二次函数最值问题-2023-2024学年九年级数学专项复习（原卷版）

二次函数易错专题复习二：二次函数最值问题

考点一：代数式中最值

易错点一：隐含二次函数最值

考点二：几何中最值

考点一：常规最值

二次函数最值问题易错点二：自变量取值范围最值问题

考点二：含参数最值

考点一:直

易错点三：利用对称性中最值问题「

考点二：周长或面积最值

【易错点一：隐含二次函数最值】

二次函数最值问题，属于考试必考题型，考察范围较广，对学生理解要求更好，隐含二次函

数最值，主要是求代数式最值问题和几何中最值问题，二次函数作为解题计算工具来考察,

常错的点主要是

①代数式与二次函数联系，如何变形求二次函数最值，同时考虑自变量取值问题

②几何最值，主要是把几何问题如何转化为二次函数问题，学生很容易忽略，思考不到位,

找不到关联性

【知识点】

函数二次函数了=a/+Z?x+c（a、b、c为常数，a#0）

a>0av0

图象

/PV

开口方向向上向下

直线》=一二

对称轴直线X=

2a2a

2

'b4ac-b^[24ac-b2}

顶点坐标

k2a4a?k2a4a?

在对称轴的左侧，即当x<-2时，y随X的增在对称轴的左侧，即当X<一二时，y

2a

随x的增大而增大；在对称轴的右侧，

大而减小；在对称轴的右侧，即当%>一二时，

增减性

2a即当X>-3时，y随X的增大而减

y随x的增大而增大.简记：左减右增

小.简记：左增右减

抛物线有最低点，当x=-3时，y有最小值，抛物线有最高点，当x=-3时，y有

2a2a

4ac-b2„,4ac-b2

取大值，y最大值一4。

最大（小）值N最小值-4a

【考点一：代数式中最值】

方法指引：先根据代数式情况，化简转化为二次函数，再根据二次函数求最值

例题1.设X:、X2是关于X的方程2x2—4mx+2m2+3m-2=。的两个实数根，则x]+

x3勺最小值为（）

变式训练1.若5x2-10x+4寸=o,则x2/y2的最大值为（）

A.日B.4C.5D.y

例题2若实数。，b,c满足a—b2-2=0,2a2-4b2-c=0,则。的最小值是（）

A.6B,7C,8D,9

变式训练1.若实数x、y满足加-6.5=0,则N+y+2x的最大值是（）

A.14B.15C.16D.17

针对性练习

1.已知点A(a,b),B(42在直线y=kx+3(k为常数，k*0)上，贝Mb有()

A.最大值一9B,最大值9C,最小值-9D,最小值9

22

2.已知二次函数y=(x-x])2+(x-x2)+(x-x3)+■-■+(x-x/,其中X：、x2,

X3.........X”是常数,当x=2023时,该二次函数有最小值.若m^Xj+x2+x3+--+xn,

则仅与〃的数量关系是()

A.m+n=2023B.m-n=2023C.mn=2023D.m=2023n

2

3.若关于x的方程x?+2mx+m+3m-2=。有两个实数根x7,x2,则x：(xz+x?)+xf

的最小值为()

A.-B.-C.-D.-

3224

4.定义：max{a,b}={，'Q'?,若函数y=max(—x-7,x?—2x-配则该函数的最

b(a<b)

小值为()

A.-7B,0C,-3D.3

5.已知点P(m,n),Q(3,0都在一次函数y=kx+b(k,b是常数，k*0)的图象上，

()

A.若mn有最大值4,贝族的值为-9B,若mn有最小值4,则k的值为-9

C.若mn有最大值一9,则k的值为4D.若mn有最小值一9,贝iJk的值为4

-»->T->->T

6.规定：若a=(x7，y7),b=(x2,y2),则a・b=x;y2]乂237.例如a=(7,&b=(2,4),

->->TTTT

则a-b-Jx4+3x2-10,已知a=(x+7,x—为，b=(x-3,4),且1wxw2,则a-b

的最小值是

7,已知实数m、n满足m-M=8,则代数式m?-3n2+m-14的最小值是.

8.小明对自己上学路线的长度进行了20次测量，得到20个数据x〃xz…，X20已知X：+

X2+…+X20=40460,当代数式(X-X/)2+(x-X2)2+…+(x-X2/取得最小值时，X

的值为.

9.已知反比例函数y=；的图像经过点P(2Z,函数y=ax的图像与直线y=-x平行，

并且经过反比例函数图像上一点Q(7,m).则函数y=ax2/bx+$有最______值，这个

值是.

