v〉|＝

.知识梳理6.直线与平面所成的角如图，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sinθ＝|cos〈u，n〉|＝

＝

.知识梳理7.平面与平面的夹角如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角.若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角.设平面α与平面β的夹角为θ，则cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝

.知识梳理8.点到直线的距离知识梳理9.点到平面的距离如图，已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点.过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离03典型例题

题型一：空间向量的概念及运算

题型一：空间向量的概念及运算

题型一：空间向量的概念及运算

题型二：利用空间向量证明平行与垂直关系

题型二：利用空间向量证明平行与垂直关系

题型二：利用空间向量证明平行与垂直关系

题型二：利用空间向量证明平行与垂直关系

题型三：利用空间向量计算距离

题型三：利用空间向量计算距离

题型三：利用空间向量计算距离

题型四：利用空间向量求线线角、线面角、二面角

题型四：利用空间向量求线线角、线面角、二面角

题型四：利用空间向量求线线角、线面角、二面角

题型四：利用空间向量求线线角、线面角、二面角

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题型五：共线与共面问题

题型五：共线与共面问题

题型五：共线与共面问题

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题型六：立体几何存在性问题

题型六：立体几何存在性问题

题型六：立体几何存在性问题

题型六：立体几何存在性问题

题型六：立体几何存在性问题

题型六：立体几何存在性问题

题型七