北师大版八年级数学专项复习：实数（解析版）

第06讲实数

学^目标彳

1.了解无理数的含义;

2.掌握实数的分类；掌握实数在数轴上的表示，熟练掌握实数的运算的方法

3.体会实数间关联.

［豳基础知.

---------------------llllllllllllllllllllllllllllllllllllllllt-----------------------

知识点1:无理数

有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.

注意：(1)无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表

示成分数的形式

(2)常见的无理数有三种形式：①含门类.②看似循环而实质不循环的数，如：

1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如石.

知识点2：实数

有理数和无理数统称为实数.

1.实数的分类

按定义分：

、*」有理数：有限小数或无限循环小数

实数W

［无理数：无限不循环小数

按与o的大小关系分：

，正有理数

正数＜

、正无理数

实数0

'负有理数

负数＜

、负无理数

2.实数与数轴上的点一一对应.

数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对

应.

知识点3：实数运算

1.注意：有理数关于绝对值、相反数的意义同样适用于实数。

2.运算法则：先算乘方开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。

I|Q考点剖析

---------------------lllllllllllllilllllllllllllllllllllllllll-----------------------

考点一：无理数的概念

在］例1.（2022秋•章丘区校级期末）在实数（、J而、-3TT、V7>1.4141441

中，无理数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【解答】解：..•工=0.875,...工是有理数；

88

:每=6,...每是有理数；

•••-3n是无限不循环小数，I.-311是无理数；

：正是无限不循环小数，・••丁?是无理数；

71,41414141是有限小数，L41414141是有理数.

故无理数为-3e4共2个.

故选：B.

【变式1-1］（2023春•长沙期中）下列各数中，无理数是（）

A.-TTB.3.14C.-2D.1

7

【答案】A

【解答】解：4-TT是无理数，符合题意；

B、3.14是有理数，不符合题意；

C、-2是有理数，不符合题意；

D、工是有理数，不符合题意，

7

故选：A.

【变式1-2］（2023•榆阳区校级一模）在实数工，e0,-3中，无理数是（）

6

A.1B.TTC.0D.-3

6

【答案】B

【解答】解：“是无理数；1,0,-3是有理数.

6

故选：B.

【变式1-3］（2022秋•深水区期末）在等兀，3.5,1,3,0.1010010001…中，

无理数共有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【解答】解：•••-丝，3.5,1.3是有理数,

7

TT,O.1O1OO1OOO1…是无理数，

故选：B.

考点二：实数的分类

由1例2.（2022秋•苍南县期中）把下列各数的序号填在相应的横线上:①花，

②弯，③兀，（4）+9,⑤-3.14,⑥近,⑦0,⑧2.828828882…（两个2之

间依次多1个8）.

整数：=____________________

负分数:;

无理数：.

【解答】解：整数：①④⑦；

负分数：②⑤；

无理数：③⑥⑧；

故答案为：①④⑦；

②⑤；

③⑥⑧.

【变式2-1］（2023春•西湖区期中）在实数沈，V12-4中有理数有（）

3

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【解答】解：在实数我，g,居中，6=2近是无理数.

3

中我=2,有理数有我，,共2个.

故选：B.

【变式2-2］（2023•洛阳一模）下列各数为负数的是（）

A.V5B.-1C.0D.|-3|

【答案】B

【解答】解：A、•••返>0,...代是正数，故A不符合题意；

8、：-1V0,-1是负数，故8符合题意；

。、0既不是正数，也不是负数，故C不符合题意；

。、•••|-3|=3>0,是正数，故。不符合题意；

故选:B.

【变式2-3］（2022秋•市北区月考）把下列各数分别填入相应的集合里.

0,-1,日，-2L,-国标，3.14,A,0.4343343334……（每2

2213

个4之间依次多一个3）

无理数集合：｛…｝;

分数集合：｛…｝;

负实数集合：｛-｝.

【解答】解：无理数集合：｛-2L,0.4343343334……（每2个4之间

2

依次多一个3）,•,）；

分数集合：{-1,3.14,巨…};

213

负实数集合：｛-/，-多，-洞…｝•

故答案为：一三，血万，0.4343343334（每2个4之间依次多一个3）；

2

-—,3.14,-A,-.

