中考数学总复习提升专项知识几何压轴题一全等模型(16种模型题型专题训练+13种模型解析)含答案及解析

第四章三角形重难点11几何压轴题一全等模型（16种模型题型汇总+专题训练+13种模型解析）【题型汇总】类型一构造辅助线题型01倍长中线法模型倍长中线模型倍长类中线模型条件延长AD至点E，使AD=DE，连接BE在△ABC中，D是BC的中点图示方法延长AD至点E，使AD=DE，连接BE延长FD至点E，使FD=DE，连接CE结论,AC=BE且AC∥BE,BF=CE且BF∥CE【总结】1）口决：见中线（或中点），可倍长，得全等，转边、角；2）倍长中线后，具体连接哪两点，可根据需要转化的边、角来判断；3）倍长中线后，将两边都连接可构成平行四边形，可将三角形问题转化为平行四边形问题，再借助平行四边形的相关性质解题.1．（2024·重庆渝北·模拟预测）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，若CA=6,CB=8，CD为△ABC的中线，点E在边AC上(不与端点重合)，BE与CD交于点F，若EC=EF，则DF=．2．（2024·山东菏泽·二模）【方法回顾】如图1，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，小明在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长DE到点F，使EF=DE，连接CF，证明△ADE≌△CFE，再证四边形（1）上述证明过程中：①证明△ADE≌△CFE的依据是（_____）A．SAS

B．ASA

C．AAS

D．SSS②证明四边形DBCF是平行四边形的依据是_______；【类比迁移】（2）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于点F，且AE=EF，求证：AC=BF．小明发现可以类比材料中的思路进行证明．证明：如图2，延长AD至点G，使GD=FD，连接GC，请根据小明的思路完成证明过程；【理解运用】（3）如图3，四边形ABCD与四边形CEFG均为正方形，连接DE、BG，点P是BG的中点，连接CP．请判断线段CP与3．（2024·四川达州·模拟预测）[问题背景]在△ABC中，AB=8，AC=4，求BC边上的中线AD的取值范围，小组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）：延长AD到E，使得DE=AD，再连接BE，把AB，(1)利用上述方法求出AD的取值范围是_________；(2)[探究]如图2，在△ABC中，CE为AB边上的中线，点D在CB的延长线上，且BC=2BD，AD与CE相交于点O，若四边形ODBE的面积为20，求△ABC的面积；(3)[拓展]如图3，在四边形ABCD中，∠A=105°，∠D=120°，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD边上的点，若AG=4，DF=224．（2024·贵州遵义·模拟预测）辅助线是解决几何图形问题的利剑，合理添加辅助线，会使问题变得简单，下表给出了三角形中几个常见利用中点添加辅助线的模型，请根据要求解决问题．题眼1．普通三角形+中点2．等腰三角形+底边中点3．直角三角形+斜边中点4．两个中点大致图形辅助线名称倍长中线三线合一斜边中线中位线具体做法延长BD到点E，使DE=BD，连接AE连接AD连接CD连接DE产生效果

△AED≌△CBDAE∥BCAD⊥BC∠BAD=∠CAD①②(1)请在①，②中任选择一个填空：你选择的是_______，产生效果是_______．（产生效果写一个或两个）(2)如图①，在三角形中，AD是△ABC的一条中线，AB=5,AC=3,AD=2，求BC的长．(3)如图②，在△ABC中，∠A=30°,∠C=90°,AB=4，点M，N是边AC上两个不同的动点，以MN为边在△ABC内部（包括边界）作等边三角形△PMN，点E，F分别是AM，PM的中点，当题型02截长补短法方法截长法补短法条件在△ABC中AD平分∠BAC,∠C=2∠B,求证：AB=AC+CD图示方法在AB上截取AE=AC,连接DE延长AC到点E，使CD=CE,连接DE结论△DEB是等腰三角形△CDE是等腰三角形【总结】1）“截长补短法”是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种靠略，截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题.2）截长或补短后，如果出现的全等三角形或特殊三角形能推动证明，那么辅助线是成功的，否则，就应该换一个截长或补短的方式，甚至换一种解题思路.1．（2020·安徽·中考真题）如图1．已知四边形ABCD是矩形．点E在BA的延长线上．AE=AD.EC与BD相交于点G，与AD相交于点F,AF=AB.1求证：BD⊥EC；2若AB=1，求AE的长；3如图2，连接AG，求证：EG−DG=22．（2020九年级·全国·专题练习）在菱形ABCD中，射线BM从对角线BD所在的位置开始绕着点B逆时针旋转，旋转角为α0°<α<180°，点E在射线BM上，∠DEB=∠DAB（1）当∠DAB=60°时，BM旋转到图①的位置，线段BE，DE，AE之间的数量关系是______；（2）在（1）的基础上，当BM旋转到图②的位置时，探究线段BE，DE，AE之间的数量关系，并证明；（3）将图②中的∠DAB=60°改为∠DAB=90°，如图③，其他条件不变，请直接写出线段BE，DE，AE之间的数量关系．

3．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）数学老师在课堂上给出了一个问题，让同学们探究．在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠BAC=30°，点D在直线BC上，将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE，过点E作EF∥BC，交直线AB（1）当点D在线段BC上时，如图①，求证：BD+EF=AB；分析问题：某同学在思考这道题时，想利用AD=AE构造全等三角形，便尝试着在AB上截取AM=EF，连接DM，通过证明两个三角形全等，最终证出结论：推理证明：写出图①的证明过程：探究问题：（2）当点D在线段BC的延长线上时，如图②：当点D在线段CB的延长线上时，如图③，请判断并直接写出线段BD，EF，AB之间的数量关系；拓展思考：（3）在（1）（2）的条件下，若AC=63，CD=2BD，则EF=题型03作平行线法1．（2023贵州黔西模拟）如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点P在AB上，过点P作PE⊥AC，垂足为E，延长BC至点Q，使CQ＝PA，连接PQ交AC于点D，则DE的长为（）A．1 B．1.8 C．2 D．2.52．（2024齐齐哈尔模拟）如图，在等边△ABC中，点E为边AB上任意一点，点D在边CB的延长线上，且ED=EC．

(1)当点E为AB的中点时（如图1），则有AE______DB（填“>”“<”或“=”）；(2)猜想如图2，AE与DB的数量关系，并证明你的猜想．3．（2024·山西·模拟预测）综合与实践【问题探究】（1）如图①，在正方形ABCD中，AB=6，点E为DC上的点，DE=2CE，连接BE，点O为BE上的点，过点O作MN⊥BE交AD于点M，交BC于点N，求MN的长度．【类比迁移】（2）如图②，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，连接BD，过BD的中点O作MN⊥BD交AD于点M，交BC于点N，求MN的长度．【拓展应用】（3）如图③，李大爷家有一块平行四边形的菜地，记作平行四边形ABCD．测得AB=72米，BC=17米，∠ABC=45°．为了管理方便，李大爷沿着对角线BD开一条小路，过这条小路的正中间，开了另一条垂直于它的小路MN题型04作垂线法1．（2024·山东青岛·中考真题）如图，将正方形ABCD先向右平移，使点B与原点O重合，再将所得正方形绕原点O顺时针方向旋转90°，得到四边形A'B'C'D'A．−1,−2 B．−2,−1 C．2,1 D．1,22．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，正方形ABCD的顶点A，C在抛物线y=−x2+4上，点D在y轴上．若A，CA．m+n=1 B．m−n=1 C．mn=1 D．m3．（2024·重庆·中考真题）如图，在正方形ABCD的边CD上有一点E，连接AE，把AE绕点E逆时针旋转90°，得到FE，连接CF并延长与AB的延长线交于点G．则FGCE的值为（

