二项分布与正态分布（六种题型）-2025年高考数学热点、重难点题型专项复习（原卷版）

第13讲二项分布与正态分布（六种题型）

题型一：利用条件概率公式求解条件概率

一、单选题

1.（2023春•河北石家庄•高三石家庄二中校考阶段练习）在一次春节聚会上，小王和小张

等4位同学准备互相送祝福.他们每人各写了一张祝福的贺卡，这四张贺卡收齐后让每人从

中随机抽取一张作为收到的新春祝福，则（）

A.小王和小张恰好互换了贺卡的概率为J

B.已知小王抽到的是小张写的贺卡的条件下，小张抽到小王写的贺卡的概率为g

C.恰有一个人抽到自己写的贺卡的概率为，

0

D.每个人抽到的贺卡都不是自己写的概率为■!

O

二、多选题

2.（2023・全国•高三专题练习）新型冠状病毒肺炎（CoronaVirusDisease2019,COVID-

19）,简称“新冠肺炎”，世界卫生组织命名为“2019冠状病毒病”，是指2019新型冠状病毒

感染导致的肺炎.用核酸检测的方法可以诊断是否患有新冠，假设P（A⑻=0.99,

P（A|B）=0.999,其中随机事件A表示“某次核酸检测被检验者阳性”，随机事件B表示“被

检验者患有新冠”，现某人群中尸（3）=0.01,则在该人群中（）

A.每100人必有1人患有新冠

B.若P伍同=0.99,则事件A与事件B相互独立

C.若某人患有新冠，则其核酸检测为阳性的概率为0.999

D.若某人没患新冠，则其核酸检测为阳性的概率为0.001

3.（2023•全国•高三专题练习）随着春节的临近，小王和小张等4位同学准备互相送祝福.

他们每人写了一个祝福的贺卡，这四张贺卡收齐后让每人从中随机抽取一张作为收到的新

春祝福，贝!1（）

A.小王和小张恰好互换了贺卡的概率为J

O

B.已知小王抽到的是小张写的贺卡的条件下，小张抽到小王写的贺卡的概率为g

c.恰有一个人抽到自己写的贺卡的概率为:

D.每个人抽到的贺卡都不是自己写的概率为：

O

三、填空题

4.（2023春•湖南长沙•高三长沙麓山国际实验学校校考阶段练习）随着城市经济的发展，

早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式.某公司员工小明上班出行方式由

三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为而他自驾，坐

公交车，骑共享单车迟到的概率分别为!’二，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自

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驾去上班的概率是.

四、解答题

5.（2023・湖南•模拟预测）2020年全面建成小康社会取得伟大历史成就，决战脱贫攻坚取

得决定性胜利.某脱贫县实现脱贫奔小康的目标，该县经济委员会积极探索区域特色经

济，引导商家利用多媒体的优势，对本地特产进行广告宣传，取得了社会效益和经济效益

的双丰收.

（1）该县经济委员会为精准了解本地特产广告宣传的导向作用，在购买该县特产的客户中随

机抽取300人进行广告宣传作用的调研，对因广告宣传导向而购买该县特产的客户统计结

果是：客户群体中青年人约占15%,其中男性为20%；中年人约占50%,其中男性为

35%；老年人约占35%,其中男性为55%.以样本估计总体，视频率为概率.

（i）在所有购买该县特产的客户中随机抽取一名客户，求抽取的客户是男性的概率；

（ii）在所有购买该县特产的客户中随机抽取一名客户是男客户，求他是中年人的概率

（精确到0.0001）

⑵该县经济委员会统计了2021年6〜12月这7个月的月广告投入龙（单位：万元）；y（单

位：万件）的数据如表所示：

月广告投入尤/万元1234567

月销量y/万件28323545495260

已知可用线性回归模拟拟合y与尤的关系，得到y关于x的经验回归方程为

>与L请根据相关系数「说明相关关系的强弱-（若上|20.75,则认为两个变量有

14711

很强的线性相关性，"直精确到0.001）

参考数据：1>*=1354,Z（y,-502=82O,V1435«37.88.

^x^-nxy

参考公式：相关系数「=

6.（2023•全国•高三专题练习）某企业研发了一种新药，为评估药物对目标适应症患者的治

疗作用和安全性，需要开展临床用药试验，检测显示临床疗效评价指标A的数量y与连续

用药天数x具有相关关系.随机征集了一部分志愿者作为样本参加临床用药试验，并得到了

一组数据(七,%),i=L2,3,4,5,其中x,.表示连续用药i天，为表示相应的临床疗效评价指

标A的数值.根据临床经验，刚开始用药时，指标A的数量y变化明显，随着天数增加，j

的变化趋缓.经计算得到如下一些统计量的值：=62,Z：=G，T(y，")=47，

2：=1"尸4.79,2匕(％-")、L615,X、(％-")(y-y)"19.38,其中％=lnx,「

(1)试判断、=。+法与y=a+61nx哪一个适宜作为y关于x的回归方程类型?并建立y关于

x的回归方程；

(2)新药经过临床试验后，企业决定通过两条不同的生产线每天8小时批量生产该商品，其

中第1条生产线的生产效率是第2条生产线的两倍.若第1条生产线出现不合格药品的概率

为0.012,第2条生产线出现不合格药品约概率为0.009,两条生产线是否出现不合格药品

相互独立.

