第二十五章《概率初步》期末复习考点梳理-2024-2025学年人教版数学九年级上册

第二十五章概率初步一九年级上册数学人教版（2012）期末复习考

点梳理

第一步：单元学习目标

（1）理解必然事件、不可能事件和随机事件，并会根据实际问题情

境判断事件的类型

1.随机事件与概率

（2）理解事件发生的可能性的大小，能后判断随机事件发生的可能

性的大小

（1）能用列举法（包括直接列举法、列表法、画树状图法）求事件

2.用列举法求概率的概率

（2）能根据不同的情况选择恰当的方法进行列举

（1）能用随机事件发生的频率估计事件发生的概率

3.用频率估计概率（2）理解当试验的所有可能结果不是有限个或不是等可能出现时，

利用频率轨迹概率的合理性

第二步：思维导图回顾知识

各种可能出现的结果发生的可能性不同

应用抽奖问题、游戏是否公平问题等

第三步：单元重难知识易混易错

【知识梳理】

确定性事件与随机事件

事件类型定义举例

在一定条件下，必然会发生的事在一个只装有红球的袋中摸球，摸

必然事件

确定性件，称为必然事件.出红球.

事件在一定条件下，必然不会发生的在一个只装有红球的袋中摸球，摸

不可能事件

事件，称为不可能事件.出白球.

随机事件在一定条件下，可能发生也可能在一个装有红球和白球的袋中摸

(不确定性事件)不发生的事件，称为随机事件.球，摸出红球.

【注意】一般地，判断事件的类型是在一定条件下进行的，不同的条件可能会导致不同的事件

归类，如标准大气压下，水加热到100℃沸腾是必然事件，但当气压高于标准大气压时，水的

沸点提高，水加热到100℃沸腾就不是必然事件了.

【重点】

(1)确定性事件在事件发生前是可以预知结果的，即事件的发生或不发生具有必然性；随机

事件在事件发生前是不能预知结果的，也称为“偶然性事件”.

(2)一般地，描述真理或客观存在的事实的事件是必然事件；描述违背真理或客观存在的事

实的事件是不可能事件.

概率

1.概率：一般地，对于一个随机事件A,我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件

A发生的概率，记为P(A).

2.概率的计算：一般地，如果在一次试验中，有〃种可能的结果，并且它们发生的可能性都相

等，事件A包含其中的机种结果，那么事件A发生的概率P(A)=3.

n

【注意】试验需有以下两个共同特点时才能使用上述计算概率的方法：

(1)每一次试验，可能出现的结果只有有限个；

(2)每一次实验，各种结果出现的可能性相等.

3.概率的取值范围：

(1)当A为必然事件时，P(A)=1；

(2)当A为随机事件时，O<P(A)<1；

（3）当A为不可能事件时，P（A）=O.

4.事件发生的可能性越大，它的概率越接近1,；反之，事件发生的可能性越小，它的概率越接

近0.

【重点】

（1）计算简单事件的概率的主要类型：①个数类型：如摸球、掷骰子等可以表示出所有可能

出现的结果的试验；②面积类型：如果随机试验是向S区域内掷一点，那么掷在区域A（A在

s内）内的概率「=

猥S的7面'积・

（2）同一事件，发生的概率与不发生的概率之和为1.

（3）随机事件的概率从数值上反映了随机事件发生的可能性的大小.概率是一个常数，不会受

重复试验结果的影响.

（4）事件A发生的概率大，并不能说明事件A一定发生，只能说明事件A发生的可能性大；

反之，事件A发生的概率小，并不能说明事件A一定不发生，只能说明事件A发生的可能性小.

用直接列举法（枚举法）求概率

当事件涉及的对象比较单一且出现的等可能结果数目较少时，就可以直接列举出所有等可能的

结果，再利用概率公式尸（A）=3（在一次试验中，有〃种等可能的结果，事件A包含其中的加

n

种结果）求事件发生的概率.