A．2 B．3 C．322 4．（2023·江苏南通·中考真题）正方形ABCD中，点E在边BC，CD上运动（不与正方形顶点重合）．作射线AE，将射线AE绕点A逆时针旋转45°，交射线CD于点F．∵

(1)如图，点E在边BC上，BE=DF，则图中与线段AE相等的线段是___________；(2)过点E作EG⊥AF，垂足为G，连接DG，求∠GDC的度数；(3)在（2）的条件下，当点F在边CD延长线上且DF=DG时，求FGAG类型二角平分线模型方法角平分线+垂一边角平分线+分垂线条件已知BD平分∠ABC，PE⊥BC已知BD平分∠ABC，PE⊥BD图示方法过点P作PF⊥AB于点F(作垂法)延长PE,交AB于点F(延长法)结论题型01角平分线+垂一边1．（2024·西藏·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交BC，BA于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于12DE的长为半径作弧，两弧在∠ABC的内部相交于点P，作射线BP交AC于点F．已知CF=3，AF=5，则BF2．（2023·四川·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知点A(1,0)，点B(0,−3)，点C在x轴上，且点C在点A右方，连接AB，BC，若tan∠ABC=13，则点C

3．（2024·内蒙古·中考真题）如图，∠ACB=∠AED=90°，AC=FE，AB平分∠CAE，(1)求证：四边形ABDF是平行四边形；(2)过点B作BG⊥AE于点G，若CB=AF，请直接写出四边形BGED的形状．题型02角平分线+分垂线1．（2021九年级·全国·专题练习）如图1，在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴、y轴于A(a,0),B(0,b)两点，且a,b满足(a−b)2+|a−4t|=0，且t>0,t是常数，直线BD平分∠OBA，交（1）若AB的中点为M，连接OM交BD于点N，求证：ON=OD；（2）如图2，过点A作AE⊥BD，垂足为E，猜想AE与BD间的数量关系，并证明你的猜想．2．（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，已知点Ax,0，B0,y，且x，y满足(1)求△AOB的面积；(2)如图1，以AB为斜边构造等腰直角△ABC，当点C在直线AB上方时，请直接写出点C的坐标；(3)如图2，已知等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D是腰AC上的一点（不与A，C重合），连接BD，过点A作AE⊥BD，垂足为点E．①若BD是∠ABC的角平分线，求证：BD=2AE；②探究：如图3，连接CE，当点D在线段AC上运动时（不与A，C重合），∠BEC的大小是否发生变化？若改变，求出它的最大值；若不改变，求出这个定值．方法角平分线+截线角平分线+平行线条件已知BD平分∠ABC，点E是AB上一点已知BD平分∠ABC，点P在BD上图示方法在BC上截取BF=BE,连接PF(截取法)过点P作PE∥BC交AB于点E(平行法)结论题型03角平分线+截线1．（2024·内蒙古通辽·中考真题）【实际情境】手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞．【模型建立】（1）如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”．AM=AN，DM=DN．求证：∠AMD=∠AND．【模型应用】（2）如图2，△AMC中，∠MAC的平分线AD交MC于点D．请你从以下两个条件：①∠AMD=2∠C；②AC=AM+MD中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答）【拓展提升】（3）如图3，AC为⊙O的直径，AB=BC，∠BAC的平分线AD交BC于点E，交⊙O于点D，连接CD．求证：2．（2024·河南信阳·一模）数学兴趣小组利用角平分线构造全等模型开展探究活动，请仔细阅读完成相应的任务．活动1：用尺规作已知角的平分线、如图1所示，则由△ADF≌△ADE，可得∠DAC=∠DAB．活动2：如图2，在△ABC中，AB<AC，AD是△ABC的平分线，在AC上截取AE=AB，则△ADB≌完成以下任务：(1)在活动1和2中，判定三角形全等的依据分别是________（填序号）；①SAS

②AAS

③ASA

④SSS

⑤HL(2)如图3，在△ABC中，∠C=60°，AE，BF是△ABC的两条角平分线，且AE，BF交于点P，试猜想(3)如图4，在四边形ABCD中，AB∥CE，BC=AB+CE，∠ABC的平分线和∠BCE的平分线恰好交于AE边上的点P，若BC=10，tan∠ABP=13，当△PCE题型04角平分线+平行线1．（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于点D，EC⊥OB，垂足为C．若EC＝2，则OD的长为（）A．2 B．23 C．4 D．4+232．（2022·四川南充·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠BAC的平分线交BC于点D，DE//AB，交AC于点E，DF⊥AB于点F，DE=5,DF=3，则下列结论错误的是（

A．BF=1 B．DC=3 C．AE=5 D．AC=93．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在四边形ABCD中，连接AC，已知AD=DC=4，AB=7，∠ABC=90°，AB∥CD，则BC=（

）A．7 B．5 C．33 D．24．（2023·山东·中考真题）已知：射线OP平分∠MON,A为OP上一点，⊙A交射线OM于点B,C，交射线ON于点D,E，连接AB,AC,AD．

(1)如图1，若AD∥OM，试判断四边形OBAD的形状，并说明理由；(2)如图2，过点C作CF⊥OM，交OP于点F；过点D作DG⊥ON，交OP于点G．求证：AG=AF．【大招总结】遇到角平分线问题时，牢记以下做辅助线的口诀:1）图中有角平分线，可向两边做垂直；2）图中有角平分线，对折一看关系现；3）角平分线加垂线，三线合一试试看；4）角平分线平行线，可得等腰三角形.类型三一线三等角模型题型01一线三垂直模型已知∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°，AC=CE∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°，AC=CE图示结论1．（2024·山东烟台·中考真题）在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为直线BC上任意一点，连接AD．将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°得线段ED，连接BE．【尝试发现】（1）如图1，当点D在线段BC上时，线段BE与CD的数量关系为________；【类比探究】（2）当点D在线段BC的延长线上时，先在图2中补全图形，再探究线段BE与CD的数量关系并证明；【联系拓广】（3）若AC=BC=1，CD=2，请直接写出sin∠ECD2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与实践：如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在△ABC中，∠A=90°，将线段BC绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，作DE⊥AB交AB的延长线于点E．

(1)【观察感知】如图2，通过观察，线段AB与DE的数量关系是______；(2)【问题解决】如图3，连接CD并延长交AB的延长线于点F，若AB=2，AC=6，求△BDF的面积；(3)【类比迁移】在(2)的条件下，连接CE交BD于点N，则BNBC(4)【拓展延伸】在(2)的条件下，在直线AB上找点P，使tan∠BCP=233．（2023·河南周口·三模）（1）问题发现：如图1，在△ABC中，∠ABC=α，将边AC绕点C顺时针旋转α得到线段CE，在射线BC上取点D，使得∠CDE=α，线段BC与DE的数量关系是______；（2）类比探究：如图2，若α=90°，作∠ACE=90°，且CE=12AC，其他条件不变，写出变化后线段BC（3）拓展延伸：如图3，正方形ABCD的边长为6，点E是边AD上一点，且AE=2，把线段CE逆时针旋转90°得到线段EF，连接BF，直接写出线段BF的长．4．（21-22九年级上·黑龙江佳木斯·期中）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．

