数学实验课件：概率论与数理统计实验

概率论与数理统计实验

概率论与数理统计是研究“随机现象”数量规律的一门学科.概率论与数理统计的应用非常广泛，几乎遍及自然科学，社会科学，工程技术，军事科学及生活实际等各领域.

通过学习“概率论与数理统计”，就能用概率论的思想和观点观察、处理“随机”事件；并对“数据”发生兴趣，能善于发现、善于处理各种数据资料.

在MATLAB中，提供了专门工具箱Statistics，该工具箱有几百个专门求解概率统计问题的功能函数，使用它们可很方便地解决实际问题.

本章介绍概率统计中的相关MATLAB命令，求解概率分布、随机数和统计量的数字特征.Contents8.1.1离散型随机变量8.1.2连续型随机变量随机变量及其分布8.1随机数8.2统计量的数字特征8.3蒙特卡罗方法8.48.1随机变量及其分布随机变量有离散型和连续型两种．8.1.1离散型随机变量

离散型随机变量的概率规律可以用分布律和分布函数来描述．定义8.1

设离散型随机变量X取值xk时的概率为，则称X的所有取值及取值的概率为离散型随机变量X的分布律，记作P{X=xk}=pk，k=1,2,⋯也可列表如表8-1所示．pkk=1,2,⋯

定义8.2设X是随机变量，x为任意实数，则称函数为随机变量X的分布函数，记作

.离散型随机变量X的分布函数为常见的离散型分布：1.二项分布B(n,p)

若离散型随机变量X的分布律为

其中0＜p＜1，则称X服从二项分布，记作.2.泊松分布若离散型随机变量X的分布律为其中λ＞0，则称X服从参数为的泊松分布，记作

泊松分布描述了大量试验中，稀有事件（即概率较小事件）出现次数的概率分布.例如，操作系统出现故障的次数、商店中贵重商品出售的件数、布匹上的瑕疵点数等，一般可以看作服从泊松分布．8.1.2连续型随机变量

连续型随机变量的概率特征，主要用概率密度函数和分布函数来描述.

定义8.3设X是在实数域或区间上连续取值的随机变量，随机变量X的分布函数为F(x).

若存在非负可积函数f(x)，使得对于任意实数x，有

则称X为连续型随机变量，并称f(x)是X的概率密度函数．常见的连续型分布：1.均匀分布若随机变量X的概率密度为则称随机变量X

服从[a,b]上的均匀分布，记作.2.指数分布若随机变量X的概率密度为

其中

为常数，则称随机变量X服从参数为

的指数分布，记作.3.正态分布若随机变量X的概率密度为其中σ＞0，则称随机变量X服从参数为μ，σ的正态分布，记作.

在MATLAB中，常见的分布的函数如表8-2所示．表8-2常用的分布

对每一种分布提供5类运算功能，见表8-3．表8-3概率分布的运算功能

当需要某一分布的某类运算功能时，将分布字符与功能字符连接起来，就得到所要的命令，例如表8-4．表8-4常用的概率密度函数例8.1绘制正态分布N(3,22)和泊松分布π(5)密度函数的图像．解>>x=-2:0.1:8;

>>y=normpdf(x,3,2);

>>plot(x,y,'+')

>>x=0:15;

>>y=poisspdf(x,5);

>>plot(x,y,'+')正态分布和泊松分布密度函数的图像分别如图8-1a和8-1b所示．ab图8-1密度函数图像例8.2求二项分布B(20,0.2)和泊松分布P(6)的期望和方差．解>>[M,V]=binostat(20,0.2)M=4V=3.2000>>[M,V]=poisstat(6)M=6V=6可得二项分布B(20,0.2)的期望和方差分别为4、3.2；泊松分布P(6)的期望和方差分别为6、6．

例8.3某一急救中心在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼救次数服从参数为t/2的泊松分布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时计），求：（1）在某一天中午12时至下午3时没有收到紧急呼救的概率；（2）某一天中午12时至下午5时至少收到1次紧急呼救的概率．解本题计算需调用函数poisscdf，格式为poisscdf(x,λ)，返回（1）>>P1=poisscdf(0,3/2)P1=0.2231可知中午12时至下午3时没有收到紧急呼救的概率为0.2231．（2）>>P2=1-poisscdf(0,5/2)P2=0.9179可知中午12时至下午5时至少收到1次紧急呼救的概率为0.9179．8.2随机数常用的生成随机数的命令及调用格式如下：①