10.若实数xN。，yN0,Z>0,且x+y+z=2。，3x+y-z-40.

⑴设S=4x-3y+z,求S的最大值与最小值；

⑵设T=y2/2/,求T的最大值与最小值.

11.【阅读理解】如图1,在矩形ABCO中，若AB=a,BC=b,由勾股定理，得AC?=&2+

b2,同理_6。2=。2+匕2,故Ac2+BD2=za2+b）

【探究发现】如图2,四边形ABCO为平行四边形，若AB=a,BC=b,则上述结论是

否依然成立？请加以判断，并说明理由.

【拓展提升】如图3,已知BO为△ABC的一条中线，AB=a,BC=b,AC=c.求证：

BO2=江一

24

【尝试应用】如图4,在矩形ABCD中，若AB=8,BC=72,点尸在边AD上，贝UPB?+

PC2的最小值为

【考点一：几何中最值】

方法指引：先根据几何性质特点，列出对应关系式，再根据关系式化简转化为二次函数,

再根据二次函数求最值（注意自变量取值范围）

例题1.如图，在矩形ABCO中，AB=2,AD=R3,点£是线段AD的三等分点（AE<

ED）,动点尸从点。出发向终点E运动，以B尸为边作等边△BFG,在动点尸运动的过

程中，阴影部分面积的最小值是（）

A,渺B,历C,2D.1

变式训练1.如图，在平面直角坐标系中，直线v=-=x+3分别与x轴、V轴交于A,B

两点，在线段AB上取一点C,过C作CD_Ly轴于D,CE_Lx轴于E,连接DE,当DE

最短时，点C的坐标为（）

A.（23B.偿，§

C.患3D.（4,。

例题2如图，这是一块直径为a的圆形钢板，从中挖去直径分别为a和b的两个圆，当

A.nB.2nC.4nD.6n

变式训练1.如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=-^x+2上的一个动点，将Q绕点

P（7,。顺时针旋转9。。，得到点Q',连接OQ',则OQ'的最小值为（）

A.竿B.厉C.等D.等

针对性练习

1.如图边长为5的正方形ABCD中，E为边AD上一点，且AE=2,F为边AB上一动

点，将线段EF绕点F顺时针旋转9。。得到线段FG,连接DG,则DG的最小值为（）

A,旁B.5C,D.

2.如图，已知RtaABC中，ZC=90°,ZA=3CP,BC=10,在△ABC三边上各

取一点连成等边△DEF则△DEF面积的最小值是（）

A.--I3B.-/3C,-43D.10^3

3147

3.设x,y是实数，定义@的一种运算如下：x@y=（x+y）2-（x-y）2,则下列结论：

①若x@y=O,则x=。或3；=0；©x@（y+z）=x@y+x@z；③不存在实数x,y,满足x@y=

x2+5产④设x,y是矩形的长和宽，若矩形的周长固定，则当x=y时，x@y最大，其

中正确的是（）

A.①②③巳①②④C.①③④D.②③④

4.如图，二次函数，=ax2+bx/c的图像与x轴相交于43两点，点/在点2左侧，

顶点在的边上移动，MN/ly^i,NRHx机”点坐标为（-6,-2）,MN=2,NR=7.若

在抛物线移动过程中，点2横坐标的最大值为3,则a-6+c的最大值是（）

A.15B.18C.23D.32

5.如图，C是线段N8上一动点，AACD,△C8E都是等边三角形，M,N分别是CD,BE

的中点，若』8=4,则线段的最小值为（）

3^3

C,2/3D.

2

6.已知，点从F、G、H分别在正方形ABC。的边AB、BC、CD、A。上，AE=DG,

EG、FH相交于点。，OE.OF=4:5,已知正方形ABC。的边长为16,FH长为20,

则^OEH面积的最大值为.

BFC

7.如图，已知线段AB=7。，点尸是AB上一动点(不与48重合)，分别以AP、PB

为边在AB的同侧作正方形APCD和PBFE,且两正方形对角线的交点分别为M、N,则

MN长度的最小值为.

8.如图1,在正方形ABCO中，£为对角线BO上一点(DE>BE),煎B,歹关于直线

CE对称，过点。作CF的垂线，分别交CF,CE于点G,H.

图1图2

⑴求证：DH=DC-,

(2)若GH=ZFG=4,求AB的长；

⑶如图2,连结DF并延长与CE的延长线交于点连结FH.若已知DM=8/2设

CH=x,用含x的代数式表示的面积，并求出△MFH面积的最大值.