(1)当直线MN绕点C旋转到图1位置时，求证：DE=AD+BE；(2)当直线MN绕点C旋转到图2位置时，试问：DE、AD、BE有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明；(3)当直线MN绕点C旋转到图3位置时，DE、AD、BE之间的等量关系是___（直接写出答案，不需证明）．5．（2023洛阳市模拟）综合与实践数学活动课上，老师让同学们以“过等腰三角形顶点的直线”为主题开展数学探究．(1)操作发现：如图甲，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，且AB=AC，直线l经过点A．小华分别过B、C两点作直线l的垂线，垂足分别为点D、E．易证△ABD≌△CAE，此时，线段DE、BD、CE(2)拓展应用：如图乙，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，已知点C的坐标为(−2,0)，点B的坐标为(1,2)．请利用小华的发现直接写出点A的坐标：；(3)迁移探究：①如图丙，小华又作了一个等腰△ABC，AB=AC，且∠BAC≠90°，她在直线l上取两点D、E，使得∠BAC=∠BDA=∠AEC，请你帮助小华判断（1）中线段DE、BD、CE的数量关系是否变化，若不变，请证明；若变化，写出它们的关系式并说明理由；②如图丁，△ABC中，AB=2AC，∠BAC≠90°，点D、E在直线l上，且∠BAC=∠BDA=∠AEC，请直接写出线段DE、BD、CE的数量关系．题型02一线三等角模型已知∠D=∠ACB=∠E，AC=BC图示结论1．（2023·山东聊城·中考真题）如图，在四边形ABCD中，点E是边BC上一点，且BE=CD，∠B=∠AED=∠C．

(1)求证：∠EAD=∠EDA；(2)若∠C=60°，DE=4时，求△AED的面积．2．（2023·广西·中考真题）如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上运动，满足AD=BE=CF．

(1)求证：△ADF≌△BED；(2)设AD的长为x，△DEF的面积为y，求y关于x的函数解析式；(3)结合（2）所得的函数，描述△DEF的面积随AD的增大如何变化．3．（2024江苏南京·模拟预测）已知，在△ABC中，AB=AC，D，A，E三点都在直线

(1)如图①，若AB⊥AC，则BD与AE的数量关系为___________，CE与AD的数量关系为___________；(2)如图②，判断并说明线段BD，CE与DE的数量关系；(3)如图③，若只保持∠BDA=∠AEC，BD=EF=7cm，点A在线段DE上以2cm/s的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段EF上以xcm/s的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为t（s）．是否存在x，使得△ABD与4．（2023·湖北荆州·中考真题）如图1，点P是线段AB上与点A，点B不重合的任意一点，在AB的同侧分别以A，P，B为顶点作∠1=∠2=∠3，其中∠1与∠3的一边分别是射线AB和射线BA，∠2的两边不在直线AB上，我们规定这三个角互为等联角，点P为等联点，线段AB为等联线．(1)如图2，在5×3个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1，AB为端点在格点的已知线段．请用三种不同连接格点的方法，作出以线段AB为等联线、某格点P为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹；(2)如图3，在Rt△APC中，∠A=90∘，AC>AP，延长AP至点B，使AB=AC，作∠A的等联角∠CPD和∠PBD．将△APC沿PC折叠，使点A落在点M处，得到△MPC，再延长PM交BD的延长线于E，连接CE并延长交PD的延长线于F①确定△PCF的形状，并说明理由；②若AP:PB=1:2，BF=2k，求等联线AB和线段PE的长（用含类型四手拉手模型常见模型种类：等腰三角形

手拉手模型等边三角形

手拉手模型等腰直角三角形

手拉手模型正方形手拉手模型【小结】1）头顶头，左手拉左手，右手拉右手，那么，头左左≌头右右.2）左手拉左手等于右手拉右手，即BD=CE或GD=BE.1．（2020·湖北鄂州·中考真题）如图，在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD，OA<OC，∠AOB=∠COD=36°．连接AC、BD交于点M，连接①∠AMB=36°；②AC=BD；③OM平分∠AOD；④MO其中正确的结论个数有（

）个．A．4 B．3 C．2 D．12．（2022·山东烟台·中考真题）

(1)【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE．(2)【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出BDCE(3)【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且ABBC＝ADDE＝34．连接BD①求BDCE②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值．3．（2023·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与实践数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．

(1)发现问题：如图1，在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=30°，连接BE，CF，延长BE交CF于点D．则BE与CF的数量关系：______，∠BDC=______°；(2)类比探究：如图2，在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=120°，连接BE，CF，延长BE，FC交于点D．请猜想BE与CF的数量关系及∠BDC的度数，并说明理由；(3)拓展延伸：如图3，△ABC和△AEF均为等腰直角三角形，∠BAC=∠EAF=90°，连接BE，CF，且点B，E，F在一条直线上，过点A作AM⊥BF，垂足为点M．则BF，CF，AM之间的数量关系：______；(4)实践应用：正方形ABCD中，AB=2，若平面内存在点P满足∠BPD=90°，PD=1，则S△ABP4．（2023·湖北黄冈·中考真题）【问题呈现】△CAB和△CDE都是直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°,CB=mCA,CE=mCD，连接AD，BE，探究AD，BE的位置关系．

(1)如图1，当m=1时，直接写出AD，BE的位置关系：____________；(2)如图2，当m≠1时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．【拓展应用】(3)当m=3,AB=47,DE=4时，将△CDE绕点C旋转，使类型五夹半角模型解题方法：1）过公共点作旋转，2）截长补短的方法构造全等解题.常见类型：类型正方形内含型半角等腰直角三角形内含型半角条件正方形ABCD，∠EAF=45°∠BAC=90°,AB=AC，∠EAF=45°图示辅助线作法延长BC至点G，使DE=GB,连接AG过点B作BD⊥BC,且BD=EC,连接AD,DF结论1）旋转全等2）对称全等3）EF=DE+BF1）旋转全等2）对称全等3）在Rt△DBF中，即【说明】1)“半角”模型的核心识别条件是“共端点的等线段”和“共顶点的倍、半角”，也可以拓展到邻边相等且对角互补的四边形中.2)“半角”模型结论在证明过程中有两次重要全等:一次是旋转型全等:一次是对称型全等.只有将两次全等证明完毕，才能继续向下推进.1．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，正方形ABCD的边长为1，M、N是边BC、CD上的动点．若∠MAN=45°，则MN的最小值为．2．（2024·四川乐山·中考真题）在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题：【问题情境】如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E在边BC上，且∠DAE=45°，BD=3，CE=4，求DE的长．解：如图2，将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACD'，连接由旋转的特征得∠BAD=∠CAD'，∠B=∠ACD'，∵∠BAC=90°，∠DAE=45°，∴∠BAD+∠EAC=45°．∵∠BAD=∠CAD∴∠CAD'+∠EAC=45°∴∠DAE=∠D在△DAE和△DAD=AD'，∠DAE=∠D∴___①___．∴DE=D又∵∠ECD∴在Rt△ECD'∵CD'=BD=3

∴DE=D'E=【问题解决】上述问题情境中，“①”处应填：______；“②”处应填：______；“③”处应填：______．刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以不变应万变．【知识迁移】如图3，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，满足△CEF的周长等于正方形ABCD的周长的一半，连结AE、AF，分别与对角线BD交于M、N两点．探究BM、MN、DN的数量关系并证明．

【拓展应用】如图4，在矩形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．探究BE、EF、DF的数量关系：______（直接写出结论，不必证明）．

【问题再探】如图5，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，点D、E在边AC上，且∠DBE=45°．设AD=x，CE=y，求y与x的函数关系式．

类型六夹半角模型3．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠MAN=12∠BAC，∠MAN在∠BAC的内部，点M、N在BC上，点M在点N

