北师大版九年级数学上册压轴题：特殊平行四边形中的三种几何动点问题（解析版）

专题03特殊平行四边形中的三种几何动点问题

类型一、面积问题

例.如图，在四边形ABCD中，AB//CD,ZBCD=90°,AB=AD=10cm,BC=8cm.点尸从点A出发,

以每秒3cm的速度沿折线ABC方向运动，点。从点。出发，以每秒2cm的速度沿线段。。方向向点C运

动.已知动点尸，。同时发，当点。运动到点C时，P,。运动停止，设运动时间为心

⑴直接写出CD的长（cm）；

（2）当四边形PBQD为平行四边形时，直接写出四边形P2QD的周长（cm）；

⑶在点尸、点。的运动过程中，是否存在某一时刻，使得V3尸。的面积为15cm2?若存在，请求出所有满足

条件的r的值；若不存在，请说明理由.

【答案］⑴16

（2）8+8713

⑶存在，满足条件的f的值为125秒或5秒

【分析】（1）过点A作AM,CD于根据题意证明四边形A8CD是平行四边形，然后根据平行四边形的

性质以及勾股定理可得结果；

（2）当四边形尸劫女是平行四边形，则点P在上，点。在QC上，则BP=10-3r,DQ=2t,根据平行

四边形的性质可得10-3t=2t,求解得出平行四边形的各边长，求其周长即可；

（3）分两种情况进行讨论：①当点P在线段上时；②当点P在线段BC上时；根据三角形面积列方程

计算即可.

【详解】（1）解:如图1,过点A作川0LCD于"，

QAM//CB,

^AB//CD,

，四边形ABCD是平行四边形，

/.CM=AB=10cm,

在RiADM中，AD=10cm,AM=BC=8cm,

根据勾股定理得，DM=6cm,

CD=DM+CM=16cm；

（2）当四边形是平行四边形，

则点P在AB上，点。在QC上，

10—3,=2/,

:.t=2,

此时，BP=DQ=4,CQ=12,根据勾股定理得，BQ=4岳;

••・四边形尸的周长为2（BP+a2）=8+8而；

（3）①当点P在线段AB上时，即：OWy1时，

25

"t=12；

②当点尸在线段3C上时，即：：＜鹏6时,

如图4,

图4

BP=3t-10,CQ=16-2t,

•,•时始=:出9。=；(310)。6-2。=15,

19

;」=5或/=?(舍)，

即：满足条件的r的值为二25秒或5秒.

【点睛】本题考查了四边形的动点问题，平行四边形的判定与性质，勾股定理，读懂题意，根据相应图形

的性质列出方程是解本题的关键.

【变式训练1】如图，在四边形ABCD中，AD//BC,ZA=ZB=90°,ZADC=120°,AD=12cm,BC=15cm,

点产自点A沿折线AD-DC以Icm/s的速度运动，点。自点C沿向CB-3A以Icm/s的速度运动.点P,Q

同时出发，其中一个点到达终点，另一个点也停止运动.设运动时间为f(s).

备用图

⑴当尸在AD边上，点。在8C边上时，如图1.

①用含f的代数式表示：DP=,BQ=；

②若四边形APQB是平行四边形，求f的值？

(2)求V8PQ的面积S与运动时间f之间的数量关系式，并写出r的取值范围.

【答案】⑴①DP=12—r；BQ=\5-t-②r=7.5

[-地什竺用

(f+)

22

A/3233A/3135石

(2)5=—r---------1+---------(t^.<)

442

工〃—当—

45?(15C<1g

44

【分析】(1)①根据路程等于速度乘以时间列代数式即可；②AP=BQ时，四边形APQB是平行四边形;

(2)求出相关线段的长度，利用三角形面积公式，分情况讨论即可.

【详解】⑴解：①由题意可知AP=fcm,CQ=Zcm,

SDP=AD-AP=(12-t^cm,

BQ=BC-CQ=15-t(cm)-

②当四边形APQB是平行四边形时，

AP=BQ,即/=157，

解得1=7.5.

故答案为：(12-?)cm,15-?(cm)

(2)解：如图，过点。作DELBC于点E,

贝ZA=ZB=NDEB=90°,

回四边形ABED是矩形，

SZADE=90°,BE=AD=12(cm),

0CE=BC-fiE=15-12=3(cm),

0ZAT>C=120°,

0ZCDE=ZA£>C-ZADE=3O°,

0DC=2EC=6(cm),

SDE=-^DC'-CE1=V62-32=3A(cm),

回点P运动到点。时，需12秒，点尸到点C时，需18秒;点。从点C到点2需15秒，从点8到点A需15+3白

秒.

