2024-2025学年九年级数学上学期期末模拟卷（冀教版）

20242025学年九年级数学上学期期末模拟卷（考试时间：90分钟试卷满分：120分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：冀教版（2012）第23章至第31章。5．难度系数：0.65第一部分（选择题共48分）一、选择题（本大题共16小题，每小题3分，满分48分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1．在中，，，，则下列三角函数值正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了求正弦，余弦，正切，掌握直角三角形中边角关系是解题的关键．根据直角三角形三角函数关系求解即可．【详解】解：∵，∴为直角三角形在中，，，∴，A．，故选项计算错误，不符合题意；B．，故选项计算错误，不符合题意；C．，故选项计算正确，符合题意；D．，故选项计算错误，不符合题意；故选：C．2．下列事件中，属于必然事件的是（

）A．守株待兔 B．旭日东升 C．大海捞针 D．水中捞月【答案】B【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断即可．【详解】解：A、守株待兔，是随机事件，不符合题意；B、旭日东升，是必然事件，符合题意；C、大海捞针，是随机事件，不符合题意；D、水中捞月，是不可能事件，不符合题意；故选：B．3．如图，直线，直线、与，分别相交于点、、和、、．已知，则的长为（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得出比例式，求得，进而求得，即可求解．【详解】解：∵，∴∴，∴∴，故选：A．4．某小组在“用频率估计概率”的试验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的试验最有可能的是（

）A．袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球B．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”C．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2D．从一副扑克牌中随机抽取一张，抽到的牌是梅花【答案】C【分析】本题主要考查概率的计算和频率估计概率；分别计算出每个事件的概率，其值在的即符合题意；【详解】解：A、袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球的概率为，不符合题意；B、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率为，不符合题意；C、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2的概率为，符合题意；D、从一副去掉大小王的扑克牌中随机抽取一张，抽到的牌是梅花的概率为，不符合题意；故选：C．5．根据尺规作图的痕迹，可以判定点为外心的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题主要考查了三角形外心的定义，线段垂直平分线的尺规作图，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，据此求解即可．【详解】解：∵三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，∴由作图方法可知只有A选项的作图中点为三条边的垂直平分线的交点，故选：A．6．已知、是方程的两个实数根，则的值是（

）A． B． C．3 D．【答案】A【分析】此题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，根据题意得出代入代数式，即可求解．【详解】解：∵、是方程的两个实数根，∴，∴，故选：A7．“计里画方”（比例缩放和平面直角坐标网格体系）是中国古代地图制图的基本方法和数学基础，是中国古代地图独立发展的重要标志．制作地图时，人们会利用测杆、水准仪和照板来测量距离．在如图所示的测量距离的示意图中，记照板“内芯”的高度为．观测者的眼睛（图中用点C表示）与在同一水平线上，若某次测量中，则下列结论中错误的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题侧重考查相似三角形的应用，相似三角形对应边成比例、平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．观察图，可知与平行，根据相似三角形的性质可得答案．【详解】解：∵，∴，故B正确；∵，∴，∴，，故A错误，C、D正确；故选：A．8．如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，与轴、轴都相切，且经过矩形的顶点，与、分别相交．若点的坐标是，点的坐标是．则圆心的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据与轴、轴都相切，设圆心的坐标为，连接，过点作于点，设与的切点为，连接并延长，与交于点，由点的坐标是，点的坐标是，得到，求得，根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：∵与轴、轴都相切，设圆心的坐标为，连接，过点作于点，设与的切点为，连接并延长，与交于点，∵点的坐标是，点的坐标是，∴，∴，根据勾股定理：，即，解得：或（不合题意舍去），∴圆心的坐标为，故选：B．【点睛】本题考查了矩形的性质，坐标与图形，勾股定理，圆切线的性质以及垂径定理，熟练掌握相关图形的基本性质是解本题的关键．9．如图，四边形是平行四边形，是的延长线上一点，分别与交于点，，下列结论错误的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质．根据平行四边形性质得到平行是关键．根据平行四边形性质得，，可得，，．【详解】解：A、四边形是平行四边形，，，不符合题意；B、四边形是平行四边形，，，不符合题意；C、四边形是平行四边形，，，不符合题意；D、无法证明，符合题意；故选：D．10．A、B两名同学的5次数学测试成绩如图表所示，A、B两名同学数学成绩的平均数依次记为，数学成绩的方差依次记为，则下列说法中完全正确的是（

