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文档简介

等腰三角形性质定理(提高)

【学习目标】

1.了解等腰三角形的有关概念,掌握等腰三角形的轴对称性

2.利用轴对称变换推导等腰三角形的性质,并加深对轴对称变换的认识.

3.掌握等腰三角形的下列性质:等腰三角形的两个底角相等;等腰三角形三线合一.

4.会利用等腰三角形的性质进行简单的推理、判断、计算和作图.

【要点梳理】

要点一、等腰三角形的定义

1.等腰三角形

有两条边相等的三角形,叫做等腰三角形,其中相等的两条边叫做腰,另一边叫做底,

两腰所夹的角叫做顶角,底边与腰的夹角叫做底角.

如图所示,在4ABC中,AB=AC,则它叫等腰三角形,其中AB、AC为腰,BC为底边,

/A是顶角,/B、/C是底角.

2.等腰三角形的作法

已知线段a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a.

b

作法:1.作线段BC=a;

2.分别以B,C为圆心,以b为半径画弧,

两弧相交于点A;

3.连接AB,AC.

△ABC为所求作的等腰三角形.

3.等腰三角形的对称性

(1)等腰三角形是轴对称图形

(2)ZB=ZC

(3)BD=CD,AD为底边上的中线.

(4)ZADB=ZADC=90°,AD为底边上的高线.

结论:等腰三角形是轴对称图形,顶角平分线(底边上的高线或中线)所在的直线是它的

对称轴.

4.等边三角形

三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的等

腰三角形,有三条对称轴,每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称

轴.

要点诠释:(1)等腰直角三角形的两个底角相等,且都等于45°,等腰三角形的底角只

能为锐角,不能为钝角(或直角),但顶角可为钝角(或直角)./A=180。-2ZB,ZB=

180°-ZA

zc=---------.

2

(2)用尺规作图时,画图的痕迹一定要保留,这些痕迹一般是画的轻一些,能看清就

可以了,题目中要求作的图要画成实线,最后一定要点题,即“xxx即为所求”.

(3)等边三角形与等腰三角形的关系:等边三角形是特殊的等腰三角形,等腰三角形

不一定是等边三角形.

等边三角形是中考中常考的知识点,并且有关它的计算也很常见,因此对于等边三角

形的特殊数据要熟记于心,比如边长为a的等边三角形它的高是面积是

24

等腰三角形的性质及判定,知识要点】

要点二、等腰三角形的性质

1.等腰三角形的性质

性质1:等腰三角形的两个底角相等,简称“在同一个三角形中,等边对等角”.

推论:等边三角形的各个内角都等于60°.

性质2:等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三

线合一”.

2.等腰三角形的性质的作用

证明两条线段或两个角相等的一个重要依据.

3.尺规作图:已知底边和底边上的高

已知线段a,h(如图)用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使底边BC=a,BC边上的高线为h.

作法:1.作线段BC=a.

2.作线段BC的垂直平分线1,交BC与点D.

3.在直线1上截取DA=h,连接AB,AC.AABC就是所求作的等腰三角形.

【典型例题】

类型一、等腰三角形中的分类讨论

等腰三角形的性质及判定:例2(1)]

C1、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°,则顶角的度数为().

A.60°B.120°C.60°或150°D.60°或120°

【答案】D;

【解析】由等腰三角形的性质与三角形的内角和定理可知,等腰三角形的顶角可以是锐角、

直角、钝角,然而题目没说是什么三角形,所以分类讨论,画出图形再作答.

(1)顶角为锐角如图①,按题意顶角的度数为60°;

(2)顶角为直角,一腰上的高是另一腰,夹角为0°不符合题意;

(3)顶角为钝角如图②,则顶角度数为120。,故此题应选D.

【总结升华】此题主要考查了等腰三角形的性质,熟记三角形的高相对于三角形的三种位置

关系是解题的关键,本题易出现的错误是忽视了顶角为120。这种情况,把三角形简单的认

为是锐角三角形.

举一反三:

等腰三角形的性质及判定:例2(2)1

【变式1】已知等腰三角形的周长为13,一边长为3,求其余各边.

【答案】

解:(1)3为腰长时,则另一腰长也为3,底边长=13—3—3=7;

(2)3为底边长时,则两个腰长的和=13—3=10,则一腰长=!乂10=5.

2

这样得两组:①3,3,7②5,5,3.

而由构成三角形的条件:两边之和大于第三边可知:3+3<7,故不能组成三角形,应

舍去.

二等腰三角形的周长为13,一边长为3,其余各边长为5,5.

【变式2】等腰三角形有一个外角是100。,这个等腰三角形的底角是.

【答案】50°或80°.

解:①若100°的外角是此等腰三角形的顶角的邻角,

则此顶角为:180°-100°=80°,

则其底角为:(180°-80°)4-2=50°;

②若100°的外角是此等腰三角形的底角的邻角,

则此底角为:180°-100°=80°;

故这个等腰三角形的底角为:50°或80°.

故答案为:50°或80°.

类型二、等腰三角形的操作题

▼2、如图,有甲,乙两个三角形,请你用一条直线把每一个三角形分成两个等腰三角形,

并标出每个三角形各角的度数.