（1）如图①，当∠BAC=90°时，探究如下：由∠BAC=90°，AB=AC可知，将△ACN绕点A顺时针旋转90°，得到△ABP，则CN=BP且∠PBM=90°，连接PM，易证△AMP≌△AMN，可得MP=MN，在Rt△PBM中，BM2（2）当∠BAC=60°时，如图②：当∠BAC=120°时，如图③，分别写出线段BM、NC、MN之间的数量关系，并选择图4．（20-21九年级上·广西南宁·期中）如图①，四边形ABCD是正方形，M，N分别在边CD、BC上，且∠MAN=45°，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法，如图①，将△ADM绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，连接AM、AN、MN．(1)试判断DM，BN，MN之间的数量关系；(2)如图②，点M、N分别在正方形ABCD的边BC、CD的延长线上，∠MAN=45°，连接MN，请写出MN、DM、BN之间的数量关系，并写出证明过程．(3)如图③，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B+∠D=180°，点N，M分别在边BC，CD上，∠MAN=60°，请直接写出BN，DM，MN之间数量关系．5．（2024南京市模拟预测）在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN=60°，∠BDC=120°，BD=DC．探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系．

(1)如图1，当点M、N在边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是；此时QL=(2)如图2，点M、N在边AB、AC上，且当DM≠DN时，猜想（1）问的两个结论还成立吗？若成立请直接写出你的结论；若不成立请说明理由．(3)如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，探索BM、NC、MN之间的数量关系如何？并给出证明．

类型六对角互补模型模型1两90°的等邻边对角互补模型1.基础类型条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，CD＝CE结论：①OC平分∠AOB，②OD＋OE＝OC，③.【注意】已知角平分线、邻边相等（非对称）和对角互补中的两个，可推导出第三个.2.模型引申条件：如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90°，CD＝CE.提示：借助“8字模型”可推得∠ODC=∠CEF结论：①OC平分∠AOB，②OE－OD＝OC，③.模型2.含120°、60°的等邻边对角互补模型1.基础类型条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，CD＝CE.结论：①OC平分∠AOB，②OD＋OE＝OC，③.2.模型引申条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，CD＝CE，∠DCE的一边与BO的延长线交于点D，结论：①OC平分∠AOB，②OD－OE＝OC，③.1．（2024·甘肃·中考真题）【模型建立】（1）如图1，已知△ABE和△BCD，AB⊥BC，AB=BC，CD⊥BD，AE⊥BD．用等式写出线段AE，DE，CD的数量关系，并说明理由．【模型应用】（2）如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在对角线BD和边CD上，AE⊥EF，AE=EF．用等式写出线段BE，AD，DF的数量关系，并说明理由．【模型迁移】（3）如图3，在正方形ABCD中，点E在对角线BD上，点F在边CD的延长线上，AE⊥EF，AE=EF．用等式写出线段BE，AD，DF的数量关系，并说明理由．2．（20-21九年级上·广西南宁·期中）如图①，四边形ABCD是正方形，M，N分别在边CD、BC上，且∠MAN=45°，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法，如图①，将△ADM绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，连接AM、AN、MN．(1)试判断DM，BN，MN之间的数量关系；(2)如图②，点M、N分别在正方形ABCD的边BC、CD的延长线上，∠MAN=45°，连接MN，请写出MN、DM、BN之间的数量关系，并写出证明过程．(3)如图③，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B+∠D=180°，点N，M分别在边BC，CD上，∠MAN=60°，请直接写出BN，DM，MN之间数量关系．3．（2024·江苏扬州·二模）当几何图形中，两个共顶点的角所在角度是公共大角一半的关系，我们称之为“半角模型”，通常用“旋转的观点”看待图形的几何变换，使得两个分散的角变换成为一个三角形，相当于构造出两个三角形全等．【问题初探】（1）如图1，在四边形ABCD中，AD=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90°，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF=45°，求出图中线段EF，AE，FC之间的数量关系．①如图1，从条件出发：将△ADE绕着点D逆时针旋转90°到△CDM位置，根据“旋转的性质”分析CM与AE之间的关系，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系，可证得结论．【类比分析】（2）如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，∠EAF=45°，且BC=7，DC=13，CF=5，求BE的长．【学以致用】（3）如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠ABC与∠ADC互补，点E、F分别在射线CB、DC上，且∠EAF=12∠BAD．当BC=4，DC=7，CF=14．（23-24年级上·湖北黄石·期中）（1）特例探究：如图①，在正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD上的点，∠EAF=45°，探究BE，EF，DF之间的数量关系．小明是这么思考的：延长FD，截取DG=BE，连接AG，易证△ADG≌△ABE，从而得到AG=AE，再由“SAS”证明△AGF≌△AEF，从而得出结论：__________________________．（2）一般探究：如图②，在四边形ABCD中，AD=AB，∠B与∠D互补，E，F分别是BC，CD上的点，且满足∠EAF=12∠BAD，探究BE，EF（3）实际应用：如图③，在四边形ABCD中，AB=AD，AC=6，∠DAB=∠DCB=90°，则四边形ABCD的面积为．

类型七其它模型题型01等边三角形鸡爪模型条件等边∆ABC，点D在∆ABC内部等边∆ABC，点D在∆ABC外部图示作法将∆ABD绕点A逆时针旋转60°，得到∆AEC，连接DE将∆ACD绕点A逆时针旋转60°，得到∆AEC，连接DE结论1．（2024连云港市模拟预测）实验学校数学兴趣小组对特殊三角形外一点与该三角形三个顶点所形成的线段数量关系展开探究：(1)如图①，已知等边三角形ABC边CB的延长线上一点P，且满足∠APB=30°，求线段PA、PB、PC的数量关系，马超同学一眼看出结果为，PA(2)在探究过程中，小组同学们发现，当点P不在任意边的延长线上时，所形成的图形形似“鸡爪”，于是兴趣小组同学们对“鸡爪”图形的特点展开深入探究：如图②，△ABC为等边三角形，∠APB=30°，（1）中的结论是否仍成立？小孙同学是这样做的：首先将线段AP朝外作等边三角形APD，连接BD，PC……，请沿着小孙同学的思路尝试着走下去看看结论是否符合（1）中的结论；(3)如图③，“鸡爪”图形PACB中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，∠APB=45°，请简述线段PA、PB、PC的数量关系；(4)如图④，“鸡爪”图形PACB中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，∠APB=45°，若PB=1，PC=2，请直接写出PA的长．题型02婆罗摩及多模型题目特征共直角顶点的正方形或等腰直角三角形，出现中点.共直角顶点的正方形或等腰直角三角形，出现垂直.条件四边形ABCD、CEFG为正方形，连接BE、DG，I、C、H三点共线,点I为DG中点四边形ABCD、CEFG为正方形，连接BE、DG，I、C、H三点共线,CH⊥BE图示作法延长IC到点P，使PI=IC，连接PG分别过点D、G作DM⊥CI与点M，NG⊥CI于点N结论CH⊥BE(知中点得垂直)BE=2ICDI=IG(知垂直得中点)BE=2IC1．（2023滁州市模拟预测）婆罗摩笈多（Brahmagupta）约公元598年生，约660年卒，在数学、天文学方面有所成就．婆罗摩笈多是印度印多尔北部乌贾因地方人，原籍可能为巴基斯坦的信德．婆罗摩笈多的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位．例如下列模型就被称为“婆罗摩笈多模型”：如图1，2，3，△ABC中，分别以AB，AC为边作Rt△ABE和Rt△ACD，AB＝AE，AC＝AD，∠BAE＝∠CAD＝90°，则有下列结论：①图1中S△ABC＝S△ADE；②如图2中，若AM是边BC上的中线，则ED＝2AM；