(i)随机抽取一件该企业生产的药品，求该药品不合格的概率；

(ii)若在抽查中发现不合格药品，求该药品来自第1条生产线的概率.

参考公式：对于一组数据(和％),优,%…％，其回归直线V=。+法的斜率和截距的

最小二乘估计分别为6=，=y-vx-

SM(X--X

题型二：利用二项分布概率公式求二项分布的分布列

、解答题

1.(2023•全国•高三专题练习)2022年冬奥会在北京举行，冬奥会吉祥物“冰墩墩”自亮相

以来就好评不断，出现了“一墩难求”的现象.主办方现委托某公司推出一款以“冰墩墩”为原

型的纪念品在专卖店进行售卖.己知这款纪念品的生产成本为80元/件，为了确定其销售价

格，调查了对这款纪念品有购买意向的消费者(以下把对该纪念品有购买意向的消费者简

称为消费者）的心理价位，并将收集的100名消费者的心理价位整理如下:

心理价位（元/件）90100110120

人数10205020

假设当且仅当这款纪念品的销售价格小于或等于某位消费者的心理价位时，该消费者就会

购买该纪念品.公司为了满足更多消费者的需求，规定每位消费者最多只能购买一件该纪念

品.设这款纪念品的销售价格为X（单位：元/件），90<x<120,且每位消费者是否购买该

纪念品相互独立.用样本的频率分布估计总体的分布，频率视为概率.

（1）若x=100,试估计消费者购买该纪念品的概率；已知某时段有4名消费者进店，X为这

一时段该纪念品的购买人数，试求X的分布列和数学期望E（X）；

（2）假设共有知名消费者，设该公司售卖这款纪念品所得总利润为¥（单位：元），当该纪

念品的销售价格尤定为多少时，丫的数学期望后”）达到最大值？

2.（2022秋・山东东营•高三胜利一中校考期末）致敬百年，读书筑梦，某学校组织全校学

生参加“学党史颂党恩，党史网络知识竞赛”活动.并对某年级的100位学生竞赛成绩进行

统计，得到如下人数分布表.规定：成绩在［80,100］内，为成绩优秀.

成绩[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

人数510152520205

（1）根据以上数据完成2x2列联表，并判断是否有90%的把握认为此次竞赛成绩与性别有

关；

优秀非优秀合计

男10

女35

合计

⑵某班级实行学分制，为鼓励学生多读书，推出“读书抽奖额外赚学分”趣味活动方案：规

定成绩达到优秀的同学，可抽奖2次，每次中奖概率为。（每次抽奖互不影响，且P的值

等于成绩分布表中不低于80分的人数频率），中奖1次学分加5分，中奖2次学分加10

分.若学生甲成绩在［80,100］内，请列出其本次读书活动额外获得学分数X的分布列并求

其数学期望.

n[ad-bc)~

参考公式：K2=n=a+b+c+d.

(a+Z?)(c+d)(a+c)(b+d)

附表:

尸（片"°）0.1500.1000.0500.0100.005

k02.0722.7063.8416.6357.879

3.（2022春・安徽滁州•高三校考阶段练习）为了让人民群众过一个欢乐祥和的新春佳节，

某地疫情防控指挥部根据当地疫情防控工作部署，安排4名干部和三个部门（A,B,C）

的16名职工到该地的四个高速路口担任疫情防控志愿者，其中16名职工分别是A部门8

人，8部门4人，C部门4人.

（1）若从这16名职工中选出4人作为组长，求至少有2个组长来自A部门的概率；

（2）若将这4名干部随机安排到四个高速路口（假设每名干部安排到各高速路口是等可能

的，且各位干部的选择是相互独立的），记安排到第一个高速路口的干部人数为X,求随机

变量X的分布列和数学期望.

4.（2022春・安徽滁州•高三校考期中）2022年2月20日，北京冬奥会在鸟巢落下帷幕，中

国队创历史最佳战绩.北京冬奥会的成功举办推动了我国冰雪运动的普及，让越来越多的

青少年爱上了冰雪运动.某校组织了一次全校冰雪运动知识竞赛，并抽取了100名参赛学

生的成绩制作成如下频率分布表：

竞赛得分[50,60](60,70](70,80](80,90](90,100]

频率0.10.10.30.30.2

⑴如果规定竞赛得分在（80,90］为“良好”，竞赛得分在（90,100］为“优秀”，从成绩为“良好”

和“优秀”的两组学生中，使用分层抽样抽取5人.现从这5人中抽取2人进行座谈，求两

人竞赛得分都是“优秀”的概率；

（2）以这100名参赛学生中竞赛得分为“优秀”的频率作为全校知识竞赛中得分为“优秀”的学

生被抽中的概率.现从该校学生中随机抽取3人，记竞赛得分为“优秀”的人数为X,求随

机变量X的分布列及数学期望.