故分三种情况讨论：

①当0＜区12时，如图,

②当12<Y15时，如图，过点尸作于点X,

PC=AD+DC-t=18-t(cm),

易知DE〃尸”

0NCPH=NCDE=30。，

0CH=1pC=9-1r(cm),

0PH=yjPC2-CH2=1(18—f)(cm),

iih指*33sli356

^\S=-BQPH==

442

③当15W18时,如图，

BQ=t-BC=t-l5(cm),

BH=BC-C/7=15-^9-1r^1r+6(cm),

0S=1B2-S//=1(r-15)-(1?+6)=1/2-|r-45,

一乎什]石（0«<12）

综上，5=，多-二耳+空8（12<35）.

442'7

13

2

_r__Z-45（15<Z<18）

【点睛】本题考查列代数式、三角形面积公式、平行四边形的判定、勾股定理、矩形的判定与性质、含30

度角的直角三角形的性质、四边形上的动点问题等，熟练掌握分类讨论思想是解题的关键.

【变式训练2】如图，在矩形ABC。中，A8=12,BC=18,点尸从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿

边做往返运动，在点P出发的同时，点。从点8出发，以每秒1个单位长度的速度沿BC边向终点（运动，

当点0到达点C时，两点间时停止运动，连接尸。，设运动时间为f（秒）.

⑴当仁4时，尸。的长度为一

（2）当四边形A8Q尸为矩形时，/的值为一

⑶设四边形A8。尸的面积为S,求S与f之间的函数关系式；

⑷当PQ所在的直线将矩形ABC。分成的两部分的面积比为102时，直接写出f的值.

【答案】⑴10

（2）12

[8«0</9）

[-6?+216（9<Z<18）

（4）f=4或8或12

【分析】（1）当f=4时，AP=8,PD=AD-AP=BC-AP=18-8=10；

（2）当四边形A2QP为矩形时，AP=B。，根据不同的时间段AP的关系式求出"直即可；

（3）由（2）中不同时间段4尸的关系式得出S的分段函数即可；

（4）尸。所在的直线将矩形ABCO分成面积比为1：2的两部分时，可能再两个不同的时间段存在

s四边形A瑜和$四边物色两种可能,根据（3）中面积的函数关系式分段求f值即可.

S四边形PDCQLS四边形ABQPZ

(1)

解：当V4时，AP=2f=8,

I2PQ=A£)-AP=18-8=1O,

故答案为10

(2)

解：当四边形ABQ尸为矩形时，AP=BQ,

若0449时,AP=2t,则2M

解得六0(不符合题意，舍去)；

若9c长18时,A尸=36-23则362=1,

解得12；

故答案为12

(3)

解：当0〈江9时，S=；(BQ+4P),AB=1(r+2r)xl2=18r；

当9V<18时，S=^(BQ+AP).AB=-6Z+216.

18z(0<f<9)

综上所述，S

-6r+216(9<r<18)

(4)

WS四边形AB0P_J_„,_1c

解：当o<r<9时,右一5，火U»四边形ABQP="U矩形ABC。，

8四边形PZJCQ乙3

1

ai8r=-xi2xi8,

3

解得Z=4；

若邈3=；，则电边2/>矩形…，

S四边形AB。尸,J

2

团18f=-xl2xl8,

3

解得片8；

S四边形MQp11c

当9<C?<18时，右—5，贝US四边形ABQP=~S矩形ABCD,

S四边形PDCQL3

1

[?]-6r+216=-xl2xl8,

3

解得V24（舍）；

若①3=；，则，边.叱*矩i＞，

S四边形A5QPL3

0-6r+216=|xl2xl8,

解得r=i2；

综上，当f=4或8或12时，P。所在的直线将矩形ABC。分成面积比为1：2两部分.

【点睛】本题主要考查四边形的综合题型，涉及动点问题，矩形的性质，梯形的面积等知识点，会用分类

讨论的思想解决问题是解题的关键.

【变式训练3】如图，在44区）中，AB=AD,AO平分/A£＞,过点。作AB的平行线交A。的延长线于

点C,连接3C.

⑴求证：四边形ABCD是菱形；

（2）如果OA,。3（。4＞。3）的长（单位：米）是f_7尤+12=0的两根，求的长以及菱形A5CD的面积；

⑶在（2）的条件下，若动点加从A出发,，沿AC以2米/秒的速度匀速直线运动到点C,动点N从8出发，

沿以1米/秒的速度匀速直线运动到点。，当M运动到C点时，运动停止.若M、N同时出发，问出发

几秒钟后，AMON的面积为2米2

【答案】⑴见解析

⑵5米，24平方米；

（3）1秒或4秒

【分析】（1）根据题意，用"一组对边平行且相等的四边形是平行四边形"先判定平行四边形，再用邻边相等

证明菱形；

（2）解方程可得OA、08的长，用勾股定理可求A5,根据“菱形的面积对应对角线积的一半”计算连线面

积;

（3）根据点V、N运动过程中与。点的位置关系，分三种情况分别讨论.