③如图3中，若AM⊥BC，则MA的延长线平分ED于点N．（1）上述三个结论中请你选择一个感兴趣的结论进行证明，写出证明过程；（2）能力拓展：将上述图形中的某一个直角三角形旋转到如图4所示的位置：△ABC与△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，连接BD，CE，若F为BD的中点，连接AF，求证：2AF＝CE．题型03平行8字模型1．（2023·江苏扬州·二模）【阅读材料】教材习题如图，AB、CD相交于点O，O是AB中点，AC∥BD，求证：O是CD中点．问题分析由条件易证△AOC≌△BOD，从而得到OC=OD，即点O是CD的中点方法提取构造“平行8字型”全等三角形模型是证明线段相等的一种常用方法

请运用上述阅读材料中获取的经验和方法解决下列问题．【基础应用】已知△ABC中，∠B=90°，点E在边AB上，点F在边BC的延长线上，连接EF交AC于点D．(1)如图1，若AB=BC，AE=CF，求证：点D是EF的中点；(2)如图2，若AB=2BC，AE=2CF，探究CD与BE之间的数量关系；【灵活应用】如图3，AB是半圆O的直径，点C是半圆上一点，点E是AB上一点，点F在BC延长线上，AB=8，AE=2，AECF=ABBC，当点C从点B运动到点A，点2．（2023·吉林长春·三模）【阅读理解】构造“平行八字型”全等三角形模型是证明线段相等的一种方法，我们常用这种方法证明线段的中点问题．例如：如图，D是△ABC边AB上一点，E是AC的中点，过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F，则易证E是线段

【经验运用】请运用上述阅读材料中所积累的经验和方法解决下列问题．

（1）如图1，在正方形ABCD中，点E在AB上，点F在BC的延长线上，且满足AE=CF，连接EF交AC于点G．求证：①G是EF的中点；②CG与BE之间的数量关系是：____________________________；【拓展延伸】（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=2BC，点E在AB上，点F在BC的延长线上，且满足AE=2CF，连接EF交AC于点G．探究BE和CG之间的数量关系是：____________________________；

第四章三角形重难点11几何压轴题一全等模型（16种模型题型汇总+专题训练+13种模型解析）【题型汇总】类型一构造辅助线题型01倍长中线法模型倍长中线模型倍长类中线模型条件延长AD至点E，使AD=DE，连接BE在△ABC中，D是BC的中点图示方法延长AD至点E，使AD=DE，连接BE延长FD至点E，使FD=DE，连接CE结论,AC=BE且AC∥BE,BF=CE且BF∥CE【总结】1）口决：见中线（或中点），可倍长，得全等，转边、角；2）倍长中线后，具体连接哪两点，可根据需要转化的边、角来判断；3）倍长中线后，将两边都连接可构成平行四边形，可将三角形问题转化为平行四边形问题，再借助平行四边形的相关性质解题.1．（2024·重庆渝北·模拟预测）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，若CA=6,CB=8，CD为△ABC的中线，点E在边AC上(不与端点重合)，BE与CD交于点F，若EC=EF，则DF=．【答案】11【分析】如图，倍长CD至G，使CD=DG，连接BG，易证BF=BG=AC=6，设EC=EF=x，在Rt△BCE中，BE2=BC2+CE2，则(x+6)2=x2【详解】解：如图，倍长CD至G，使CD=DG，连接BG，∵CD为△ABC的中线，∴BD=AD，而∠ADC=∠BDG，∴△ADC≌△BDG，∴BG=AC，∠ACD=∠G，∴AC∥∵EC=EF，∴∠ACD=∠CFE，而∠CFE=∠BFG，∴∠G=∠BFG，∴BF=BG，∴BF=BG=AC=6，设CE=EF=x，在Rt△BCE中，B则(x+6)2解得：x=7∵∠BCA=90°，BC=8，AC=6，AD为△ABC的中线，∴AB=62+∵∠ACD=∠G，∴AC∥∴∠CBG=180°−∠ACB=90°，∵AC=BG,BC=BC，∴△ACB≌∴CG=AB=10，设CF=y，∵AC∥∴△CEF∽△GBF，∴CFFG∴y10−y解得y=14∵CD=1∴DF=CD−CF=故答案为：115【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的中线，全等三角形的判定与性质，解题的关键是构建全等三角形与相似三角形．2．（2024·山东菏泽·二模）【方法回顾】如图1，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，小明在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长DE到点F，使EF=DE，连接CF，证明△ADE≌△CFE，再证四边形（1）上述证明过程中：①证明△ADE≌△CFE的依据是（_____）A．SAS