【易错点二：自变量取值范围内最值问题】

二次函数自变量取值范围最值问题，属于常考易错问题，也是考试丢分比较高的中档题，也

是考试陷阱比较多的题目；常错的点主要是

①忽略自变量的取值范围在对称轴同侧还是两侧问题，直接代入求值，比较大小

②确定了自变量在对称轴两侧或同侧问题，但对函数本身的最高点和最低点考虑不全面

【考点一：常规最值】

方法指引：先确定函数开口方向，再确定函数的对称轴，再确定自变量在对称轴的哪一

册或者是否在对称轴两侧，再确定各自自变量距离对称轴远近，再比较函数值问题

例题1已知抛物线y=x2/Zx+4上有一点P(a,b),当—2wav3时，则P点纵坐标b

的取值范围为().

变式训练1下表中所列的x,y的5对值是二次函数y=ax2+bx+c的图象上的点所对

应的坐标：

X-2-7034

y1163611

若(X"V7),(XzV2)是该函数图象上的两点，根据表中信息，以下论断正确的是()

A.当X7VX2时，B.当y?)了?时，X1<X2

C.该函数的最小值为3D.当X7=m,X2=2-m时，旷7=，2

例题2定义：两个不相交的函数图象在平行于y轴方向上的最短距离称为这两个函数的“完

美距离”.抛物线y=2x2_5x+3与直线y=-2x-1的“完美距离”为()

A.-B.3C,-D.-

888

变式训练1.定义符合min/a,切的含义为：当a>b时，m\n{a,b}=b；当avb,

min/d,b}-a,如：m\n{1,—3}=-3,min{-4,-2}--4,贝1Jmin/—x?/7,—x)的

最大值是()

A.0B.1C.—D,—

22

针对性练习

1.若点P(m,n)在二次函数y=x2—2x+2的图象上，且点尸到y轴的距离不大于3,则

«的取值范围是.

2.二次函数y=(x+刀2-5,当mwxwn,mn<0,y的最小值是加，最大值是2n,

则m-n=.

3.点M(m,n)在以y轴为对称轴的二次函数y=-x2+bx+2的图象上，则m+n的最大

值为.

【考点二：含参数最值】

方法指引：先确定函数开口方向，若开口无法确定，进行分类讨论，再确定函数的对称

轴，再确定自变量在对称轴的哪一册或者是否在对称轴两侧，再确定各自自变量距离对

称轴远近，再比较函数值问题，然后根据参数找到对应关系，求参数或者求最值

例题1.当m-3<x<m时，二次函数y=x2-4x+3的最小值为8,则m的值为（）

A.-7或5B,5或8C,-7或8D,0或5

变式训练1.已知函数y=x2-8x+8,当0三xvm时,函数的最大值是8,最小值是一8,

则m的值可能是（）

A.1B,4C,7D.10

例题2.已知函数y=x2—2x+3,当。口时，有最大值3,最小值2,则m的取值范

围是（）

A.m>1B,0<m<2C,1<m<2D,1<m<3

变式训练1.当7WxW3时，二次函数y=x2/2ax+3的最小值为-1,则。的值为（）

A.-2B.±2C.2或3D.2或3

针对性练习

1.已知二次函数y=ax2-2ax+c（a+0,当一xw2时，y有最小值7,最大值11,

则a+c的值为（）

A.3B.9C.yD.y

2.规定：我们把直线/：y=ax+b叫做抛物线心y=ax2/bx的“温暖直线”.若该直线

与该抛物线还有两个不同的交点，则两个交点叫做“幸福点”，并且称直线/与抛物线工具备

“温暖而幸福关系”，否则称直线I与抛物线L不具备“温暖而幸福关系”.

⑴已知直线/：y=ax-4是抛物线Ly=2x2/bx的“温暖直线”，请判断直线/与抛物线

L是否具备“温暖而幸福关系”，若具备，请求出“幸福点”的坐标，若不具备，请说明理由；

（2）已知直线I：y=ax+b与抛物线L：y=ax2+bx不具备“温暖而幸福关系”，当。wxw2

时，抛物线Ly=ax2/bx的最小值是-6,求直线/的解析式.

3.已知关于x的二次函数y=x2—2mx+血2—7.

⑴若M(m—7,山)，N(m+ZV2)两点在该二次函数的图象上，直接写出V7与的大小关

系；

(2)若将抛物线沿y轴翻折得到新抛物线，当-7WxW3时，新抛物线对应的函数有最小值

3,求m的值.