21322

考点三：实数的性质

例3.（2023春•武汉期中）、历的相反数是；3-TT的绝对值是

【答案】-V2-K-3,

3

【解答】解：我的相反数是r历;

3-1T的绝对值是7T-3;

V273

故答案为：-V2；it-3；_1.

3

【变式3-1］（2023•玉州区一模）-2023的绝对值是（）

A.-2023B.一C.2023D.72023

2023

【答案】C

【解答】解：|-2023|=-（-2023）=2023.

故选：C.

【变式3-2］（2023春•南昌县期中）下列各组数中，互为相反数的一组是（）

A.-2与1（一2）2B.-2和言

C.工与2D.|2|和2

2

【答案】A

【解答】解：•••正方=2，

•••-2与互为相反数，

，选项A符合题意；

.际=-2,

•••-2和图相等，不互为相反数，

选项B不符合题意；

•••工与-工互为相反数，工与2不互为相反数，

222

选项C不符合题意；

V|2|=2,

•••|2|与2相等，不互为相反数，

选项D不符合题意.

故选：A.

【变式3-3］（2023•凤阳县二模）式子泥-2的倒数是（）

A.V5+2B.-V5-2C.275+2D.疾+啦

【答案】A

【解答】解：V!_=.1X（^5+2）,=7^+2,

V5-2（V5-2）（V5+2）

；•式子通-2的倒数是依+2,

故选：A.

考点四：实数与数轴的关系

小1例4.（2023春•思明区期中）

如图，在数轴上点A表示的实数是（）

2

।'「Z।A

-2-10123

A.V3B.2.2C.2.3D.

【答案】D

【解答】解:如图,

D\

21

乂->

-2-10123

根据勾股定理得：BD=Vl2+22=V5，

•,-AB=BD=V5-

点A表示的实数是逐，

故选：D.

【变式4-1］（2023春•花都区期中）如图，数轴被墨迹污染了，被覆盖的数不

可熊是（）

।।।।A

-10123

A.V3B.V5C.V6D.V7

【答案】A

【解答】解：数轴被墨迹污染的数介在2与3之间，

V12=1,22=4,32=9,

A1<V3<2,2<V5<3,2<V6<3,2<V7<3,

故选：A.

【变式4-2］（2023春•普陀区期中）如图，在数轴上，点3与点C关于点A对

称，A、3两点对应的实数分别是我和-3,那么点C所对应的实数是（）

__________BI______IAI____________CI__________

-3°后

A.V5+3B.V5-3C.2\/5-3D.275+3

【答案】D

【解答】解：..N、3两点对应的实数分别是病和-3,

.".AB—xJs-（-3）=返+3,

；点5与点C关于点A对称，

：.AB=AC,

...点C对应的数为：V5+（V5+3）=2^5+3.

故选：D.

【变式4-3］（2023•北京一模）实数a,6在数轴上的对应点的位置如图所示，

下列结论中正确的是（）

।1gl।।ill।»

-3-2-101234

A.a>-2B.b>3C.\a\>bD.a+b>0

【答案】D

【解答】解：-2<a<-1,

:・a〉-2,

•••4不正确；

'：2<b<3,

：.b>3,

...3不正确；

•.•由图可知,\a\<\b\,

'：b>0,

：.\a\>b,

C不正确；

Vtz<0,b>0,

a+6>0.

正确.

故选：D.

考点五：利用数轴化简

、、例5.(2022秋•西安月考)如图，已知实数-灰，-1,疾,3,其在数

1——1轴上所对应的点分别为点A,B,C,D.

(1)求点C与点。之间的距离；

(2)记点A与点3之间距离为a,点C与点。之间距离为4求a-5的值.

ABCD

-I_.-I——I------1-------1-------L«—J--------

-3-2-101234

【答案】(1)3-V5;

(2)2泥-4.

【解答】解：(1)根据题意可得，

点C与点。之间的距离为3-a；

(2)根据题意可得，

a=\-l+V5l=V5-bb=3-V5，

a-b=y[5-1-(3-遍)=2泥-4.