rand(m,n)生成(0,1)上均匀分布的m行n列随机数矩阵②

randn(m,n)生成标准正态分布N(0,1)的m行n列随机数矩阵③

randperm(N)生成1，2，...，N的一个随机排列④

random(‘name’,A1,A2,A3,m,n)生成以A1，A2，A3为参数的m行n列随机数矩阵，name指定分布类型（见表1）⑤

unidrnd(N,m,n)生成1，2，...，N的等概率m行n列随机数矩阵⑥

binornd(k,p,m,n)生成参数为k,p的m行n列随机数矩阵⑦

unifrnd(a,b,m,n)生成[a,b]区间上连续型均匀分布m行n列随机数矩阵⑧

normrnd(mu,sigma,m,n)生成均值为mu，标准差为sigma的m行n列正态分布随机数矩阵⑨

perms(1:n)生成一个1，2，...，n的全排列，共n!个例8.4生成随机矩阵．>>rand(1)%生成一个(0,1)间的随机数ans=0.8853>>rand(2,2)%生成一个2×2阶(0,1)间的随机数矩阵ans=0.64830.09530.46630.9678>>randperm(5)%生成一个1~5的随机整数排列ans=23514例8.5产生一个3行4列均值为2，标准差为0.3的正态分布随机数．解>>y=random('norm',2,0.3,3,4)y=1.94782.05841.42321.65751.81542.66891.99362.10461.80292.31571.60962.1730

解>>p1=normcdf(6,4,3)-normcdf(3,4,3)p1=0.3781>>p2=1-normcdf(3,4,3)p2=0.6306可得P{3<X<6}=0.3781，P{X>3}=0.6306．例8.7随机投掷均匀硬币，观察国徽朝上与国徽朝下的频率．

在命令行窗口调用fun87(3000)，fun87(5000)，……，fun87(10000000)得到结果如表8-5所示．表8-5国徽朝上与国徽朝下的频率

8.3统计量的数字特征

8.3.1统计图常用的统计作图命令调用格式如下：①

histogram(X,nbins)基于

X

创建直方图,用正整数

nbins

指定bin数目.②

polarhistogram(theta,nbins)在极坐标中创建一个直方图，theta指定弧度值,用正整数

nbins

指定bin数目.③

boxplot(x)

创建

x

中数据的箱线图.如果

x

是向量，

boxplot

绘制一个箱子.如果

x

是矩阵，boxplot

为

x

的每列绘制一个箱子.

例8.8生成10000个随机数并创建直方图；创建由介于0和2之间的值组成的向量，生成一个直方图，该直方图显示划分为六个bin的数据．解>>x=randn(10000,1);>>h=histogram(x)>>theta=[0.11.15.43.42.34.53.23.45.62.32.13.50.66.1];>>polarhistogram(theta,6)得到图形如图8-2所示.图8-2直方图

例8.9两个教学班各30名同学，在数学课程上，A班用新教学方法组织教学，B班用传统方法组织教学，现得期末考试成绩如下：A：82，92，77，62，70，36，80，100，74，64，63，56，72，78，68，65，72，70，58，92，79，92，65，56，85，73，61，71，42，89B：57，67，64，54，77，65，71，58，59，69，67，84，63，95，81，46，49，60，64，66，74，55，58，63，65，68，76，72，48，72在同一坐标轴上画box图，并对两个班的成绩进行初步的分析比较．解clearx=[82,92,77,62,70,36,80,100,74,64,63,56,72,78,68,65,72,70,58,92,79,92,65,56,85,73,61,71,42,89;57,67,64,54,77,65,71,58,59,69,67,84,63,95,81,46,49,60,64,66,74,55,58,63,65,68,76,72,48,72]';boxplot(x)得到图形如图8-3所示．图8-3箱线图

从图中直观地看出，两个班成绩的分布是正态（对称）的，A班成绩较为分散（方差大），B班成绩则较集中（方差小）.A班成绩明显高于B班（均值比较.并且A班25%低分段上限接近B班中值线，A班中值线接近B班25%高分段下限）.A班的平均成绩约为70分（中值），B班约为65分（中值）．A班有一名同学的成绩过低（离群），而B班成绩优秀的只有一人（离群）．（1）表示位置的统计量—平均值和中位数平均值（简称均值）描述数据取值的平均位置，记作