【详解】（1）证明：：人。平分NB4D,AB//CD,

ZDAC=/BAC=ZDCA,

.•.△ACD是等腰三角形，AD=DC,

5L-：AB^AD,

AB-CD,

.••四边形A3CD为平行四边形，

又•.•AB=AD,

，四边形ABCD是菱形；

（2）解：解方程/一7%+12=0,得，占=4,尤2=3

/.OA=4,OB—3,

利用勾股定理AB=&M2+OB2=5,AC=2OA=8,BD=2OB=6,

团S菱形ABCD=_ACxBD=5x8x6=24平方米•

（3）解：在第⑵问的条件下，设M、N同时出发1秒钟后，△MQN的面积2机2,

当点M在。4上时，x<2,S^MON=-j-（4-2x）（3-x）=2,

解得石=1,々=4（大于2,舍去）；

当点M在0c上且点N在上时，2（尤<3,S.”。；，=g（3—%）（2x—4）=2,

2

整理得，X2-5X+8=0,此时，A=5-4xlx8=-7<0,

团原方程无解；

当点M在0c上且点N在。。上时，即3<xW4,S.MON=（2x-4）（x-3）=2,

2

整理得，X-5x+4=0,解得占=4,x2=1（小于3,舍去）.

综上所述：M,N出发1秒或4秒钟后，AM0N的面积为27/?.

【点睛】本题考查了菱形的判定方法，菱形的面积计算方法，分类讨论的数学思想.

类型二、几何图形存在性问题

例1.如图，在RIAABC中，?B90?,BC=5拒,NC=30。.点。从点C出发沿C4方向以每秒2个单位

长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿A3方向以每秒1个单位长的速度向点8匀速运动，当其

中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点O,E运动的时间是f秒«>0）.过点。作8±BC

于点尸,连接DE,EF.

⑴求AB,AC的长；

(2)求证：AE=DF；

⑶当f为何值时，ADEF为直角三角形？请说明理由.

【答案】⑴AB=5,AC=10；

(2)证明见解析

⑶当f=g秒或4秒时，ADEF为直角三角形，理由见解析

【分析】(1)由直角三角形的性质和勾股定理得出方程，解方程即可；

(2)利用已知用未知数表示出。F,AF的长，进而得出独=£)下；

(3)利用①当/£DF=90。时；②当/£>EF=90。时；③当NEFD=90。时，分别分析得出即可.

【详解】⑴解：设=

•.•NB=90。，NC=30。，

AC=2AB=2x.

由勾股定理得，(2x)2-/=(5百『，

解得：尤=5,

:.AB=5,AC=10；

(2)证明：由题意得AE=/,CD=2t,

贝ijAD=10-21,

在皿)尸C中，⑦DFC=90。,团030°,DC=2t,

^\DF=-CD=t.

2

又AE=t,

.\AE=DF；

(3)解：当r=g秒或4秒时，△/溺为直角三角形，理由如下：

分情况讨论：

①回瓦甲二回。尸090。时，贝！JDE//BC,

团她团二团5=90°,0ADE=团030°,

^\AD=2AEf

mQ-2t=2tf

5

团。=一；

②叨Eb=90°时，

财苑5C,DF^BC,

回AE||D尸.

又ME=DF,

团四边形AEFD为平行四边形,

@AD"EF,

回回ADE=回。石户=60°,

团财皮）=30°,

^\AD=-AE

29

团10—2t=—t

2f

回，=4；

③aEKD=90。时，此种情况不存在.

当/="1秒或4秒时，ADE户为直角三角形.

【点睛】本题是四边形综合题目，考查了平行四边形的判定、菱形的判定与性质、勾股定理、直角三角形

的性质等知识.理解相关知识是解答关键.

例2.如图，已知正方形的边长为4cm,动点P从点8出发，以2cm/s的速度沿Cf£＞方向向

点。运动，动点。从点A出发，以lcm/s的速度沿A―3方向向点8运动，若尸、。两点同时出发运动时

间为、.

备用图1备用图2

⑴连接尸。、PQ、DQ,求当，为何值时，APQD的面积为7c/?

(2)当点P在BC上运动时，是否存在这样的/使得△PQD是以PD为一腰的等腰三角形？若存在，请求出符

合条件的f的值；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)1秒或29秒

⑵存在，/=§秒或(40-4)秒

【分析】(1)根据正方形的性质和面积公式，利用割补法即可求解；

(2)根据勾股定理、等腰三角形的性质得出一元二次方程，分情况讨论以PD为腰的等腰三角形即可说明.

【详解】(1)解:当尸在BC上时

如图：根据题意，AB=BC=CD=AD=4

AQ=t,QB=4T,BP=2t,PC=4-2t,

=

S&PQDS正方形ABCZ)-S^ADQ-S/\BPQ—=7,

16-ix4xf--x2f.(4-r)——x4x(4-2。=7

222

整理，得「一2f+l=0,

解得。=才2=1.