B．ASA

C．AAS

D．SSS②证明四边形DBCF是平行四边形的依据是_______；【类比迁移】（2）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于点F，且AE=EF，求证：AC=BF．小明发现可以类比材料中的思路进行证明．证明：如图2，延长AD至点G，使GD=FD，连接GC，请根据小明的思路完成证明过程；【理解运用】（3）如图3，四边形ABCD与四边形CEFG均为正方形，连接DE、BG，点P是BG的中点，连接CP．请判断线段CP与【答案】（1）①A；②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（2）见解析；（3）CP=12【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．（1）①根据判断全等三角形的方法，证明△ADE≌△CFESAS②利用全等三角形的性质，得到∠A=∠ECF，AD=CF，可得AB∥CF，（2）证明△FDB≌△GDCSAS（3）延长CP交DE于点N，延长CP使得PM=PC，证明△BCP≌△GMPSAS，再利用全等三角形的性质和正方形的性质，证明△DCE≌△MGCSAS，利用角度转换即可得到CP=1【详解】（1）①解：∵D，E分别是边AB，∴EA=EC，在△ADE与△CFE中，EA=EC∠AED=∠CEF∴△ADE≌△CFESAS故选：A；②∵△ADE≌△CFESAS∴∠A=∠ECF，AD=CF，∴AB∥∵点D是AB的中点，∴DB=AD=CF，∴四边形DBCF是平行四边形，故答案为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（2）证明：在△FDB和△GDC中，BD=CD∠BDF=∠CDG∴△FDB≌△GDCSAS∴BF=CG，∵AE=EF,∴∠EAF=∠EFA=∠BFD=∠G,∴AC=GC=BF；（3）如图，延长CP交DE于点N，延长CP使得PM=PC，根据（2）中原理，可得△BCP≌△GMPSAS∴BC=GM，∠BCP=∠PMG，∵四边形ABCD与四边形CEFG均为正方形，∴CD=CB=GM，CE=CG，∠BCD=∠GCE=90°，∴∠DCE=360°−∠BCD−∠GCE−∠BCP−∠MCG=180°−∠M−∠MCG=∠MGC，∴△DCE≌△MGCSAS∴CP=12MC=∵∠DCN+∠BCM=90°，∴∠M+∠DCN=∠EDC+∠DCN=90°，∴∠DNC=90°∴CP=12DE3．（2024·四川达州·模拟预测）[问题背景]在△ABC中，AB=8，AC=4，求BC边上的中线AD的取值范围，小组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）：延长AD到E，使得DE=AD，再连接BE，把AB，(1)利用上述方法求出AD的取值范围是_________；(2)[探究]如图2，在△ABC中，CE为AB边上的中线，点D在CB的延长线上，且BC=2BD，AD与CE相交于点O，若四边形ODBE的面积为20，求△ABC的面积；(3)[拓展]如图3，在四边形ABCD中，∠A=105°，∠D=120°，E为AD的中点，G、F分别为AB、CD边上的点，若AG=4，DF=22【答案】(1)2<AD<6(2)50(3)2【分析】（1）证明△DAC≌△DEB得AC=EB，再根据三角形三边关系求得（2）连接OB．过点A作AT∥CD交CO的延长线于点T．证明△AET≌△BECAAS得出AT=BC，证出OD（3）延长GE至点M，使得EM=EG，连接MD，MF，过点M作MN⊥CD，交CD的延长线于点N，证明△AEG≌△DEM，得到∠EDM=∠EAG=105°，MD=AG=4，求出∠MDF=135°，则∠MDN=45°，继而证明△MDN为等腰直角三角形，得到MN=DN=22，则NF=4【详解】（1）解：根据题意：延长AD到点E，使DE=AD，再连接BE，∴AD=1∵AD是BC边上的中线，∴CD=BD，在△DAC和△DEB中，AD=ED,∠ADC=∠EDB,CD=BD，∴△DAC≌∴AC=EB=4，∵AB−BE<AE<AB+BE，∴4<AE<12，∴2<AD<6，故答案为：2<AD<6．（2）解：如图：连接OB．过点A作AT∥CD交CO的延长线于点∴∠T=∠ECB，∵CE为AB边上的中线，∴AE=BE，∴△AET≌∴AT=BC，∵CB=2BD，∴CD：∵AT∥∴ODAO设△ABC的面积为x,∵BC=2BD，∴△ADB的面积为12∵OD：∴△OBD的面积为310x,△AOB的面积为∵AE=EB，∴△AOE的面积=△BOE的面积=110∴四边形ODBE的面积=△ODB的面积+△OBE的面积=3∴x=50．∴△ABC的面积为50．（3）解：如图，延长GE至点M，使得EM=EG，连接MD，MF，过点M作MN⊥CD，交CD的延长线于点∵E为AD中点，∴EA=ED，在△AEG和△DEM中，AE=DE∴△AEG≌∴∠EDM=∠EAG=105°，∵∠EDF=120°，∴∠MDF=135°，∴∠MDN=45°，∴△MDN为等腰直角三角形，∴MN=DN=2∴NF=ND+FD=22∴.MF=N∵GE=EM，∴EF垂直平分GH，∴MF=GF，∴GF=210【点睛】本题主要考查了三角形三边的关系、全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识点，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．4．（2024·贵州遵义·模拟预测）辅助线是解决几何图形问题的利剑，合理添加辅助线，会使问题变得简单，下表给出了三角形中几个常见利用中点添加辅助线的模型，请根据要求解决问题．题眼1．普通三角形+中点2．等腰三角形+底边中点3．直角三角形+斜边中点4．两个中点大致图形辅助线名称倍长中线三线合一斜边中线中位线具体做法延长BD到点E，使DE=BD，连接AE连接AD连接CD连接DE产生效果

△AED≌△CBDAE∥BCAD⊥BC∠BAD=∠CAD①②(1)请在①，②中任选择一个填空：你选择的是_______，产生效果是_______．（产生效果写一个或两个）(2)如图①，在三角形中，AD是△ABC的一条中线，AB=5,AC=3,AD=2，求BC的长．(3)如图②，在△ABC中，∠A=30°,∠C=90°,AB=4，点M，N是边AC上两个不同的动点，以MN为边在△ABC内部（包括边界）作等边三角形△PMN，点E，F分别是AM，PM的中点，当【答案】(1)①，CD=12AB或②，(2)BC=2(3)EF=【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线性质以及三角形的中位线定理即可求解；（2）延长AD至点E，使得DE=AD=2，可得△BDE≌△CDA，则BE=AC=3，可证明AE2+BE2=AB2，则（3）当点P落在边AB上时，等边三角形的边长最大，即周长最大，然后根据直角三角形的性质及三角形的中位线定理即可求解．【详解】（1）解：选择①，CD=1选择②，DE∥BC，DE=1（2）解：延长AD至点E，使得DE=AD=2，在△BDE和△CDA中，DE=AD∠BDE=∠CDA∴△BDE≌△CDA，∴BE=AC=3，∵AB即：AE∴∠AEB=90°，在Rt△BDE中，BD=∴BC=2BD=213（3）解：平移△PMN，使得点N与点C重合，过点C作CD⊥AB于点D，∵△PMN是等边三角形，∴∠ANP=60°，∵∠A=30°，CD⊥AB，∴∠ACD=60°，∴当点N与点C重合时，NP与CD重合，∴当点P落在边AB上时，等边三角形的边长最大，即周长最大，如图：∵∠A=30°,∠ACB=90°，∴∠B=60°,BC=1∵∠PNM=60°，∴∠BPN=90°，∠BNP=30°，∴BP=1∴AP=AB−BP=4−1=3，又∵E,F分别为AM,PM的中点，∴EF为△APM的中位线，∴EF=1【点睛】本题考查了直角三角形的性质，三角形的中位线定理，等边三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键．题型02截长补短法方法截长法补短法条件在△ABC中AD平分∠BAC,∠C=2∠B,求证：AB=AC+CD图示方法在AB上截取AE=AC,连接DE延长AC到点E，使CD=CE,连接DE结论△DEB是等腰三角形△CDE是等腰三角形【总结】1）“截长补短法”是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种靠略，截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题.2）截长或补短后，如果出现的全等三角形或特殊三角形能推动证明，那么辅助线是成功的，否则，就应该换一个截长或补短的方式，甚至换一种解题思路.1．（2020·安徽·中考真题）如图1．已知四边形ABCD是矩形．点E在BA的延长线上．AE=AD.EC与BD相交于点G，与AD相交于点F,AF=AB.1求证：BD⊥EC；2若AB=1，求AE的长；3如图2，连接AG，求证：EG−DG=2【答案】（1）见解析；（2）1+5【分析】（1）由矩形的形及已知证得△EAF≌△DAB，则有∠E=∠ADB，进而证得∠EGB=90º即可证得结论；（2）设AE=x，利用矩形性质知AF∥BC，则有EAEB（3）在EF上截取EH=DG，进而证明△EHA≌△DGA，得到∠EAH=∠DAG，AH=AG，则证得△HAG为等腰直角三角形，即可得证结论．【详解】（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠EAD=90º，AO=BC，AD∥BC，在△EAF和△DAB，AE=AD∠EAF=∠DAB∴△EAF≌△DAB(SAS)，∴∠E=∠BDA，∵∠BDA+∠ABD=90º，∴∠E+∠ABD=90º，∴∠EGB=90º，∴BG⊥EC；（2）设AE=x，则EB=1+x，BC=AD=AE=x，∵AF∥BC，∠E=∠E，∴△EAF∽△EBC，∴EAEB∴x1+x=1解得：x=1+52即AE=1+5（3）在EG上截取EH=DG，连接AH，在△EAH和△DAG，AE=AD∠HEA=∠GDA∴△EAH≌△DAG(SAS)，∴∠EAH=∠DAG，AH=AG，∵∠EAH+∠DAH=90º，∴∠DAG+∠DAH=90º，∴∠HAG=90º，∴△GAH是等腰直角三角形，∴AH2+A∴GH=2AG，∵GH=EG-EH=EG-DG，∴EG−DG=2【点睛】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、直角定义、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识，涉及知识面广，解答的关键是认真审题，提取相关信息，利用截长补短等解题方法确定解题思路，进而推理、探究、发现和计算．2．（2020九年级·全国·专题练习）在菱形ABCD中，射线BM从对角线BD所在的位置开始绕着点B逆时针旋转，旋转角为α0°<α<180°，点E在射线BM上，∠DEB=∠DAB（1）当∠DAB=60°时，BM旋转到图①的位置，线段BE，DE，AE之间的数量关系是______；（2）在（1）的基础上，当BM旋转到图②的位置时，探究线段BE，DE，AE之间的数量关系，并证明；（3）将图②中的∠DAB=60°改为∠DAB=90°，如图③，其他条件不变，请直接写出线段BE，DE，AE之间的数量关系．

