北师大版八年级数学常见题型专练：估算和用计算器开方（3种题型）（解析版）

第06讲估算和用计算器开方（3种题型）

坐【知识梳理】

一.实数大小比较

实数大小比较

（1）任意两个实数都可以比较大小.正实数都大于0,负实数都小于0,正实数大于一切负实数，两个负实

数比大小，绝对值大的反而小.

（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原

点左侧，绝对值大的反而小.

二.估算无理数的大小

估算无理数大小要用逼近法.

思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值.

三.计算器一数的开方

正数a的算术平方根a与被开方数a的变化规律是：

当被开方数a的小数点每向左或向右平移2位时，它的算术平方根的小数点也相应向左或向右平移1位，

即a每扩大（或缩小）100倍，。相应扩大（或缩小）10倍.

W【考点剖析】

一.实数大小比较（共16小题）

1.（2023•福鼎市模拟）在实数TT,0,-1中，最小的数是（）

A.-1B.0C.A/3D.TT

【分析】正数>0>负数，据此进行判断即可.

【解答】解：由题意可得-1,

则最小的数是-1,

故选：A.

【点评】本题考查实数的大小比较，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握.

2.（2023春•梁山县期中）比较下列各组数中两个数的大小，正确的是（）

A.-3>-V3B.C.D.V8>2V2

234

【分析】根据实数比较大小的方法，平方法，负数的绝对值大的反而小，逐一进行判断即可.

【解答】解：432=9,（V3）2=3--,-3>V3,A-3<-V3,选项错误，不符合题意；

B、|-=1+1>1,选项错误，不符合题意；

a1>1,_A<-1,选项正确，符合题意；

3434

D、V8=2A/2.选项错误，不符合题意；

故选：C.

【点评】本题考查实数比较大小.熟练掌握比较实数大小的方法是解题的关键.

3.（2023嘟州区校级模拟）同表示不超过。的最大整数.若实数a满足方程@出2+^口，则同=

（）

A.1B.2C.3D.4

【分析】根据二次根式的非负性解决此题.

【解答】解：由题意得，1-a-—^0,a20.

aa

[a]=l.

故选：A.

【点评】本题主要考查二次根式的非负性，熟练掌握二次根式的非负性是解决本题的关键.

4.（2022秋•海口期末）比较26，3,夜的大小，正确的是（）

A.V7<3<2A/2B.2-72<V7<3C.W<2&<3D.2让<3<夜

【分析】分别算出2加，曲，3的平方，即可比较大小.

【解答】解：（W5）2=8,32=9,（77）2=7,

V7<8<9,

:而<啦<3,

故选：C.

【点评】本题考查了实数大小比较，解决本题的关键是先算出3个数的平方，即可比较大小.

5.（2022秋•和平区校级期末）已知a=-5&,b=-2遥，则a与b的大小关系是（）

A.a<bB.a>bC.a=bD.无法确定

【分析】把根号外面的数移到里面，再根据负数比较大小的法则进行比较即可.

【解答】解：a=-572=一'嵌，b=-2炳=-历,

V50>20,

.,•屈>倔，

•••-屈<-V20）

；•-5V^<-

：.a〈b.

故选：A.

【点评】本题考查实数的大小比较，掌握正数都大于0,负数都小于0,正数大于一切负数是关键.

6.（2023•光山县三模）写出一个大于5小于6的无理数：—缶

【分析】根据5=>/云，6=^36）写出一个大于5小于6的无理数可以是岳，注意答案不唯一.

【解答】解：写出一个大于5小于6的无理数：V26.

故答案为：V26.

【点评】此题主要考查了无理数的特征和应用，以及实数大小比较的方法，注意答案不唯一.

7.（2023春•富川县期中）比较大小：-灰+1<-Y3（填“>”、“<”或“=”）

2

【分析】应用放缩法，判断出-V5+1与-返■的大小关系即可.

2

【解答】解：：-，兀+1<-2+1=-1,-叵>-1,

2

-75+1<-匹.

2

故答案为：<.

【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，注意放缩法的应用.

8.（2023春•龙子湖区期中）比较大小：遍-1>•!（填

33

【分析】首先确定通-1与1的大小，进行比较即可求解.

【解答】解：：4<5<9,

.-.2<V5<3,

•,.1<V5-1<2,

•V5-l^1

.,一―3"

故答案是：>.