【变式5-1](2022春•庐阳区校级期中)如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬

了2个单位长度到达点3,点A表示-近,设点3所表示的数为限

(1)实数m的值是；

(2)求依-1|-|1-利的值；

(3)在数轴上还有C、。两点分别表示实数。和d,且有|2c+4|与丁展彳互为相

反数，求2c+3d的平方根.

।।।।尸

-2-1012

【答案】(1)-V2+2；

(2)0；

(3)±2®

【解答】解：(1)•••一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B,

点A表示-我，

'.m=-V2+2,

故答案为：-6+2；

(2)由数轴可知：0<根<1,

.*.m-KO,1-m>0,

，原式=1-根-(1-m)

=0;

(3)•；|2c+4|与后i互为相反数，

*'•|2c+4|+Vj-4=0,

,.•|2c+4|N0,

2c+4=0,d-4=0,

••c=-2,d=4,

2c+3d

=2X(-2)+3X4

=-4+12

=8,

A8的平方根为±2&.

【变式5-2](2022秋•拱墅区期中)已知实数a,b,。在数轴上的位置如图所

示，且满足|。|=|例=2|-c|=4.

(1)求a,b,c的值；

(2)求|a-2b\+\-b+c\+\c-3al的值.

Iii1A

a0cb

【答案】(1)a=-4,b=4,c=2；

(2)28.

【解答】解：(1)\'a<Q,b>0,c>0,且满足|a|=|例=2|-c|=4,

••tz=-4,0=4,c=2；

(2)\a-2b\+\-b+c\+\c-3al

=|-4-8|+|-4+2|+|2+12|

=12+2+14

=28.

考点六：实数的运算

，一\例6.（2023春•汕尾期中）计算:

⑴狗7+i-百i；

⑵IV3-2I+V(-4)2-

【答案】(1)-7+^3；(2)6-^/3.

【解答】解：(1)二一/+|-如|

=-4-3+V3

=-7+V3-

⑵|V3-2|+7(-4)2

=2-V3+4

=6-Vs•

【变式6-1](2023春•仁化县期中)计算：764-V27+VT8+(-2)2-

【答案】7.

【解答】解：帆-病+方+(-21

=8-3-2+4

=7.

【变式6-2](2023春•宜都市期中)计算：79+^+2(V2+2)-I1-V2|-

【答案】6W2.

【解答】解：79+2(V2+2)-I1-V2I-

=3+(-2)+272+4+1-V2

=6n/2.

【变式6-3](2023春•海淀区校级期中)计算：

(1)|-3I-(-1)+V-27-V4;

⑵^-73+(75)2+11-V3I-

【答案】(1)-1；(2)2.

【解答】解：(1)原式=3+1+(-3)-2

=3+1-3-2

=-1;

(2)原式=-2-V3+5+V3-1

=2.

考点七：估算无理数范围

-、，例7.（2022秋•镇平县期中）估计/五-1的值介于（）

A.1与2之间B.2与3之间C.3与4之间D.4与5

之间

【答案】B

【解答】解：

.*-3<Vli<4,

•*.2<V11-1<3,

•••计/五-1的值介于2与3之间.

故选：B.

【变式7-1］（2022秋•余姚市月考）已知。是正整数，且满足屈<a,

则。的值是（）

A.9B.8C.7D.6

【答案】B

【解答】解：•.•49V56V64,

•,-7<V56<8,

是正整数，且满足a-l<倔<a,

・・a=8.

故选：B.

【变式7-21（2021秋•石家庄期末）代介于整数n和”+1之间，则n的值是（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】C

【解答】I?：V2<V5<3,

••n=2>

故选：C

考点八：无理数的整数和小数部分问题

\例8.（2023春•西城区校级期中）若2际的整数部分为a，5T的小数部分为

I——b,贝Ia=；\b-〃|=.

【答案】4,V7+1，

【解答】解：：4<7<9,

.,.2<V7<3,

-3<-V?<-2,

.•.4<2+V7<5,2<5-V7<3,

,/2+77的整数部分为a,5-W的小数部分为b,

；.a=4,b=5-VV-2=3-

此时也-a|=|3-V7-4|=|-V7-11=+1.

