《大学物理(下册)》课件-第12章

第12章振动12.1简谐振动的描述12.2-几种常见的简谐振动12.3简谐振动的能量12.4简谐振动的合成12.5阻尼振动、受迫振动、共振12.6电磁振荡本章小结习题

12.1简谐振动的描述

12.1.1简谐振动最基本、最简单的振动是简谐振动。一切复杂的振动都可以分解为若干个简谐振动的合成。下面我们讨论简谐振动的基本规律。物体运动时,如果离开平衡位置的位移(或角位移)随时间按余弦函数的规律变化,这种运动称为简谐振动。

将一个质量为m的物体系于一端固定的弹簧的自由端,就组成了一个弹簧振子。设一弹簧振子放在光滑水平面上,在弹簧处于自然长度时,物体所受合外力为零,物体处于平衡位置O点。以O点为坐标原点,向右为x轴正向。如果把物体略加移动后释放,该物体将在弹性力的作用下在O点两侧作往复运动。下面将证明:在这种运动中,物体离开平衡位置的位移x将随时间t按余弦函数的规律变化,是简谐振动。

12.1.2-简谐振动的表达式

现在以弹簧振子为例来作动力学分析。如图12.1所示,一根轻弹簧和一个质量为m的物体(可视为质点)构成一个弹簧振子系统,其平衡位置位于x轴的坐标原点O,物体沿x方向运动。图12.1弹簧振子系统

1.振幅

由式(12-4)可知,当|cos(ωt+φ)|=1时,振动物体的位移x达到最大值A,A表示物体作简谐运动时离开平衡位置的最大位移,称为振幅。

2.角频率

简谐振动表达式(12－4)中的ω称为角频率。振动的特征之一是运动具有周期性。振动往复一次(即完成一次全振动)所经历的时间称为周期,用T表示。根据式(12－4)可知,简谐振动的周期与角频率的关系为

单位时间内物体完成全振动的次数叫频率,用ν表示。频率与周期及角频率的关系为

周期的单位为秒(s)。频率的单位为赫兹(Hz),1Hz=1s-1。

3.相位

由式(12-4)可知,当角频率ω和振幅A一定时,物体在任一时刻t的位置取决于ωt+φ,ωt+φ称为相位,它反映出振动物体在任一时刻的运动状态。t=0时刻的相位φ称为初相位,简称初相。初相φ用弧度表示,它反映初始时刻(t=0)振动物体的运动状态。

12.1.3简谐振动的速度和加速度

根据式(12－1),可求得任意一个时刻物体的速度和加速度:

式中,vm=Aω,am

=Aω2。从式(12－9)和式(12－10)可以看出,物体作简谐运动时,其速度和加速度也随时间作与位移同频率的“简谐振动”,但位移、速度和加速度振动的相位不相同,速度的相位比加速度超前π/2,加速度的相位比速度超前π/2,比位移超前π。图12.2画出了简谐运动的位移、速度、加速度与时间的关系。式x=Acos(ωt+φ)中的A和φ,即简谐振动的振幅和初相,可由初始条件决定。设t=0时物体的初位移为x0,初速度为v0,则不难得到图12.2-简谐振动的位移、速度和加速度

12.1.4简谐振动的旋转矢量表示

在研究简谐运动时,常采用一种比较直观的几何描述方法,称为旋转矢量法。该方法不仅在描述简谐运动和处理振动的合成问题时提供了简捷的手段,而且能把简谐运动的三个特征量非常直观地表示出来。在直角坐标系Oxy中,以原点O为始端作一矢量A,让矢量A以角速度ω绕O点作逆时针方向的匀速转动,如图12.3所示。矢量A称为旋转矢量。矢量A在旋转过程中其端点M在x轴上的投影P将以O点为中心作往复振动。现在我们来考察投影点P的振动规律。图12.3简谐振动的旋转矢量表示

设在t=0时,矢量A与x轴之间的夹角为φ。经过时间t,矢量A与x轴之间的夹角变为ωt+φ,则P点的运动方程为

可见,旋转矢量A的端点M在x轴上的投影点P的运动是简谐运动。不难看出,矢量A的长度即为简谐运动的振幅A,矢量A的角速度即为振动的角频率ω,在初始时刻(t=0),矢量A与x轴的夹角φ即为初相位,任意时刻矢量A与x轴的夹角即为振动的相位ωt+φ。