【点评】此题主要考查了无理数的估算能力，此题把它们的减数变成和被减数相同的形式，然后只需比

较被减数的大小.分母相同时，分子大的大.

9.（2023•雁塔区校级模拟）比较大小：2^<4（填或"=

【分析】先估算2近的值，然后判断即可.

【解答】解：〈百〈2,

•,.2<2A/3<4,

；.2近<4.

故答案为：V.

【点评】本题考查了实数的大小比较，算术平方根，熟练准确估算无理数的大小是解题的关键.

10.（2023•临沐县一模）比较大小3-疾<上.

22

【分析】先估算出我的范围，再求出生近的范围，再得出答案即可.

2

【解答】解：〈遥〈3,

-2>--3,

/.1>3-遍>0,

3-遥>0,

22

即3一遍

22

故答案为：<.

【点评】本题考查了估算无理数的大小和实数的大小比较，能估算出泥的大小是解此题的关键.

11.（2022秋•宜阳县期末）将下列各数按从小到大的顺序排列，并用号连接起来：

2&,返，,0,-1.7.

2

【分析】利用1T的近似值可比较上和-1.7,再根据无理数的估算方法可得出粕<2>巧，进而得出

2

-1.7<今<0<V5<2^2-

【解答】解：•••旦生<工，

22

—.1.7/<―n―'

又,：灰）2=5<（2&）2=小

:正<啦,

-1.7<<2/2-

【点评】本题考查实数的大小比较.将无理数的大小比较转化为整数大小的比较是解题关键.

12.（2022秋•晋州市期中）已知如下信息：

①实数。有两个不同的平方根，分别是x-1和7-3尤；

②a+b的立方根是3；

③c的相反数是-5.

请解决以下问题：

（1）求出a,b,c的值；

（2）比较后I与c的大小，直接写出结果.

【分析】（1）根据平方根、立方根和相反数的定义即可得到a,b,c的值；

（2）先求出后L再与c比较大小即可求解.

【解答】解：（1）:实数。有两个不同的平方根，分别是龙7和7-3x,

Ax-1+7-3x=0,

解得了=3,

则a=（3-1）2=4；

'：a+b的立方根是3,

・・・4+6=27,

解得6=23；

・・7的相反数是-5,

・・c==5；

（2）V7^1^^23-4=719.c=5,V19<5,

•*-Vb-a<c-

【点评】本题考查了实数大小比较，平方根、算术平方根、立方根和相反数，关键是求出a,b,c的值.

13.（2021秋•山亭区期末）数学课上，老师出了一道题：比较运二2与2的大小.

33

小华的方法是：

因为丁历>4,所以>2,所以内一2>2（填“>，，或“<，，）；

33

小英的方法是：

运二2-2=垣二2，因为19>42=16,所以W5-4>0,所以>0,所以丁历-2

33333

>2（填“〉”或

一3

（1）根据上述材料填空；

（2）请从小华和小英的方法中选择一种比较返二1与工的大小.

42

【分析】（1）根据不等式的性质即可解答；

（2）仿照例题的方法进行计算即可解答.

【解答】解：（1）小华的方法是：

因为房>4,所以，历-2>2,所以运二2>2,

33

小英的方法是：

叵二2一2=叵二上,因为19>4?=16,叵二2-2=叵二±,因为19>4?=16,所以任-4>

333333

0,所以逐二1>0,所以'五一2〉2,

333

故答案为：>,>,>,>,>；

（2）如果选择小华的方法，

•:娓<3,

.-1<2,

如果选择小英的方法，

巫-1_1=付1-2=巫-3

424~4

V6<9,

:.娓<3,

:.娓-3<0,

AV6-3<0)

4

【点评】本题考查了实数大小比较，熟练掌握作差法比较大小的方法是解题的关键.

14.（2022春•沸北区期末）观察表格,回答问题：

a•••0.00010.01110010000•••

4・・・0.01X1y100・・・

（1）表格中x=0.1,y=10；

（2）从表格中探究。与心数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：

①已知则6000。31.6；

②已知在=8.973,若企=897.3,用含式的代数式表示b,则b=10000〃？；

（3）试比较与。的大小.

当0<。<1时,当。=1或0时,\/~a—a；当时,-\/-3.<a.

【分析】（1）由表格得出规律，求出x与y的值即可；

（2）根据得出的规律确定出所求即可；

（3）分类讨论。的范围，比较大小即可.

