高中数学讲义（人教B版2019选择性必修三）第12讲622导数与函数的极值最值（2知识点6题型强化训练）

导数与函数的极值、最值课程标准学习目标（1）理解函数极值、极值点的有关概念，掌握利用导数求函数极值的方法；（2）注意结合函数的图象理解用导数求函数极值的方法，培养用数形结合的思想方法去分析问题和解决问题的思维习惯；（3）了解函数最值的有关概念；（4）会用函数的导数求函数的最值。（1）了解函数的极大（小）值与导数的关系；（2）理解极大值、极小值的概念掌握；（3）掌握不超过三次的多项式函数的极大（小）值的求法；（4）了解函数的最值与极值的区别和联系；（5）理解函数最值的概念并掌握指定区间上不超过三次的多项式函数的最大（小）值的求法。知识点01函数的极值点、极值1、极值与极值点的定义一般地，设函数的定义域为，设，如果对于附近的任意不同于的，都有：（1），则称为函数的一个极大值点，且在处取极大值；（2），则称为函数的一个极小值点，且在处取极小值；极大值点与极小值点都成为极值点，极大值与极小值都成为极值。2、函数的导数与极值关系一般地，如果是的极值点，且在处可导，则必有（1）函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某一点的左右两侧附近的点而言的；（2）极值点是函数定义域内的点，而函数定义域的端点绝不是函数的极值点；（3）极大值与极小值没有必然的的大小关系，一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值，且在某一点的极小值可能大于某一点的极大值；（4）只是可导函数在处取得极值的必要条件，不是充分条件。3、函数的单调性与极值一般地，设函数在处可导，且（1）如果对于左侧附近的任意，都有；对于右侧附近的任意，都有，那么此时是的极大值点；（2）如果对于左侧附近的任意，都有；对于右侧附近的任意，都有，那么此时是的极小值点。（3）如果在的左侧附近与右侧附近均为正号（或均为负号），则一定不是的极值点。【即学即练1】（2324高二上·山西忻州·期末）函数的极大值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，当时，，当时，.所以的极大值为.故选：B.知识点02函数的最值1、函数最值的定义（1）最大值：如果在函数的定义域内存在一点使得任意一点，使得对任意的，总有，那么称为函数在定义域上的最大值。（2）最小值：如果在函数的定义域内存在一点使得任意一点，使得对任意的，总有，那么称为函数在定义域上的最小值。2、对函数最值的定义理解（1）闭区间上的连续函数一定有最值，开区间内的连续函数不一定有最值。（2）函数的最大值和最小值是一个整体性概念。（3）函数在上连续，是函数在上有最大值或最小值的充分而非必要条件。3、函数极值与最值的关系一般地，如果函数在定义域内的第一点都可导，且函数存在最值，则函数的最之巅一定是某个极值点；如果函数的定义域为且存在最值，函数在内可导，那么函数的最值点要么是区间端点或，那么是极值点。【即学即练2】（2223高二下·新疆喀什·阶段练习）下列结论中，正确的是（）A．若在上有极大值，则极大值一定是上的最大值．B．若在上有极小值，则极小值一定是上的最小值．C．若在上有极大值，则极大值一定是在和处取得．D．若在上连续，则在上存在最大值和最小值．【答案】D【解析】函数在上的极值不一定是最值，最值也不一定是极值，故AB错误；函数在上的极值一定不会在端点处取得，故C错误；若在上连续，则在上存在最大值和最小值，故D正确.故选：D.【题型一：导函数图象与极值的关系】例1．（2223高二下·北京·期末）已知函数的导函数的图像如图所示，则（）A．有极小值，但无极大值B．既有极小值，也有极大值C．有极大值，但无极小值D．既无极小值，也无极大值【答案】A【解析】由导函数图像可知：导函数在上小于0，于是原函数在上单调递减，在上大于等于0，于是原函数在上单调递增，所以原函数在处取得极小值，无极大值，故选：A.变式11．（2223高二下·广东梅州·期末）设是的导函数，的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A．有两个极值点B．C．为的极小值D．有一个极大值【答案】D【解析】令的图象与x轴最右边交点横坐标为，观察图象知，由，得或，由，得或，函数有3个极值点，A错误；函数在上单调递增，，B错误；显然2不是函数的极值点，则不为的极小值，C错误；显然1是函数的极大值点，则有一个极大值，D正确.故选：D变式12．（2324高二上·安徽·期末）已知函数为连续可导函数，的图像如图所示，以下命题正确的是（）A．是函数的极大值B．是函数的极小值C．在区间上单调递增D．的零点是和【答案】B【解析】因为，由图可知：，；或，；且或，；，；可得或，；，；且函数为连续可导函数，则在内单调递减，在内单调递增，可知有且仅有一个极小值，无极大值，故AC错误，B正确；由于不知的解析式，故不能确定的零点，故D错误；故选：B.