二次根式 章节复习卷（11个知识点+50题练习）（原卷版）

第12章二次根式章节复习卷（11个知识点+50题

练习）

知识点

知识点1.二次根式的定义

二次根式的定义：一般地，我们把形如心（。、0）的式子叫做二次根式.

①“厂”称为二次根号

②aQN0）是一个非负数；

学习要求：

理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式

的定义确定被开方数中的字母取值范围.

知识点2.二次根式有意义的条件

判断二次根式有意义的条件：

（1）二次根式的概念.形如的式子叫做二次根式.

（2）二次根式中被开方数的取值范围.二次根式中的被开方数是非负数.

（3）二次根式具有非负性.«（a20）是一个非负数.

学习要求：

能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利

用二次根式的非负性解决相关问题.

【规律方法】二次根式有无意义的条件

1.如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开

方数都必须是非负数.

2.如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零.

知识点3.二次根式的性质与化简

（1）二次根式的基本性质：

①（双重非负性）.

②2=。（°20）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）.

a（a>0）

③H=IM=，0（a=0）（算术平方根的意义）

-a（a<0）

（2）二次根式的化简：

①利用二次根式的基本性质进行化简；

②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简.

Vab=Va>7b（心0，后。）乎~=神（心0，6>0）

（3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把

被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中

每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2.

【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法

1.常见题型：与分式的化简求值相结合.

2.解题方法：

（1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简.

（2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果.

（3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式.

知识点4.最简二次根式

最简二次根式的概念（1）被开方数不含分母（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因

式.

我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.

最简二次根式的条件（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式（2）被开方数中不

含有可化为平方数或平方式的因数或因式.

如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a20）、x+y等；

含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、。2、（x+y）2、x2+2中+y2等.

知识点5.二次根式的乘除法

（1）积的算术平方根性质：Va^b=Va,Vb620）

（2）二次根式的乘法法则：心,《=五耳（a'O,6N0）

（3）商的算术平方根的性质：、目=运（°20,6>0）

（4）二次根式的除法法则：亲=神QNO,b>0）

规律方法总结：

在使用性质a・b（aNO,6N0）时一定要注意a20,620的条件限制，如果。

<0,b<0,使用该性质会使二次根式无意义，如（E）x（Q）W-4X-9；同样的

在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此.

知识点6.分母有理化

（1）分母有理化是指把分母中的根号化去.

分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式.

例如.（7）1=Va-Va.②1—八一瓜______Va-Vb

°五a'矩（五班）3丁）a-b-

（2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为

有理化因式.

一个二次根式的有理化因式不止一个.

例如我-愿的有理化因式可以是J5+JE，也可以是。（V2+V3）.这里的。可以是任

意有理数.

知识点7.同类二次根式

同类二次根式的定义：

一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个

二次根式叫做同类二次根式.

合并同类二次根式的方法：

只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变.

【知识拓展】同类二次根式

把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类

二次根式.

（1）同类二次根式类似于整式中的同类项.

（2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同.

（3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看

被开方数是否相同.

知识点8.二次根式的加减法

(1)法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的

二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变.

(2)步骤：

①如果有括号，根据去括号法则去掉括号.

②把不是最简二次根式的二次根式进行化简.

③合并被开方数相同的二次根式.

(3)合并被开方数相同的二次根式的方法：

二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并.合并时，只合并根式外的

因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变.

知识点9.二次根式的混合运算

(1)二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用.学习二次

根式的混合运算应注意以下几点：

①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面

的.

②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多

项式“•

(2)二次根式的运算结果要化为最简二次根式.

(3)在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当

的解题途径，往往能事半功倍.

知识点10.二次根式的化简求值

二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值.

二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区

分，避免互相干扰.

知识点11.二次根式的应用

把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性,

不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力.

二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方

法.

练习卷

--二次根式的定义（共5小题）

1.（2022春•丹阳市校级月考）当x时，是二次根式.

2.（2021春•连云港期末）若乒五是二次根式，则x的取值范围是（）

3333

A.x<—B.x„—C.x>—D.x...一

2222

3.（2020春•泰兴市月考）已知〃为正整数，后也是正整数，那么满足条件的”的最小值

是—.

4.（2022春•海安市期中）下列各式中，石，口,Na2+1,我，其中一定是二

次根式的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

5.（2021春•海淀区校级期末）下列各式：V=27,V=4,V2a-l（a<1）,J/+2.+1中,是

二次根式的有.