【解答】解：（1）x=V0.01=0.1，y=V100=10.

故答案为：0」；10；

（2）①根据题意得：71000-^31.6.

②结果扩大100倍，则被开方数扩大10000倍，

.*./?=10000m.

故答案为：31.6；10000m；

（3）当4=0或1时，

当OVQVI时，

当〃=1或0时，Va—

当a>l时，

故答案为：OVaVl,。=1或0,a>\.

【点评】此题考查了实数的比较，弄清题中的规律是解本题的关键.

15.（2022秋•方城县月考）（1）用或“="填空：如《6,匹〈娓;

（2）由以上可知：①|J"访f/TF1=—V17^V16—，②IVn-l-Vii1=_Vn^Vn-1.

（3）计算：|1-V2I+IV2-V3I+IV3-V41+……（结果保留根号）

【分析】（1）根据被开方数越大，它的算术平方根就越大比较即可；

（2）根据绝对值的性质去掉绝对值符号即可；

（3）先去掉绝对值符号，再算加减即可.

【解答】解：（1）V3<4,5<6,

:.如<其,近<娓；

故答案为：v,V;

（2）V16-V170,Vn-1

①I•-717I=717-V16；

I②IVn-1-Vnl=Vn-Vn-1；

故答案为：A/17-V16-Vn-Vn-1；

（3）-1+V3-V2+V4-V3+"-+Vn+l-Vn

=Vn+l-1-

【点评】本题考查了算术平方根，绝对值和二次根式的加减，能正确去掉绝对值符号是解（2）（3）的关

键.

16.（2021秋•正定县期中）已知我+1在两个连续的自然数。和。+1之间，1是方的一个平方根.

（1）求a,b的值；

（2）比较a+b的算术平方根与泥的大小.

【分析】（1）利用“夹逼法”求得。的值，由平方根的定义求得b的值，代入计算即可；

（2）利用（1）的结果进行比较即可.

【解答】解：（1）V4<8<9,

•*.2<V8<3.

又我+1在两个连续的自然数a和a+l之间，1是b的一个平方根，

.*.a=3,b=l；

（2）由（1）知，〃=3,b=l

q+/?=3+l=4,

a+b的算术平方根是：2.

V4<5,

.,.2<V5.

【点评】本题主要考查的是估算无理数的大小，掌握估算无理数大小的方法是解题的关键.

二.估算无理数的大小（共19小题）

17.（2023春•鼓楼区校级期末）比,花大且比JT1小的整数是（）

A.1B.2C.3D.4

【分析】分别判断通和小五在哪两个连续整数之间，继而得出答案.

【解答】解：；4<5<9<11<16

.\2<V5<3<V11<4.

•••比旗大且比丁五小的整数是3,

故选：C.

【点评】本题考查无理数的估算，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握.

18.（2023春•梁子湖区期末）一个正方形的面积是60,那么它的边长在哪两个相邻的整数之间（）

A.5和6之间B.6和7之间C.7和8之间D.8和9之间

【分析】先求出正方形的边长，再估算出倔的范围，即可得出选项.

【解答】解：正方形的边长为洞，

""'7<V60<8,

.•.正方形的边长在7和8之间，

故选：C.

【点评】本题考查了估算无理数的大小和算术平方根，能估算出倔的范围是解此题的关键.

19.（2023•台儿庄区模拟）正整数人6分别满足殡强，V2<b<V7,则〃=（）

A.16B.9C.8D.4

【分析】结合已知条件，利用无理数的估算分别求得6的值，然后代入〃中计算即可.

【解答】解：：53<64<98,2<4<7,

,病<4<悯，&<2<忏

.•・〃=4,b—2,

.*.^=24=16,

故选：A.

【点评】本题考查无理数的估算，结合已知条件求得a,6的值是解题的关键.

20.（2023春•合江县期中）绝对值小于扬'的所有正整数的和是10.

【分析】根据无理数的估算方法得到4<亚<5,即亚的整数部分是4,由此得到正整数值，得到

答案.

【解答】解：：16<21<25,

4<V21<5,

，绝对值小于J五的所有正整数有1,2,3,4,

...和为10,

故答案为：10.

【点评】此题考查了无理数的估算，正确掌握无理数的估算方法是解题的关键.

21.（2023春•浦东新区校级期末）返在两个连续的整数。和。之间（a<6）,则/=9.