5.（2022•全国•高三专题练习）血液检测是诊断是否患某疾病的重要依据，通过提取病人的

血液样本进行检测，样本的某一指标会呈现阳性或阴性.若样本指标呈阳性，说明该样本携

带病毒；若样本指标呈阴性，说明该样本不携带病毒.根据统计发现，每个疑似病例的样本

呈阳性（即样本携带病毒）的概率均为。现有4例疑似病例，分别对其进行血液

样本检测.多个样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验，混合

样本中只要携带病毒，则混合样本化验结果就会呈阳性.若混合样本呈阳性，则将该组中各

个样本再逐个化验；若混合样本呈阴性，则该组各个样本均为阴性.现有以下两种方案：方

案一：逐个化验；方案二：平均分成两组化验.在该疾病爆发初期，由于检测能力不足，化

验次数的期望值越小，则方案越“优”.

（1）若p=；,求这4例疑似病例中呈阳性的病例个数X的分布列；

（2）若将该4例疑似病例样本进行化验，且方案二比方案一更“优”，求p的取值范围，

6.（2022・全国•高三专题练习）交通信号灯中的红灯与绿灯交替出现.某汽车司机在某一线

路的行驶过程要经过A8两段路，若已知A路段共要过4个交通岗，且经过交通岗时遇到

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红灯或绿灯是相互独立的，每次遇到红灯的概率为：，遇到绿灯的概率为:，在3路段的

行驶过程中，首个交通岗遇到红灯的概率为6=；,且上一交通岗遇到红灯，则下一交通

岗遇到红灯的概率为2:，遇到绿灯的概率为1:；若上一交通岗遇到绿灯，则下一交通岗遇

12

到红灯的概率为耳，遇到绿灯的概率为:，记B段线路中第"个交通岗遇到红灯的概率为

Pn,n^N\

（1）求该司机在A路段的行驶过程中遇到红灯次数X的分布列与期望；

⑵①求该司机在8路段行驶过程中第"个交通岗遇到红灯的概率｛匕｝的通项公式；

②试判断在最后离开8路段时的最后一个交通岗遇到红灯的概率大于还是小于请

用数据说明.

7.（2022・全国•高三专题练习）某电子公司新开发一电子产品，该电子产品的一个系统G

有2〃-1个电子元件组成，各个电子元件能正常工作的概率均为p,且每个电子元件能否

正常工作相互独立.若系统中有超过一半的电子元件正常工作，则系统G可以正常工作，

否则就需维修.

（1）当〃=2,p=g时，若该电子产品由3个系统G组成，每个系统的维修所需费用为500

元，设4为该电子产品需要维修的系统所需的总费用，求4的分布列与数学期望；

（2）为提高系统G正常工作的概率，在系统内增加两个功能完全一样的电子元件，每个

新元件正常工作的概率均为P，且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作，则系统C

可以正常工作，问p满足什么条件时，可以提高整个系统G的正常工作概率？

8.（2023•全国•高三专题练习）安庆市某学校高三年级开学之初增加晚自习，晚饭在校食堂

就餐人数增多，为了缓解就餐压力，学校在原有一个餐厅的基础上增加了一个餐厅，分别

记做餐厅甲和餐厅乙，经过一周左右统计调研分析：前一天选择餐厅甲就餐第二天选择餐

厅甲就餐的概率是25%、选择餐厅乙就餐的概率为75%,前一天选择餐厅乙就餐第二天选

择餐厅乙就餐的概率是50%、选择餐厅甲就餐的概率也为50%,如此往复.假设学生第一天

选择餐厅甲就餐的概率是:，择餐厅乙就餐的概率是耳，记某同学第“天选择甲餐厅就餐

的概率为2.

（1）记某班级的3位同学第二天选择餐厅甲的人数为X,求X的分布列，并求E（X）；

（2）请写出匕“与匕（〃eN*）的递推关系；

（3）求数列｛6｝的通项公式并帮助学校解决以下问题：为提高学生服务意识和团队合作精

神，学校每天从20个班级中每班抽调一名学生志愿者为全体学生提供就餐服务工作，根据

上述数据，如何合理分配到餐厅甲和餐厅乙志愿者人数？请说明理由.

9.（2022•海南省直辖县级单位•统考三模）冬季两项是第24届北京冬奥会的比赛项目之

一，它把越野滑雪和射击两种特点不同的竞赛项目结合在一起.其中20km男子个人赛的规

则如下：

①共滑行5圈（每圈4km）,前4圈每滑行1圈射击一次，每次5发子弹，第5圈滑行直

达终点；

②如果选手有“发子弹未命中目标，将被罚时〃分钟；

③最终用时为滑雪用时、射击用时和被罚时间之和，最终用时少者获胜.