【例12.1】已知某质点沿x轴作简谐振动,其振动曲线如图12.4所示,求:

(1)质点的振动表达式。

(2)质点的速度和加速度。图12.4例12.1图

【例12.2】如图12.5所示,一质量为0.01kg的物体作简谐运动,其振幅为0.08m,周期为4s,起始时刻在x=0.04m处,向Ox轴负方向运动。试求:

(1)t=1.0s时物体所处的位置和所受的力;

(2)由起始位置运动到x=-0.04m处所需要的最短时间。图12.5例12.2图

12.2-几种常见的简谐振动

12.2.1单摆如图12.6所示,细线的上端固定,下端系一可看做质点的重物自然下垂,就构成一个单摆。细线称为摆线,其质量和伸长均忽略不计,重物称为摆球。把摆球从其平衡位置拉开一段距离后放手,摆球就在竖直平面内来回摆动。图12.6单摆

设在某一时刻摆线偏离铅垂线的角位移为θ,并取逆时针方向为角位移θ的正方向。在忽略空气阻力的情况下,摆球沿圆弧运动图12.6单摆所受的合力沿切线方向的分力(即重力在这一方向的分力)为

根据牛顿第二定律得

在角位移θ很小时,sinθ≈θ,所以

上式表明:在小角度摆动的情况下,单摆的振动是简谐振动,其角频率和周期分别为

可见,单摆的周期取决于摆长和该处的重力加速度,可通过测量单摆周期确定该处的重力加速度。

12.2.2-复摆

一个可绕固定轴O摆动的刚体称为复摆,也称物理摆。如图12.7所示,平衡时,摆的重心C在轴的正下方。设在任一时刻t,重心与轴的连线OC与竖直方向的夹角为θ,规定偏离平衡位置沿逆时针方向转过的角位移为正,这时复摆受到对转轴O的力矩为

式中的负号表明力矩M的转向与角位移θ的转向相反。图12.7复摆

12.3简谐振动的能量

下面仍以弹簧振子为例来说明振动系统的能量。当物体的位移为x,速度为v时,弹簧振子的弹性势能和动能分别为

以上分析表明,弹簧振子系统的动能和弹性势能都随时间t作周期性变化,但其总能量不随时间改变,即其机械能不变,如图12.8所示。这是因为在简谐振动过程中,只有系统的保守内力作功,其他非保守内力和外力均不作功,所以系统的总能量必然守恒,也就是说,系统的动能与势能不断地相互转换,而总能量却保持恒定。

【例12.3】如图12.9所示,已知弹簧的劲度系数为k,物体的质量为m,滑轮的半径为R,转动惯量为J。开始时托住物体m,使得系统保持静止,绳子刚好拉直而弹簧无形变,t=0时放开m。设绳子与滑轮间无相对滑动。

(1)证明放开后m作简谐振动。

(2)求振动周期。

(3)写出m的振动表达式。图12.8振动能量

12.4简谐振动的合成

12.4.1两个同方向同频率简谐振动的合成一般的振动合成问题比较复杂,我们先讨论两个同方向同频率简谐振动的合成。

若两个x方向的简谐振动,角频率都是ω,振幅分别为A1和A2,初相分别为φ1和φ2,则它们的表达式分别为

在任意时刻合振动的位移为两个分振动位移的代数和,即

用旋转矢量法可以直观简便地求出合成结果。如图12.10所示,两个分振动的旋转矢量分别为A1和A2,t=0时刻它们与x轴的夹角分别为φ1和φ2,在x轴上的投影分别为x1和x2,A1和A2-的合矢量为A,而A在x轴上的投影为x=x1+x2,可见A表示的是两个分振动的合振动对应的旋转矢量。又因为A1和A2-以相同的角速度ω匀速旋转,所以在旋转过程中平行四边形的形状保持不变,因而合矢量A的长度保持不变,并以相同的角速度ω匀速旋转。因此,合振动是简谐振动,其表达式为

参照图12.10,可由余弦定理求得合振动的振幅为

合振动的初相φ应满足图12.10两个同方向同频率简谐振动的合成

从式(12－19)可以看到,合振幅不仅与两个分振动的振幅有关,而且与两者的初相差有关。下面讨论两个特例:

