北师大版八年级数学常见题型专练：勾股定理全章复习与测试 （原卷版）

第1章勾股定理全章复习与测试

O【知识梳理】

一、勾股定理

1.勾股定理

如图，直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c,那么〃+62=。2.

即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.

注意：

①勾股定理的前提是直角三角形，对于非直角三角形的三边之间则不存在此种关系.

②利用勾股定理时，必须分清直角边，斜边.尤其在记忆/+加=02时，此关系只有当C是

斜边时才成立.若b是斜边，则关系式是/；若。是斜边，则关系式是62+02="2.

2.直角三角形斜边上的高

①已知两条直角边，通过勾股定理求出斜边.

②根据直角三角形的面积不变，即工出7求出人

要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.

（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求

解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.

（3）理解勾股定理的一些变式：a-=c2-b2,b~=c2-a2,c2=[a+b^-2ab.

二、勾股定理的证明

方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.

图⑴中"=l+4x）必,所以

2

方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.

d=e-a)'+4x“，所以

2

将两个直角三角形拼成直角梯形.

A

Bba

(3)

$3=（"6"）。鼻+¥，所以/+/一

三、勾股数

满足不定方程必+产=z2的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显

然，以X、Az为三边长的三角形一定是直角三角形.

熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：

3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41...

如果（。、从C）是勾股数，当才为正整数时，以必、bt、U为三角形的三边长，此三角

形必为直角三角形

四、如何判定一个三角形是否是直角三角形

首先确定最大边（如C）.

验证与/+〃是否具有相等关系.若C2=/+/,则4ABC是/C=90°的直角三角形；若

c2^a2+b2,则AABC不是直角三角形.

要点诠释：当片+82<°2时，此三角形为钝角三角形；当片+82>02时，此三角形为锐角

三角形，

其中C为三角形的最大边.

五.勾股定理的逆定理

1.勾股定理逆定理

如果三角形的三边长分别为a,b,c,且/+/=°2,那么这个三角形是直角三角形.

注意：

①不能说在直角三角形中，因为还没确定直角三角形，当然也不能说斜边和直角边.

②当满足。2+炉=。2时，C是斜边，/C是直角.

③利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形的思路是：先确定最长边，算出

最长边的平方及另两边的平方和，如果最长边的平方与另两边的平方和相等，则此三角形为

直角三角形.

•——1

W【考点剖析】

勾股定理（共8小题）

1.（2022秋•两江新区期末）如图，在△ABC中，NA=90°,DE1BC,AB=3,BC=5,

5D是/ABC的角平分线，则的周长是（）

2.（2022秋•巴中期末）如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有

的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、。的面积分别是3、5、2、3,则最大正

A.10B.13C.15D.26

3.（2022秋•辉县市校级期末）如图，△ABC中，ZACB=90°,分别以△ABC的边A3、

BC、AC向外作等腰RtZ\A8F,等腰RtZkBEC和等腰RtaAOC,记△ABF、ABEC,△

AOC的面积分别是Si,S2,S3,则51、52、S3之间的数量关系是（）

A.Si<S2+S?,B.Si=S2+S3C.—Si>S2+&D.—Si=S2+&

22

4.（2023春•渝北区校级期中）如图，在四边形ABCD中，NABC=150°,平分/ABC,

过A点作AE〃BC交于点E,所，BC于点尺若AB=7,则EP的长为

5.（2022秋•阳城县期末）如图,已知Rt^ABC的三边长分别为6、8、10,分别以它们的

三边作为直径向外作三个半圆，则图中阴影部分的面积为.

6.（2022秋•秦淮区期末）如图，在△ABC中，ZBAC=90°,A。平分NBAC,AB=4,AC

=3,则BD的长是.