已知甲、乙两人参加比赛，甲滑雪每圈比乙慢36秒，甲、乙两人每发子弹命中目标的概率

分别为:和;.假设甲、乙两人的射击用时相同，且每发子弹是否命中目标互不影响.

（1）若在前三次射击中，甲、乙两人的被罚时间相同，求最终甲胜乙的概率；

（2）若仅从最终用时考虑，甲、乙两位选手哪个水平更高？说明理由.

题型三：利用二项分布期望方差公式求解期望和方差

一、填空题

1.（2023・全国•高三专题练习）已知随机变量X~3（6,0.8）,若尸（X=左）最大，则

D（AX+1）=.

二、解答题

2.（2022•河北•模拟预测）中医药传承数千年，治病救人济苍生.中国工程院院士张伯礼在

接受记者采访时说：“中医药在治疗新冠肺炎中发挥了核心作用，能显著降低轻症病人发展

为重症病人的几率.对改善发热、咳嗽、乏力等症状，中药起效非常快，对肺部炎症的吸收和

病毒转阴都有明显效果.”2021年12月某地爆发了新冠疫情，医护人员对确诊患者进行积极

救治.现有6位症状相同的确诊患者，平均分成A,8两组，A组服用甲种中药，8组服用乙

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种中药.服药一个疗程后，A组中每人康复的概率都为不，8组3人康复的概率分别为历，

33

"4,

(1)设事件C表示A组中恰好有1人康复,事件D表示B组中恰好有1人康复，求

P(CD)；

(2)若服药一个疗程后，每康复1人积2分，假设认定：积分期望值越高药性越好，请问甲

、乙两种中药哪种药性更好？

3.(2022.全国•高三专题练习)某从事智能教育技术研发的科技公司开发了一个“A/作业”项

目，并且在甲、乙两个学校的高一学生中做用户测试.经过一个阶段的试用，为了解“A/作

业”对学生学习的促进情况，该公司随机抽取了200名学生，对他们的“向量数量积”知识点

掌握的情况进行调查，样本调查结果如下表：

甲校乙校

使用4作业不使用々作业使用4作业不使用41作业

基本掌握32285030

没有掌握8141226

假设每位学生是否掌握“向量数量积”知识点相互独立.

⑴从样本中没有掌握“向量数量积”知识点的学生中随机抽取2名学生，用占表示抽取的2

名学生中使用“A/作业，，的人数，求J的分布列和数学期望；

(2)用样本频率估计概率，从甲校高一学生中抽取一名使用“A/作业”的学生和一名不使用

“A/作业”的学生，用“X=l”表示该名使用“A/作业”的学生基本掌握了“向量数量积”，用

“X=0”表示该名使用“A/作业”的学生没有掌握“向量数量积”，用“¥=1”表示该名不使用“A/

作业，，的学生基本掌握了“向量数量积，，，用“丫=0”表示该名不使用“A/作业”的学生没有掌握

“向量数量积”.比较方差DX和0y的大小关系.

4.（2022•全国•高三专题练习）某商城玩具柜台五一期间促销，购买甲、乙系列的盲盒，并

且集齐所有的产品就可以赠送节日送礼，现有甲、乙两个系列盲盒，每个甲系列盲盒可以

开出玩偶A,4，A3中的一个，每个乙系列盲盒可以开出玩偶用，层中的一个.

（1）记事件纥：一次性购买"个甲系列盲盒后集齐玩偶A,4,人玩偶；事件工：一次

性购买”个乙系列盲盒后集齐耳，与玩偶；求概率尸（耳）及P⑶）；

（2）某礼品店限量出售甲、乙两个系列的盲盒，每个消费者每天只有一次购买机会，且购

买时，只能选择其中一个系列的一个盲盒.通过统计发现：第一次购买盲盒的消费者购买甲

系列的概率为:，购买乙系列的概率为1;而前一次购买甲系列的消费者下一次购买甲系

13

列的概率为了，购买乙系列的概率为了，前一次购买乙系列的消费者下一次购买甲系列的

概率为购买乙系列的概率为如此往复，记某人第〃次购买甲系列的概率为Q“.

①求｛2｝的通项公式；

②若每天购买盲盒的人数约为100,且这100人都已购买过很多次这两个系列的盲盒，试估

计该礼品店每天应准备甲、乙两个系列的盲盒各多少个.

5.(2023・全国•高三专题练习)某学校组织数学，物理学科答题竞赛活动，该学校准备了

100个相同的箱子，其中第M左=1,2,,100)个箱子中有％个数学题，100-左个物理题.每

一轮竞赛活动规则如下：任选一个箱子，依次抽取三个题目(每次取出不放回)，并全部作

答完毕，则该轮活动结束；若此轮活动中，三个题目全部答对获得一个奖品.

(1)已知学生甲在每一轮活动中，都抽中了2个数学题，1个物理题，且甲答对每一个数学

题的概率为P,答对每一个物理题的概率为夕.

①求学生甲第一轮活动获得一个奖品的概率；

②已知P+o=i,学生甲理论上至少要进行多少轮活动才能获得四个奖品？并求此时「、q

的值.