【分析】先估算出泥的值的范围，从而求出a,b的值，然后把a,6的值代入式子中，进行计算即可解

答.

【解答】解：V4<5<9,

.*.2<V5<3,

在两个连续的整数。和b之间

・・。=2,b=3,

.,.ba=32=9,

故答案为：9.

【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握完全平方数是解题的关键.

22.（2022秋•长安区校级期末）的小数部分为。，则。（a+4）=3.

【分析】先根据的范围求出。的值，代入后进行计算即可.

【解答】解；：2<夜<3,

；.a=S-2,

..a（。+4）

=（V7-2）（V7-2+2）

=（V7-2）（J7+2）

=7-4

=3,

故答案为：3.

【点评】本题考查了估算无理数的大小，二次根式的混合运算，平方差公式的应用，解此题的关键是求

出a的值.

23.（2022秋•永兴县期末）定义［刘为不大于尤的最大整数，如⑵=2,［依］=1，［4.1］=4,则满足［4］=5，

则w的最大整数为35.

【分析】由题意得：5<J£W6,然后利用平方运算，进行计算即可解答.

【解答】解：由题意得：

••,5W4<6,

.•.25W〃<36,

：.n的最大整数为35.

故答案为：35.

【点评】本题考查了无理数的估算，掌握夹逼法，用有理数夹逼无理数是关键.

24.（2023•海淀区校级三模）已知人6为两个连续整数，且小<6,贝Ua+b=5.

【分析】先估算出小的取值范围，得出。，6的值，进而可得出结论.

【解答】解：：4<7<9,

/.2<V7<3.

「a、b为两个连续整数，

.•・〃=2,b=3,

〃+Z?=2+3=5・

故答案为：5.

【点评】本题考查的是估算无理数的大小，先根据题意求出。，》的值是解答此题的关键.

25.（2023春•孝昌县期中）若小石的整数部分为m小数部分为b,求/如7^的值6.

【分析】求出。、b的值，代入计算即可.

［解答］解：vV9<V13<Vi6>

•,-3<A/I3<4,

又vV13的整数部分为。，小数部分为b,

.,.a=3,-3>

/.a2+b-A/13=9+V13-3--/13=6,

故答案为：6.

【点评】本题考查无理数的估算，表示出，石的整数部分和小数部分是正确计算的前提.

26.（2023春•临颍县期中）若6-的整数部分为了,小数部分为y,则（2x+、-W）y的值为3

【分析】直接利用二次根式的性质得出x,y的值，进而估算后的取值范围，进而得出答案.

【解答】解：：3<立§<4,

；.2<6-Vl3<3

，6-J石的整数部分为x为：2,小数部分为y=6-Jl§-2=4-百5，

故⑵+岳)y

=(4+、压)X(4-V13

=3.

故答案为：3.

【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出S3的取值范围是解题关键.

27.(2022秋•绥宁县期末)已知返的整数部分是0,小数部分是b,则a-4的值为-联

b

【分析】首先根据通的取值范围得出。，6的值进而求出即可.

【解答】解：•••代的整数部分是a,小数部分是6,且2〈遥〈3,

•・〃=2,b=4^>-2,

：.a-1=2--=1_=2-―遥+2-------=2-遍-2=-遍.

bV5-2(V5-2)(V5+2)

故答案为：-^5•

【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，得出a,b的值是解题关键.

28.(2023春•忠县期末)已知实数a的平方根为2x+l,1-7x,/万的整数部分为从

(1)求a,b的值；

(2)若的小数部分为c,求25a-(6+c)2的平方根.

【分析】(1)根据平方根的性质列方程求得。的值，利用无理数的估算求得6的值即可；

(2)结合(1)中所求可得c的值，然后代入25a-(b+c)2中计算后求得它的平方根即可.

【解答】解：(1):实数。的平方根为2x+l,1-7x,

.*.2x+l+l-7x=0,

解得：x=—,

5

；.2X+1=9,

5

V16<17<25,

.\4<V17<5,

.*.Z?=4；

(2)V4<V17<5,

：.c=yj-17-4,

趾，b=4,

25

：.25a-(6+c)2

=25X生-(4+VI7-4)2

25

=81-17

=64,

・•・它的平方根为±8.

【点评】本题考查平方根的定义及性质，无理数的估算，结合已知条件分别求得。，儿。的值是解题的

关键.