故答案为：4,V7+1.

【变式8-1]（2023春•洪山区期中）若夜的整数部分为a,灰的小数部分为b,则a+b

【答案】V5.

【解答】解：；4<7<9,

2<V7<3,

..•4的整数部分为。=2,

V4<5<9,

/.2<V5<3,

的整数部分是2,小数部分为5=泥-2，

•'-a+b=2+V5-2=V5.

故答案为：V5.

【变式8-2］（2023春•蜀山区校级期中）已知J石的整数部分是机，10-J石的小数部分

是n,则m+n=.

【答案】7-V13.

【解答】解：：9<13<16,

•,.3<V13<4,

石的整数部分是如

・・z/Z"-3；

V3<V13<4,

-4<-V13<-3,

.1.6<10-A/13<71

：10-J石的小数部分是%

.•.ra=10-VT3-6=4-V13，

m+n=3+4-V13=7-V13.

故答案为：7-V13-

【变式8-3］（2023春•东莞市期中）若、后的整数部分是a,小数部分是6,则a+b=.

【答案】V3.

【解答】解：・・T<3V4,

A1<V3<2,

.•.4=1,b=y/~3-1,

Aa+b=l+y/3~1=V3.

故答案为：Vs«

考点九：实数大小比较

例9（2023•河东区一模）比较大小：约目M（填“>”，<

或“=”）.

【答案】V.

【解答】解：把百~1.732代入，得夸，L7M=1.366,

VV2^1.414>1,366,

空<如，

故答案为：<.

【变式9-1］（2023•郑城县一模）比较大小」16.

22

【答案】V.

【解答】解：」上应=12,

222

（6）2=3,22=4,3V4,

:/<2,

...愿-2<0,

2

-1<J-V3_

22

故答案为：<.

【变式9-2］（2023春•大兴区期中）比较大小：2在岳（填“>”，"V

或“=”）.

【答案】<.

【解答】解：技，

而20<23,

A2V5<V23，

故答案为：<.

考点十：实数的应用

\例10.（2023春•汕尾期中）如图，把两个面积均为18c7层的小正方形纸片分别沿

I--------1对角线裁剪后拼成一个大的正方形纸片.

（1）求大正方形纸片的边长；

（2）若沿此大正方形边的方向裁剪出一个长方形，能否使裁剪出的长方形纸片的长宽之

比为3：1,且面积为240后？若能，请求剪出的长方形纸片的长和宽；若不能，试说明

理由.

【答案】（1）6cm；（2）沿此大正方形边的方向，不能裁剪出符合要求的长方形纸片，

理由见解析.

【解答】解：（1）由题意得：大正方形的面积=18X2=36C»J2,

大正方形纸片的边长J而=6（cm）.

（2）沿此大正方形边的方向，不能裁剪出符合要求的长方形纸片，理由如下：

•••长方形纸片的长宽之比为3：1,

・••设长方形纸片的长和宽分别是xcm,

.•.3x・x=24,

1・/=8,

Vx>0,

・・.X=2A/^,

长方形纸片的长是3x=6近cm,

：6&>6,

沿此大正方形边的方向，不能裁剪出符合要求的长方形纸片.

【变式10-1］（2023春•梁平区期中）列方程解应用题

小丽给了小明一张长方形的纸片，告诉他，纸片的长宽之比为3：2,纸片面积为294口/.

（1）请你帮小明求出纸片的周长.

（2）小明想利用这张纸片裁出一张面积为157c7怎的完整圆形纸片，他能够裁出想要的

圆形纸片吗？请说明理由.（n取3.14）

【答案】（1）70；（2）不能.

【解答】解：设长方形纸片的长为3xc%,宽为2xcm.依题意，

3x・2x=294,

67=294,

/=49,

x=±7,

Vx>0,

.'.x=7,

长方形的纸片的长为21厘米，宽为14厘米，

（21+14）X2=70厘米.

答：纸片的周长是70厘米.