）考试次数12345A同学成绩75909095100B同学成绩8588929095A． B．C． D．【答案】D【分析】本题考查了求平均数与方差，掌握平均数与方差计算公式是关键；分别求出两同学5次数学测试成绩的平均数与方差，比较即可．【详解】解：，；，；∴；故选：D．11．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个正方形的顶点叫做格点，点，，，都在这些小正方形的顶点上，与相交于点，则的值为（

）A．2 B． C．3 D．【答案】A【分析】本题主要考查了正方形的性质，正切定义，相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．连接交于点，由正方形的性质得，进而得，又证，得，从而得，进而利用正切定义即可得解．【详解】解：如图，连接交于点，∵四边形是正方形，，，根据题意，，，，，，，，在中，，，，故选：A．12．如图，⊙O的直径，和是它的两条切线，与相切于点E，并与，分别相交于D，C两点，设，，则y关于x的图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】过D作交于F，由切线的性质可证四边形是矩形，，根据切线长定理得到，，则，在中根据勾股定理，就可以求出y与x的关系，再判断其函数图象即可．【详解】解：过D作交于F，与切于点A、B，，又，，∴四边形是矩形，，，，，切于E，与切于点A、B，，则，在中，由勾股定理得：，整理为，∴y与x的函数关系式是，y是x的反比例函数，故选：A．【点睛】本题考查动点问题的函数图象，切线长定理，矩形的判定与性质以及勾股定理，求反比例函数的解析式，解题的关键是正确的作出辅助线，综合运用以上知识．13．如图，扇形中，，点C是AB上一点，，将扇形绕点C逆时针旋转，得到扇形，若点O刚好落在上的点E处，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题主要考查旋转的性质和相似三角形的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．连接，根据旋转的性质得出，再根据勾股定理求出，再证出，即可求出的值．【详解】连接，则为旋转角，，点的对应点为点，点的对应点为点，的对应线段为，的对应线段为，，，，扇形的半径为8，，，在中，，在和中，，，，，，故选：A．14．如图，P是反比例函数的图象上一点，过点P分别作x轴、y轴的平行线，交反比例函数的图象于点M，N，则的面积为（

）A．1 B． C．2 D．【答案】A【分析】本题考查了坐标与图形，反比例函数的应用，三角形的面积公式，分别求得点M、N的坐标是解决本题的关键．设点P的坐标为，则点N的坐标为，点的坐标为，即可求得，，再根据三角形的面积公式，即可求解．【详解】解：设点P的坐标为，轴，轴，，点N的坐标为，点的坐标为纵坐标为，，解得，点的坐标为，，，，故选：A．15．已知二次函数，当时，函数有最小值，当时，函数有最小值，则的值为（