29.(2023春•常州期末)如图1,已知纸片A是边长为〃根的正方形，纸片8是相邻两边长分别为切:、丁相

的长方形，且纸片A、B的周长相等.

①若x>6,求y的取值范围；

②如图2,以纸片B的相邻两边为边长分别向外作正方形C、D,若纸片B的面积比纸片A的面积小

10cm2,求C、。的面积之和；

(2)如图3,将纸片4、8叠合在一起，记阴影部分的周长为

①2a+2无(用含尤、a的代数式表示)；

②若关于尤的不等式M<U恰有3个正整数解，则a的取值范围是24<3.

【分析】(1)①依据题意，由A、8的周长相等，可得4a=2(x+y)=20,再由尤>6,可求出y的取值

范围；

②由题意，孙=/-10,再由x+y=20,进而可以得解；

(2)①由题意，表示出阴影部分周长即可得解;

②由①得，2x+2a<i2,再结合不等式12恰有3个正整数解，可以得解.

【解答】解：(1)①由题意，,「A、5的周长相等，。=5,

.•.4〃=2(x+y)=20.

.*.x=10-y.

又・.・x>6,

：.lQ-y>6.

：.y<4.

又y>0,

A0<y<4.

②由题意，xy=a2-10=25-10=15,

又•・”+y=10,

.,./+>2=(x+y)2-2xy=100-30=70.

・・・C、。的面积之和为70.

(2)①由题意，阴影部分周长M=2〃+2(〃-y)+2y+2(%-〃)=2aUa-2y+2y+2x-2a=2a+2x,

故答案为：2a+2x.

②由①得，2x+2a<n,

.\x+a<6.

.,.x<6-a.

又不等式M<n恰有3个正整数解，

：.x<6-a恰有3个正整数解.

/.3<6-aW4.

；.2Wa<3.

故答案为：2Wa<3.

【点评】本题主要考查了整式的加减及一元一次不等式的应用，解题时要能熟练掌握并能灵活运用是关

键.

30.(2023春•固始县期末)下面是小李同学探索声方的近似数的过程：

;面积为107的正方形边长是而，且10<百而<11,

二设JI57=10+x,其中画出如图示意图，

:图中S正方形=102+2X10.X+/,S正方形=107

.•.102+2X10・X+/=107

当/较小时，省略无2,得20x+100-107,得到x-0.35,即日方七10.35.

（1）J元的整数部分是8；

（2）仿照上述方法，探究J两的近似值.（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）

10x

10

【分析】（1）估算无理数J花的大小即可；

（2）根据题目所提供的解法进行计算即可.

【解答】解：（1）VV64＜V76＜V81.即8＜伍＜9,

:•标的整数部分为8,

故答案为：8；

（2）:面积为76的正方形边长是折，且8＜5/花＜9,

.,.设^^=8+尤，其中0＜尤＜1,如图所示，

;图中s正方形—82+2X8,X+X2,S正方形=76,

：.82+2X8-X+X2=76,

当了较小时，省略尤2,得16x+64弋76,得至（Jx-0.75,即8.75.

【点评】本题考查估算无理数的大小，理解题目所提供的解题方法是正确解答的前提.

31.（2023春•鹤峰县期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小

数，因此近的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用血-1来表示近的小数部分，你同意小

明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为我的整数部分是1,将这个数减去其整数

部分，差就是小数部分.又例如：V22<（V7）2<32,即2<丁7<3,我的整数部分为2,小数部

分为（曲-2）.

请解答：

（1）标的整数部分是3,小数部分是J"五-3

⑵如果右的小数部分为。，/市的整数部分为b,求a+b-代的值.

【分析】（1）利用已知得出行的取值范围，进而得出答案；

（2）首先得出我，J3的取值范围，进而得出答案.

【解答】解：（1）vV9<Vio<Vi6.

•，-3<5/l0<4,

•••Wi的整数部分是3,小数部分是：V10-3；

故答案为：3,V10-3；

（2）VV4<V5<V9>

.,•通的小数部分为：。=弋后-2,

••,V36<V37<V49.

的整数部分为b=6,

：.a+b-辰=疾-2+6-遍=4.

【点评】此题主要考查了估计无理数，得出无理数的取值范围是解题关键.

32.（2023春•前郭县期中）己知a-4的立方根是1,3。-6-2的算术平方根是3,J石的整数部分是c,

求2〃-3/?+c的平方根.