(1)若两个振动同相位,即φ2-φ1=2kπ(k=0,±1,±2,…),则

A=A1+A2-

此时合成结果相互加强,合振幅最大。

(2)若两分振动相位相反,即φ2-1=(2k+1)π(k=0,±l,±2,…),则

A=|A1-A2|

此时合成结果相互减弱,合振幅最小。特别地,如果A1=A2,则A=0,就是说两个等幅而反相的简谐振动的合成将使质点处于静止状态。

12.4.2-两个同方向不同频率简谐振动的合成

如果两个简谐振动的振动方向相同而频率不同,那么它们的合振动虽然仍与原来的振动方向相同,但不再是简谐振动。

为了简化问题,设两简谐振动的振幅都是A,初相都为零,它们的振动表达式可分别写成

运用三角函数的和差化积公式可得合振动的表达式为

上式不符合简谐振动的定义,所以合振动不再是简谐振动。但当两个分振动的频率都较大而其差很小,即|ν2-ν1|≪ν2+ν1时,我们就把

看成合振动的振幅,其大小随时间周期性缓慢变化且具有周期性,表现出振动忽强忽弱的现象。两个频率都较大、但频率之差很小的同方向简谐振动合成所产生的合振动振幅随时间周期性变化的现象称为拍,而将合振幅变化的频率称为拍频。由式(12-21)可知,拍频

12.4.3相互垂直的简谐振动的合成

当一个质点同时参与两个不同方向的振动时,它的合位移是两个分位移的矢量和。一般情况下质点将在平面上作曲线运动,其轨迹由两个分振动的频率、振幅和相位差决定。下面先讨论同频率相互垂直简谐振动的合成。

设两个简谐振动分别在x轴和y轴上进行,它们的振动表达式分别为

联立式(12－23(a))和(12－23(b))消去参量t,即可得质点的轨迹方程为

下面简单讨论两个相互垂直但具有不同频率的简谐振动的合成。一般情况下,由于相位差不是定值,因此合振动的轨迹是不稳定的。若两个分振动的频率之比为有理数,即频率之比为简单的整数比,则合成运动具有稳定的、封闭的运动轨迹,这些轨迹称为李萨如图形。在工程技术领域常利用李萨如图形进行频率和相位的测定。

12.5阻尼振动、受迫振动、共振

12.5.1阻尼振动简谐振动是一种无阻尼自由振动。在简谐振动过程中,系统的机械能是守恒的,因而振幅不随时间而变化,即物体只在弹性力或准弹性力的作用下,永不停止地以不变的振幅振动下去,所以简谐振动属于等幅振动。

实际上,任何振动物体都要受到阻力的作用,这时的振动叫阻尼振动。由于系统能量的损失,阻尼振动的振幅会不断地减小,所以它是减幅振动。通常振动系统的能量损失的原因有两种:一种是摩擦阻力的作用,称为摩擦阻尼;另一种是振动能量向四周辐射出去,称为辐射阻尼。在下面的讨论中,我们仅考虑摩擦阻尼这一简单情况。

实验指出,当物体以不太大的速率在黏性介质中运动时,介质对物体的阻力与物体的运动速率成正比,方向与运动方向相反,即

式中,比例系数γ叫做阻力系数,它与物体的形状、大小及介质的性质有关。对弹簧振子,在弹性力及阻力的作用下,物体的运动方程为

令这里ω0为无阻尼时振子的固有角频率,β称为阻尼因子,代入上式后可得

对于确定的系统,根据阻尼大小的不同,微分方程式(12-25)有不同形式的解,对应着不同的运动情况。

(1)在阻尼作用较小,即β<ω0时,微分方程式(12-25)的解为

其中:

式(12-26)为小阻尼时阻尼振动的位移表达式,式中A0和φ0是由初始条件决定的两个积分常数,振动曲线如图12.11曲线a所示。

从位移表达式可以看出,阻尼振动不是简谐振动,也不是严格的周期运动。在小阻尼的情况下,将式(12－26)中的A0e-βt看做随时间变化的振幅,这样阻尼振动就可看做振幅按指数规律衰减的准周期振动。把振动物体相继两次通过极大(或极小)位置所经历的时间称为周期,那么阻尼振动的周期为

这就是说,阻尼振动的周期比振动系统的固有周期要长,阻尼作用愈大,振幅衰减得愈快,振动愈慢。

(2)当阻尼过大,即β>ω0时,方程(12-25)的解为

其中,C1和C2-为积分常数。此时物体将缓慢地回到平衡位置,以后便不再运动,这种情况称为过阻尼,如图12.11曲线b所示。

(3)当阻尼作用满足β=ω0时,方程(12-25)的解为

其中,C1和C2-为积分常数。此时对应的是小阻尼与过阻尼之间的临界情况。与过阻尼相比,物体从运动到静止在平衡位置所经历的时间最短,故称临界阻尼,如图12.11曲线c所示。图12.11阻尼振动