(2)若学生乙只参加一轮活动，求乙第三次抽到物理题的概率.

6.(2023・全国•高三专题练习)某企业从生产的一批零件中抽取100件产品作为样本，检测

其质量指标值相(其中：100<〃?<40)),得到频率分布直方图，并依据质量指标值划分等

质量指标值m150<m<350100<m<150或350<m<400

等级A级B级

(1)根据频率分布直方图估计产品的质量指标值的60%分位数；

⑵从样本的B级零件中随机抽3件，记其中质量指标值在［350,400］的零件的件数为

求4的分布列和数学期望；

(3)该企业为节省检测成本，采用混装的方式将所有的零件按500个一箱包装，已知一个A

级零件的利润是10元，一个B级零件的利润是5元，以样本分布的频率作为总体分布的概

率，试估计每箱零件的利润.

题型四：利用正太分布对称性求概率或参数值

一、单选题

1.（2023・全国•高三专题练习）己知两个随机变量X,Y,其中

（0>0）,若E（X）=E（Y）,且尸（M<1）=03,则尸«<-!）=（）

A.0.2B.0.3C.0.4D.0.1

二、多选题

2.（2023春•江苏南京•高三南京市第一中学校考开学考试）下列命题中，正确的命题是（）

2

A.已知随机变量服从8（九,0）,若矶X）=30,D（X）=20,则"=耳

B.已知尸（BA）=0.34,尸（约=0.71,则尸（痴）=0.37

C.设随机变量J服从正态分布N（0,l）,若尸q>1）=°,则P（-l<J<0）=；-p

D.某人在10次射击中，击中目标的次数为X,X-5（10,0.8）,则当X=8时概率最大

3.（2022•湖北襄阳・襄阳五中校考模拟预测）下列命题中，正确的是（）

A.已知随机变量X服从正态分布N（l,b2）,若P（XW0）=0.2,则P（X<2）=0.8

B.已知随机变量X的分布列为尸（X=i）=温j[=1,2,3,,100）,贝储=爵

C.用X表示"次独立重复试验中事件A发生的次数，P为每次试验中事件A发生的概

率，若E（X）=50,D（X）=30,则p=：

4

D.已知某家系有甲和乙两种遗传病，该家系成员A患甲病的概率为百，患乙病的概率为

273

—,甲乙两种病都不患的概率为则家系成员A在患甲病的条件下，患乙病的概率为!

15108

三、解答题

4.（2022秋・浙江金华•高三期末）为调查禽类某种病菌感染情况，某养殖场每周都定期抽

样检测禽类血液中A指标的值.养殖场将某周的5000只家禽血液样本中A指标的检测数据

进行整理，绘成如下频率分布直方图

频率

0.18

0.14

S6

S.O5

.O3

O..O2

.O

O.O

3579111315A指标值

(1)根据频率分布直方图，估计这5000只家禽血液样本中A指标值的中位数(结果保留两

位小数)；

(2)通过长期调查分析可知，该养殖场家禽血液中A指标的值X服从正态分布N(7.4,2.632).

(i)若其中一个养殖棚有1000只家禽，估计其中血液A指标的值不超过10.03的家禽数量

(结果保留整数)；

(ii)在统计学中，把发生概率小于1%的事件称为小概率事件，通常认为小概率事件的发

生是不正常的.该养殖场除定期抽检外，每天还会随机抽检20只，若某天发现抽检的20只

家禽中恰有3只血液中A指标的值大于12.66,判断这一天该养殖场的家禽健康状况是否正

常，并分析说明理由.

参考数据：

©0.022753»0.00001,0.9772517«0.7；

②若XN.,吟,则P(〃—扇k〃+cr卜0.6827;尸(〃一2成k〃+2cr卜0.9545.

5.(2023•全国•高三专题练习)南平市于2018年成功获得2022年第十七届福建省运会承办

权.为进一步提升第十七届福建省运会志愿者综合素质，提高志愿者服务能力，南平市启动

首批志愿者通识培训，并于培训后对参训志愿者进行了一次测试，通过随机抽样，得到

100名参训志愿者的测试成绩，统计结果整理得到如图所示的频率分布直方图.

（1）由频率分布直方图可以认为，此次测试成绩X近似于服从正态分布N（〃,1L52）,〃近似

为这100人测试成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），

①求〃的值；

②利用该正态分布，求P（75.5<XV87）；

（2）在（1）的条件下，主办单位为此次参加测试的志愿者制定如下奖励方案：①测试成绩

不低于〃的可以获赠2次随机话费，测试成绩低于〃的可以获赠1次随机话费；

②每次获赠的随机话费和对应的概率为：

赠送话费的金额（元）1030

3

概率

44

今在此次参加测试的志愿者中随机抽取一名，记该志愿者获赠的话费为J（单位：元），试

根据样本估计总体的思想，求片的分布列与数学期望.

参考数据与公式：若贝IJP（〃一cr<XW〃+b）=0.6826,

P(〃-2。<XW〃+2。)=0.9544,P(〃-3b<X4〃+3cr)=0.9974.