当尸在8上时，止匕时2v，＜4

S&P3=—(8—2z)x4=7

9

t=一

4

9

答：当力为1秒或］秒时，△尸。。的面积为7cm2.

4

(2)①当时，根据勾股定理，得16+(4-2，)2=16+5，

4

解得4=］，G=4(不符合题意，舍去).

②当尸D=P。时，根据勾股定理，得

16+(4-24=(47)2+(2/)2,整理得：/+8—6=0

解得。=4&-4,t2=-4\/2-4(不符合题意，舍去).

答：存在这样的r=3秒或(4&-4)秒，使得△PQD是以PD为一腰的等腰三角形.

【点睛】本题考查了正方形、一元二次方程、等腰三角形的相关知识，解决本题的关键是分类讨论思想的

运用.

例3.如图，在四边形ABC。中，ADSBC,02=90。，AB=8cm,AZ)=12cm,8C=18cm,点尸从点A出发

以lcm/s的速度向点。运动；点。从点C同时出发，以2cm/s的速度向点2运动，当点。到达点B时，点

P也停止运动，设点尸，。运动的时间为5

⑴从运动开始，当f取何值时，PQSCD?

(2)在整个运动过程中是否存在"直，使得四边形尸QCD是菱形？若存在，请求出r值；若不存在，请说明理

由；

⑶从运动开始，当f取何值时，四边形PQ8A是矩形？

⑷在整个运动过程中是否存在"直，使得四边形尸是正方形？若存在，请求出r值；若不存在，请说明

理由.

【答案】⑴4

⑵不存在，理由见解析

(3)6

⑷不存在，理由见解析

【分析】(1)利用平行四边形的判定和性质进行求解即可；

(2)利用菱形的判定和性质进行求解即可；

(3)利用矩形的判定和性质进行求解即可；

(4)利用正方形的判定和性质进行求解即可.

(1)

解：由运动知，AP—tcm,CQ—2tcm,

0Z)P=A£>-AP=(12-力cm,

^\AD//BC,要PQ〃C。，

回四边形CDPQ为平行四边形，

^DP=CQ,

012-t=2t,

0r=4,

即，=4时，PQ//CD；

(2)

不存在，理由：

团四边形PQCZ)是菱形，

0C2=CD,

02r=io,

团/=5,

此时，DP=AD-AP=12-5=7(cm),

而DPaCD,

回四边形PQCD不可能是菱形;

(3)

如图4,038=90。，AD//BC,

图4

团当AP=8。时，四边形A3。尸是矩形,

即f=18-It,

解得：t=6,

团当f=6时，四边形PQBA是矩形;

(4)由当f=6时，四边形PQ54是矩形,

0Ap=6cm,

(3A8=8cm,

团矩形PQBA不能是正方形,

即不存在时间t,使四边形尸。54是正方形.

【点睛】本题考查四边形中的动点问题.解题的关键是熟练掌握平行四边形、菱形、矩形和正方形的判定

和性质，确定动点的位置.

例4.如图，在菱形A8CD中，对角线AC与8。交于点。，且AC=8,BD=6,现有两动点"，N分别

从A,C同时出发，点M沿线段A2向终点8运动，点N沿折线C-。-A向终点A运动，当其中一点到达

终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为秒).

BB

CA

DD

备用图1备用图2

⑴填空：AB=_；菱形ABCD的面积S=_；菱形的高//=

(2)若点M的速度为每秒1个单位，点N的速度为每秒。个单位(其中当7=4时在平面内存在点E使

得以A,M,N,E为顶点的四边形为菱形，请求出所有满足条件的。的值.

24

【答案】(1)5；24；—

(2)1.5或1.94或1.4

【分析】(1)先由菱形的性质和勾股定理求得AB，再跟菱形面积为对角线之积的一半可得S,最后根据菱

形的面积为边长x高，由此可得高力的长；

(2)当，=4,时间固定，AM的长度也就固定，A、M,N、E四点要形成菱形，分两大类情况，第一类以

AM为边，这种情况可以画两种菱形；第二类以AM为对角线，只有一种.因此共三种情况，分别计算.

【详解】(1)解：团四边形ABC。是菱形，AC与BD交于点O,AC=8,BD=6,

团AO=CO=4,BO=DO=3,AC±BDf

财3=5,

设菱形的高为h,

贝！J菱形ABCD的面积为工x8x6=ABx/z=24

2

724

团。=——

5

24

故答案为：5,24,—

(2)解：当/=4时，AM=4,

①如图2,四边形4WEN为菱形，

.\AN=AM=4,

.•.A®+CD=10—4=6,

,3

二.4a=6,a--.

