不等式与复数（讲义）-2025年北京高考数学二轮复习（解析版）

专题02不等式和复数

目录

01考情透视•目标导航............................................................1

07军nt口旦囱.田姓己I白吉q

03知识梳理•方法技巧............................................................4

04真题研析•精准预测............................................................7

05核心精讲•题型突破............................................................9

题型一：利用基本不等式比较大小9

题型二：利用基本不等式求最值13

题型三：复数的基本考点18

题型四：复数的高级考点21

0

/“考情透视•目标导航Q

有关不等式和复数的北京高考试题，考查重点是不等式的性质和基本不等式及复数的四则运算，考试

形式分别以一道选择题为主，分值5分.近年来试题关于《不等式》以不等式的性质为主，多与函数及其他

有关最值等内容交汇，属于中档性题目，而关于《复数》以考查复数的四则运算为主，偶尔与其他知识交汇、

难度较小，属于基础性题目，在解决这些问题时，要注意不等式性质及复数运算法则，复数基础性题目较多

而不等式综合性题目居多.不等式主要考查考生的逻辑思维能力。提升考生的逻辑推理素养

考点要求目标要求考题统计考情分析

预测2025年高考，①

不等式的性质和基本不等

式这部分内容主要以选择

基本不等式的应

不等式2024北京第9题，5分题或填空题的形式出现，这

用；不等式的性质

类题目主要考查逻辑思维

能力和运算求解能力。

②以考查复数的四则运算

为主，偶尔与其他知识交

汇、难度较小，考查代数运

复数的四则运算；2024年北京第2题，5分

复数的坐标运算；2023年北京第2题，5分算的同时，主要涉及考查的

共甄复数的概念2022年北京第2题，5分概念有:复数的代数形式'

复数

及计算；复数模长2021年北京第2题，5分共舸复数、复数的模、复

的运算；复数的几2020年北京第2题，5分

数的几何意义等，考查学生

何意义2019年北京理科第1题，5分

的逻辑推理'数学运算等

学科核心素养

〃用识导图•思维引航\\

牛ni口捺理•右法怙,

1、利用不等式的性质比较大小

遨道

(鼠路]核心技均，应用不等式的性质时，注意保序和反序

如：①不等式两边同时乘以非负需要保序②不等式两边同时非负方需要保序

③不等式两边同时乘以负数需要反序④同号取倒反序

④同向不等式具有可加性，同向同正不等式具有可乘性

通路2：可以代值验证选®有时需要代多组数据,相对麻烦，本人不推荐

2、基本不等式常用模型

技巧总结

(形式一，mx+—>2Jmn(m>0,«>0),当且仅当x=时等号成立.

xVm

(形式二)mx-\——^—=m{x-d)-\——-——\-ma>2y1mn+ma(m>Q,n>0)，当且仅当％一。=时等号

x-ax-aVm

成立.

———=—1—<^=—(。>0,c>0),当且仅当x=J-时等号成立.

形式三

ax办+人+§2]ac+bVa

x

Anzfnn、/、mx(n-mx)1,mx+n-mx2//八八八止口e止n

I形式四-mx)=--------------<—(---------------)X=——(m>0,n>0,0<x<一),当且仅当x=——

mm24mm2m

时等号成立.

3、双加配凑模型

运总画

履查)形如：已知。+»=1,求的最值

------a+mb+n

第一步：将条件配凑成分母的形式

(tz+m)+(/?+n)=1+m+n

第二步：相乘利用基本不等式

n----------1(a+m)+(/?+〃)](1——--]

1+m+n\a+mb+n)

4、利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等”

访寿

（1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法

（2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量.

（3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点：

①若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲突）

②若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始

范围.

注意：形如y=x+4（a〉0）的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的

x

单调性求解.

5、几个重要的不等式

函道

（1）a2>O（tzeR）,4a>0（a>O）,|tz|>0（aeR）.

（2）基本不等式：如果则巴心之而（当且仅当=6，，时取

2

特例：a>0,«+->2;-+->2（a/同号）.

aba

（3）其他变形:

①Y+廿之（"+"）（沟通两和a+b与两平方和a2+b2的不等关系式）

2

②abW生地-（沟通两积ab与两平方和a2+b1的不等关系式）

2

③（沟通两积ab与两和a+b的不等关系式）

④重要不等式串：石即

ab

调和平均值<几何平均值<算数平均值<平方平均值（注意等号成立的条件）.