（2）设圆形纸片的半径为广，

S=nr2=157,

r=50,

由于长方形纸片的宽为14厘米，则圆形纸片的半径最大为7,

72=49<50,

所以不能裁出想要的圆形纸片.

【变式10-2】（2022秋•禅城区校级期中）如图，把图（1）中两个小正方形纸片分别沿对

（1）原小正方形的边长为cm；

（2）若沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形的长宽之比为2：1,

且面积为12cm2?若能，试求出剪出的长方形纸片的长宽；若不能，试说明理由.

（3）如图（3）是由5个边长为1的小正方形组成的纸片，能否把它剪开并拼成一个大

正方形？若能，请画出示意图，并写出边的长度，若不能，请说明理由.

【答案】（1）2a；

（2）见解答;

（3）见解答.

【解答】解：（1）...小正方形的面积是大正方形面积的一半,

:.小正方形的面积为16+2=8（cm2）,

设小正方形的边长为a,

则7=8,

.\a=±272（舍去负值），

♦♦a=2^"^.

，小正方形的边长为2\[2cm,

故答案为：2加.

（2）不能剪出符合要求的长方形纸片，理由如下：

设剪出来的长方形长为2xc%,宽为xcm,

依题意得2x*x=12,

；.x=或x=-（舍去），

长为2巫>4,

不能剪出符合要求的长方形纸片；

（3）•.•一共有5个小正方形，那么组成的大正方形的面积为5,边长为灰,

画出示意图如图，

[臧真题演练」:

---------Illllllllllllllllllllllllllllililllliiill---------

1.（2022•宁夏）已知实数a,b在数轴上的位置如图所示，则下J_+丁）_的值是（）

lailbI

-----11------1-------->

a---------0b

A.-2B.-1C.0D.2

【答案】C

【解答】解：'：a<0,b>0,

，原式=-1+1=0.

故选：c.

2.（2022•广州）实数a,b在数轴上的位置如图所示，贝!J（）

—।~~S-।----------7

-1012

A.a=bB.a>bC.|tz|<|Z?|D.|tz|>|Z?|

【答案】c

【解答】解：A.Va<0,b>0,：.aWb,故不符合题意；

B.a<0,b>0,.'.a<b,故不符合题意；

C.由数轴可知间<|6],故符合题意；

D.由C可知不符合题意.

故选：C.

3.（2022•北京）实数a,6在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（)

ab

i1*1ii-iiA

-3-2-10123

A.a<-2B.b<lC.a>bD.-a>b

【答案】D

【解答】解：根据图形可以得到：

-2<a<0<l<b<2；

所以：A、B、C都是错误的；

故选：D.

4.（2022•南京）估计12的算术平方根介于（）

A.1和2之间B.2和3之间C.3和4之间D.4和5之间

【答案】C

【解答】解：•••费

•'.3<V12<4,

故选：C.

5.（2022•湘西州）在实数-5,0,3,工中，最大的实数是（

3

A.3B.0C.-5D-3

【答案】A

【解答】解：将各数按从小到大排列为：-5,0,1,3,

3

最大的实数是3,

故选：A.

6.（2022•临沂）满足机>|百5-II的整数机的值可能是（）

A.3B.2C.1D.0

【答案】A

【解答】解：

.\2<V10-1<3,

.\2<|V10-1|<3,

••m可能是3,

故选：A.

7.（2021•绵阳）下列数中，在病与牛丽之间的是（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【解答】解：因为牛面〉泥4，^64=4,V200<A/216J

病=%料云=5,^216=6,

所以4V强i〈折达〈我而<6.

故选：C.

8.（2023•香洲区校级一模）设行的整数部分为。，小数部分为6,则（百5+〃）6的值

是（）

A.6B.2-VIoC.-1D.1

【答案】D

【解答】解：*.•gviovie,

•,-3<V10<4,

；.a=3,&=V10-3,

.•.原式=（V10+3）X（-/10-3）=1,

故选：D.

9.（2022•连云港）写出一个在1到3之间的无理数：.

【答案】V2（符合条件即可）

【解答】解：1到3之间的无理数如&,V3,V5.答案不唯一.