【分析】首先根据立方根、算术平方根的概念可得〃-4与3〃-b-2的值，进而可得〃、b的值；接着估

计J女的大小，可得C的值；进而可得2a-3b+c,再根据平方根的求法可得答案.

【解答】解：；a-4的立方根是b3a-b-2的算术平方根是±4,

',a-4=1,3a-b-2=9,

解得：a=5,b=4；

又：3<W5<4,c是W5的整数部分，

•*.c=3；

贝I2a-3b+c=l；

故平方根为土L

【点评】此题主要考查了无理数的估算能力，掌握二次根式的基本运算技能，灵活应用.“夹逼法”是估

算的一般方法，也是常用方法.

33.(2023春•无为市期中)根据表格解答下列问题:

X1313.113.213.313.413.513.613.713.813.914

X2169171.61174.24176.89179.56182.25184.96187.69190.44193.21196

(1)190.44的平方根是±13.8

(2)V176.9^13.3,418769=137.

(3)若13.5<4<13.6,求满足条件的整数〃的值.

【分析】(1)从表格中的对应值，结合平方根的定义可得答案；

(2)将。18769转化为。187.69义10,再根据表格中的对应值得出4187.69的值即可;

(3)根据13.5<《<13.6,结合表格中对应值可得”的取值范围，再确定整数〃即可.

【解答】解：(1)由表格中的数据的对应值可知，

(±13.8)2=190.44,

190.44的平方根为±>190.44=±13.8,

故答案为；±13.8；

(2)V13.32=176.89^176.9,

•••V176.9^13.3,

V18769=V187.69x10=137,

故答案为：13.3,137；

(3)由表格中的对应值可知，

当13.5<曰<13.6时，182.25<〃<184.96,

二整数〃的值为183,184,

答：满足条件的整数n的值为183或184.

【点评】本题考查平方根、估算无理数的大小，理解平方根的定义是正确解答的关键.

34.(2023•章贡区校级模拟)已知5a-2的立方根是-3,2a+b-1的算术平方根是4,c是/百的整数部

分，求3a+b+c的平方根.

【分析】根据算术平方根，立方根的意义可得5〃-2=-27,2〃+8-1=16,从而求出〃，b的值，再估算

出，F的值，从而求出c的值，然后代入式子中进行计算，求出3a+6+c的值，即可解答.

【解答】解：由题意得：

5a-2=-27,2a+b-1=16,

.•.〃=-5,b=Zl,

V16<17<25,

/.4<V17<5,

•••JF的整数部分是4,

.*.c=4,

・・・3〃+b+c=3X(-5)+27+4=16,

；.3a+b+c的平方根是±4.

【点评】本题考查了估算无理数的大小，平方根，立方根，熟练掌握平方根，立方根的意义是解题的关

键.

35.(2023春•仙游县期中)观察：V>/4<V7<V9,即2<J7<3,...小的整数部分为2,小数部分为

V7-2,请你观察上述式子规律后解决下面问题.

⑴规定用符号㈤表示实数机的整数部分，例如：申=0,[川=3,填空：rV10+21=5；[5-VI3]

=1.

(2)如果5+J石的小数部分为a,5-的小数部分为6,求/-序的值.

【分析】(1)根据题目中所给规律即可得结果；

(2)把无理数的整数部分和小数部分分别表示出来，再代入计算即可.

【解答】解：⑴[/10+2]=5；[5-713]=1.

故答案为5、1.

(2)根据题意，得

V3<V13<4,

/.8<5+V13<9,

-8=V13-3.

VI<5-Vl3<2

：.b=5--1=4-

.,.a+b—1,a-b—2.yfl3~7.

.,.a2-tr—(a+Z?)(a-&)

=2713-7.

答：的值为2岳一7.

【点评】本题考查了估算无理数的大小，解决本题的关键是根据无理数的整数部分确定小数部分.

三.计算器一数的开方（共8小题）

36.（2021秋•郑县期中）利用计算器求40.059的值,正确的按键顺序为（）

【分析】根据用计算器算算术平方根的方法：先按键“再输入被开方数，按键“=”即可得到结果.

【解答】解：采用的科学计算器计算而■演，按键顺序正确的是。选项中的顺序.

故选：D.

【点评】本题考查的是利用计算器求算术平方根，正确使用计算器是解题的关键.