【注意】

（1）直接列举试验结果时，要有一定的顺序性，保证结果不重不漏.

（2）用列举法求概率的前提有两个：①所有可能出现的结果是有限个；②每个结果出现的可

能性相等.

（3）所求概率是一个准确数，一般用分数表示.

用列表法求概率

1.列表法就是用表格的形式反映事件发生的各种结果出现的次数和方式，以及某一事件发生的

可能的次数和方式，并求出概率的方法.

2.适用条件：当一次试验涉及两个因素，并且可能出现的等可能结果数目较多时，为不重不漏

地列出所有可能的结果，常采用列表法.

3.具体步骤：

(1)选其中的一次操作(或一个条件)为横行，另一次操作(或另一个条件)为竖列，列出

表格；

(2)运用概率公式尸(4)='计算概率.

【注意】在运用列表法分析随机事件发生的概率时，注意行与列的意义及行、列中量的区别,

如(1,2)与(2,1)表示不同的结果.

【重点】

(1)用列表法列举所有可能出现的结果时，要注意“放回”与“不放回”的区别.

(2)列表法适用的条件还可以理解为：各种结果出现的可能性相等，含有两次操作(如掷一

枚骰子两次)或两个条件(如两个转盘)的事件.

用画树状图法求概率

1.画树状图法是用树状图的形式反映事件发生的各种结果出现的次数和方式，以及某一事件发

生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.

2.适用条件：当一次试验涉及两个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有等可能的结果，

通常采用画树状图法.

第1步第2步第3步结果

一GAiBiCi-

AiBiCi-

AiBiCk-

BiAmBnCi•••

B2AmBnC2—

Am&C…

【重点】

(1)用列举法求事件的概率包括直接列举法、列表法和画树状图法，用列举法求概率时，各

种结果出现的可能性必须相同，必须列举出所有可能的结果，不能重复也不能遗漏.

(2)当试验包括两步时，用列表法比较方便，当然此时也可以用画树状图法；当试验包含三

步或三步以上时，不能用列表法，用画树状图法比较方便.

(3)树状图中，从左到右(或从上往下)，每一条路径都表示一种可能的结果，并且每种结果

出现的可能性相同.

利用频率估计概率

1.概率：试验中，某事件发生的次数与总次数的比值叫做频率.

2.用频率估计概率：从长期实践中，人们观察到对一般的随机事件，在做大量重复试验时，随

着试验次数的增加，一个事件发生的概率，总在一个固定数的附近摆动，显示出一定的稳定性.

因此，我们可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率.

适用条件：当试验的所有可能结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，我们

一般通过事件发生的频率来估计其概率.

计算方法：一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率稳定于某个常数尸，那么估计

事件A发生的概率P(A)=".

【注意】用频率估计概率时，必须做足够多的试验才能使频率趋于稳定，并且每次试验必须在

相同条件下进行，试验次数越多，得到的频率值就越接近概率，规律就越明显，此时可以用频

率的稳定值估计事件发生的概率.

3.频率与概率的区别与联系

频率概率

试验值或使用时的统计值理论值

区别与试验次数的变化有关与试验次数的变化无关

与试验人、试验时间、试验地点有关与试验人、试验时间、试验地点无关

联系试验次数越多，频率越趋向于概率

【重点】

用频率估计的概率是针对大量重复试验而言的，大量重复试验中反映的规律并不意味着在每一

次的试验中一定出现.也就是说，即是某事件发生的概率非常大，但在一次试验中，也不一定发

生；即使某事件发生的概率非常小，但在一次试验中，也可能发生.