6、不等式易错分析

砺，百

基本不等式

如果。>0方>0,那么向当且仅当a=b时，等号成立.其中，i叫作4,6的算术平均数，4ab

22

叫作a,b的几何平均数.即正数a,b的算术平均数不小于它们的几何平均数.

基本不等式1：若a,beR,则当且仅当a=6时取等号；

基本不等式2：若a,bcR+,则"+”4^(或a+b22mj),当且仅当a=6时取等号.

2

注意(1)基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定

值，“三相等”指满足等号成立的条件.(2)连续使用不等式要注意取得一致.

7、复数的基础考点

技巧总结

(1)复数的概念：

形如a+初(a/eR)的数叫复数，其中。力分别是它的实部和虚部.若6=0,则。+方为实数；若bwO,

则a+方为虚数；若a=0且Z?wO,则a+方为纯虚数.

(2)复数相等：a+bi=c+dioa=c且b=d(a,b,c,deR).

(3)共辗复数：。+初与c+di共辗oa=c/=-d(a,dc,deR).

(4)复数的模：

向量OZ的模叫做复数z=a+历①/eR)的模，记作忖或|a+历|,即|zH。+历1=Z?方.

2.复数的几何意义

一一对应

(1)复数z=a+bi-<------*复平面内的点Z(a,b)(a,beR).

一一对应

(2)复数z=Q+Z?，(〃,Z?£火)^------►平面向量。Z.

3.复数的运算

设4=a+次；z2=c+di(a,b,c,deR),则

(1)加法：4+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i；

(2)减法：Z]—z2=(〃+初)—(c+成)=(a—c)+(>—；

(3)乘法：4•z2=(a+bi)-(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i；

8、复数的高级考点

1.分式快速化简

4_a+bi_{a+bi)(c-di)ac+bdbe-ad.z八、

中+E瓶+4”°）（分母相同'分子竖的加叉的减）

Z2c+di(c+di)(c—di)

2.分式的模长快速求解:

c+dic+di7c2W

z=nz=nz=

a+bia+bi

倒4

宜颠金血迎

1.【2024年北京第9题】已知（不/），（9，%）是函数y=2,的图象上两个不同的点，贝！J（）

＜%+%2

X+%；%+尤2

A.B.log

2222

C.log，%

2D.log?必＞xt+x2

【答案】B

【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可.

【详解】由题意不妨设%<%,因为函数y=2*是增函数，所以0<2'，<2也，即0<%<为，

9X19X2I----------国+工2,,I,,西+巧

对于选项AB：可得'"＞，2'?'22=2,即卫匹＞22＞0,

22

根据函数y=log?X是增函数，所以log?入产>log22==土产，故B正确，A错误;

对于选项D：例如石=0,x2=1,则%=1,%=2,

可得log2%%=log?e（。/），即log?」；为<]=&+々,故D错误；

对于选项C：例如再=一1,%2=—2,则>1=5，%="

可得log2汽匹=log2：=log23-3e（-2,-l）,即bg?再其>-3=占+无？，故C错误，

2o2

故选：B.

2.【2024年北京第2题】已知f=-1—i,贝!Jz=().

A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i

【答案】C

【详解】由题意得z=i(—1—i)=1—i.

故选：C.

3.【2023年北京第2题】在复平面内，复数z对应的点的坐标是(-1,板)，则z的共朝复数2=()

A.1+V3iB.1-V3i

C.-1+V3iD.-1-V3i

【答案】D

【详解】z在复平面对应的点是(-1,百)，根据复数的几何意义，z=-l+V3i,

由共辗复数的定义可知，z=-1-V3i.

故选：D

4.[2022年北京第2题】若复数z满足i•z=3-4i,则|z|=()

A.1B.5C.7D.25

【答案】B

【详解】由题意有z=彳=咋早=一4一3i,故团=«-4)2+(—3)2=5.

故选：B.

5.【2021年北京第2题】在复平面内，复数z满足(l—i)z=2,贝!Jz=()

A.-1—iB.-1+iC.1—iD.1+i

【答案】D

【详解】由题意可得：z=/=U^=与也=l+i.

故选：D.

6.【2020年北京第2题】在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1,2),贝ij>z=().

A.1+2iB.-2+iC.1—2iD.-2—i

【答案】B

【详解】由题意得z=1+2i,iz=i-2.

故选：B.

7.【2019年北京理科第1题】已知复数z=2+i,则zN=

A.V3B.V5C.3D.5

【答案】D

【详解】：z=2+i,z-N=(2+i)(2-i)=5故选D.