6.（2022•全国•高三专题练习）教育部门最近出台了“双减”政策.即有效减轻义务教育阶段

学生过重作业负担和校外培训负担，持续规范校外培训（包括线上培训和线下培训）.“双

减”政策的出合对校外的培训机构经济效益产生了严重影响.某大型校外培训机构为了规避

风险，寻求发展制定科学方案，工作人员对2021年前200名报名学员的消费金额进行了统

计整理，其中数据如表.

消费金额（千元）[3,5)[5,7)[7,9)ND[11,13)[13,15]

人数305060203010

(1)该大型校外培训机构转型方案之一是将文化科主阵地辅导培训向音体美等兴趣爱好培训

转移，为了深入了解当前学生的兴趣爱好，工作人员利用分层抽样的方法在消费金额为

［9,11)和［11,13)的学员中抽取了5人，再从这5人中选取3人进行有奖问卷调查，求抽取的

3人中消费金额为11/3)的人数的分布列和数学期望；

(2)以频率估计概率，假设该大型校外培训机构2021年所有学员的消费金额可视为服从正

态分布〃，〃分别为报名前200名学员消费的平均数尤以及方差S2(同一区间

的花费用区间的中点值替代).

①试估计该机构学员2021年消费金额为［5.2,13.6)的概率(保留一位小数)；

②若从该机构2021年所有学员中随机抽取4人，记消费金额为［5.2,13.6)的人数为〃，求〃

的方差.

参考数据：行“1.4;若随机变量则尸(〃一b<J<〃+b)=0.6827,

P(〃一2cr<J<〃+2cr)=0.9545,尸(〃一3b<J<〃+3b)=0.9973.

7.(2023・全国•高三专题练习)第13届女排世界杯于2019年9月14日在日本举行，共有

12支参赛队伍.本次比赛启用了新的排球用球MIKSA-V200W,已知这种球的质量指标欠单

位:g)服从正态分布N(270,5?).比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛(采

取5局3胜制)，最后靠积分选出最后冠军积分规则如下:比赛中以3:0或3:1取胜的球队积

3分，负队积0分;而在比赛中以3:2取胜的球队积2分，负队积1分.已知第10轮中国队对

抗塞尔维亚队，设每局比赛中国队取胜的概率为p(0<p<l).

(1)如果比赛准备了1000个排球，估计质量指标在(260,265］内的排球个数(计算结果取

整数).

(2)第10轮比赛中，记中国队3:1取胜的概率为了(0).

(i)求出加)的最大值点Po；

(ii)若以P。作为P的值记第10轮比赛中，中国队所得积分为X,求X的分布列.

参考数据:cr2),贝!|户0.6826,p(/z-2Kxy+2c户0.9544.

8.（2022•全国•高三专题练习）某省2021年开始将全面实施新高考方案.在6门选择性考试

科目中，物理、历史这两门科目采用原始分计分；思想政治、地理、化学、生物这4门科

目采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高到低划分为A,B,C,D,E共5个等

级，各等级人数所占比例分别为15%、35%、35%、13%和2%,并按给定的公式进行转

换赋分.该省组织了一次高一年级统一考试，并对思想政治、地理、化学、生物这4门科

目的原始分进行了等级转换赋分.

（1）某校生物学科获得A等级的共有10名学生，其原始分及转换分如下表：

原始分9190898887858382

转换分10099979594918886

人数11212111

现从这10名学4U中随，机抽E仅3人，设这3人中生物转换分不低于95分的人数为X,求X

的分布列和数学期望；

（2）假设该省此次高一学生生物学科原始分丫服从正态分布阳75.8,36）.若丫~阳〃,戊），

令〃=工二巴，则请解决下列问题:

CT

①若以此次高一学生生物学科原始分C等级的最低分为实施分层教学的划线分，试估计该

划线分大约为多少分？（结果保留为整数）

②现随机抽取了该省800名高一学生的此次生物学科的原始分，若这些学生的原始分相互

独立，记J为被抽到的原始分不低于71分的学生人数，求尸（。=处取得最大值时女的值.

附：若〃~N（0,l）,则尸（〃，，0.8）x0.788,尸（〃，，1.04）«0.85.