）A．1 B．1或 C．2或 D．【答案】D【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握对称轴，顶点坐标中最值的计算方法是解题的关键．根据题意可得，二次函数图象开口向上，对称轴直线为，由当时，函数有最小值，当时，函数有最小值，，可得对称轴在轴左边，即，由此得到二次函数图象的大致图形，当x=0时，，当时，函数的最小值为，由此求出的值，即可求解．【详解】解：已知二次函数中，，∴二次函数图象开口向上，对称轴直线为，∵当时，函数有最小值，当时，函数有最小值，，∴对称轴在轴左边，即，∴，如图所示，∴当x=0时，，∴当时，函数的最小值为，解得，，又∵，∴，∴，故选：D．16．如图，已知直线与轴、轴分别交于、两点，是以为圆心，为半径的圆上一动点，连结、．则面积的最小值是（）A． B．6 C．8 D．【答案】A【分析】本题考查了点与圆的位置关系，一次函数与坐标轴交点问题，三角形的面积，勾股定理；过作于，连接，则由三角形面积公式得，，可求圆上点到直线的最短距离，由此求得答案．【详解】解：过作于，连接，直线与轴、轴分别交于、两点，令x=0，则；令，则；点为，点为，；，，则由三角形面积公式得，，，，圆上点到直线的最小距离是，面积的最小值是故选：A．第二部分（非选择题共72分）二、填空题（本大题共3小题，17、18题每小题3分，19题每小题3分，满分10分）17．大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像，设，，小孔到的距离为，则小孔到的距离为．【答案】【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由题意得：，根据相似三角形的相似比等于对应边上的高之比，设小孔到的距离为，可得，据此即可求解；【详解】解：由题意得：，∵相似三角形的相似比等于对应边上的高之比，设小孔到的距离为．∴，即：，解得：，故答案为：18．如图，将二次函数位于x轴的下方的图象沿x轴翻折，得到一个新函数的图象（实线部分）．当新函数中函数值y随x的增大而增大时，自变量x的取值范围是．【答案】或【分析】本题考查了二次函数与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征；先求得与轴的交点坐标，根据图象求得答案即可．【详解】解：由题意，将二次函数位于轴的下方的图象沿轴翻折，得到一个新函数，新函数的解析式为．当时，，解得或，根据函数图象可得：当新函数中函数y随x的增大而增大时，自变量x的范围是或．故答案为：或．19．如图，内接于，是的直径，于点，连接，半径，连接，于点．(1)；(2)若，则．【答案】/45度【分析】（1）由垂直定义得，由圆周角定理得到；（2）根据垂径定理得到，由三角形中位线定理得到，证明得，于是得到，根据勾股定理即可得到结论【详解】解：（1）∵，∴，∴，∴；（2）∵，∴，∵，∴是的中位线，∴，∵是的直径，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴．故答案为：；．【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，三角形中位线，正确的识别图形是解题的关键．三、解答题（本大题共7小题，满分62分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）20．（8分）已知关于的方程．(1)求证：无论取何值，方程总有两个实数根；(2)若方程有一个不小于4的根，求实数的取值范围．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程：（1）根据题意只需要证明即可；（2）利用因式分解法求出方程的两个根为，再根据方程有一个不小于4的根列出不等式求解即可．【详解】（1）证明：由题意得，，∴无论取何值，方程总有两个实数根；（2）解：∵，∴，解得，∵方程有一个不小于4的根，∴，∴．21．（8分）为了建设书香校园，更好地满足学生的阅读需求，某校决定新增四类书籍（科普类、文学类、艺术类、工具类），并计划根据学生的需求情况进行采购．为此，学校随机抽取了部分学生进行调查（每名学生必选且只选一类图书），并将调查结果进行统计分析，绘制成如下不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：(1)选文学类图书的学生有_____人，_____°；(2)若该校共有学生1800人，请估计该校学生中需要工具类图书的人数；(3)某班计划从报名的甲、乙、丙、丁四名学生中随机选择两名学生作为班级图书管理员，请用列表或画树状图的方法，求同时选中乙和丙的概率．【答案】(1)70，108；(2)估计该校学生中需要工具类图书的人数约180人；(3)．【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，列表法与树状图法，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．（1）用科普类的人数除以对应百分比可得总人数，再求出选文学类图书的人数，用360乘“艺术类”所占百分比可得对应的圆心角度数；（2）用该校共有学生人数1800乘以工具类图书所占百分比即可；（3）根据题意，可以画出相应的树状图，从而可以求得相应的概率．【详解】（1）调查的学生总人数为（人），∴选文学类图书的学生有（人）．．故答案为：70，108；（2）（人），∴估计该校学生中需要工具类图书的人数约180人．（3）列表如下：甲乙丙丁甲（甲，乙）（甲，丙）（甲，丁）乙（乙，甲）（乙，丙）（乙，丁）丙（丙，甲）（丙，乙）（丙，丁）丁（丁，甲）（丁，乙）（丁，丙）共有12种等可能的结果，其中同时选中乙和丙的结果有：（乙，丙），（丙，乙），共2种，∴同时选中乙和丙的概率为．22．（9分）为保护青少年视力，某企业研发了可升降夹书阅读架（如图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意图（如图2），测得底座高为，，支架为，面板长为，为．（厚度忽略不计）(1)求支点C离桌面的高度；（结果保留根号）(2)当面板绕点C转动时，面板与桌面的夹角满足时，保护视力的效果较好．当从变化到的过程中，面板上端E离桌面的高度增加还是减少？面板上端E离桌面的高度增加或减少了多少？（结果精确到，参考数据：，，）【答案】(1)(2)高度是增加了，增加了约【分析】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键．（1）过点C作于点F，过点B作于点M，则四边形为矩形，可得，．求出，解直角三角形求出的长，即可得解；（2）过点C作，过点E作于点H，分别求出从变化到的过程中的值，即可得解．【详解】（1）解：过点C作于点F，过点B作于点M，∴．由题意得，，∴四边形为矩形，∴，．∵，∴．∵，∴．∴．答：支点C离桌面的高度为．（2）解：过点C作，过点E作于点H，∴．∵，，∴．当时，；当时，；∴∴当从变化到的过程中，面板上端E离桌面的高度是增加了，增加了约．23．（9分）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，，与反比例函数的图象交于点，．(1)分别求出两个函数的解析式；(2)直接写出不等式的解集；(3)连接、，求的面积．【答案】(1)，(2)或(3)3【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合，待定系数求函数解析式、反比例函数的几何意义；（1）将点C、D的横、纵坐标代入反比例函数的解析式，求得m、n的值，从而点D纵坐标已知，将点C、D的横、纵坐标代入一次函数的解析式，求得k、b的值，从而两个函数解析式可求；（2）根据函数图象，写出反比例函数在直线上方的自变量的取值范围，即可求解．（3）根据，得出，即可求解．【详解】（1）解：∵反比例函数过点，∴，解得，．∴反比例函数的解析式为．∵直线过点，，∴，解得，．∴一次函数的解析式为．（2）解：∵一次函数与反比例函数的交点为，根据函数图象可得当时，或（3）解：如图所示，过点分别作轴的垂线，垂足分别，∵，，∴，∵反比例数，∴又∵∴．24．（9分）在同一平面内，如图①，将两个全等的等腰直角三角形摆放在一起，点A为公共顶点，．如图②，若固定不动，把绕点A逆时针旋转，使、与边的交点分别为M、N点M不与点B重合，点N不与点C重合．【探究】求证：．【应用】已知等腰直角三角形的斜边长为4．（1）的值为___________．（2）若，则的长为___________．【答案】【探究】见解析；（1）8；（2）【探究】利用三角形外角的性质可证，又由，可证明结论；【应用】（1）首先求出等腰直角三角形的直角边长，再由，得，则；（2）由，得，由（1）知，得，从而得出答案．【详解】探究：∵为等腰直角三角形，，∴，同理，，∵，，∴，∴；应用：（1）∵等腰直角三角形的斜边长为4，∴，∵，∴，∴，∴；（2）∵，∴，∵，∴，∴．【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，利用前面探索的结论解决新的问题是解题的关键．25．（9分）如图是南水北调某段河道的截面图．河道轮廓为某抛物线的一部分，小红在枯水期测得河道宽度米，河水水面截痕米，水面到河岸水平线的距离为7.5米，以点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，解决如下问题：