12.5.2-受迫振动和共振

如果对振动系统施加一个周期性的外力,所发生的振动称为受迫振动。这个周期性外力称为策动力。许多实际的振动属于受迫振动,如声波引起耳膜的振动、机器运转时引起基座的振动等。

假设策动力有简单形式F=F0cosωt,ω为策动力的角频率。物体受迫振动的运动方程为

在阻尼较小的情况下,上述微分方程的解为

此解表示,受迫振动是两个振动的合成。解的第一项表示一个减幅振动,它随时间t很快衰减;第二项则表示一个稳定的等幅振动。经过一段时间后,第一项衰减到可忽略不计,所以受迫振动稳定时的振动表达式为

将式(12－31)代入式(12－29)可求得

必须指出的是,受迫振动的角频率不是振子的固有角频率,而是策动力的角频率;A(稳态受迫振动的振幅)和φ(稳态受迫振动与策动力的相位差)均与初始条件无关,而与策动力的振幅及频率有关。

由式(12-32)可知,稳态受迫振动的振幅随策动力的频率而改变,其变化情况如图12.12所示。当策动力的频率为某一特定值时,振幅达到极大值。由式(12-32)利用求极值的方法,可得振幅达到极大值时对应的角频率为图12.12-受拍振动的振幅与策动力频率之间的关系

可见,在阻尼很小(β≪ω0)的情况下,若策动力的频率近似等于振动系统的固有频率,位移振幅将达到最大值,这种现象称为位移共振。

共振有利有弊。有利的例子如利用共振来提高乐器的音响效果,利用核磁共振研究物质结构以及医疗诊断等;有弊的例子如机器在工作过程中由于共振会使某些零部件损坏,大桥会因共振而坍塌等。

12.6电磁振荡

12.6.1振荡电路和无阻尼自由电磁振荡

在电路中,电流和电荷以及与之相伴的电场和磁场的振动,就是电磁振荡。本节介绍最简单、最基本的无阻尼自由电磁振荡,它由LC电路(即电容C和自感L组成的电路)产生。

如图12.13所示,先由电源对电容器充电,使两极板间的电势差U0等于电源的电动势ε,这时电容器两极板A、B上分别带有等量异号的电荷+Q0和-Q0,然后用转换开关S使电容器和自感线圈相连接。在电容器放电之前瞬间,电路中没有电流,电场的能量全部集中在电容器的两极板间(见图12.14(a))。

图12.13LC电磁振荡电路图12.14无阻尼自由电磁振荡

当电容器放电时,电流就在自感线圈中激起磁场,由电磁感应定律可知,在自感线圈中将激起感应电动势,以反抗电流的增大。因此在放电过程中,电路中的电流将逐渐增大到最大值,两极板上的电荷也相应地逐渐减少到零。在放电终了时,电容器两极板间的电场能量全部转换为线圈中的磁场能量(见图12.14(b))。

在电容器放电完毕时,电路中的电流达到最大值。这时由于线圈的自感作用,对电容器作反向充电。结果使B板带正电,A板带负电。随着电流的逐渐减弱到零,电容器两极板上的电荷也相应地逐渐增加到最大值。这时磁场能量又全部转换为电场能量(见图12.14(c))。

然后,电容器又通过线圈放电,电路中的电流逐渐增大,不过这时电流的方向与图12.14(b)中的相反,电场能量又转换成了磁场能量(见图12.14(d))。

此后,电容器又被充电,恢复到原状态,完成了一个完全的振荡过程。

由上述可知,在只有电容C和自感L组成的LC电路中,电荷和电流都随时间作周期性变化,相应地电场能量和磁场能量也都随时间作周期性变化,而且不断地相互转换着。这种电荷和电流、电场和磁场随时间作周期性变化的现象叫做电磁振荡。如电路中没有任何能量消耗(转换为焦耳热、电磁辐射等),那么这种变化过程将在电路中一直继续下去,这种电磁振荡叫做无阻尼自由电磁振荡,亦称LC电磁振荡。