题型五：利用正太分布三段区间的概率值求概率

一、单选题

1.（2022春.全国•高三专题练习）2020年8月11日，国家主席习近平同志对制止餐饮浪费

行为作出重要指示，他指出，餐饮浪费现象，触目惊心，令人痛心!“谁知盘中餐，粒粒皆

辛苦”，某中学制订了“光盘计划”，面向该校师生开展了一次问卷调查，目的是了解师生们

对这一倡议的关注度和支持度，得到参与问卷调查中的2000人的得分数据.据统计此次问

卷调查的得分尤（满分：100分）服从正态分布N（93,26则P（91<x<97）=（）

若随机变量&N.,吟,则P（〃-b<J<〃+b）=0.6827,

尸（〃-2cr<//+2cr）=0.9545

A.0.34135B.0.8186C.0.6827D.0.47725

2.（2022•全国•高三专题练习）医用口罩由口罩面体和拉紧带组成，其中口罩面体分为内、

中、外三层.内层为亲肤材质（普通卫生纱布或无纺布），中层为隔离过滤层（超细聚丙烯

纤维熔喷材料层），外层为特殊材料抑菌层（无纺布或超薄聚丙烯熔喷材料层）.根据国家

质量监督检验标准，医用口罩的过滤率是重要的指标，根据长期生产经验，某企业在生产

线状态正常情况下生产的医用口罩的过滤率x：^（0.9372,0.01392）.若

x:cr2）（cr>0）,则P（/z-2cr<xW〃+2cr）=0.9545,

P（〃-3cr<xV〃+3cr）=0.9973,0.977255。右0.3164.有如下命题：甲：p（x<0,9）<0.5；

乙：尸（x<0.4）>P（x>1.5）；丙：尸（x>0.9789）=0.00135；丁：假设生产状态正常，记X

表示一天内抽取的50只口罩中过滤率大于〃+2b的数量，则P（X21）。0.6.其中假命题是

()

A.甲B.乙C.丙D.丁

二、解答题

3.(2023・全国•高三专题练习)在“十三五”期间，我国的扶贫工作进入了“精准扶贫”阶段，

到2020年底，全国830个贫困县全部脱贫摘帽，最后4335万贫困人口全部脱贫，这是我

国脱贫攻坚史上的一大壮举.重庆市奉节县作为国家贫困县之一，于2019年4月顺利脱贫

摘帽，因地制宜发展特色产业，是奉节脱贫攻坚的重要抓手.奉节县规划发展了以高山烟

叶、药材、反季节蔬菜；中山油橄榄、养殖；低山脐橙等为主的产业格局，各类特色农产

品已经成为了当地村民的摇钱树.尤其是奉节脐橙，因“果皮中厚、脆而易剥，肉质细嫩化

渣、无核少络，酸甜适度，汁多爽口，余味清香”而闻名.为了防止返贫，巩固脱贫攻坚成

果，各职能部门对脐橙种植、销售、运输、改良等各方面给予大力支持.奉节县种植的某

品种脐橙果实按果径X(单位：加加)的大小分级，其中Xe(70,90］为一级果，

Xe(90,110］为特级果，一级果与特级果统称为优品.现采摘了一大批此品种脐橙果实，

从中随机抽取1000个测量果径，得到频率分布直方图如下：

⑴由频率分布直方图可认为，该品种脐橙果实的果径X服从正态分布NJ。?)，其中〃近

似为样本平均数上。近似为样本标准差s,已知样本的方差的近似值为IO。.若从这批脐

橙果实中任取一个，求取到的果实为优品的概率(同一组中的数据用该组区间的中点值代

表)

⑵这批采摘的脐橙按2个特级果和”(n>2,且〃eN*)个一级果为一箱的规格进行包

装，再经过质检方可进入市场.质检员质检时从每箱中随机取出两个果实进行检验，若取

到的两个果实等级相同，则该箱脐橙记为“同”，否则该箱脐橙记为“异”.

①试用含n的代数式表示抽检的某箱脐橙被记为“异”的概率p；

②设抽检的5箱脐橙中恰有3箱被记为“异”的概率为了(0),求函数“P)的最大值，及取

最大值时n的值.

参考数据：若随机变量X服从正态分布N(〃,4),则P(〃一b<XW〃+b)a0.6827,

P(//-2cr<X</j+2cr)®0,9545,P(〃-3cr<X<〃+3cr)40.9973.

4.（2023•全国•高三专题练习）某工厂为了提高某产品的生产质量引进了一条年产量为100

万件的生产线.已知该产品的质量以某项指标值上为衡量标准，为估算其经济效益，该厂先

进行了试生产，并从中随机抽取了100件该产品，统计了每个产品的质量指标值鼠并分

成以下5组，其统计结果如下表所示：

质量指标值[5,6)[6,7)[7,8)[8,9)Ri。]

频数163040104

试利用该样本的频率分布估计总体的概率分布，并解决下列问题：（注：每组数据取区旬的

中点值）

（1）由频率分布表可认为，该产品的质量指标值左近似地服从正态分布其中〃近

似为样本平均数亍，。近似为样本的标准差s,并已求得SB0.82,记X表示某天从生产线

上随机抽取的10件产品中质量指标值上在区间（5.42,7.88］之外的个数，求尸（X=l）及X的

数学期望（精确到0.001）;

（2）已知每个产品的质量指标值上与利润y（单位：万元）的关系如下表所示七（6,7）

质量指标值k[5,6)[6,7)[7,8)[8,9)Ri。]

利润y5t3t2tt-5t2

假定该厂所生产的该产品都能销售出去，且这一年的总投资为500万元，问：该厂能否在

一年之内通过销售该产品收回投资？试说明理由.