8.【2018年北京理科第2题】在复平面内，复数七的共辗复数对应的点位于

1-1

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【详解】a=息片=1+泄共辗复数用小

对应点为C，-｝，在第四象限，故选D.

9.【2017年北京理科第2题】若复数U-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围

是

A.(-GO,1)B.(-00,-1)

C.(1,+8)D.(-1,+co)

【答案】B

【详解】设z=(1-i)(a+i)=(a+1)+(1-a)i,因为复数对应的点在第二象限，所以+1J°,解得:

a<—1,故选B.

10.[2015年北京理科第1题】复数i(2-i)=

A.1+2iB.1—2iC.-1+2iD.-1—2i

【答案】A

【详解】根据复数乘法运算计算得：i(2-i)=2i—*=i+2i,故选A.

11.【2016年北京理科第9题】设aeR,若复数(1+i)(a+i)在复平面内对应的点位于实轴上，贝b=—

【答案】—1.

【详解】由题意得(1+i)(a+i)=a-l+(a+l)ie/?=>a=-1.

题型一：利用基本不等式比较大小

【典例1-1】已知函数〃x)=2、，若VXwZeR,且玉<马，则下面结论错误的是()

(%</(占)+/八2)

A./(占)</(%)B.I2J2

C./(^2)=/(^)+/(%2)D./(再+%)=/(占)/(3)

【答案】C

【详解】由指数函数的单调性可知f(x)在R上单调递增，

又占<%，所以/(再)</(马)，故A正确;

因为2~>0,2方>0,

所以/区）；/区）=2；2*2弋2*'T=2号=（%；”2）,

又改<々，所以上式取不到等号，所以"”>*）>/1号）,故B正确;

/（XjX2）=2不也，/&）+/（%）=2*+2〜，

Vxpx2GR,x<%2，/（玉（玉）+/（%2），故c错误;

/&+%)=2»巧，/(%)/(%)=2』・2巧=2再+电=/(玉+%2),故D正确.

故选：C.

【典例1-2】若G/ER,且〃>£?,则()

A.B.a2b>ab1

a+\b+\

c、、CQ+b7

C.a>ab>Z?D.a>——>b

2

【答案】D

2222

【详解】由于"*，取。=1,》=-1,1=工=(,ab=ab=l,无法得到三二(TT二，ab>ab,

a+1b+12a+1b+1

故AB错误，

取〃=0,0=_2,则"=0"=0万=4,无法得到〉">/,C错误,

由于0>6,贝!J2a>〃+a>2Z»,所以。>>b,

2

故选：D.

巧

1、应用基本不等式时的三个关注点

一正数指式子中的a,b均为正数

二定值只有ab为定值时才能应用基本不等式，因此有时需要构造定值

三相等即“=”必须成立，求出的定值才是要求的最值

2、利用基本不等式比较大小

在利用基本不等式比较大小时，应创设应用基本不等式的使用条件，合理地拆项、配凑或变形.在拆

项、配凑或变形的过程中，首先要考虑基本不等式使用的条件，其次要明确基本不等式具有将“和式”转化为

“积式”或者将“积式”转化为“和式”的放缩功能

【变式1-1】已知a,"ceR,则下列命题为假命题的是（）

A.若♦>〃，贝UQ+C>Z?+CB.若a>b>0,贝/4

C.若。>b,则［厂<］丫°D.若a>6>0,c>0,则2>卫

(2)aa+c

【答案】D

【详解】对于A,因为a>Z?,所以Q+C>Z?+C,故A结论正确；

对于B,当，>b>0时，因为塞函数y=x°4在(0,+8)上单调递增，所以/・4>那4,故B结论正确;

对于C,因为〃>人，所以a+c>〃+c,

而函数y=［gj为减函数，所以<］］，故C结论正确；

bb+cb(a+c)—Q0+c)c^b-a)

对于D,—7\―—7\，

aa+c研a+c)aya+cj

因为a>Z?>0,c>0,所以c0—a)(0,a(a+c>0,

bb+cc(b—(i\bb+c

所以-------=—-(<0,所以故D结论错误.

aa+ca^a+c)aa+c

故选：D.

