浙江省四校2024-2025学年高一上学期12月联考数学试题

2024学年第一学期高一年级12月四校联考数学学科试题卷命题人：长兴中学邱天程颖考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考号（填涂）；3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用补集和交集的定义可求得集合.【详解】因为全集，，，则，因此，.故选：B.2.已知命题，，则命题p的否定为（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题，即可得到答案.【详解】命题，的否定为：，.故选：D3.二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一坐标系下中的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由抛物线开口向下，可得，可排除A，C，根据抛物线过点得，可知过原点可排除B，进而可得正确选项.【详解】因为二次函数开口向下，所以，所以的图象必在二四象限，可排除选项A，C因为过点，所以，所以，所以即过点，故选项B不正确，选项D正确；故选：D.4.已知，都是实数，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】通过举反例可以证明充分性不成立，再利用重要不等式可以证明必要性.【详解】取，，此时，，满足，此时不成立；当时，因为，所以，所以，所以，即，综上，“”是“”的必要不充分条件.故选：B.5.若，，，则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用幂函数、指数函数的单调性得到，又，即可求出结果.【详解】因为在R上单调递减，所以，又在区间上单调递增，所以，得到，又，所以，即.故选：C.6.已知函数在上有且仅有个零点，则实数（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分析出函数为偶函数，可得出，即可得出实数的值.【详解】函数的定义域为，因为，所以，函数为偶函数，因为函数在上有且仅有个零点，则，解得.故选：A.7.已知函数满足，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意分别令、和，运算求解即可.【详解】因为，令，可得；令，可得；两式相加可得，令，可得；则，即.故选：D.8.已知函数，若正实数a，b，c互不相等，且，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先画出函数的图象，根据图象得到，，即可得到答案.【详解】的图象如下图所示：，设，由图知：，即，得.所以.函数单调递减，与轴交于点，由图知：.故选：B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得六分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9.已知，，则下列不等式成立的是（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】根据作差法、特值法和不等式的性质，依次判断选项即可.【详解】对选项A，因为，所以，即，故A正确.对选项B，，当时，，故B错误.对选项C，，当时，，故C错误.对选项D，由选项A知：，，所以，故D正确.故选：AD10.对于函数给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（）A.该函数是以为最小正周期的周期函数B.该函数的图象关于直线（）对称C.当且仅当（）时，该函数取得最小值D.当且仅当（）时，【答案】BD【解析】【分析】由函数的解析式，先做出函数的图像，再根据函数的定义，分别对每个命题中的函数性质进行分析判断，由函数的图像研究函数的性质，并由图像研究出的结论判断和函数有关的命题的真假.【详解】对于选项A：，因为不满足对所有的x成立，所以不是以为最小正周期的周期函数，故选项A错误.对于选项B：由图像可知，可知选项B正确.对于选项C:当（）或（）时，取得最小值，故选项C错误.对于选项D：有图像知（）时，，最大值为，可得；由图像可知在一个周期内只有在内有；故选项D正确.故选：BD11.已知，，，，则以下结论正确的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】对于A选项，利用函数与和图像交点的横坐标，以及对称性求得，；对于B选项，，，，可求得，对于其他的，则利用不等式基本性质判断，注意取等的条件.【详解】对于选项A：分别可以看作函数与和图像交点的横坐标，函数的图像关于直线对称，的图像也关于直线对称，所以两个交点也关于直线对称，所以，故选项A正确.对于选项B：由，得到，即，所以，故选项B正确.