37.（2020•安丘市二模）用计算器求35值时，需相继按“3”，“胃”，“5"，“=”键，若小颖相继按“

“4”，，，"”“3"，“=”键，则输出结果是（）

A.6B.8C.16D.48

【分析】计算器按键转为算式（y）3,计算即可.

【解答】解：计算器按键转为算式（«）3=23=8,

故选：B.

【点评】本题考查了计算器的使用，熟记计算器按键功能是解题的关键.

38.（2022秋•商水县月考）甲同学利用计算器探索一个数x的平方，并将数据记录如表:

X16.216.316.416.516.616.716.816.917.0

X2262.44265.69268.96272.25275.56278.89282.24285.61289

根据表求得282.24的平方根是土表.8

【分析】根据平方根的定义求解即可.

【解答】解:有表格可知，16.82=282.24,

16.8是282.24的算术平方根，

•*.282.24的平方根是±16.8,

故答案为：±16.8.

【点评】本题考查了数的开方，做题的关键是掌握平方根的定义.

39.（2021秋•杏花岭区校级期中）求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如也，有些数则不能

直接求得，如泥，但可以通过计算器求得，还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得,

请同学们观察表：

n0.00160.16161600160000

Vn0.040.4440400

（1）表中所给的信息中，能发现规律：被开方数的小数点每向左或向右移动2位则它的算术平方根的小

数点就向向左或向右移动1位;

（2）运用你发现的规律，探究下列问题：

①若"3.65F.910,V36.5^6,042,则“265000^604.2；

②已知/心0.000365,贝Ux一±0.0190.

【分析】（1）从被开方数和算术平方根的小数点的移动位数考虑解答；

（2）根据（1）中的规律解答即可.

【解答】解：（1）由表格可以看出被开方数的小数点向左或向右移动2位，算术平方根的小数点就向左

或向右移动1位，

故答案为：向左或向右，1；

（2）①由（1）可知，被开方数的小数点向右移动4位，算术平方根的小数点就向右移动2位，

•.”36.5"6.042,

•••-365000=604.2；

②由（1）可知，被开方数的小数点向左移动4位，算术平方根的小数点就向左移动2位，

,•'V3.65«1.910,X220.000365,

又..•一个正数的平方根有两个，

二尤=±VO.000365=±0.0190.

故答案为：①604.2；②±0.0190.

【点评】本题考查了算术平方根，平方根以及规律型一数字的变化类，找出被开方数的小数点的移动规

律是解题的关键.

40.（2021秋•通川区校级期中）利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下：

…VO.0625VO.625“6.25V62.5V625V6250V62500…

…0.250.79062.57.9062579.06250…

根据以上规律，若Y1.69=1.30,716.9=4.11,则3据0=41.1.

【分析】先根据表格得到规律，再根据规律确定结果.

【解答】解：由表格可以发现：被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点

相应的向相同方向移动一位.

,-,16.9X100=1690,

.,•V1690=V16.9X10=4.11X10=41.1.

故答案为：41.1.

【点评】本题考查了算术平方根和被开方数间关系，根据表格得到规律是解决本题的关键.

41.（2023春•兴宁区校级期末）阅读下面材料，解答问题：

【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们开展“运用规律求一个正数的算术平方根”的实践活动.

【实践探究】同学们利用计算器计算出下表中的算术平方根，整理数据如下：

…VO.0625VO.625逝.25V62.57625V6250V62500…

…0.250.7912.57.912579.1250•••

（1）根据上述探究，可以得到被开方数和它的算术平方根之间小数点的变化规律是：若被开方数的小数

点向右或向左移动2位,则它的算术平方根的小数点就相应地向右或向左移动1位:

（2）已知爪=1.732,请运用上述规律直接写出各式的值：\/0.0R十0.1732,V300—17.32.

（3）你能根据正的值说出倔的值是多少吗？请说明理由.

【分析】（1）由上表可得，可以得到被开方数和它的算术平方根之间小数点的变化规律；

（2）利用以上所得规律求解即可；

（3）根据计算，可发现规律：被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍，根据规律，可得答案.

【解答】解：（1）由上表可得，可以得到被开方数和它的算术平方根之间小数点的变化规律是：若被开

方数的小数点向右或向左移动2位，则它的算术平方根的小数点就相应地向右或向左移动1位.

故答案为：2；1.

（2）利用以上所得规律可得：：«p1.732,

-'•VO.03^0.1732,7300^17.32.