【变式1・2］已知Q>>>0,下列不等式中正确的是()

A.—>—B.ab<b2

ab

C.ct-b-\-----22D.---<----

ci—ba—1b—1

【答案】C

【详解】解：对于选项A,因为。>6>0,0<,<?，而c的正负不确定，故A错误；

ab

对于选项B,因为a>b>0,所以而>〃，故B错误；

11Ii-

对于选项C,依题意a>>>0,所以〃一/?>0,->0,所以。一/?+---->2j(a-b)x----=2,故C正确;

a-ba-bVa-b

对于选项。，因为a>b>0,〃-1〉-1,7与^—正负不确定，故大小不确定，故D错误；

a-1b-\

故选：C.

【变式1-3】已知av0v0,则()

A.---->0B.sina—sin〃>0

ab

C.同-同<0D.ln(-tz)+ln(-Z?)>0

【答案】A

【详解】因为a<》<0,所以［-1="£>0,选项A正确；

abab

当1=一2几/=一兀时，显然满足Qvb<0,但sina-sinZ?=O,选项B不正确;

当〃=一2兀/=一兀时，显然满足avbvO,但问—例>0,选项C不正确；

当。=一（,人=一;时，显然满足"〈/?〈0,但是111（一。）+3-6）<0,选项D不正确,

故选：A

【变式L4]若乃>0,且av-则下列不等式一定成立的是（）

A.a2<b2B.—<7

ab

…ba入—a+br-r

C.—I—>2D.------->A/ab

ab2

【答案】C

【详解】取，=—3/=—2满足〃6>0,且。<6,止匕时/〉/,A错误；

取〃=-3]=—2满足ab>0,且〃<b,止匕时,>1，B错误；

ab

b八〃c—ba入ba入厂十会

—>0,7>0可传—I—>2.-----=2,C正确；

abab\ab

取〃二-31=一2满足,且a<b,止匕时D错误.

2

故选：C.

命题预测

1.下列命题中，真命题的是（）

A.若avb,则B.若a>b,贝!

ab

C.若0<Q<Z?<C,贝（Jlog,。<log,bD.若a+2b=2,贝!）2。+型>4

【答案】D

【详解】对A,当“=-1/=1时，则故A错误；

ab

对B,当。二-1/=一2时，贝Ij/=1,。人=2,则/〈必，故B错误；

对C,当0vc<l时,根据对数函数单调性知log。。>log*,故C错误；

对D,若a+2b=2,则2"+242。•4"=2d2。+2b=4,

当且仅当。=1,6=（时取等号，故D正确.

故选：D.

2.设0<。<6,则下列不等式中正确的是

A.a<b<y[ab<a+^B.a<^[ab<a+<b

22

C.a<y[ab<b<"+"D.\[ab<a<<b

22

【答案】B

9

【详解】：0<a<bf由基本不等式得必<如，：.a=4^<4ab<^-<^=b

222

故选：B.

题型二：利用基本不等式求最值

1o

【典例2-1】已知函数/(X)=，T过定点M,点M在直线如+〃y=l上且九">0,则上+上的最小值为()

mn

A.3+2应B.4+272C.3+0D.4+忘

【答案】A

【详解】由题设，/(%)=。1恒过点时(1,1),贝打〃+〃=1,

匕厂712/12、/、cn2m、一八上网=

所以—l—=(—I—)(m+〃)=3H-----1----->3+2,3+20,

mnmnmnmn

当且仅当m=A/2—1,n=2—A/2时等号成立,

所以目标式最小值为3+2A/2.

故选：A

【典例2・2】已知尤>0,>>0,-+2y=1,则2%+—的最小值为()

%y

A.4B.6C.8D.10

【答案】C

【详解】因为尤>0,y>0,s.-+2y=l,

X

则2x+工=卜工+，||—+2^|=4+4xy+—>4+24xy--=8,

yIy八％J冲Y孙

-+2y=l

X

“一：时，等号成立，故"+工的最小值为8.

1」

当且仅当4Axy=一时,即当

孙

"=4y

x>0,y>0

故选：C.