变式13．（2324高二上·湖南长沙·期末）（多选）已知函数的导函数的图象如图所示，下列说法正确的是（）A．函数在上单调递增B．函数在上单调递减C．函数在处取得极大值D．函数有最大值【答案】BC【解析】由题意可知：当时，（不恒为0）；当时，；所以在上单调递减，在上单调递增.可知：A错误；B正确；且函数在处取得极大值，故C正确；虽然确定的单调性，但没有的解析式，故无法确定的最值，故D错误；故选：BC.【方法技巧与总结】只是可导函数在处取得极值的必要条件，不是充分条件。只有当两侧的导函数异号才可确定其为极值点。【题型二：求函数的极值或极值点】例2．（2324高三上·广东东莞·阶段练习）若函数，则的极大值点为.【答案】2【解析】，令，解得或6，当或时，，单调递增，当时，，单调递减，故在取得极大值，故极大值点为2.变式21．（2324高二下·湖南长沙·开学考试）函数的极值点是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，令，则，得．由正弦函数的性质可知在的左右两侧的正负相反，故为函数的极值点，故选：A变式22．（2324高二下·江苏南京·开学考试）设，函数的单调增区间是．（1）求实数a；（2）求函数的极值．【答案】（1）2;（2）极小值为，极大值为0.【解析】（1）函数的定义域为：，且因为函数的单调增区间是，所以的解集是.所以方程的解是，，所以.（2）当时，令，则或当变化时，，的变化情况如下表：x1f'(x)+0f(x)↘极小值↗极大值↘当时，有极小值；当时，有极大值.变式23．（2324高二上·山东滨州·期末）已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求的极值.【答案】（1）；（2）极小值为，无极大值【解析】（1）的定义域为，，所以，又因为，所以切点为，所以曲线在处的切线方程为（2），当时，，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以当时，取得极小值，且极小值为，无极大值.【方法技巧与总结】利用导数求函数极值的方法步骤（1）求导数；（2）求方程的所有实数根；（3）观察在每个根附近，从左到右导函数的符号如何变化．①如果的符号由正变负，则是极大值；②如果由负变正，则是极小值．③如果在的根的左右侧的符号不变，则不是极值点．【题型三：已知函数的极值求参数】例3．（2324高二上·陕西西安·期末）已知函数在时取得极大值4，则．【答案】【解析】由题意可知，因为函数在时取得极大值4，所以，解之得，检验，此时，令或，令，即在上单调递增，在上单调递减，即满足题意，故.变式31．（2324高二上·山西吕梁·期末）若函数在处有极小值，则（）A．B．C．或D．【答案】A【解析】由函数，可得，因为函数在处取得极小值，可得，解得或，当时，令，解得或；令，解得，函数在上单调递增，在上单调递减，在单调递增，所以在处有极大值，不符合题意，舍去；当时，令，可得或；令，可得，函数在上单调递增，在上单调递减，在单调递增，所以在处有极小值，符合题意，综上可得，.故选：A.变式32．（2324高二上·陕西榆林·开学考试）若2是函数的极大值点，则实数的取值范围是.【答案】【解析】，令，得或，当，即时，由，得或，由，得，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以2是函数的极小值点，不符合题意；当，即时，由，得或，由，得，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以2是函数的极大值点，符合题意；当，即时，恒成立，所以没有极值点，不符合题意.综上所述，实数的取值范围是.变式33．（2324高二上·安徽·期末）已知函数在上有两个极值点，则实数的取值范围是．【答案】【解析】因为函数在上有两个极值点，所以在上有两个变号零点，因为，令，即，可得，令，则，令，得，令，得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，又，作出函数在上图象，当时，直线与函数在上的图象有两个交点，设两个交点的横坐标分别为、，且，由图可知，当或时，，此时，当时，，此时，所以函数在上递增，在上递减，在上递增，此时，函数有两个极值点，合乎题意.因此，实数的取值范围为.变式34．（2022高三·全国·专题练习）已知没有极值，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由得，根据题意得，解得．故A，B，D错误.故选：C.【方法技巧与总结】1、已知可导函数的极值求参数问题的解题步骤：=1\*GB3①求函数的导数；=2\*GB3②由极值点的导数值为0，列出方程（组），求解参数注意：求出参数后，一定要验证是够满足题目的条件。