二.二次根式有意义的条件（共5小题）

6.（2024•无锡模拟）若式子在实数范围内有意义，则°的取值范围是（）

A.。>3B.a...3C.Q<3D.a„3

7.（2022春•亭湖区校级期末）要使式子国I有意义，则x的取值范围是（

）

A.x>0B.x...-2C.x...2D.x„2

8.（2024•工业园区一模）使471有意义的x的取值范围是.

9.（2023春•广陵区月考）已知a,b,c满足等式|a-V71+（c-4贬了="7+后工

（1）求a,b,c的值.

（2）判断以a,b,c为边能否构成三角形？若能构成三角形，此三角形是什么形状的三

角形？并求出此三角形的面积；若不能，请说明理由.

10.（2023春•邢江区期中）已知、=j2x-3+J3-2x-4,计算无-必的值.

三.二次根式的性质与化简（共5小题）

11.（2023春•亭湖区期末）实数x、y在数轴上对应点的位置如图所示，则在_2知+/

可化简为()

____I•Xy

-2-1012?

A.x-yB.-x-yC.x+yD.y-x

12.(2024春•靖江市期中)已知实数0、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：

痴-6)2-=•

IIII>

ca0b

13.(2023春•盐都区月考)若某三角形的三边长分别为2,5,n,则化简J(318|

的结果为—.

14.(2024春•靖江市月考)已知实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：

J矿-1a+c|+"(c—b)~~[(b-.

_____IIii>

c__a0______________________b

15.(2022春•海州区校级期末)材料：如何将双重二次根式Ja±2妍(a>0,b>0,

a±2扬>0)化简呢？如能找到两个数小，n(m>0,n>0),使得+(6)2=a,即

m+n-a,且使4m-4n=4b，即m-n=b>那么

a±1\[b=(Vm)2+(Vn)2±2y/m-4n=(4m±V«)2[a土2a-\4m±4n\,双重二次根式得

以化简.

例如化简：』3±2」因为3=1+2且

2=1x23±2也=(VS?+(扬②±271x72,3±2也=|1±72|.

由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成向工区的形式，且能找到m,

〃(加>0/>0)使得加+〃=a,且加那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次

根式.

请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：

(1)填空：2y[6=9,\/l2+2V35=；

(2)化简：个9土；

(3)计算：J3-+J2±.

四.最简二次根式（共4小题）

16.（吴中区期末）在“，46,胡，♦中，最简二次根式是.

17.（2023春•吴江区月考）下列二次根式是最简二次根式的是（）

A.V45B.VlOC.《D.V（L2

18.（2022春•秦淮区期末）下列根式中，不是最简二次根式的是（）

A.V2B.百C.V?D.V5

19.（江阴市校级期中）—2寄=（化成最简分式）；国7=（化成最简二次

27?/z4

根式）.

五.二次根式的乘除法（共5小题）

20.（2022春•泗阳县期末）6义衣的值是（）

A.V7B.273C.-2A/3D.±273

21.（2023春•宿豫区期末）直角三角形的两条直角边长分别为缶机、Ji6c7〃，则这个直角

三角形的面积为cm.

22.（2021春•建邺区校级期末）下列选项中，计算正确的是（）

A.V4=±2B.（—6）2=3C.屈；叵=9D.科=1；

23.（2022春•宜兴市校级月考）计算：

（1）Jl|x2V3x（-1Vi0）；

2-X3

（2）~+（x+l—--）.

x-1x-1

24.（2022春•兴化市月考）（1）发现规律：

特例4:—.（填写一个符合上述运算特征的例子）；

（2）归纳猜想：

如果〃为正整数，用含〃的式子表示上述的运算规律为：—；

（3）请证明你的猜想.

六.分母有理化（共5小题）

25.（2020春•丰县期末）已知。=&-血，b=G+那么a与6的关系为（）

A.互为相反数B.互为倒数C.相等D.a是6的平方根

26.（2021春•靖江市月考）实数2-6的倒数是.

27.（2023春•邛江区期中）下列是最简二次根式的是（）

28.（2023春•宿豫区期末）写出一个含有二次根式的式子，使它与g-2的积不含有二次

根式，你写出的式子是—（只写出一个即可）.