国O巧

利用基本不等式求代数式的最值

(1)利用基本不等式求代数式的最值，要通过恒等变形以及配凑，使“和”或“积”为定值，从而求得代数

式的最大值或最小值

(2)若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，解

答技巧都是恰当变形、合理拆分项或配凑因式

【变式2-1】已知而为正数，则学+2()

ba

A.有最小值，为2B.有最小值，为2应

C.有最小值，为4D.不一定有最小值

【答案】B

【详解】因为时为正数，所以：>0,->0,

ba

所以生+222、匡万=20,当且仅当学=?,即6=时取等号，

ba\baba

所以学有最小值2夜.

ba

故选：B

144

［变式2・2］在函数①y=x+—(xwO),®y=x+——--3(x>l),@y=-x----2(x<0),@

Xx-1X

y=A^^+7上］(xeR)中，以2为最小值的函数的序号为(

A.①②B.②③C.②④D.③④

【答案】B

【详解】对于①：例如x=-l,则>=-2,可知y=x+'(xwO)的最小值不为2,故①错误;

X

对于②：因为X>1,贝Ux-l>0,

44I4―

可得y=x+-----3=(x-l)+-----2>2(x-1)------2=2,

X1X1VX1

4

当且仅当x-l=二一,即x=3时，等号成立，

X—1

4

所以>=不■1---7—3(%>1)的最小值为2,故②正确；

x-1

对于③：因为XV。，贝1」一%>。，

44/4

可得y=-x----2=(-X)H-----2>2/(-x)-----2=2,

x-xAV-x

4

当且仅当-兀=上，即x=-2时，等号成立，

-x

4

所以y=-％------2(%<0)的最小值为2,故③正确;

x

对于④：令/=则y=/+；(此逝)，

可知y=/+；在［0,+oo)上单调递增，

当:应(x=0)时，y=t+；取到最小值平，

所以y=V7*+R^(xeR)的最小值不为2,故④错误;

故选：B.

【变式2-3］已知G是VABC的重心，过点G作一条直线与边A3,AC分别交于点E,F(点E,厂与所

在边的端点均不重合)，设A3=%AE，AC=yAF,则一十一的最小值是()

xy

4

A.1B.-C.2D.4

3

【答案】B

211

取5c中点。，贝！JAG=—AD,AD=—ABH—AC,

322

AG=-AD=-(-AB+-Ac]=-AE+^AF,

33(22J33

・・・2G,少三点共线，・・・：+N=l,即x+y=3,

33

11=；(尤+日>|x(2+2)=1,

—+—

%y

3

当且仅当x=y=；时，取等号;

故选：B

【变式2-4】使“函数”x)=E7T+不工？的最小值为”为假命题的〃的一个值可以是()

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】D

【详解】依题意，/（尤）=&+4+1+/「22L/x*2+a+l-/「=2,

yX+〃+1VyX+Q+1

当且仅当J/+a+i=1即°=-炉时取等号，而_/<0,贝ijawo,

A/X+4+1

由“函数/（%）=jN+〃+l+的最小值为2”为假命题，所以a>0.

VX+4+1

故选：D

【变式2-5】当x>2时，©+工2。恒成立，贝IJ。的最大值为（）

x-2

A.6B.10C.12D.13

【答案】C

【详解】因为x>2,所以4了+^^=4（工一2）+^^+822/4口一2）.^^+8=12,

当且仅当4（尤-2）=—二时，即犬=:时，等号成立，

所以由题意可知，a<12,即。的最大值为12.

故选：C

命题预测i]

1.已知（%,%）,（程必）是函数y=lnx的图象上的两个不同的点，贝I]（）

+A+A

A.e»^>A±iB.cey1+^2>T2D.

2222

【答案】D

【详解】如图所示，设力Oi，yi），B（x2,y2）,AB的中点为M（幺产，巧匹），

点N在y=hx的图象上，且M?V//x轴，则N（e2,

2

%+为।

由图知点N在M的左侧，即匕丁r士r玉，

2

所以e，i+，2<（'1+%）_工1+-2+2%%<%+-2

442

故选：D

Q

2.已知〃x)=2x+—-(4<x<6),〃尤)的值域为

【答案】［14,16］

【详解】因为：f（x）=2x+-^-=2（x-3）+-^-+6>2.2（x-3）~^-+6=14（当且仅当2尤=士即x=5

x-3x-3V'/x-3x-3

时取“=.

Q

又根据“对钩函数”的性质，可知：函数"“=2苫+号在［4,5］上单调递减，在［5,6］上单调递增，且

x-3

/（4）=8+8=16,/（6）=12+|<16.

所以函数/（无）的值域为：［14,16］

故答案为：［14,16］

14

3.已知x>o,y>0,且冲=1,则一+一的最小值为.

%y

【答案】4

【详解】因为%>。广>0,且孙=1,

14C114cH/

所以一+一22/—x—=21一=4,

xyyxyVxy

141

当且仅当一=一=2,即冗=不丁=2时取等最小值4.

x>2

故答案为：4.