2、对于函数在某区间内无机制的问题，往往转化为其导数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题，即转化为或在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立。【题型四：利用导数求函数的最值】例4．（2223高二下·黑龙江鹤岗·期中）函数的最大值为（）A．B．C．0D．【答案】A【解析】因为，且，令，则或（舍），当时，，则函数单调递增，当时，，则函数单调递减，则当时，函数有极大值，即最大值为.故选：A变式41．（2223高二下·河南·期中）已知函数，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，令，得，当，，为减函数，当，，为增函数，又，则.故选：C.变式42．（2223高二下·吉林长春·阶段练习）函数的最小值为（）A．1B．C．0D．【答案】C【解析】，，令，解得；令，解得或，故在单调递减，在单调递增，在单调递减，而，故在上的最小值是0.故选：C．变式43．（2324高二上·江苏宿迁·期末）已知函数的图象在点处的切线方程是.（1）求，的值；（2）求函数在区间上的最大值与最小值.【答案】（1）；（2）【解析】（1），，所以，解得，（2）由（1）得，当，令，解得或，故在和单调递增，在单调递减，又，，，由于，，所以变式44．（2324高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）求在上的最小值．【答案】（1）答案见解析；（2）【解析】（1）函数的定义域为，则．当时，在上恒成立，故此时在上单调递减；当时，由，得,由，得，故此时在上单调递减，在上单调递增．综上，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增．（2）由（1）知，当时，在上单调递减，所以在上单调递减，所以；当时，(i)若，即时，在上单调递增，此时，；(ii)若，即时，在上单调递减，在上单调递增，此时，；(iii)若，即时，在上单调递减，此时，．综上所述，．【方法技巧与总结】利用导数求函数最值的方法（1）若函数的图象是一条连续不断的曲线，在曲线内只有一个导数值为0的点，且在这一点处取得极值，则该点一定是函数的最值点.（2）求一个函数在闭区间上的最值时，一定是找出该区间上导数值为0的点，无需判断出是极大值点还是极小值点，只需将这些点对应的函数值与端点处的函数值进行比较，期中最大的就是函数的最大值，最小的就是函数的最小值。【题型五：已知函数的最值求参数】例5．（2024高二下·全国·专题练习）若函数在区间内存在最小值，则实数的取值范围是.【答案】【解析】因为，所以，令，得或，令，得或；令，得，所以函数在和上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极小值，令，解得或，若函数在内存在最小值，则，解得.变式51．（2324高三上·山东潍坊·阶段练习）已知函数在区间上的最小值为，则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】当时，单调递减，故在处取得最小值，最小值为，满足要求，当或时，，令得或，当时，恒成立，故表格如下：0+0极小值极大值故在上取得极小值，且，，要想在区间上的最小值为，则要，变形得到，令，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，且，，故的解集为，时，令可得，当时，，令得，故在上单调递减，故在处取得最小值，最小值为，满足要求，当时，恒成立，故表格如下：+00+极大值极小值故在上取得极小值，且，，要想在区间上的最小值为，则要，变形得到，令，，时，，单调递增，又，故上，无解，综上：实数a的取值范围是.故选：C变式52．（2223高二下·重庆江北·阶段练习）若函数在区间上的最小值为2e，则a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，令，得，时，，单调递减，时，，单调递增，而，所以函数在区间上的最小值为2e，必有，即.故选：B变式53．（2223高二下·陕西西安·期中）已知函数在区间内有最值，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，其中，当时，，故在上单调递减，此时在内无最值，当时，若，则，若，则，故在上为增函数，在上为减函数，故在处取最大值，综上所述，实数a的取值范围是.故选：A.变式54．（2223高二下·湖北·期末）已知1是函数（a，b，）的极值点，在处的切线与直线垂直.（1）求a，b的值；（2）若函数在上有最大值2，在上有最小值也有最大值，求实数m的取值范围.