2

图2

②如图3,AENM为菱形,皿交人"于点R,作DP垂直3C于尸,

•••菱形面积为24,

二.DP=4.8,

.­.CP=1,

・.・NMAR=/BCD,

:.ZAMR=/PDC,

.或_CP

,AM-CD'

:.AR=lA2f

AN=2.24,

a=(A©+CD)+4=(10—2.24)+4=1.94,

图3

③如图4,AEMN为菱形,EN交AM于点、T,作3S垂直CD于S,则AT=MT=2,

：.BT=NS=5-2=3,

vBS=4.8,.\CS=1.4,

..6=冲+。5=14+3=4.4,

a—CN+4=4.4+4=1.1；

E

图4

综上所述，。的取值有1.5或1.94或1.4.

【点睛】本题主要考查了菱形的性质、三角函数、勾股定理、面积计算，分类讨论等重要知识点，综合性

和技巧性很强，计算量也较大，对学生的能力要求较高，因此综合应用所学知识成为解答本题的关键.

类型三、直线位置关系问题

例1.如图，在Rt^ABC中，ZABC=90°,AC=5,BC=4,点。是边A3的中点，动点尸从点A出发以

每秒1个单位的速度沿AC向终点C运动，过点P作尸Q，AC交折线AB-3C于点。(点。不与点。重合)，

以尸。、。。为邻边构造平行四边形PQOW,设点P的运动时间为f秒.

⑴直接写出A3的长.

(2)当点。落在AB边上时，用含/的代数式表示。。的长.

⑶当平行四边形PQDM为轴对称图形时求t的值.

⑷连接QM,当与RtZXABC的某条边平行时，直接写出/的值.

【答案】⑴3

,、35T53

(2)----1或一，——

2332

呜、«

⑷二9或上21

205

【分析】（1）根据勾股定理直接求出AB的长度；

（2）分类讨论。在AD和上的两种情况，-A。或DQ=AQ-AD,

（3）当平行四边形PQDM为菱形或矩形时即为轴对称图形，因为PQLAC,所以当。在A3上时，ZPQD

不可能为直角，平行四边形尸QDW不可能为矩形，只存在菱形的情况，根据PQ="2建立等量解出,值；

当。在BC上时，表示出的长度较为复杂，所以可以表示出。行，利用尸建立方程解出/值;

当。点在8c中点时，平行四边形PQDM为矩形，可直接求得/值；

（4）因为平行四边形尸。。”的四个顶点顺序已经确定，所以。在过点。的AC平行线的下方，分类讨论。

在AD上和在CN（见详解图）上的两种况下平行于不同边时的情况，注意，根据平行线的定义，当。

在A3上时，不可能平行于A2,当。在BC上时，Q”不可能平行于8c.

【详解】（1）解：在RMABC中，AB2=AC2-BC2,

AB=《52-42=3；

（2）解：•.,2从点A出发以每秒1个单位的速度沿AC向终点C运动,

AP=t,

...PQLAC,

AAPQ^AABC,

・・.AB:BC:AC=3:4:5,

AP:QP:AQ=3:4:5f

AQ^^AP=^t,

丁点。是边A3的中点，

3

AAD=BD=-,

2

八八35-53

••DQ=------1或T—；

2332

（3）解：当平行四边形尸为菱形或矩形时即为轴对称图形,

PQ=DQ或平行四边形PQDM某一内角为90。,

①当。在A5上时，。《方4:”".由（1）得尸Q=1,OQ=1或《，一I,

1Q

解得心叱,

1

"f~2'

。在AB上时，NPQD不可能为90。，故不存在矩形的情况;

②如图，当。在BC上时，|<?<5,ACPQSACBA,

CP:QP:CQ=4:3:5,

••AP=t,

CP=5-tf

35

•.PQ=Z(5T),C<2=-(5-r),

55o

25245117

—r-----1+——

16816

当尸。2=0。2时，平行四边形PQDM为菱形,

2

2545117

—t2-----1+——十一）

16816

解得,=±受,

当。点在8C中点时，平行四边形为矩形,

48

止匕时5T=2乂二二5，

解得,=117;

综上所述：当平行四边形尸。。”为轴对称图形时，f的值为:、运或

225

（4）解：・••平行四边形,

•••Q在过点。的AC平行线的下方，

①如图，。在AD上，04f〈工QM〃AC时，易得△。。心必04尸，

・•・平行四边形尸,

4

DM=QP=-t,

35

由（1）得。。=,—§，，

3_5

.DQ2一r=5

,DM~3W，

3

9

解得"2；

②如图，。在AD上，。加〃BC时，易得△DQMS^QPA,

3

解得F（舍）

③过点D的平行线交8C于点N,点。在CN上移动才可能会出现平行四边形PQDM的对角线Q"平行于

直角三角形的边，此时（W5,如图，当加〃AC时，延长DM交AC于点//,

••・平行四边形尸以加，

3

0M=PQ=z（5—）且。“LAC,

V。河〃AC•.四边形MQPH为矩形，

3

MH=PQ^DM=-（5-t）,

.••^（5-r）x2=DH=f,解得/=

不存在Q河〃AB的情况；

综上所述：当与Rt^ABC的某条边平行时，r的值为玄9或弓21.