【常考题型】

1.下列事件是必然事件的是()

A.在一个三角形中，任意两边之和大于第三边

B.打开电视机正在播放广告

C.任意一个一元二次方程都有实数根

D.明年元旦是晴天

2.“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”.小明购

买了“二十四节气”主题邮票,他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给朋友小

亮，小明将它们背面朝上放在案面上（邮票背面完全相同），让小亮从中随机抽取两张，则小亮抽到

的两张邮票恰好是“秋分”和“大寒”的概率是（）

A-IDt

3.如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多

少,他采取了以下办法：用一个长为5m,宽为4m的长方形，将不规则图案围起来,然后在适当位

置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区

域外不计实验结果），他将若干次有效实验的结果绘制成了②所示的折线统计图,由此他估计不

规则图案的面积大约为（）

4.有四张正面分别标有数字-2,-3,0,3的卡片，它们除数字不同外其余全部相同.先将它们

背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，得到的数记为如不放回，再从剩余卡片中随机抽取一

张，得到的数记为小则使加〃〉0的概率为（）

A.-B.-C.-D.-

6623

5.为了估计暗箱里白球的数量（箱内只有白球），将6个红球放进去，这些球除颜色外都相同，搅匀

后随机摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再摸出一个球记下颜色，多次重复后发现白球出现

的频率稳定在0.4附近，那么可以估计暗箱里白球的个数约为个.

6.如图，大小质地完全相同的A,5两个圆形转盘，都被平均分成3份，并涂上红、白两种颜色.其中：

A涂有白色2份，红色1份；3涂有红色2份，白色1份.两个转盘都是指针固定，转盘可自由转动

（若指针指向分界线，则重转）.

(1)自由转动A转盘一次，求转盘停止后指针指向白色的概率；

(2)游戏规则：甲、乙两人让两个转盘分别自由转动一次，当转盘停止时,指针指向红色，则得2分,

指针指向白色，则得1分，若两个转盘的累计得分为奇数，则甲获胜；累计得分为偶数，则乙获胜.

请用列表法分析这个游戏规则对谁更有利，并说明理由.

第四步：单元核心素养对接中考

【核心素养】

(1)数据分析与概率观念：通过试验、统计等活动，收集数据，分析数据，理解概率的概

念，认识概率是反映随机事件发生可能性大小的量，培养数据分析和概率观念.

(2)数学建模与应用意识：运用概率的知识解决实际生活中的简单概率问题，如抽奖问题、

游戏公平性问题等，建立数学模型，提高学生的应用意识和解决实际问题的能.

(3)逻辑推理与计算能力：在计算概率的过程中，需要学生进行逻辑推理和简单的数学计

算，培养逻辑推理和计算能.

【对接中考】

1.[2024年广东东莞中考真题]“八年级数学课本共160页，某同学随手翻开，恰好翻到第60页”,

这个事件是()

A.必然事件B.不可能事件C.随机事件D.以上都不正确

2.[2024年辽宁中考真题]一个不透明袋子中装有4个白球，3个红球，2个绿球，1个黑球,

每个球除颜色外都相同.从中随机摸出一个球，则下列事件发生的概率为奈的是()

A.摸出白球B.摸出红球C.摸出绿球D.摸出黑球

3.[2024年贵州中考真题]小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率

为0.4,下列说法正确的是()

A.小星定点投篮1次，不一定能投中

B.小星定点投篮1次，一定可以投中

C.小星定点投篮10次，一定投中4次

D.小星定点投篮4次，一定投中1次

4.[2024年河南中考真题]豫剧是国家级非物质文化遗产，因其雅俗共赏，深受大众喜爱.正面

印有豫剧经典剧目人物的三张卡片如图所示，它们除正面外完全相同.把这三张卡片背面朝上

洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面相同的概

率为（）

豫剧♦花木兰豫剧•七品芝麻官豫剧•朝阳沟

A.-B.-C.-D.-

9653

5.[2024年湖北中考真题]下列各事件是，是必然事件的是（）

A.掷一枚正方体骰子，正面朝上恰好是3

B.某同学投篮球，一定投不中

C.经过红绿灯路口时，一定是红灯

D.画一个三角形，其内角和为180。

6.[2024年山东威海中考真题]如图，在扇形A08中，NAOfi=90。，点C是AO的中点.过点

C作交A3于点E,过点E作石垂足为点D在扇形内随机选取一点P,则点

P落在阴影部分的概率是（）

7.[2024年浙江中考真题]有8张卡片，上面分别写着数1,2,3,4,5,6,7,8.从中随机抽

取1张，该卡片上的数是4的整数倍的概率是.