【答案】（1）BE=DE+AE；（2）BE=DE−AE，证明见解析；（3）BE=DE−【分析】（1）在射线BM上截取BF=DE，连接AF，首先利用菱形的性质证明△ADE≌△ABF，然后利用全等三角形的性质及等边三角形的性质得出EF=AE，从而可得出结论BE=DE+AE；（2）在DE上截取DG=BE，连接AG，首先利用菱形的性质证明△ADG≌△ABE，然后利用全等三角形的性质及等边三角形的性质得出EG=AE，从而可得出结论BE=DE−AE；（3）在DE上截取DH=BE，连接AH，首先利用正方形的性质证明△ADH≌△ABE，然后利用全等三角形的性质及等腰直角三角形的性质得出EH=2AE，从而可得出结论【详解】（1）解：BE=DE+AE；如图①，在射线BM上截取BF=DE，连接AF，∵∠DEB=∠DAB=60°，∴∠EDA=∠ABE．∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD．∴△ADE≌△ABFSAS∴AE=AF，∠EAD=∠BAF．∴∠DAB=∠DAF+∠BAF=∠DAF+∠EAD=∠EAF=60°．∴△AEF是等边三角形，∴EF=AE．∵BE=BF+EF，∴BE=DE+AE．

（2）BE=DE−AE．证明：如图②，在DE上截取DG=BE，连接AG，∵∠DEB=∠DAB=60°，∴∠EDA=∠ABE．∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD．∴△ADG≌△ABESAS∴AE=AG，∠DAG=∠BAE．∴∠DAB=∠DAG+∠BAG=∠BAE+∠BAG=∠EAG=60°．∴△AEG是等边三角形．∴EG=AE．∵DG=DE−EG，∴BE=DE−AE；

（3）BE=DE−2如图③，在DE上截取DH=BE，连接AH，∵∠DEB=∠DAB=90°，∴∠EDA=∠ABE．∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD．∴△ADH≌△ABESAS∴AE=AH，∠HAD=∠BAE．∴∠DAB=∠DAH+∠BAH=∠BAE+∠BAH=∠EAH=90°．∴△AEH是等腰直角三角形．∴EH=2∵DH=DE−EH，∴BE=DE−2

【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形和等边三角形的性质，正方形和菱形的性质，合理的作出辅助线是解题的关键．3．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）数学老师在课堂上给出了一个问题，让同学们探究．在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠BAC=30°，点D在直线BC上，将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE，过点E作EF∥BC，交直线AB（1）当点D在线段BC上时，如图①，求证：BD+EF=AB；分析问题：某同学在思考这道题时，想利用AD=AE构造全等三角形，便尝试着在AB上截取AM=EF，连接DM，通过证明两个三角形全等，最终证出结论：推理证明：写出图①的证明过程：探究问题：（2）当点D在线段BC的延长线上时，如图②：当点D在线段CB的延长线上时，如图③，请判断并直接写出线段BD，EF，AB之间的数量关系；拓展思考：（3）在（1）（2）的条件下，若AC=63，CD=2BD，则EF=【答案】（1）见解析；（2）图②：AB=BD−EF，图③：AB=EF−BD；（3）10或18【分析】（1）在AB边上截取AM=EF，连接DM，根据题意证明出△DAM≌△AEFSAS，得到AF=DM，然后证明出△BMD是等边三角形，得到BD=BM=DM（2）图②：在BD上取点H，使BH=AB，连接AH并延长到点G使AG=AF，连接DG，首先证明出△ABH是等边三角形，得到∠BAH=60°，然后求出∠BAH=∠DAE，然后证明出△FAE≌△GADSAS，得到EF=DG，∠AFE=∠G，然后证明出△DHG是等边三角形，得到DH=DG=EF图③：在EF上取点H使AH=AF，同理证明出△EAH≌△ADBAAS，得到BD=AH，AB=EH（3）根据勾股定理和含30°角直角三角形的性质求出BC=6，AB=12，然后结合CD=2BD，分别（1）（2）的条件下求出BD的长度，进而求解即可．【详解】（1）证明：在AB边上截取AM=EF，连接DM．在Rt△ABC中，∠B=90°−∠BAC=90°−30°=60°∵EF∥BC，∴∠EFB=∠B=60°．又∵∠EAD=60°，∴∠EFB=∠EAD．又∵∠BAD=∠EAD−∠EAF，∠AEF=∠EFB−∠EAF，∴∠BAD=∠AEF．又∵AD=AE,AM=EF，∴△DAM≌△AEFSAS∴AF=DM．∴∠AMD=∠EFA=180°−∠EFB=180°−60°=120°．∴∠BMD=180°−∠AMD=180°−120°=60°．∵∠B=60°，∴∠BMD=∠B=∠BDM．∴△BMD是等边三角形．∴BD=BM=DM，∵AB=AM+BM，∴AB=EF+BD；（2）图②：当点D在线段BC的延长线上时，AB=BD−EF，证明如下：如图所示，在BD上取点H，使BH=AB，连接AH并延长到点G使AG=AF，连接DG，∵∠ABC=60°，∴△ABH是等边三角形，∴∠BAH=60°，∵线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE，∴∠DAE=60°，AE=AD，∴∠BAH=∠DAE，∴∠BAH−∠EAH=∠DAE−∠EAH，即∠BAE=∠HAD，又∵AG=AF，∴△FAE≌△GADSAS∴EF=DG，∠AFE=∠G，∵BD∥EF，∴∠ABC=∠F=∠G=60°，∵∠DHG=∠AHB=60°，∴△DHG是等边三角形，∴DH=DG=EF，∴AB=BH=BD−DH=BD−EF；图③：当点D在线段CB的延长线上时，AB=EF−BD，证明如下∶如图所示，在EF上取点H使AH=AF，∵EF∥BC，∴∠F=∠ABC=60°，∵AH=AF，∴△AHF是等边三角形，∴∠AHF=∠HAF=60°，∴∠AHE=120°，∵将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE，∴AD=AE，∠DAE=60°，∴∠DAB+∠EAH=180°−∠EAD−∠HAF=60°，∵∠D+∠DAB=∠ABC=60°，∴∠D=∠EAH，∵∠DBA=180°−∠ABC=120°=∠EHA，又∵AD=AE，∴△EAH≌△ADBAAS∴BD=AH，AB=EH，∵AH=FH，∴BD=HF，∴AB=EH=EF−FH=EF−BD；（3）如图所示，∵∠BAC=30°，∠C=90°，∴AB=2BC，AB∴2BC2∴BC=6，∴AB=2BC=12，∵CD=2BD，BC=BD+CD，∴CD=1由（1）可知，BD+EF=AB，∴EF=AB−BD=12−2=10；如图所示，当点D在线段BC的延长线上时，∵CD<BD，与CD=2BD矛盾，∴不符合题意；如图所示，当点D在线段CB的延长线上时，∵CD=2BD=BD+BC，BC=6，∴BD=BC=6，由（2）可知，AB=EF−BD，∵AB=2BC=12，∴EF=AB+BD=12+6=18．综上所述，EF=10或18．【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，等边三角形的性质和判定，含30°角直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上知识点．题型03作平行线法1．（2023贵州黔西模拟）如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点P在AB上，过点P作PE⊥AC，垂足为E，延长BC至点Q，使CQ＝PA，连接PQ交AC于点D，则DE的长为（）A．1 B．1.8 C．2 D．2.5【答案】C【分析】过P作BC的平行线交AC于F，通过AAS证明△PFD≌△QCD，得FD=CD，再由△APF是等边三角形，即可得出DE=1【详解】解：过P作BC的平行线交AC于F，∴∠Q=∠FPD，∵△ABC是等边三角形，∴∠APF=∠B=60°，∠AFP=∠ACB=60°，∴△APF是等边三角形，∴AP=PF，∵CQ＝PA，∴PF=CQ在△PFD中和△QCD中，∠FPD=∠Q∠PDF=∠QDC∴△PFD≌△QCDAAS∴FD=CD，∵PE⊥AC于E，△APF是等边三角形，∴AE=EF，∴AE+DC=EF+FD=∴DE=1∵AC=4，∴DE=2，故选：C．【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．2．（2024齐齐哈尔模拟）如图，在等边△ABC中，点E为边AB上任意一点，点D在边CB的延长线上，且ED=EC．