【点睛】本题考查了几何动点问题，涉及到相似、平行线的性质、平行四边形以及特殊的平行四边形的性

质和判定，还会用到分类讨论的思想，难度较大，解决本题的关键是能准确找到不同的情况并对问题进行

分类讨论.

例2.如图，在YABCD中，NA=60。，AB6cm,连接8。，恰有？旗D90?,过点。作。EL3c于点

E.动点尸从点。出发沿D4以Ica/s的速度向终点A运动，同时点。从点8出发，以4c〃?/s的速度沿射线

BC运动，当点尸到达终点时，点。也随之停止运动，设点尸运动的时间为小.

⑴分别求BD和BE的长度；

9

（2）连接P。，当/=《时，判断PQ与AD是否垂直，并说明理由;

⑶试判断是否存在f的值，使得以P,Q,C,。为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出r的值；若不

存在，请说明理由；

⑷若点P关于直线。。对称的点恰好落在直线。上，请直接写出点尸，。之间的距离.

【答案】(1)BD=66cm,BE=9cm

⑵尸理由见详解

⑶存在，，的值为£或4

小3屈一3屈

(4)------cm或-----cm

22

【分析】(工)可求出加厉=30。，根据含30。的直角三角形的性质可得4)=248=1257,

8。=退43=6限111,根据平行四边形的性质可得相＞〃8。，则NQBC=30。，即可得£＞石=：2。,

BE=EDE,即可求解；

(2)先证四边形OEQP是平行四边形，可得四边形。EQP是矩形，即可得出结论；

(3)分两种情况讨论，由平行四边形的性质可得AP=8Q,列出方程可求解；

(4)分两种情况讨论，由轴对称的性质和等边三角形的性质以及勾股定理可求解.

【详解】(1),四边形A3CD是平行四边形，?ABD90?,ZA=60°,AB=6cm,

:.ZADB=30°,AD//BC,

AD=2AB=12cm,BD=y/3AB=66cm,ZJDBC=AADB=30°,

•/DEIBC,

:.DE=^BD=3y[3cm,BE=CDE,

/.BE=y/3DE=9cm；

(2)PQ-LAD,理由如下：

・••动点P从点。出发沿D4以lcm/s的速度向终点A运动，同时点。从点5出发，以4cm/s的速度沿射线5C

运动,

9936

.,.当％=三时，PD=—,BQ=—,

369

:.QE=BE-BQ=9--=-=PDf

•/AD\\BC,

•••四边形。田2P是平行四边形，

VDE1BC,

.•.四边形。E。尸是矩形，

PQ1AD-

(3)存在，

当8为边时，

•・,四边形PQC。是平行四边形，

/.PD=CQ,

Z=12—4?,

12

■t——•

"5'

当C。为对角线时，

四边形PCQ。是平行四边形，

PD=CQ,

t=4%—12,

Z=4,

综上所述：，的值为吊或4；

:.ZQDC=ZBCD=60°,

.1△CD。是等边三角形,

CD=CQ,

6=12—4，，

3

/.t——,

2

3

过点P作尸于H,则PH=DE=3辰m,EH=PD=-cm,

vZBCD=60°,CD=AB=6cm,DE^BC,

13

:.CE=-CD=3cm,:.QH=CQ-EH-CE=-cm,

在RRPQ"中，PQ=yJpH2+QH2

vZC7M=120°,二.N尸DP=60。，

・・,点尸的对称点在线段8的延长线上，・•.NCOQ=gNPDP=30。，

/BCD=ZCDQ+ZCQD,

ZCDQ=ZCQD=30°,:.CD=CQ=6,

9

「.30=12+6=18,.•.41=18,：.t,

2

过点P作尸于H,财PH=DE=3&m,EH=PD=^cm,

・.・NBCD=60。，CD=AB=6cmDELBC,:.CE=-CD=3cm,

f2

27

:.QH=CQ+EH+CE=—cm,

在RIAPQH中，PQ=^PH-+QH~=主辱cm；

综上所述：点P,。之间的距离为Mem或豆曳C%.

22

【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质

等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键.

课后训练

1.如图，在四边形A3CD中，AB//CD,ZA=90°,DC=2Acm,AB=26cm,动点P从D开始沿DC边向

C点以1cm/s的速度运动，动点。从点B开始沿BA向A点以3cm/s的速度运动，P,。分别从点。，B同

时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，运动的时间为/秒.

（1）/为何值时，四边形。尸3为矩形？

（2〃为何值时，四边形PQBC为平行四边形？

13

【答案】⑴当t秒时，四边形。PQA为矩形

（2）当r=6秒时，四边形PQBC为平行四边形

【分析】（1）根据矩形的判定和性质，得AQ=DP,求出r,即可；

（2）根据平行四边形的判定和性质，得PC=QB,求出入即可.