题型三：复数的基本考点

【典例3-11在复平面内，复数z=2-3i对应的点的坐标为（）

A.（2,3）B.(-2,3)C.(-2,-3)D.(2-3)

【答案】D

【详解】因为z=2-3i,所以对应的点的坐标为(2,-3),

故选：D

【典例3-2]设复数z=3-i,则复数2在复平面内对应的点的坐标是()

1

A.(1,3)B.(-1,3)

C.(-1,-3)D.(—3,-1)

【答案】C

【详解】因为z=3-i,所以二=七三=①===世史=一予一1,

iii2-1

故复数三在复平面内对应的点的坐标是(-1,-3),故C正确.

1

故选：C

①复数的概念：形如a+bi(a,6GR)的数叫做复数，。，6分别是它的实部和虚部，i叫虚数单位，满足尸=_]

(1)当且仅当6=0时，。+历为实数

(2)当厚0时，a+bi为虚数

(3)当。=0且尔0时，“+历为纯虚数.其中，两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共甄复数

\(2,=c

②两个复数a+bi,c+di(a,b,c,deR)相等,(两复数对应同一点)

[b=a

③复数的模：复数。+初(〃,万£&的模，其计算公式Iz|=|a+初|='a2+廿

【变式3・1】复数z满足三二(l+ai),在复平面内z所对应的点在第三象限，则实数。可能是()

1-1

A.1B.2C.-1D.-2

【答案】D

【详解】由三=(l+ai),

可得：z=(l+ai)(l-i)=l+fl+(a-l)i,

由于复平面内z所对应的点在第三象限,

1+a<0

所以解得a<-l.

a-l<0"

故选：D.

【变式3・2】已知复数z满足忖=2(i是虚数单位)，则|z+3|的取值范围是()

A.[0,2]B.[1,3]C.[3,5]D.[1,5]

【答案】D

【详解】忖=2表示z对应的点是圆心为（0,0）,半径为2的圆上的点，

东

（|1-|z+3|=|Z-（-3）|的几何意义表示该圆上的点和点（-3,0）之间的距离,

而圆心（0,0）到点（-3,0）的距离为3,

所以|z+3|的最大距离为3+2=5,最小距离为3-2=1,

所以|z-2i|的取值范围为口同

故选：D.

【变式3-3]已知复数z=l-2i（i是虚数单位），则复数z的虚部为（）

A.-2B.2C.-2iD.2i

【答案】A

【详解】由题易知，实部为1,虚部为-2.

故选：A

【变式3-4]已知:=i-l,则忖=（）

A.0B.1C.72D.2

【答案】C

【详解】依题意，z=（i-l）i=-l-i,则|2|=1（-1）2+（-1）2=夜.

故选：C

【变式3-5]在复平面内，复数z=（2+i）i对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【详解】因为z=（2+i）i=—l+2i,

可知复数z对应的点为（-1,2）,位于第二象限.

故选：B.

命题预测

1.已知复数z=i(2-i),则|z|=()

A.1B.72C.73D.75

【答案】D

【详解】由复数z=i(2-i)=l+2i,则|Z|=JF+22=若.

故选：D.

2.在复平面内，复数z对应的点的坐标是卜1,石)，贝|i.z=()

A.V3+iB.-由-iC.73-iD.-g+i

【答案】B

【详解】因为复数z对应的点的坐标是卜1,7^,

所以z=-l+gi,则i-z=i-(-1+J丞)=-i+后2=Y-l

故选：B

3.已知复数z满足|z+l|=|z-i|,则|z+i|的最小值为.

【答案】^2

22

【详解】设2=工+J4(x,yeR),代入|z+1|=|z-i[得｛(%++y2=+⑶一口2

化简得,=一%

\z+i\=\x+(y+l)i|=商+(了+1)2=7x2+(-x+l)2=-2x+l=j(x-1)2+1,

所以x时，|z+i|取得最小值等，

故答案为：立.

2

题型四：复数的高级考点

z

【典例川设复数Z满足汇X则z"()

A.¥B.fC.-D.2

2

【答案】C

zi用+i)11.

【详解】由=i,可得z=(l+z)i=>i=(l—i)znz=—=/、/、-------F—1,

1+Z1-i(l-i)(l+i)22

1-gi，则111

则z=—Z'Z=—+—=—

2442

故选：C

【典例4-2］若复数z满足i=>2(i为虚数单位)，贝”的虚部是()