4.定义：如果在给定的自变量取值范围内，函数既有最大值，又有最小值，则称该函数在

此范围内有界，函数的最大值与最小值的差叫做该函数在此范围内的界值.

⑴当-2WXW1时，下列函数有界的是(只要填序号)；

①y=2x-7；②y=-1；③y=-x2+2x+3；④y=x5

⑵当mwxwm+2时，一次函数y=(k+7)x-2的界值不大于2,求k的取值范围；

⑶当nWxWn+2时，二次函数y=x2+2nx-3的界值为求n的值.

5.已知二次函数y=x?+ax+2a(a为常数).

⑴若a=7,

①求此二次函数图像的顶点坐标；

②当xwn+2时，函数值y随x的增大而减小时，直接写出n的取值范围：_；

③当一3WXW7时，设此二次函数的最大值为m与最小值为n,求m-n；

(2)若点A(—折2、点B(7,2,当此二次函数的图像与线段AB有两个交点时，直接写出a的取

值范围：

【易错点三：利用对称性求最值问题】

对称性问题，在函数中是常考的问题，如线段最短路径和面积或周长最值都是函数常考的问

题，常见易错主要是

①一般学生都会出现，想不到对称问题，或者找到对称点，但是分析不到位

②几何中也是常见的最值问题，易出现几何分析不到位，转换不到函数问题

【考点一：线段最值】

方法指引：先根据已知问题，确定线段最值情况，考虑点共线，再转化成函数求点问题

例题1.如图，在抛物线y=-x2上有A,B两点，其横坐标分别为1,2；在y轴上有一动

点C,当BC+AC最小时，则点C的坐标是（）

A.(0.0)B,(0,-7)C,(0,2)D.(0,-2)

变式训练1.如图,平面直角坐标系中，已知A2,0,B（4,0）,P为y轴正半轴上一个动

则线段BQ的最小值是（）

D,2/5

例题2如图，抛物线y=x2—2x—3与y轴交于点A,与x轴的负半轴交于点B,点M

是对称轴上的一个动点，连接AM,BM,贝IJAM的最小值为（）

A.2B.-TibC.2/3D.3^2

变式训练1.如图，抛物线y=-x2+2x+2交，轴于点与x轴的一个交点在2和3之间,

顶点为反下列说法：其中正确判断的序号是（）

①抛物线与直线y=3有且只有一个交点;

②若点M（-2必），N（1必），P（2必）在该函数图象上，贝

③将该抛物线先向左，再向下均平移个单位，所得抛物线解析式为了=2

2（x+1）+1;

④在x轴上找一点。使4D+AD的和最小，贝撮小值为质.

A.①②④B.①②③C.①③④D.②③④

变式训练2如图，已知线段AB=70,点尸是AB上一动点（不与/、3重合），分别以

AP、PB为边在AB的同侧作正方形APCD和PBFE,且两正方形对角线的交点分别为

M、N,则MN长度的最小值为.

APB

针对性练习

1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-(x2+2x+2的图象与x轴、y轴分别交于

A、B、C三点，点。是其顶点，若点P是x轴上一个动点，则CP+DP的最小值

为.

2.如图，抛物线V=[x2一3与X轴交于a3两点，点P是以点C(0,4)为圆心，1为

半径的圆上的动点，点。是线段网的中点，连接。。，则线段。。的最小值是.

与y轴交于点C.

备用图

⑴求点A,B,C的坐标;

⑵在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使得PA+PC的值最小.若存在，求出点P的坐

标；若不存在，请说明理由;

⑶N是抛物线上异于点C的动点，若^NAB的面积与aCAB的面积相等，求点N的坐标.

【考点二：周长或面积最值】

方法指引：把周长问题，转化成线段问题，再把线段问题转化成点共线问题；把面积问

题转化成函数点与点之间的问题，再求函数的最值问题

例题1.如图，已知RtaABC中，ZC=90°,ZA=30°,BC=10,在△ABC三边

上各取一点连成等边△DEF则△DE尸面积的最小值是()

A.资B.辛C.aD.10^3

变式训练1.已知抛物线y==x2/7具有如下性质：抛物线上任意一点到定点尸。2)

的距离与到X轴的距离相等，点”的坐标为(3,6),尸是抛物线V==x2/7上一动点，

C.11D.13

例题2如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2/bx的对称轴为X=(且经

过点A(2,1),点P是抛物线上的动点，P的横坐标为vmv2,过点P作PB_Lx

轴，垂足为5PB交OA于点C,点。关于直线PB的对称点为D,连接CD,AD,过点

A作AE_Lx轴，垂足