参考数据：若随机变量Z~N（〃Q2）,则

P（//-cr<Z<4+cr）=0.6827,尸（〃-2bvZ<〃+2b）=0.9545,

P（〃—3bvZ<〃+3b）=0.9973,0.81869«0.1651.

5.(2023•全国•局三专题练习)冠状病毒是一个大型病毒家族，可引起感冒以及中东呼吸综

合征(MERS)和严重急性呼吸综合征(SARS)等较严重疾病.出现的新型冠状病毒

(nCoV)是从未在人体中发现的冠状病毒新毒株.人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼

吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等.在较严重病例中，感染可导致肺炎、严重急

性呼吸综合征、肾衰竭，甚至死亡.某医院为筛查冠状病毒，需要检测血液中的指标

A.现从采集的血液样品中抽取500份检测指标A的值，由测量结果得下侧频率分布直方

图：

频率/组距

th

0.18.................

0.14.................

SO6

O5

O.O3

O.SO2

O

13151719212325质量指标值

(1)求这500份血液样品指标A值的平均数x和样本方差52(同一组数据用该区间的中

点值作代表，记作=,7))；

(2)由频率分布直方图可以认为，这项指标A的值X服从正态分布NJ,。?)，其中〃近

似为样本平均数3接近似为样本方差在统计学中，把发生概率小于3%。的事件称为

小概率事件(正常条件下小概率事件的发生是不正常的).该医院非常关注本院医生健康状

况，随机抽取20名医生，独立的检测血液中指标A的值，结果发现4名医生血液中指标A

的值大于正常值20.03,试根据题中条件判断该院医生的健康率是否正常，并说明理由.

7______1

附：参考数据与公式：Z4一元)4=3.46,直灵。2.63,3.46«-x2.632；若

z=l2

xN(〃,cr2),贝。①P(4-cr<xW〃+cr)=0.6826；②尸(〃一2cr<x<〃+2cr)=0.9545；

③P(〃-3b<x4〃+3cr)=0.9973.0.15874®0.006，0.15876®0,000016,

0.841314«0.0890，0.841316®0.0630.

6.（2023秋・贵州铜仁•高三统考期末）如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便

地网购，网络外卖也开始成为不少人日常生活中重要的一部分，其中大学生更是频频使用

网络外卖服务.A市教育主管部门为掌握网络外卖在该市各大学的发展情况，在某月从该市

大学生中随机调查了100人，并将这100人在本月的网络外卖的消费金额制成如下频数分布

表（已知每人每月网络外卖消费金额不超过3000元）：

消费金额（单位：百元）[0,5](5,10](10,15](15,20](20,25](25,30]

频数2035251055

⑴由频数分布表可以认为，该市大学生网络外卖消费金额Z（单位：元）近似地服从正态

分布其中〃近似为样本平均数x（每组数据取区间的中点值，b=660）.现从

该市任取20名大学生，记其中网络外卖消费金额恰在390元至2370元之间的人数为X,

求X的数学期望；

（2）A市某大学后勤部为鼓励大学生在食堂消费，特地给参与本次问卷调查的大学生每人

发放价值100元的饭卡，并推出一档“勇闯关，送大奖”的活动.规则是：在某张方格图上标

有第0格、第1格、第2格....第60格共61个方格.棋子开始在第。格，然后掷一枚均匀

的硬币（已知硬币出现正、反面的概率都是：，其中《=1）,若掷出正面，将棋子向前移

动一格（从左到上+1）,若掷出反面，则将棋子向前移动两格（从k到上+2）.重复多次，

若这枚棋子最终停在第59格，则认为“闯关成功”，并赠送500元充值饭卡；若这枚棋子最

终停在第60格，则认为“闯关失败”，不再获得其他奖励，活动结束.

①设棋子移到第”格的概率为匕，求证：当1V〃W59时，是等比数列；

②若某大学生参与这档“闯关游戏”，试比较该大学生闯关成功与闯关失败的概率大小，并

说明理由.

参考数据：若随机变量J服从正态分布N（〃,4）,则P（〃一b<jv〃+b）=0.6827,

P（〃-2bvj,,//+2（T）=0.9545,〃+3b）=0.9973.

题型六：利用正太分布三段区间的概率值估计人数

一、解答题

1.(2023・全国•高三专题练习)某市教育局对该市普通高中学生进行学业水平测试，试卷满

分120分.现从全市学生中随机抽查了10名学生的成绩，分别为78,81,84,86,86,

87,92,93,96,97.

(1)已知10名学生的平均成绩为88,计算其中位数和方差；

⑵已知全市学生学习成绩分布服从正态分布，某校实验班学生30人.

①依据(1)的结果，试估计该班学业水平测试成绩在(94,100)的学生人数(结果四舍五入

取整数)；

②为参加学校举行的数学知识竞赛，该班决定推荐成绩在(94,100)的学生参加预选赛，若

每个学生通过预选赛的概率为:，用随机变量X表示通过预选赛的人数，求X的分布列和

数学期望.(正态分布参考数据：