(1)当点E为AB的中点时（如图1），则有AE______DB（填“>”“<”或“=”）；(2)猜想如图2，AE与DB的数量关系，并证明你的猜想．【答案】(1)=(2)AE=DB，证明见解析【分析】（1）由△ABC是等边三角形，得到∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC=BC，由三线合一得到AE=BE，∠BCE=12∠ACB=30°，由ED=EC，得∠D=∠BCE=30°（2）过E作EF∥BC交AC于F，先证明△AEF是等边三角形，得到AE=EF=AF，再用AAS证明△DEB≌△ECF，得到BD=EF=AE，进而证得猜想【详解】（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°∵E为AB的中点，∴AE=BE，∠BCE=12∵ED=EC，∴△CDE是等腰三角形，∴∠D=∵∠ABC=∴∠BED=30°∴∠D=∴BD=BE，∴AE=DB．故答案为：=（2）解：AE=DB．理由如下：过E作EF∥BC交AC于F，

∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，AB=AC=BC．∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，即∠AEF=∠AFE=∠A=60°．∴△AEF是等边三角形．∴AE=EF=AF．∵∠ABC=∠ACB=∠AFE=60°，∴∠DBE=∠EFC=120°，∠D+∠BED=∠FCE+∠ECD=60°．∵DE=EC，∴∠D=∠ECD．∴∠BED=∠ECF．在△DEB和△ECF中，∠DEB=∠ECF,∴△DEB≌△ECFAAS∴BD=EF=AE，即AE=BD．【点睛】此题主要考查了等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质等知识，在等边三角形中通过作平行线构造全等三角形是解题的关键．3．（2024·山西·模拟预测）综合与实践【问题探究】（1）如图①，在正方形ABCD中，AB=6，点E为DC上的点，DE=2CE，连接BE，点O为BE上的点，过点O作MN⊥BE交AD于点M，交BC于点N，求MN的长度．【类比迁移】（2）如图②，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，连接BD，过BD的中点O作MN⊥BD交AD于点M，交BC于点N，求MN的长度．【拓展应用】（3）如图③，李大爷家有一块平行四边形的菜地，记作平行四边形ABCD．测得AB=72米，BC=17米，∠ABC=45°．为了管理方便，李大爷沿着对角线BD开一条小路，过这条小路的正中间，开了另一条垂直于它的小路MN【答案】【问题探究】MN=210；【类比迁移】152【分析】（1）过点M作MG⊥BC于G，交BE于H，证明△MGN≌△BCEAAS，根据全等三角形的性质得MN=BE（2）过点M作MK⊥BC于K，交BD于L，证明△MKN∽△BCD，根据相似三角形的性质得MNBD（3）过点M作MP⊥BC于点P，过点D作DQ⊥BC交BC的延长线于点Q，解直角三角形DQC求得DQ，CQ，进而求得BQ，再根据勾股定理求得BD，再证明△DBQ∽△NMP，根据相似三角形的性质求解即可．【详解】（1）解：如图，过点M作MG⊥BC于G，交BE于H，∴∠MGN=90°，∵MN⊥BE，∴∠MOH=90°，∵∠HMO+∠MHO=90°，∠HBG+∠BHG=90°，∠BHG=∠MHO，∴∠HBG=∠HMO，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD，∠BCE=90°，∵AB=MG，∴MG=BC，在△MGN和△BCE中，∠HBG=∠HMO∠MGN=∠BCE∴△MGN≌△BCEAAS∴MN=BE，∵AB=6，DE=2CE，∴CE=1在Rt△BCE中，BE=∴MN=210（2）如图，过点M作MK⊥BC于K，交BD于L，∴∠MKN=90°，∵MN⊥BD，∴∠MOL=90°，∵∠LMO+∠MLO=90°，∠LBK+∠BLK=90°，∠BLG=∠MLO，∴∠LBK=∠LMO，∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=6，BC=AD=8，∠BCD=90°，∵AB=MG，∴MG=BC，在△MKN和△BCD中，∠LBK=∠LMO∠MKN=∠BCD∴△MKN∽△BCD，∴MNBD∵在Rt△BCD中，BD=∴MN=6（3）如图，过点M作MP⊥BC于点P，过点D作DQ⊥BC交BC的延长线于点Q，∵CD=AB=72，∠DCQ=∠ABC=45°，∴DP=CD⋅sin∴CQ=DQ=7，∵BC=17，∴BQ=24，∴BD=B∵MN⊥BD，MP⊥BQ，∴∠DBQ+∠MNP=90°，∠MNP+∠NMP=90°，∴∠DBQ=∠NMP，∴△DBQ∽△NMP，∴MPBQ=解得：MN=175【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，正确构造辅助线是解题的关键．题型04作垂线法1．（2024·山东青岛·中考真题）如图，将正方形ABCD先向右平移，使点B与原点O重合，再将所得正方形绕原点O顺时针方向旋转90°，得到四边形A'B'C'D'A．−1,−2 B．−2,−1 C．2,1 D．1,2【答案】A【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转和平移，全等三角形的性质与判定，先根据题意得到平移方式为向右平移3个单位长度，则可得平移后点A的对应点坐标为2,−1；如图所示，设E2,−1绕原点O顺时针旋转90度后的对应点为F，分别过E、F作x轴的垂线，垂足分别为G、H，证明△HFO≌△GOEAAS，得到OH=GE=1，HF=OG=2，则F−1,−2，即点A【详解】解：由题意得，平移前B−3,0∵将正方形ABCD先向右平移，使点B与原点O重合，∴平移方式为向右平移3个单位长度，∴平移后点A的对应点坐标为2,−1，如图所示，设E2,−1绕原点O顺时针旋转90度后的对应点为F，分别过E、F作x轴的垂线，垂足分别为G、H∴∠OHF=∠OGE=90°，由旋转的性质可得∠EOF=90°，∴∠HOF+∠HFO=∠GOE+∠HOF，∴∠HFO=∠GOE，∴△HFO≌△GOEAAS∴OH=GE，∵E2,−1∴OH=GE=1，∴F−1,−2∴点A的对应点A'的坐标是−1,−2故选：A．2．（2024·内蒙古赤