10.（2022•西藏）比较大小：V73.（选填“>””中的一个）

【答案】<.

【解答】解：：4<7<9,

•,.V4<V7<V9>

即2<J7<3,

故答案为：<.

11.（2023春•西乡塘区校级期中）已知m是五的整数部分，n是丁石的小数部分，则

m+n-A/T§的值为.

【答案】7.

【解答】解：：4<6<9,

：.2〈瓜<3,

.••我的整数部分是2,

•・加=2,

V9<13<16,

•••3<V13<4,

.♦•丁方的整数部分是3,小数部分是任-3,

•,•«=V13-3,

•••m-Hi-Vi3=2+Vi3-3-713=7,

故答案为：-1.

12.(2022•苏州模拟)某市在招商引资期间，把已倒闭的油泵厂出租给外地某投资商，该

投资商为减少固定资产投资，将原来400加2的正方形场地改建成315m2的长方形场地，

且其长、宽的比为5：3.

(1)求原来正方形场地的周长；

(2)如果把原来正方形场地的铁栅栏围墙全部利用，围成新场地的长方形围墙，那么这

些铁栅栏是否够用？试利用所学知识说明理由.

【答案】(1)80m.

(2)这些铁栅栏够用.

【解答】解：(1)V400=2O(m),4X20=80(m),

答：原来正方形场地的周长为80〃?.

(2)设这个长方形场地宽为3卬"，则长为5am.

由题意有：3a义5°=315,

解得：a=±A/21»

'.'3a表示长度，

.*.a=V21>

这个长方形场地的周长为2(3a+5a)=16。=16al(m),

V80=16X5=16XV25>16V21-

这些铁栅栏够用.

答：这些铁栅栏够用.

［昌过关检测

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1.(2022秋•泰兴市期末)在-2，22,0,-1,0.4,n,2,-3,-6这些数

37

中，无理数有()个

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【解答】解：在-工丝，0,-1,0.4,IT,2,-3,-6这些数中，无理数

37

有1T,

共1个.

故选：A.

2.（2023•合肥二模）下列各式运算结果是负数的是（）

A.（-1）-2023B.|-2023|C.D.（-2023）0

【答案】A

【解答】解：4(_1厂2。23二1=工=_1，是负数，符合题意;

（_］）2。23-1

3、|-20231=2023,是正数，不符合题意；

c、「歹=r是正数，不符合题意；

D、（-2023）°=1,是正数，不符合题意.

故选：A.

3.（2023春•上海期中）下列说法正确的是（）

A.只有0的平方根是它本身

B.无限小数都是无理数

C.不带根号的数一定是有理数

D.任何数都有平方根

【答案】A

【解答】解：4正数的平方根有2个，只有0的平方根是它本身，故本选项

正确，符合题意；

3、无限小数中的无限循环小数是有理数，故本选项错误，不合题意；

Cn不带根号，但是无理数，故本选项错误，不合题意；

。、因为负数没有平方根，故本选项错误，不合题意.

故选：A.

4.（2023春•安庆期中）面积是3的正方形的边长是（）

A.整数B.无理数C.有理数D.分数

【答案】B

【解答】解：•••正方形的面积是3,

・••正方形的边长为如，

•.•百是无理数，

故选：B.

5.（2023•金凤区校级一模）下列各组数中，互为相反数的是（)

A.一3和127B・3和J（）2C.一（-3）和|-3|D.一3和一!

3

【答案】A

【解答】解：A、病=3,-3和3互为相反数，符合题意；

B、J（-3）2=3,不符合题意；

C、-（-3）=3,1-31=3,不符合题意；

D、-3和不互为相反数，不符合题意.

3

故选：A.

6.（2023•天桥区二模）实数a,6在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论

正确的是（）

1।।।?।A

-3-2-10123

A-曳>0B.a<bC.a-b>0D.ab>0

b

【答案】B

【解答】解：由小。在数轴上对应点的位置可知：aVO,b>3

・,•旦VO,a〈b,a-Z?<0,ab<3

b

故A、C、。错误，5