8.[2024年青海中考真题]如图，一只蚂蚁在树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个叉路口都随机

选择一条路径，它获得食物的概率是.

9.[2024年陕西中考真题]一个不透明的袋子中共装有五个小球，其中3个红球，1个白球，1

个黄球，这些小球除颜色外都相同.将袋中小球摇匀，从中随机摸出一个小球记下颜色后放回，

记作随机摸球一次.

（1）随机摸球10次，其中摸出黄球3次，则这10次摸球中，摸出黄球的频率是.

（2）随机摸球2次，用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的小球都是红球的概率.

10.[2024年西藏中考真题]为了纪念西藏民主改革65周年，弘扬爱国主义精神，学校举办了

“感悟历史奇迹，担当时代使命”的历史知识竞赛活动.从七、八年级中各随机抽取了10名学生

的竞赛成绩（单位：分）如下：

七年级：80,96,82,92,89,84,73,90,89,97

八年级：94,82,95,94,85,89,92,79,98,93

请根据以上信息，解答下列问题：

⑴七年级这10名学生成绩的中位数是；八年级这10名学生成绩的众数是；

⑵若成绩90分以上（含90分）定为优秀等次，请估计八年级400名学生中有多少名学生能达到

优秀等次；

⑶根据本次竞赛成绩，七、八年级各推荐了两名学生，学校准备再从这四名学生中随机抽取两

人参加市级竞赛，请用列表或画树状图的方法求抽到一名七年级学生和一名八年级学生的概率.

11.[2024年海南中考真题]根据以下调查报告解决问题.

调查主题学校八年级学生视力健康情况

学生视力健康问题引起社会广泛关注.某学习小组为了解本校八年级学生视

背景介绍

力情况，随机收集部分学生《视力筛查》数据.

调查结果

八年级学生右眼视力频数分布表

右眼视力频数

3.8<x<4.03

八年级学生右眼视力赎数分布直/

4.0<%<4.224J图

1

24

4.2<%<4.41821

18

15

12

4.4<x<4.6129

6日

?

0

4.6<xv4.8904.24.44,64,85.052曲力

4.8<x<5.09

5.0<x<5.215

合计90

建议：……

（说明：以上仅展示部分报告内容）.

（1）本次调查活动采用的调查方式是（填写“普查”或“抽样调查”）：

（2）视力在“4.8Kx<5.0”是视力“最佳矫正区”,该范围的数据为：4.8、4.9、4.8、4.8、4.9、

4.8、4.9、4.9,这组数据的中位数是.；

（3）视力低于5.0属于视力不良，该校八年级学生有600人，估计该校八年级右眼视力不良的

学生约为人；

（4）视力在“3.8Wx<4.0”范围有两位男生和一位女生，从中随机抽取两位学生采访，恰好抽

到两位男生的概率是；

（5）请为做好近视防控提一条合理的建议.

答案以及解析

【常考题型】

1.答案：A

解析：A、在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，是必然事件，符合题意；

B、打开电视机正在播放广告，也可能不正在播放广告，是随机事件，不符合题意；

C、任意一个一元二次方程都有实数根，也可能没有实数根，是随机事件，不符合题意;

D、明年元旦是晴天，是随机事件，不符合题意；

故选A.

2.答案：B

解析：把“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票分别记为A、B、C、D,

BCDACDABDABC

由树状图可知，一共有12种等可能的情况，其中符合条件的有2种情况,

故选：B.

