从银行贷款问题看非光滑分析理论的应用教学讲义

从银行贷款问题看非光滑分析理论的应用2025/2/8大背景时至今日，我国进入世界贸易组织WTO已经五周年，我国金融业与国际接轨的宽限期已经结束，温家宝总理最近签署了有关开放外资银行经营人民币业务的法令。由于我国长期实行计划经济，在很长的时期里，银行的功能实际上充当了财政的出纳，而自身的经济效益反而放到次要地位。银行在信贷业务方面长期积累的的呆帐、坏帐比例曾一度达到国际上公认的“技术性破产”水平。自从改革开放以来，银行系统的体制改革—至少是在形式上，已经步入了商业化轨道。经过最近几年的试点，2005年1月6日，国务院公布了中国建设银行和中国银行实施股份制改造试点，并注资450亿美元，集中消化了两行财务上的历史包袱，迈开了股份制改造、将两行办成现代商业银行改革的实质性步伐。此后，工行和建行也陆续跟进。2025/2/8问题的提出无庸讳言，商业银行的所有经营活动都是以经济效益为第一优先考虑的。银行的经济效益的主体部分是通过存、贷利率差实现的。因此，如何向客户(企业和个人)发放贷款，使之获得最大收益就成为一个热点研究课题。我们在这里提出一条思路：使用最优化方法。这里介绍的方法，有可能制作成软件包，成为投资决策系统的一部分。问题：某银行有一笔总额为a的资金，将其贷给n个客户，假设第i个客户获得的贷款金额为xi。如何安排这些xi，可以使银行获得最大经济效益？2025/2/8目标函数的凹性假设在模型(P)中，可行集显然是凸集；然而，要求目标函数是凹函数，我们需要一个合理的假设。假设：客户的收益与贷款金额成正比，或者客户的收益与贷款金额间存在某种饱和趋势（分别如右图的半直线和曲线）。这两种情况都决定了函数Ri(xi)是凹的。xiRi(xi)O2025/2/8凸规划这样一来，我们的非线性规划模型(P)是一个凸规划问题（可行集为凸集，极大化一个凹目标函数）。理论上，我们的银行放款问题已经完满解决：求解一个非线性凸规划问题！然而，在实践中，我们面临两大难题：一方面，每个客户的收益函数Ri(xi)银行方很难掌握；另一方面，当客户数量n较大时，计算量是难以忍受的。2025/2/8分散化银行的决策者使用利率杠杆，将“权力”下放，实现“分散化”处理的目的。设银行贷款利率为

*

，对于每个客户，他们只需按自己的效益最大化原则来决定自己的贷款金额。这样，刚才的问题分散化为n个独立的最优化问题(模型中的

*实际上是(1+

*))：2025/2/8困难这些问题的个数虽多，但都是单变量凸规划问题，且每个问题都由一个企业来解。因此，实际上问题已经大大简化。现在的新问题在于：提出怎样的利率

*，使得这笔资金仍能达到最优分配，即仍能达到总收益最大这一目标？从直观上可以看出，如果*定得过高，企业都不大愿意贷款，资金得不到充分利用；但如果定得过低，又会使企业贷款欲望膨胀，对于单个客户，他们不会考虑银行资金总额的限制，因此，有可能突破总金额a的上限。2025/2/8分散化参数：Lagrange乘子不过，银行方可以动用利率杠杆，既控制客户的贷款欲望，又使资金充分利用。下面我们断言：满足要求的（最优）利率

*，正是不等式约束等价地的Lagrange乘子。2025/2/8问题(P)的部分无约束化撇开一些简单的变换，可以看出如果

*是对应于约束条件的Lagrange乘子

*，则问题(P)等价于下面的问题(PL)：这里的L(x,

*)是问题(P)的部分Lagrange函数(注意：问题(P)是极大化目标函数，因此，L(x,

*)的后一项是减号)。2025/2/8资金的“影子价格”(PL)的目标函数：正是将约束条件取消后对原问题(P)的目标函数的惩罚(也就是罚函数)。事实上，破坏约束条件后，是正项，*越大，(PL)的最优目标值越小。而Lagrange乘子