对于选项C：，由图像可知，，所以,故选项C错误.对于选项D：当且仅当时取等号.但是，所以等号不能取，故选项D正确.故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知实数m，n满足，则________．【答案】1【解析】【分析】根据指对数互化式和对数的运算性质求解即可.【详解】，.所以故答案为：113.已知，且，则________．【答案】##【解析】【分析】根据已知角与所求角之间的关系，利用诱导公式与同角三角函数关系求值即可.【详解】.，，，则，．故答案为：.14.对于，若存在，满足，则称为“类三角形”，则“类三角形”一定满足有一个内角为定值，为________.【答案】##【解析】【分析】由于因为，得，分为锐角三角形，是钝角三角形，不妨设钝角为，两种情况，根据诱导公式解决即可.【详解】因为，所以，所以为锐角三角形，若也是锐角三角形，由，得，三式相加，得（与三角形内角和定理矛盾），所以假设不成立，所以钝角三角形，不妨设钝角为，则，得，三式相加得又因为，所以．故答案为：四、解答题（第15题13分，第16题15分，第17题15分，第18题17分，第19题17分，共5小题77分）解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知．（1）求的值；（2）求的值【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用诱导公式将题干化简，即可求得（2）对所求的式子两边同时除以，再将（1）得到得结果代入即可.【小问1详解】由诱导公式，以及，所以原式，即【小问2详解】将分子分母同时除以（因为，否则无意义），所以，又由（1）知代入上式得故16.已知命题，不等式恒成立；命题，使成立.（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；（2）若命题中恰有一个为真命题，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）由得到关于的不等式，解得即可；（2）首先求出命题为真时参数的取值范围，再分真假、假真两种情况讨论.【小问1详解】命题，不等式恒成立，为真命题，则，解得，即实数的取值范围为.【小问2详解】命题，使成立，当为真命题时，即，解得或，.当命题中恰有一个为真命题时，①为真命题，为假命题，即，所以；②为假命题，为真命题，即，所以；综上可得：.17.已知某超市的新鲜鸡蛋存储温度x（单位：摄氏度）与保鲜时间t（单位：小时）之间的函数关系式为该超市的新鲜鸡蛋在存储温度为8摄氏度的情况下，其保鲜时间约为432小时；在存储温度为6摄氏度的情况下，其保鲜时间约为576小时.（1）求该超市的新鲜鸡蛋在存储温度为4摄氏度的情况下，其保鲜时间约为多少小时；（2）若该超市想要保证新鲜鸡蛋的保鲜时间不少于1024小时，则超市对新鲜鸡蛋的存储温度设置应该不高于多少摄氏度?【答案】（1）768小时（2）2摄氏度【解析】分析】（1）由题意有，则，代入，计算即可得；（2）令，结合指数函数的性质计算即可得.【小问1详解】依题意得，则，当时，，即该超市的新鲜鸡蛋在存储温度为4摄氏度的情况下，其保鲜时间约为768小时；【小问2详解】令，得，即，则，因为函数单调递减函数，所以，解得，故超市对新鲜鸡蛋的存储温度设置应该不高于2摄氏度.18.已知定义在上的函数满足，且当时，.（1）求的值，并证明为奇函数（2）求证：在上是增函数（3）若，解关于x的不等式【答案】（1），证明见解析；（2）证明见解析；（3）.【解析】【分析】（1）利用赋值法计算，再利用奇函数定义推理得证.（2）根据给定的等式，利用增函数的定义推理即可.（3）求出，结合给定等式化不等式为，再利用单调性求解即得.【小问1详解】定义在上的函数满足，取，则，所以，，取，则，于是，所以为奇函数.【小问2详解】，则，由当时，，得，，所以在上是增函数.【小问3详解】由，得，不等式，则，由（2）知，，即，解得或，所以原不等式的解集为.19.若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”．（1）判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由；（2）若函数在定义域（）上为“依赖函数”，求的取值范围；（3）已知函数在定义域上为“依赖函数”，若存在实数，使得对任意，不等式都成立，求实数s的最大值．【答案】（1）不是“依赖函数”，理由见解析；（2）（3）最大值为.【解析】【分析】（1）由“依赖函数”的定义进行判断即可；（2）先根据题意得到，解得：，再由，解出，根据的范围即可求出的取值范围；（3）根据题意分，，考虑在上单调性，再根据“依赖函数”的定义即可求得的值，代入得恒成立，由判别式，即可得到，再令函数在的单调性，求得其最值，可求得实数的最大值.【小问1详解】对于函数的定义域内存在，则无解，故不是“依赖函数”.【小问2详解】因为在上递