3.答案：B

解析：假设不规则图案面积为X,

由已知得：长方形面积为20,

根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：—,

20

当事件A实验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A发生的概率估计值，故由折线

图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.35,

综上有：二=0.35,解得尤=7.

20

故选：B.

4.答案：B

解析：画树状图如图：

开始

n-303-203-2-33-2-30

mn60-660-9000-6-90

由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中使机〃>0的结果有2种，.•・使加〃>0的概率为

_2__J_

126'

5.答案：4

解析：设白球有x个，

---X---=0C.4“,

x+6

解得,x=4,

检验，当x=4时，原分式方程的分母不为0,

•••白球有4个,

故答案为：4.

2

6答案:(l)y

(2)见解析

解析：(1)自由转动A转盘一次，指针指向白色的可能为2次,红色的可能为1次,

•••转盘停止后指针指向白色的概率为一2=士2，

2+13

(2)列表如下,

红红白

红红红红红红白

白白红白红白白

白白红白红白白

根据表格可知，甲、乙两人让两个转盘分别自由转动一次，得分情况有9种,分别为4、4、3、3、

3、2、3、3、2分，其中奇数的情况有5种,偶数的情况有4种，

甲获胜的概率为京5乙获胜的概率为4

•••巳5＞4二游戏对甲更有禾U.

99

【对接中考】

1.答案：C

解析：“八年级数学课本共160页,某同学随手翻开恰好翻到第60页”，这个事件是随机事件

故选:C.

2.答案：B

44_2

解析：A、摸出白球的概率为不符合题意;

4+3+2+110-5

33

B、摸出红球—,符合题意；

4+3+2+110

291

C、摸出绿球—不符合题意;

4+3+2+1105

1

D、摸出黑球—,不符合题意；

4+3+2+110

故选：B.

3.答案：A

解析：小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.4,则由概率的

意义可知，小星定点投篮1次，不一定能投中，故选项A正确，选项B错误；

小星定点投篮10次，不一定投中4次，故选项C错误；

小星定点投篮4次，不一定投中1次，故选项D错误

故选；A.

4.答案：D

解析：将三张卡片分别记为A,B,C,

列表如下：

ABC

A(AA)(AB)(AC)

B（B，A）（B，B）(B©

C(C,A)(C,B)(C,C)

共有9种等可能的结果,其中两次抽取的卡片，正面相同的结果有3种，

.•.两次抽取的卡片正面相同的概率为士3=匕1

93

故选：D.

5.答案：D

解析：A、掷一枚正方体骰子，正面朝上恰好是3,是随机事件，不符合题意;

B、某同学投篮球，一定投不中，是随机事件，不符合题意；

C、经过红绿灯路口时，一定是红灯，是随机事件，不符合题意；

D、画一个三角形，其内角和为180。，是必然事件，符合题意；

故选：D.

6.答案：B

解析：设一。的半径为「，

CELAO,

；.NOCE=90。,

・点C是AO的中点，

OC=-OA=-OE,

22

在中，

OC1

cosNCOE=----,

OE2

:.ZCOE^6Q0,

ZBOE=ZAOB-ZCOE=30°,

EDLOB,

ZODE=9Q°,

NCOD=NOCE=9Q0,

四边形OCEO为矩形，

..S&OCE=S^ODE，

・•・阴影部分的面积=S扇形B°E="F，

Joi）

30xjixr2

•・•点P落在阴影部分的概率=强造=-3607=1

S扇形4OB9°X兀"3

360

故选:B.

7.答案：-/0.25

4

解析：一共有8张卡片，其中是4的整数倍的有2张，

从中随机抽取1张，该卡片上的数是4的整数倍的概率是2=上

84

故答案为：

4

8.答案：g

解析：选择每条路径的可能性相等，故获得食物的概率是L

3

9.答案：（1）0.3

⑵—

25

解析：（1）由题意得，摸出黄球的频率是3+10=0.3,

故答案为：0.3；

（2）画树状图得，

开始

第一次红1红2红3