中位数是将数据由小到大排序后位于中间位置的那个数值．Matlab中mean(x)返回x的均值，median(x)返回中位数．8.3.2

统计量

假设有一个容量为n

的样本（即一组数据），记作

需要对它进行一定的加工，才能提出有用的信息，用作对总体（分布）参数的估计和检验．统计量就是加工出来的、反映样本数量特征的函数，它不含任何未知量．下面我们介绍几种常用的统计量．（2）表示变异程度的统计量—标准差、方差和极差标准差s定义为

它是各个数据与均值偏离程度的度量，这种偏离不妨称为变异．方差是标准差的平方s2．极差是

的最大值与最小值之差．Matlab中std(x)返回x的标准差，var(x)返回方差，range(x)返回极差．其他常见数学特征函数见表8-6.表8-6其他常见数学特征函数函数名称函数名称min(x)最小值nanmin(x)忽略样本中非数求最小值max(x)最大值nanmax(x)忽略样本中非数求最大值sum(x)元素的总和trimmean(x,p)剔除上下各(p/2)%数据后均值moment(x,n)样本n阶中心矩range(x)样本最大值与最小值之差skewness(x)样本偏度kurtosis(x)样本峰度例8.10函数max和min的使用．解>>A=magic(4)A=16231351110897612414151>>max(A)%默认求矩阵A各列元素的最大值ans=16141513>>max(max(A))%求矩阵A的最大值ans=16>>max(A,[],2)%求矩阵A各行元素的最大值ans=16111215>>[C,I]=min(A)%求矩阵A的最小值并返回下标C=4231I=4114例8.11

学校随机抽取100名学生，测量他们的身高和体重，所得数据如表8-7．解数据输入通常有两种方法，一种是在交互环境中直接输入，如果在统计中数据量比较大，这样作不太方便；另一种办法是先把数据写入一个纯文本数据文件data.txt中，格式如表8-7，有20行、10列，数据列之间用空格键或Tab键分割，该数据文件data.txt存放在matlab\work子目录下，在Matlab中用load命令读入数据．身高体重身高体重身高体重身高体重身高体重17275171621666216055155571735816655170631675317360178601737316347165661706016350172571826317159177641695516867168651756717664168501614916963171611786417766170581736717259170621725917758176681756818470169641655216459173741726916952173571736116670163571705616065165581776616963176601776717256165561664917165169621705817264169581677217576164591666316954167541796217663182691867716676169721735916965171711674716865165641685717657170571585116562172531696616958172501625217575174661676316650174641686217059表8-7学校100名学生的身高和体重clcloaddata.txthigh=data(:,1:2:9);high=high(:);%将身高数据存储在high中weight=data(:,2:2:10);weight=weight(:);%将体重数据存储在weight中shuju=[highweight];jun_zhi=mean([highweight])zhong_wei_shu=median(shuju)biao_zhun_cha=std(shuju)ji_cha=range(shuju)pian_du=skewness(shuju)feng_du=kurtosis(shuju)得到结果jun_zhi=170.250061.2700%身高和体重的均值分别为170.2500、61.2700zhong_wei_shu=17062%身高和体重的中位数分别为170、62biao_zhun_cha=5.40186.8929%身高和体重的标准差分别为5.4018、6.8929ji_cha=3130%身高和体重的极差分别为31、30pian_du=0.15450.1380%身高和体重的偏度分别为0.1545、0.1380feng_du=3.55732.6644%身高和体重的峰度分别为3.5573、2.66448.4蒙特卡罗方法

随机模拟方法，也称为蒙特卡罗（MonteCarlo）方法，是一种基于“随机数”的计算方法．它以概率统计理论为基础，通过对研究的问题或系统进行随机抽样，然后对样本值进行统计分析，进而得到所研究问题或系统的某些具体参数、统计量等．

在实际生活中，大量问题包含着随机性因素，这时进行随机模拟是一种有效的方式．随着模拟次数的增多，其精度也逐渐增高．由于需要大量反复的计算，一般用计算机来完成．蒙特卡罗方法在金融工程学，宏观经济学，计算物理学（如粒子输运计算、量子热力学计算、空气动力学计算）等领域应用广泛。

图8-4正方形的内切圆

解在一个面积为4的长方形内随机投点，该点落在此区域的概率为该区域的面积与长方形的面积比值，即p=S:4,可得S=4p．

MATLAB命令如下：p=rand(10000,2);x=2*p(:,1)-1;y=2*p(:,2);N=find(y<=2-x.^2&y.^3>=x.^2);