【详解】（1）SAB//CD,

^\AQ//DP,

当尸时，四边形OPQA为平行四边形，

0ZA=9O°,

团平行四边形DPQA为矩形，

团动点尸从£）开始沿QC边向C点以lcm/s的速度运动，动点。从点6开始沿3A向A点以3cm/s的速度运动,

0DP=fem,BQ=3tcm,

^AQ=AB-BQ=26-2>t,

Elf=26—31,

2613

解得：f=—-=—,

42

团当”一秒时，四边形DPQA为矩形.

2

（2）^\AB//CD,

@QB〃PC,

当PC=Q5时，四边形PQ3C为平行四边形，

团PC=24T,

024—t=3t,

解得：t=6,

回当;6秒时，四边形PQBC为平行四边形.

【点睛】本题考查动点与几何的综合，矩形和平行四边形的知识，解题的关键是掌握矩形和平行四边形的

判定和性质.

2.如图，在AABC中，AC=6cm,BC=8cm,点。以每秒la”的速度由点A向点C运动（不与点C重合），

过点。作直线〃台C,/BC4的外角平分线CP于点尸，ZACB的平分线CE于点E设运动时间为f秒.

发现：

⑴在点。的运动过程中，0E与O尸的关系是,请写出理由.

（2）当f=2时，EF=cm.

探究：当仁时，四边形是矩形，并证明你的结论.

拓展：若点。在运动过程中，能使四边形AEb是正方形，试写出线段的长度.（直接写出结论即可）

【答案】（1）OE=OR,详见解析

（2）8cm,探究：3,拓展：AB=10cm

【分析】⑴根据角平分线的定义、平行线的性质分别得到NOEC=NACE,ZACF=ZOFC,根据等腰三

角形的判定定理得到OE=OC,OF=OC,等量代换证明结论;

（2）根据直角三角形斜边上的中线的性质解答;

探究：根据矩形的判定定理得到。4=OC时，四边形AECF是矩形，进而求出。I,求出入

拓展：根据正方形的对角线平分一组对角得到NACE=45。，进而得到ZACB=90。，根据勾股定理计算，得

到答案.

【详解】（1）解:OE=OF,

理由如下：•.•CE平分N4CB,

:.ZBCE=ZACE,

-,-EF//BC,

:.NBCE=NOEC,

:.ZOEC=ZACE,

:.OE=OC,

同理可得，ZACF=NOFC,

OF=OC,

:.OE=OF,

故答案为：OE=OF；

（2）由题意得，当f=2时，OA=2cm,

贝OC=AC—=4cm,

•：NBCE=ZACE,ZGCF=ZACF,

:.ZECF=90°,

•：OE=OF,

.•.EF=2OC=8（cm）,

故答案为：8；

探究：当f=3时，四边形AEb是矩形，

理由如下：•:/ECF=9。。,OE=OF,

当。4=OC时，四边形AECF是矩形，

此时，OA=OC=3cm,

••1=3时，四边形AEC尸是矩形，

故答案为：3；

拓展：当四边形AEB是正方形时，ZACE=45°,

•.♦CE平分ZACB,

:.ZACB=2ZACE=90°,

AB=ylAC2+BC2=A/62+82=10（cm）.

【点睛】本题考查的是正方形的性质、矩形的判定、平行线的性质以及直角三角形斜边上的中线的性质,

掌握矩形的判定定理、正方形的性质是解题的关键.

3.已知正方形ABCD中，AB=BC=CD=DA=8,ZA=ZB=ZC=ZD=90°.动点P以每秒2个单位速

度从点8出发沿线段BC方向运动，动点。同时以每秒8个单位速度从8点出发沿正方形的边

B4-AD-OC-CB方向顺时针作折线运动,当点P与点。相遇时停止运动，设点P的运动时间为1.

图1备用图2

⑴当运动时间为一秒时，点尸与点。相遇;

(2)当8。〃尸。时，求线段。。的长度;

⑶连接上4,当AHLB和AQ/田全等时，求f的值.