(1)求河道轮廓的函数表达式，并求此时最大水深为多少米？(2)在丰水期，测得水面到的距离为米，求此时水面截痕DE的长；(3)在（2）的条件下，小红乘坐小船游弋到河道正中央时，向右侧河岸抛出一个小球，小球恰好落在点处，小球飞行过程中到水面最大距离是8米，若小红抛球的力道和角度不改变，要想让小球飞到河岸上（即点右侧），求小红的小船至少要向右划行多少米？【答案】(1)，(2)(3)【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题题意，建立函数模型是解题的关键．（1）利用抛物线对称性求出点坐标，在用待定系数法求抛物线解析式即可；（2）由题意可以推出点和点的纵坐标为，代入值求出和的横坐标，从而求出长度；（3）先求出船在中间时小球的运动轨迹抛物线解析式，再设向右划行米，然后将点代入即可求出值．【详解】（1）解：如解图，过点作轴于点，由二次函数图象的对称性可得．，，∵，．设二次函数表达式为，将代入得，解得，二次函数表达式为．，二次函数图象的顶点纵坐标为，此时最大水深为（米）．

（2）解：丰水期时水面到的距离是3.6米，令，即，解得，，，此时水面截痕DE的长为16米．（3）解：由题易知小球的轨迹是抛物线，如解图，设DE的中点为，小球轨迹的顶点是点，．由（2）知，小球飞行过程中到水面最大距离是8米，且经过，两点，，两点关于对称轴对称，．设小球的轨迹抛物线的表达式为，将代入得，解得，．设向右划行米，小球落到点，此时抛物线表达式为，将代入可得，解得（舍去）或．答：小红的小船至少要向右划行米．

26．（10分）如图1，在矩形中，边长，，其中分别是方程的两个根，连接．点从点出发，沿向点运动（到达点停止运动），速度为1个单位每秒，设运动时间为秒．(1)______．(2)如图2，在运动过程中，以为圆心，的长为半径作半圆，交射线于点，当为______时，点运动到的角平分线上，此时，半圆与有怎样的位置关系，并加以说明．(3)如图3，在运动过程中，连接，将沿折叠，得到，连接，当取最小值时，为______，此时，的值为______．(4)如图4，当半圆与的边有两个交点时，直接写出的取值范围．【答案】(1)5(2)(3)，(4)或【分析】（1）先解一元二次方程，得到，