12.6.2-无阻尼自由电磁振荡的振荡方程

下面来定量讨论LC电路中,电荷和电流随时间变化的规律。在图12.13中,设某一时刻电路中的电流为i,根据欧姆定律,在无阻尼的情况下,任一瞬时的自感电动势为

由于i=dq/dt,上式可写成

令ω2=1/(LC),有

这正是12.1节介绍的简谐运动微分方程,其解为

式中,q为任一时刻电容器极板上的电荷,Q0是其最大值,叫做电荷振幅,φ是初相,Q0和φ的数值是由起始条件决定的,ω是振荡的角频率,而频率和周期分别为

把q对时间求导数,可得电路中任意时刻的电流为

令I0为电流的最大值,叫做电流振幅,则ωQ0=I0,上式为

由式(12-37)和式(12-39)可以看出,在LC电磁振荡电路中,电荷和电流都随时间作周期性变化,电流的相位比电荷的相位超前π/2。当电容器的两板上所带的电荷最大时,电路中的电流为零;反之,电流最大时,电荷为零。图12.15表示电荷和电流随时间变化的情况。图12.15无阻尼自由振荡中的电荷和电流随时间的变化

由式(12-38)可以看出,LC电路电磁振荡的频率ν是由振荡电路本身的性质,即由线圈的自感L和电容器的电容C所决定的。图12.16为一简单的半导体收音机调谐电路,改变电路中电容C或自感L,就可得到所需的频率或周期。图12.16调谐电路

12.6.3无阻尼自由电磁振荡的能量

下面定量讨论LC振荡电路中的电场能量、磁场能量和总能量。设电容器的极板上带有电荷q,则电容器中的电场能量为

式(12-40)表明LC振荡电路中电场能量是随时间作周期性变化的。当自感线圈中通过电流i时,线圈中的磁场能量为

这表明LC振荡电路中的磁场能量也是随时间t作周期性变化的,于是LC振荡电路中的总能量为

可见,在无阻尼自由电磁振荡过程中,电场能量和磁场能量不断地相互转化,但在任何时刻其总和保持不变。在电场能量最大时,磁场能量为零;反之,在磁场能量最大时,电场能量为零。

应当指出的是,LC振荡电路中的电磁场能量守恒是有条件的。首先,电路中的电阻必须为零,这样在电路中才会避免因电阻产生焦耳热而损耗电磁能;其次,电路中不存在任何电动势,即没有其他形式的能量与电路交换;最后,电磁能不能以电磁波的形式辐射出去。但实际上任何振荡电路都有电阻,电磁能量不断地转换为焦耳热,而且在振荡过程中,电磁能量不可避免地还会以电磁波的形式辐射出去。因此LC电磁振荡电路是一个理想化的振荡电路模型。

【例12.4】在LC电路中,已知L=260μH,C=120pF,初始时两极板间的电势差U0=1V,且电流为零。

(1)求振荡频率;

(2)求最大电流;

(3)求电容器两极板间电场能量随时间变化关系;

(4)求自感线圈中的磁场能量随时间变化关系;

(5)证明在任意时刻电场能量与磁场能量之和总是等于初始时的电场能量。

本章小结

1.基本概念和数学表达式简谐振动x=Acos(ωt+φ)简谐振动的旋转矢量表示如图12.3所示。

简谐振动的动力学特征

单摆:由摆线和摆球组成绕固定轴转动的系统。

复摆:绕固定轴转动的刚体。

在简谐振动中,系统的动能与势能不断地相互转换,而总能量保持恒定。

阻尼振动:阻力作用下的振动,能量逐渐减少。

受迫振动:对振动系统施加一个周期性的外力所发生的振动。

共振:策动力的频率近似等于振动系统的固有频率,位移振幅将达到最大值。

2.重要结论

两个同方向同频率简谐振动的合成:

习题

12-1两个相同的弹簧挂着质量不同的物体,当它们以相同的振幅作简谐振动时,振动的能量是否相同?

12-2-两个同方向、同频率的简谐振动合成时,合振幅最大和最小的条件分别是什么?

12-3弹簧振子作简谐振动时,如果振幅增为原来的两倍而频率减小为原来的一半,那么它的总能量怎样改变?

12-4一系统先作无阻尼自由振动,然后作阻尼振动,它的周期将如何变化?

12-5一简谐振动的运动方程为,求角频率ω、频率ν、周期T、振幅A和初相位φ。

12-6若简谐运动方程为x=0.