29.（2020春•淮安区校级期末）阅读下面计算过程:

1lx（V2-l）r-

V2+1（V2+1）（V2-1）-'

1_1X(6-血)hr-_r-

V3+V2―(V3+V2)(V3-V2)一

_J_=2)=小—2

V5+2(V5+2)(V5-2)

求：（1）」「的值.

V7+V6

(2)（"为正整数）的值.

1_]]]

(3)V2+l+V3+V2+V4+V3+'-'+V100+V99的值.

七.同类二次根式（共5小题）

30.（2021春•泗洪县期末）闻与最简二次根式血口是同类二次根式，则。=

31.（2023春•亭湖区期末）下列二次根式中，与8是同类二次根式的是（）

A.V6B.V9C.V12D.V18

32.Q023春•东台市月考）下列各组二次根式中，化简后属于同类二次根式的一组是（）

A.6和百B.后和后C.和后D.[J和6

33.（2024春•靖江市月考）最简二次根式二T与亚二藐是同类二次根式，则

34.如果最简根式“例和j2b-a+2是同类二次根式,求a,6的值.

A.二次根式的加减法（共4小题）

35.（2024春•靖江市月考）计算：V48-V75=；

36.（2021春•淮阴区期末）下列计算正确的是（）

A.V18-V2=2^/2B.V2+V3=V5C.配地=4D.&底=5

37.（2022春•海安市期中）已知x+y=-6xy=6.求的值.

38.(2022春•泗阳县期末)计算、化简：

⑴20+后-瓜.

(2)yjx^+x2y(x...0,x+y...0).

九.二次根式的混合运算(共4小题)

39.(2024春•淮安期中)下列计算正确的是()

A.V9=±3B.V8+V2=Vi0C.J(-5)2=5D.遥+2=6

40.(2024春•锡山区校级月考)72x372=；(73-2)2000(73+2)2001=.

41.(2024春•靖江市期中)计算：

n1

⑴V6x^--(-)-2+|V2-2|；

(2)(3V12-2^1+748)^273.

42.（2021春•建邺区校级期末）像（6+2）（括-2）=1,4^-4^=a（a...0）,

（Vb+l）（Vb-l）=b-l（b...0）,两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称

这两个代数式互为有理化因式.例如逐与后，后+1与亚-1,26+3行与2G-30

等都是互为有理化因式.进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号,

请回答下列问题:

（1）化简:①会

1__

V7-V5

(2)计算：(^J—+厂1广+」L+...+I——1^=)(V^T+1)=

V2+1V3+V2V4+V3V2021+V2020

(3)已知a=J2020-J2019,b7202172020,c=J2022--2021,试比较a,b,c

的大小，并说明理由.

一十.二次根式的化简求值（共4小题）

43.（2022春•海安市校级月考）若x=0+l,则代数式x?-2x+2的值为（）

A.7B.4C.3D.3-20

44.（2024•无锡模拟）已知x=6-1,则代数式x3-4x-3的值为—.

X

45.（2024春•靖江市月考）数学张老师在课堂上提出一个问题：“通过探究知道：

V2»1.414……,它是个无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1,那么有谁能说

出它的小数部分是多少”，小明举手回答：它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用

夜-1来表示它的小数部分，张老师夸奖小明真聪明，肯定了他的说法.现请你根据小明的

说法解答：

（1）而的整数部分是—.

（2）a为遥的小数部分，6为6的整数部分，求〃+的值.

（3）已知8+g=x+y,其中x是一个正整数，求2x+3-6）/的值.

46.（2。24春•靖江市月考）【阅读理解】爱思考的小名在解决问题：己矢小玲，求

2/一80+1的值.他是这样分析与解答的:

12-73

a--------------------------------<7—2=—yf3，

,2+V3-(2+V3)(2-A/3)

.•.("2)2=3,即/-4a+4=3,

/./—4〃=—1f

2a2-8a+1=2（/-4a）+1=2x（-1）+1=-1.

请你根据小名的分析过程，解决如下问题：

（3）若a=—j=---,求3/-13/+。-1的值.

V5-2

一十一.二次根式的应用（共4小题）

47.（2021春•如东县期中）如图，在长方形48c。中无重叠放入面积分别为16c疗和12c/

的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（）cm2.

A.16-873B.-12+873C.8-46D.4-273

48.（2022春•常熟市期中）已知三角形的三边长分别为a,