*则是因为破坏约束条件应付出的单位代价（这就是资金的“影子价格”）。2025/2/8如何求最优利率

*？因为(PL)(P)，所以不要指望通过(PL)来求

*。我们将模型(PL)中的

*看成变量0，则对任意固定的,(PL)的解是：这个解实际上是惩罚单位为时，原问题(PL)的近似解(此时的不一定是问题(PL)的

*)。2025/2/8如何求最优利率

*？续1要使约束条件全部起作用，应

该使惩罚项达到最大(相当于违反交

通规则的罚款，你罚到他倾家荡产)！观察的表达式，要使惩罚项

就应该使2025/2/8如何求最优利率

*？续2综上分析，求

*的问题，归结为求解关于决策变量的一个带非负约束的极小化问题：2025/2/8如何求最优利率

*？续3注意到是凹函数，是仿射函数，因而仍然是凹函数。于是上确界存在，且是关于变量的仿射函数。因而，问题(P

)是一个单变量凸规划问题，理论上是容易求解出

*的。

2025/2/8还有困难细心的听众一定可以看出，问题依然含有银行方很难掌握的每个客户的收益函数Ri(xi)。进一步的简化，需要用到不可微优化和数学规划扰动问题理论方面的知识。2025/2/8凸规划问题的扰动问题考虑凸规划问题(P)：记a=(a1,…,ap)T

，b=(b1,…,bq)T，称为问题(P)的扰动问题，记为(pa,b)。2025/2/8扰动问题解函数的凸性对于扰动问题(pa,b)，我们记它的(最优目标)值为V=V(a,b)。显然，可以将其看成是扰动向量(a,b)的函数。我们有如下的重要定理

定理：设f，g1,…,gp为线性空间X上的凸函数,h1,…,hq为X上的仿射函数,V=V(a,b)为问题(pa,b)的值，那么V是Rp×Rq上的凸函数。证明1.doc2025/2/8函数V=V(a,b)的获得注意到函数V=V(a,b)是扰动问题(pa,b)的(最优目标)值，而问题(pa,b)实际上是参数规划，参数为(a,b)

Rp×Rq。由此可见，获得V(a,b)的解析表达式并非易事。操作性较强的办法是取足够多的参数(a,b)，求解相应的(Pa,b)。用数理统计中的非线性回归分析(曲线拟合)获得V=V(a,b)的估计。

2025/2/8凸函数的次微分设X为Hausdorff拓扑向量空间，X*为X的拓扑对偶空间，f:X→R∪{±∞}为X上的凸函数，集合称为f在x

X处的次微分，称为f在x

X处的次梯度。特别，当f是可微函数时，次梯度就是通常的梯度或导数，次微分就是这个梯度或导数组成的单元集。2025/2/8凸规划扰动问题最优解V=V(a,b)

的凸性和次可微性定理进一步，我们还有：定理：设问题的Lagrange乘子存在，且为的Lagrange乘子的全体（注意：不一定是单元集）。那么V=V(a,b)是Rp×Rq上的真凸函数，且它在处次可微，其次微分为：

证明2.doc2025/2/8方向可导设X为拓扑向量空间，f:X→R∪{+∞}为X上的真凸函数。方向导数：如果极限存在，则称f在x处沿方向h是方向可导的，且称为f在x处沿方向h的方向导数。2025/2/8Gâteaux可导设f:X→R∪{+∞}为X上的任意函数。如果对于x∈int(domf)，刚才定义的对任何方向h都存在，且存在x*∈X*，满足则称f在x处Gâteaux可导，x*称为其Gâteaux导数，并记作x*=▽f(x)。2025/2/8Gâteaux可导的条件充分条件：设f是拓扑向量空间X上的真凸函数，且f在x∈domf处连续。如果对任何方向h∈X都存在，则f在x处是Gâteaux可导的。充要条件：设f是拓扑向量空间X上的真凸函数，且f在x∈domf处连续。则f在x处Gâteaux可导当且仅当为单元集。显然，对于(多元)实值可微函数f(x)，总是Gâteaux可导的。2025/2/8V=V(a,b)的Gâteaux可导性凸规划扰动问题最优解V=V(a,b)的凸性和次可微性定理对于解决我们的问题特别重要，因为由它和Gâteaux可导的充要条件可以得到如下的(证明3.doc)推论：如果问题有唯一的Lagrange乘子，那么V在处Gâteaux可导，即

2025/2/8回到问题(P

)的求解(1)令如果各个企业的总收益与资金总量

的关系是已知的，则函数f(λ)是关于变量λ的已知（凸）函数。于是，我们想求解的问题(P

)化为求解单变量凸规划问题(P)

推导4.doc

2025/2/8说明对于地区或行业，各个企业的总收益与贷出资金总量的关系通常是由金融专家们按金融学和统计数据测算出来的。在数学上，使用的方法多为数理统计中的非线性回归分析(曲线拟合)。2025/2/8回到问题(P

)的求解(2)利用刚才讨论的结果，我们要求解扰动问题(Pa)：

设(Pa)的最优解为V=V(a)。使用前面提到的推论：当问题(Pa)有唯一的Lagrange乘子时，我们要求的最优利率可以按来计算。2025/2/8结