【答案】⑴3.2

(2)3.2

Q

(3)t为0.8或耳

【分析】(1)先判断出点尸，。相遇时，必在正方形的边3C上，利用运动路程之和为正方形的正常建立方

程即可；

(2)先判断出四边形8QDP是平行四边形，得出8尸=。。，进而表示出班，DQ,用3P建立方程

求解即可；

(3)分点。在正方形的边AB,AD,CD,8C上，建立方程求解即可得出结论；

【详解】(1)解：,点P的运动速度为2,BC=8,

，点尸运动到点C的时间为4,

点。的运动速度为8,

•••点Q从点8出发沿54-AD-DC-CB方向顺时针作折线运动到点C的时间为(8+8+8)+8=3,.•.点尸，Q

相遇时在边BC上，

2,+8%=4x8=32,

/.t-3.2，

故答案为3.2；

(2)解：如图1,

图1

­.BQ//PD,

点。只能在边AD上，

四边形ABCD是正方形，

:.AD//BC,

二四边形是平行四边形，

:.BP=DQ,

二.2%=2x8—8，,

t=1.6,

DQ=2x8—8/=3.2；

(3)解：①当点。在边A2上时，如图2,

图2

-.AB^AD,ZABP=NDAQ,要使和AQA。全等，只能是APABMAQDA,

:.BP=AQ,

A2=8-8Z,BP=2t,

8—8,=2,，

1.t—0.8,

②当点。在边4。时，不能构成AQAD,

③当点Q在边CZ）上时，如图3,

图3

同①的方法得，要使ARW和AQAD全等，只能是APA2*QAD,

:.BP=DQ,

2t=8%—16,

8

..t=一,

3

④当点。在边BC时，AQA。不是直角三角形，而钻是直角三角形，所以，不能全等；

Q

即：当和AQA£＞全等时，f的值为0.8或（；

【点睛】本题考查四边形综合题、正方形的性质、平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等

知识，解题的关键是学会分类讨论.

4.如图，在YABCD中，NB4c=90。，CD=3,AC=4.动点P从点A出发沿AD以lcm/s速度向终点Z）

运动，同时点。从点C出发，以4cm/s速度沿射线CB运动，当点P到达终点时，点。也随之停止运动，

设点尸运动的时间为r秒（r＞。）.

（1）CB的长为.

⑵用含r的代数式表示线段的长.

（3）连接尸2,

①是否存在f的值，使得PQ与AC互相平分？若存在，求出/的值；若不存在，请说明理由;

②是否存在f的值，使得PQ与互相平分？若存在，求出才的值；若不存在，请说明理由.

⑷若点P关于直线A。对称的点恰好落在直线A3上，请直接写出f的值.

【答案】⑴5

（2）es=5-4^0<r<|j^eS=4r-5^>|j

⑶①不存在，理由见解析；②存在，r的值为g

（4/的值为1■或2

【分析】（1）根据平行四边形的性质得AB=OC=3,再根据勾股定理即可求解；

（2）根据题意可得CQ=4t,先求出当点。与点B重合时，所花费的时间，再根据题意分两种情况讨论即

可：当点。在线段BC上时和当点。在线段CB的延长线上时；

（3）①连接PGAQ,假设PQ与AC互相平分，则可得四边形APCQ是平行四边形，进而可得AP=CQ,

解得即可到答案；

②连接尸5AQ,假设PQ与A3互相平分，则可得四边形AMQ是平行四边形，进而可得AP=BQ,解得

即可到答案；

（4）根据题意分两种情况讨论即可：当点尸关于直线AQ对称的点落在点A下方时和当点P关于直线A。对

称的点落在点A上方时.

【详解】（1）团四边形ABCD是平行四边形，

团AB=DC=3,

国/BAC=90。,

^BC=\lAC2+AB2=742+32=5-

故答案为：5；

（2）在YABCD中，AD=BC,AD//BC,

由题意得，CQ=4t,

当点。与点2重合时，4/=5,

5

团/=—S,

4

当点。在线段BC上时，Q3=5JCQ=5-4r,

当点。在线段CB的延长线上时，QB=CQ-BC=4t-5,

综上所述，22=5_4（0</用或。—

（3）①不存在，理由如下：

如图，连接尸GAQ,

图①

若PQ与AC互相平分，则四边形APCQ是平行四边形,

^AP=CQ,

回AP=f,CQ=4/,

回f=47,

解得t=0(不合题意)，

回不存在/的值，使得尸。与AC互相平分；

②存在，

如图，连接尸5AQ,

图②

若尸。与互相平分，则四边形APBQ是平行四边形,

团AP=BQ,

酎=布一5,

5

团方=-s,

3

团当/=；S时，PQ与A3互相平分；

(4)当点P关于直线A。对称的点落在点A下方时，如图,

图③

由对称得，ZPAQ=ZP'AQ,

^AD//BC,

^ZPAQ^ZAQB,

0ZP'AQ=ZAQB,即NBAQ=ZAQB,

团BQ=AB=3,

⑦CQ=BC-BQ=2,

团4。=2,

解得"g;

当点尸关于直线A。对称的点落在点A上方时，如图,

由对称得，Nl=N2,

^AD//BCf

0Z1=Z3,

团N2=Z4

团N3=/4,

团BQ=AB=3,

@CQ=BC+BQ=8,

团务=8,

解得f=2,

综上所述，f的值为:或2.

【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质、勾股定理的应用和动点问题，灵活运用所学知识求解是解

决本题的关键.

5.如图，矩形ABCD中，CD=4,NCBD=30。.一动点尸从B点出发沿对角线