数理统计课件：非正态总体参数的置信区间

非正态总体参数的置信区间枢轴量的分布有时容易求得，有时并不容易求得.当枢轴量的精确分布不容易获得的时候，就需要利用大样本理论来获得枢轴量的渐近分布，并基于渐近分布构造参数的置信区间.下面，我们来介绍非正态总体参数置信区间的构造方法：

一是小样本方法，即枢轴量的精确分布已知.二是大样本方法，即枢轴量的精确分布不容易获得.4.3.1小样本方法一指数分布参数的置信区间其中λ>0是未知参数设X1,X2,…,Xn是来自指数分布总体X

的样本，其密度函数为问题：构造参数λ

或者1/λ

的置信水平为1-α的置信区间.背景：指数分布参数的置信区间在实际工程和科学研究中，特别是在可靠性分析中有非常广泛的应用.解:1/λ的一个良好的点估计(且是UMVUE)，因此，取作为枢轴量.由于对给定置信水平1-α

(0<α<l)，只要取c1

和c2

满足如何确定c1

和c2，满足上式的c1

和c2有无穷对，其中有一对c1

和c2使得区间长度最短.但是这样一对c1

和c2不易求得且表达式复杂，应用不方便.通常采用下列方法，一般令c1

和c2满足其中这样找到的c1

和c2虽不能使置信区间的精度最高，但是表达式简单，可通过χ2分布的上α分位数表求得，应用上很方便.因此有利用不等式等价变形得λ的置信水平为l-α的置信区间为同理得到λ

的置信水平为1-α的置信下限和上限分别为1/λ

的置信水平为1-α的置信区间为例4.3.1

某工厂生产某种电子元器件，为了了解该电子元器件的寿命，工程师从生产的产品中随机抽取了10个样品进行测试并获得其寿命数据为(单位：千小时)：51.198，29.092，154.949，94.141，54.775，225.471，79.341，38.891，205.883，195.727已知这种电子元器件的寿命分布为指数分布E(λ)，试根据上述试验数据分析该电子元器件平均寿命1/λ的置信水平为95%的置信区间.解：则1/λ的置信水平为95%的置信区间为n=10，由样本算得，查表得二均匀分布参数的置信区间设X1,X

2,…，Xn

是来自均匀分布U[0,θ],θ>0,的样本，问题：构造参数θ的置信水平为1-α的置信区间.解：X(n)是θ

的极大似然估计又是充分统计量，的密度函数为因此取作为枢轴量对给定置信水平1-α(0<α<1)，只要取c1和c2满足而等价变形为考虑区间平均长度最短的要求得到因此，θ的置信水平为1-α的置信区间为即：4.3.2大样本方法背景：两点分布在实际应用和科学研究中的应用也比较广泛.比如，工程师经常用两点分布来描述生产线上产品的状态.问题：令X表示产品的状态，取值为{0(正品)，1(次品)}，则X的分布为两点分布.工程师关心的是次品率p的置信区间.一两点分布参数的置信区间设X1,X

2,…，Xn是来自两点分布B(1，p)的样本，且0<p<1未知，求参数p的置信区间.解：令，可知根据中心极限定理，对于充分大的n，有当N(0,1)，与未知参数p无关.当n充分大时，随机变量的极限分布是于是取T作为枢轴量.当n充分大时，对于给定置信水平1-α

，有不等式等价于p的置信水平近似为1-α的置信区间为实用中可采用下列更简单的方法：得到由和将上述两式相乘，按照Slutsky引理，有T的极限分布与p无关，于是取T作为枢轴量.当n充分大时，对于给定置信水平1-α

，有即不等式等价于p的置信水平近似为1-α的置信区间为例4.3.2某地区随机调查了七岁以下的儿童2452名，发现患有肥胖病的56名，试以98%的置信水平给出该地区全部七岁以下儿童的肥胖发病率的区间估计?p的近似98%置信区间为解：[0.023-2.33×0.003,0.023+2.33×0.003]=

[0.016,0.03]例4.3.3设自一大批产品的100件样品中，得一级品60件，求这批产品的一级品率的置信水平为95%置信区间?p的近似95%置信区间为解：[0.6-1.96×0.049,0.6+1.96×0.049]=

[0.504,0.696].因此，在这批产品中以95%的可靠度估计一级品率在50.4%至69.6%之间.例4.3.4在某电视节目收视率的调查中，随机抽取了500户家庭，其中有200户家庭收看该电视节目.试求收视率p的95％置信区间.p的近似95%置信区间为解：[0.36,0.44]收视率p是两点分布的参数二泊松分布参数的置信区间求参数λ

的置信区间设X1,X

2,…，Xn是来自泊松分布P(λ)的样本，且λ>0未知

解：令，可知Sn~P(nλ).根据中心极限定理，对于充分大的n，有于是取T作为枢轴量.当n充分大时，随机变量的极限分布是N(0,1)，与未知参数λ

无关.当n充分大时，对于给定置信水平1-α

，有解不等式参数λ的置信水平近似为1-α的置信区间为实用中可采用下列更简单的方法：由和根据Slutsky引理，有T的极限分布与未知参数λ

无关，于是取T作为枢轴量.当n充分大时，对于给定置信水平1-α

，有即不等式等价于参数λ的置信水平近似为1-α的置信区间为其中