【答案】（1），；（2）【解析】（1）依题意，在处的切线的斜率为，，，，所以，，经检验符合题意；（2）由（1）得，，，，的变化情况如下表所示x1200递增递减递增所以在上单调递增，在上单调递减，上单调递增，所以，所以，所以，又在上有最大值和最小值，所以.【方法技巧与总结】已知函数的最值求参数问题常用方法有函数图象法、导数法等。（1）图象法是较为直观的一种方法，通过观察函数的图象来判断函数的极值及其对应的参数值；（2）导数法：对于已知的函数，我们可以先求出其导数，然后找出导数为零的点或者导数变号的点，这些点就是函数取得极值的地方。接下来，可以通过这些点进行一些判断，例如使用二阶导数来判断极值类型，从而得到函数的最值及其对应的参数值。【题型六：函数极值与最值综合应用】例6．（四川省宜宾市2023届高三三模数学（理科）试题）已知函数.（1）讨论函数的极值点个数；（2）若，的最小值是，求实数m的所有可能值.【答案】（1）时，恰有一个极值点；时，恰有三个极值点；（2）.【解析】（1）函数的定义域是，求导得，令，求导得，递减，递增，，①当时，，递减，递增，有1个极小值点；②当时，，令，则，函数在上递增，，即，当时，，此时，使得，令，有，令，，即有在上递增，，函数在上递增，，则，当时，，此时，使得，因此递减，递增，递减，递增，有3个极值点，所以当时，恰有一个极值点；当时，恰有三个极值点.（2）由（1）知，①当时，在上单调递减，在上单调递增，，即，令，，函数在上单调递增，，则；②当时，，使得，，使得，递减，递增，递减，递增，其中，则，显然符合要求，即有，综上提，所以m的所有可能值是上的实数.变式61．（2324高三上·江苏淮安·阶段练习）已知函数.（1）若在处取得极值，求的极值；（2）若在上的最小值为，求的取值范围.【答案】（1）极大值为，极小值为；（2）【解析】（1），，.因为在处取得极值，所以，则.所以，，令得或1，列表得1+00+↗极大值↘极小值↗所以的极大值为，极小值为.（2）.①当时，，所以在上单调递增，的最小值为，满足题意；②当时，令，则或，所以在上单调递减，在上单调递增，此时，的最小值为，不满足题意；③当时，在上单调递减，的最小值为，不满足题意.综上可知，实数的取值范围时.变式62．（2223高二下·广东佛山·阶段练习）已知函数，且是函数的两个极值点.（1）求与的值；（2）若函数在上有最小值为，在上有最大值，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为，所以，由条件知，即，解得，经检验适合题意；（2）由（1）可知，则，令，得或，和随的变化情况如下表：2112+00+单调递增极大值单调递减极小值单调递增因为所以函数在上的最小值为，所以，解得，所以，因为函数在和上递增，在上递减，且，画出函数图象如图所示，由于函数在区间上有最大值，根据图象可知，即.变式63．（2324高二上·福建福州·期末）已知函数.（1）若曲线在处的切线与y轴垂直，求实数a的值；（2）若函数存在极大值为，求实数a的值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）依题意，，，则，因为在处的切线与y轴垂直，所以，解得；（2）由（1）知，当时，由得，由得，所以的单调递增区间为，单调递减区间，此时有极大值，解得，不合题意，舍去；当时，分以下三种情况：若，则在定义域内恒成立，所以的单调递增区间为，无单调递减区间，无极值，舍去；若，令得或，令得，所以的单调递增区间为，单调递减区间为，此时有极大值，解得；若，令得或，令得，所以的单调递增区间为，单调递减区间为，此时有极大值，设，因为，所以在上单调递增，所以，所以，故此时不存在a符合题意，综上所述，实数.【方法技巧与总结】在函数极值与最值的综合问题时，一定要准确区分极值与最值的关系。一、单选题1．（2324高二上·江苏徐州·期末）己知函数的定义域为，导函数的图象如图所示，则函数的极小值点的个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】A【解析】根据导函数的图象可知，有三个变号零点，则可得函数在上的单调性为先增再减，再增又减，所以函数的极小值点的个数为1个.故选：A2．（2324高二上·陕西榆林·期末）已知函数的极小值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以，令得，令得，令得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以的极小值为.故选：D3．（2324高三上·陕西·阶段练习）函数的最小值是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意可得.由，得，由，得，则在上单调递减，在上单调递增，故.故选：D.4．