【思路点拨】根据等腰三角形的性质,一个等腰三角形的两底角相等,故可把原三角形中的

一个角分成两个角,故(1)把75°的角分成25°的角和50°的角,则25°和25°的底角

组成一个等腰三角形,另外一个三角形是两底角为50°的等腰三角形;(2)把120。的角分

成80°和40°的角,则40。与40°的底角组成一个等腰三角形,另外一个三角形有两个角

都是80°.

【答案与解析】

解:如图1:直线把75°的角分成25°的角和50°的角,

则分成的两个三角形都是等腰三角形;

如图2,直线把120°的角分成80°和40°的角,

则分成的两个三角形都是等腰三角形.

【总结升华】本题主要考查了等腰三角形的判定以及作图,确定分割三角形中的哪一个角是

解题的关键.

举一反三:

【变式】直角三角形纸片ABC中,ZACB=90°,ACWBC,如图,将纸片沿某条直线折叠,

使点A落在直角边BC上,记落点为D,设折痕与AB、AC边分别交于点E、F,

探究:如果折叠后的4CDF与4BDE均为等腰三角形,那么纸片中的/B的度数是多少?写

出你的计算过程,并画出符合条件的折叠后的图形.

【答案】

解:若4CDF是等腰三角形,则一定是等腰直角三角形.

设/B为x度Nl=45°,Z2=ZA=90°-x

①当BD=BE时

180°-x

/o

2

45。+9。。-+7=18。。,

x=30°.

②经计算ED=EB不成立.

③当DE=DB时

Z3=180°-2x

45°+90°-x+180°-2x=180°,

x=45°.

综上所述,NB=30°或45°.

类型三、等腰三角形性质的综合应用

C3、如图,在AABC中,AD是BC边上的中线,E是AD上一点,且BE=AC,延长BE交

AC于F.

求证:AF=EF.

【思路点拨】根据点D是BC的中点,延长AD到点H,得到△ADC^^HDB,

利用全等三角形的对应角相等,对应边相等进行等量代换,得到4AEF中的两个

角相等,然后用等角对等边证明AE=EF.

【答案与解析】

证明:延长AD至UH使DH=AD,连接BH.

:AD是BC边上的中线,

.*.BD=CD

在4ADC和△HDB中,

BD=DC

<ZBDH=ZCDA,

AD=HD

.,.△ADC^AHDB,

.•.Z1=ZH,BH=AC

VBE=AC,

;.BE=BH,

•,.Z3=ZH,

.*.Z1=Z3

又:/2=/3,

.•.Z1=Z2,

;.AF=EF

【总结升华】证明不在同一个三角形的两条线段相等,而它们所在的三角形不全等,可以利

用辅助线将它们转移到同一个三角形中,然后通过等腰三角形来证明.

举一反三:

【变式】如图,已知AD是AABC的中线,BE交AC于E,交AD于F,且AE=EF.

求证:AC=BF.

【答案】

证明:延长AD至点G,使DG=AD,连接BG.

•.•AD为中线,

:.BD=CD.

在△ACD和△G3D中,

AD=DG,

<ZADC=NGDB,

CD=BD,

AAACD也AGBD(SAS).

:.BG=AC,ZG=ZCAD.

':AE=EF,

:.ZCAD=ZAFE.

又•:NBFD=NAFE,

:.ZG=ZBFD.

:.BF=BG=AC.

C4、如图,AC=BC,ZACB=90°,/A的平分线AD交BC于点D,过点B作BELAD于

点E.求证:BE=—AD.

2

c

E

【答案与解析】

证明:如图,延长BE、AC交于点F.

VZ1=Z2,AE=AE,ZAEB=ZAEF=90°,

.•.△AEB^AAEF(ASA).

1

;.BE=FE=—BF.

2

VZ3=90°-ZF=Z2,BC=AC,

RtABCF^RtAACD(ASA)

1

;.BF=AD,BE=-AD.

2

【总结升华】在几何解题的过程中,当遇到角分线或线段垂线时常考虑使用翻折变换,可保

留原有图形的性质,且使原来分散的条件相对集中,以利于问题的解决.

举一反三:

【变式】如图1,在△ABC中,AB=AC,点D是BC的中点,点E在AD上.

(1)求证:BE=CE;

(2)如图2,若BE的延长线交AC于点F,且BFJ_AC,垂足为F,ZBAC=45

原题设其它条件不变.求证:4AEF^4BCF.

【答案】

证明:(1)VAB=AC,D是BC的中点,

ZBAE=ZEAC,

在4ABE和4ACE中,

AB=AC

<ZBAE=ZEAC,

AE=AE

A△ABEACE(SAS),

・・・BE=CE;

(2)VZBAC=45°,BF±AF,

•・.△ABF为等腰直角三角形,

AF=BF,

TAB=AC,点D是BC的中点,

・・・AD±BC,

AZEAF+ZC=90°,

BF_LAC,

・・・NCBF+NC=90°,

・•・ZEAF=ZCBF,

在AAEF和ABCF中,

ZEAF=ZCBF

<AF=BF

/AFE=NBFC=90。

:.AAEF^ABCF(ASA).

C5、如图,AABC是等边三角形,D是AB边上的一点,以CD为边作等边

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