故答案为:0.1732；17.32.

（3）:No.0625=0.25；y/o.625=0.791W6.25=2.5；{62.5-7.91；7625=25；V6250^79.057；

462500=25。，

•••规律是：被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍.

：«心1.732,

•'•VO.03^0.1732,7300^17.32.

根据发现的规律，不能根据的值确定倔的值.

【点评】本题考查了数的开方，发现规律：被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍是解题关键.

42.（2022•惠阳区校级开学）（1）用计算器计算：31-2=3

71111-22=33

7111111-222=333

♦11111111-2222=3333

（2）观察题（1）中各式的计算结果，你能发现什么规律？

（3）试运用发现的规律猜想：3111111111-22222=33333,并通过计算器验证你的猜想.

【分析】（1）用计算器分别计算出各题的答案；

（2）再根据得出的答案找出规律，根号内被开方数是2〃个数字1和"个数字2的差，结果为“个数字

3；

（3）利用（2）中规律得出答案，从而用计算器验证即可.

【解答】解：（1）-11-2=3,

♦1111-22=33,

7111111-222=333,

711111111-2222=3333；

故答案为：3,33,333,3333；

（2）根据以上可以得出：根号内被开方数是2〃个数字1和〃个数字2的差，结果为〃个数字3；

（3）试运用发现的规律可得：V11111111U-22222=33333.

故答案为：33333.

【点评】此题考查了数的开方，解题的关键是根据用计算器计算得出规律即根号内被开方数是2〃个数字

1和w个数字2的差，结果为〃个数字3.

43.（2022•惠阳区校级开学）用计算器求下列各式的近似值（精确到0.01）：

⑴与+轲E

⑵VTixV2

【分析】利用计算器计算后按要求取近似值可得.

【解答】解：(1)原式Q人X2.236+1.260-3.142

2

〜-0.76；

(2)原式-3.317X1.414X2.449

^11.49.

【点评】本题主要考查计算器-数的开方，解题的关键是掌握计算器的使用.

【过关检测】

一、单选题

1.（2022秋・江苏•八年级专题练习）己知。为整数，且满足而<。<如，则。等于（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】估算无理数血和近的大小，进而确定。的值即可.

【详解】解：回2<*<3,3<V12<4,。为整数，且满足而

回〃=3.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数大小的方法进行求解是解决本题的关

键.

2.（2022秋・河南平顶山•八年级统考期中）用计算器求我的按键顺序是（）.

A.V08=S0DB.x2870=S0D

C.4rJ^'=SEIDD.870x2=S0D

【答案】A

【分析】根据计算器的使用方法解答即可；

【详解】解：计算器求退，先按«,再按8,则A选项符合题意.

故选A.

【点睛】本题主要考查了计算器的应用，掌握计算器的基本操作是解答本题的关键.

3.（2023•全国•八年级假期作业）估计12的算术平方根介于（）

A.1和2之间B.2和3之间C.3和4之间D.4和5之间

【答案】C

【分析】首先根据四<疮<4语，即可得出12的算术平方根介于3和4之间.

【详解】EA/9<V12<V16,

03<A/12<4.

团估计12的算术平方根介于3和4之间.

故选C.

【点睛】本题主要考查了无理数大小的估算，得出g接近的有理数是解题的关键.

4.（2022秋•全国•八年级阶段练习）如果整数。满足近<°<而，则。的值是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】先计算（S）2=7,（而）2=n,然后看哪个平方数在7和11之间即可.

【详解】解：07<9<11,

0A/7<3<而，

团如果整数。满足则。的值是：3,

故选：C.

【点睛】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握平方数是解题的关键.

5.（2023春•广东韶关•八年级统考期中）张华是初三的一名男生，今年三月，他参加了招飞体检测评，他

的身高、体重和视力等各项指标均达到了合格标准，你认为他的身高和下面哪一个数值最接近？（）

A.&米B.百米C,石米D.（若-1）米

【答案】B

【分析】估算各无理数，然后根据题意分析判断即可.

【详解】解：回0=1.41,73®1.73,V5~2.24,君-1。1.23,

团若张华的身高指标均达到了合格标准，则他的身高与G米最接近.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了无理数的估算，熟练掌握相关知识是解题关键.

6.（2023春・河南安阳•八年级统考期中）一个正方形的面积是21,把此正方形的边长增加1