（2324高二上·江苏泰州·期末）已知函数在处取得极小值1，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由，因为在处取得极小值1，所以有，当时，单调递增，当时，单调递减，所以是函数的极小值点，故满足题意，于是有.故选：C5．（2324高三下·福建·开学考试）已知函数在区间上存在最小值，则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意得．当时，得或，当时，，可得函数的单调增区间为，．减区间为，即时，函数取得极小值，当时，即，解得或，故要使函数在区间上存在最小值，需有，解得，即实数a的取值范围为，故选：A．6．（2223高二下·甘肃兰州·阶段练习）定义在上的函数在区间上的最大值为，则的值为（）A．7B．C．9D．【答案】A【解析】依题意，，，所以在区间上单调递增；在区间上单调递减.，，所以在区间上的最大值为.故选：A7．（2324高二上·江苏盐城·期末）已知函数的导函数，若是函数的极大值点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】令，则或，明显函数在上单调递增，且值域为，所以方程必有根，设为，即的根为或，又是函数的极大值点，则函数在上单调递增，上单调递减，上单调递增，即，所以，得.故选：B.8．（2223高二下·陕西榆林·期末）若函数存在最小值，且其最小值记为，则的最大值是（）A．0B．1C．2D．3【答案】A【解析】因为，所以的定义域为，，当时，恒成立，所以在定义域上单调递增，不满足题意；当时，令得，此时单调递减，令得，此时单调递增，所以当时，取得最小值，即，，令得，此时单调递增，令得，此时单调递减，所以当时，取得最大值，即.故选：A.二、多选题9．（2324高二上·江苏镇江·期末）已知函数的定义域为R，函数的导函数的图象如图所示，则下列选项正确的是（）A．函数的单调递减区间是B．函数的单调递增区间是，C．处是函数的极值点D．时，函数的导函数小于0【答案】BD【解析】根据导函数的图象，对于A项，在上，，可得函数的单调递减区间是，故A错误；对于B项，在上，，在上，可得函数的单调递增区间是，，故B正确；对于C项，是的变号零点，且时，，当时，，故是函数的极大值点，是的不变号零点，不是函数的极值点，故C错误；对于D项，，故D正确.故选：BD.10．（2024高二下·全国·专题练习）对于函数，下列说法正确的是（）A．是增函数，无极值B．是减函数，无极值C．的单调递增区间为，，单调递减区间为D．是极大值，是极小值【答案】CD【解析】定义域为，，当时，；当时，；的单调递增区间为，；单调递减区间为；AB错误，C正确；的极大值为，极小值为，D正确.故选：CD.11．（2324高二上·江苏泰州·期末）已知函数，则（）A．当时，函数恰有1个零点B．当时，函数恰有2个极值点C．当时，函数恰有2个零点D．当函数恰有2个零点时，必有一个零点为2【答案】ABD【解析】因为，所以，令，，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，对于A：当时，，即恒成立，所以在上单调递增，又，，所以函数恰有1个零点，A正确；对于B：当时，，令，有，设，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，作出图象如下图：又，所以方程必有个根，即必有两个零点，设为，且，当时，，即，当时，，即，当时，，即，所以函数在上单调递增，在单调递减，在上单调递增，即函数恰有2个极值点，B正确；对于CD：当函数有2个零点时，或，所以或，将或代入得或，解得或，故C错误，D正确.故选：ABD.三、填空题12．（2223高二上·浙江·期中）函数的最小值是.【答案】【解析】显然函数的定义域为，令，显然，当时，，当时，该函数单调递增，当时，该函数单调递减，所以当时，函数有最小值，最小值为.13．（2024高二下·全国·专题练习）已知函数，其中.若在区间[1，4]上的最小值为8，则a的值为.【答案】【解析】，令，解得或，当，或，此时单调递增；当，，此时单调递减；当，即时，在上为增函数，由解得，不符合题意，应舍去；当，即时，在上的最小值，不符合题意，应舍去；当，即时，在上的最小值可能在或上取得，而当时，即，解得或，均不符合题意，应舍去；当，即，解得或（舍去）；当时，在上单调递减，在上的最小值为，符合题意.综上所述，.14．（2324高二上·河北邢台·阶段练习）若函数在区间内只有极小值，无极大值，则实数的取值范围是.【答案】【解析】因为在区间内只有极小值，无极大值，所以0在区间内只有一个左负右正的异号根，即关于的方程在区间内只有一个左负右正的异号根，所以，得.四、解答题15．（2324高二下·安徽淮南·开学考试）已知函数，且当时，有极值．（1）求的解析式；（2）求在上的最大值和最小值．【答案】（1）；（2）最大值和最小值分别为【解析】（1），由题意，解