­.勾股定理的证明（共6小题）

7.（2022秋•和平区期末）下面图形能够验证勾股定理的有（）

ab

C.2D.3

8.（2022秋•郸城县期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数

学著作《周髀算经》中.汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人

称之为“赵爽弦图”.现在勾股定理的证明已经有400多种方法，下面的两个图形就是验

证勾股定理的两种方法，在验证著名的勾股定理过程，这种根据图形直观推论或验证数

学规律和公式的方法,简称为“无字证明”.在验证过程中它体现的数学思想是（）

A.函数思想B.数形结合思想

C.分类思想D.方程思想

9.（2022秋•巴中期末）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人

称其为“赵爽弦图”.如图是由弦图变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成,

记图中正方形ABCD,正方形EFGH,正方形MNPQ的面积分别为Si,S3,若S1+&+&

=4,则&的值是.

AD

G

E

BC

10.（2022秋•宝山区期末）如图，直角三角形AC8,直角顶点C在直线/上，分别过点A、

8作直线/的垂线，垂足分别为点。和点£.

（1）求证：ZDAC=ZBCE；

（2）如果AC=BC.

①求证：CD=BE；

②若设△ADC的三边分别为a、b、c,试用此图证明勾股定理.

11.（2022秋•金牛区期末）如图是“赵爽弦图”，AABH,MBCG,ZkCQE和△D4E是四个

全等的直角三角形，四边形ABC。和四边形EFGH都是正方形，如果AB=15,AH=9,

则四边形GFEH的面积为

三.勾股定理的逆定理（共3小题）

12.（2022秋•丹徒区期末）若三角形的边长分别为5c7小12c7小13。九，则它的最长边上的

中线为cm.

四.勾股数（共2小题）

13.（2022秋•平昌县期末）在下列四组数中，不是勾股数的一组数是（）

A.3、4、5B.6、8、10C.5、12、13D.3、5、7

14.（2022秋•望花区校级期末）下列各组数中，是勾股数的一组是（）

A.1,2,2B.32,42,52C.5,12,13D.6,6,6

五.勾股定理的应用（共6小题）

15.（2022秋•成都期末）河滨公园有一块长方形的草坪如图所示，有少数的人为了避开拐

角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”，他们仅仅少走了一米，却踩伤了花草！青

青绿草地，悠悠关我心，请大家文明出行，足下留“青”！

16.（2022秋•婺城区期末）图1表示一双开门关闭时的状态图，图2表示打开双门过程中，

某一时刻的示意图，其中A3为门槛宽度.

（1）当NCAB=N=60°时，双门间隙CD与门槛宽度AB的比值

为________________

（2）若双门间隙C£）的距离为2寸，点C和点。距离都为1尺（1尺=10寸），则

门槛宽度48是

（图2）

17.（2022秋•内乡县期末）如图，甲乙两船同时从A港出发，甲船沿北偏东35°的方向,

航速是12海里/时，2小时后，两船同时到达了目的地.若C、8两岛的距离为30海里，

问乙船的航速是多少？

六.平面展开-最短路径问题（共3小题）

18.（2022秋•东明县校级期末）空心玻璃圆柱的底面圆的周长是24,高是5,内底面的点A

有一只飞虫，要吃到8点的食物，最短路径的长是（）

A.6B.7C.13D.10

19.（2022秋•郸都区期末）如图，圆柱形玻璃杯高为22071,底面周长为30c〃z,在杯内壁离

杯上沿3cm的点B处粘有一粒面包渣，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯底5cm与面包

渣相对的点A处,则蚂蚁从外壁A处到内壁3处的最短距离为c加杯壁厚度不计）.

【过关检测】

选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1.（3分）△A8C三边长分别为a,b,c,且a：b：c=3：4：5,则△ABC是（）

A.直角三角形B.等边三角形

C.等腰三角形D.等腰直角三角形

2.（3分）在RtaABC中，ZA=90°,BC=13cm,AC^5cm,则第三边AB的长为（）

A.18cmB.12cmC.8cmD.6cm

3.（3分）下列各组线段中，能构成直角三角形的一组是（）

A.7,12,13B.5,9,12C.3,4,6D.40,50,30

4.（3分）将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（）

A.1、2、3B.2、3、4C.3、4、5D.4、5、6

5.（3分）连接旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，若把绳子的下端拉开距旗杆底部端5米,

则绳子下端刚好接触地面，则旗杆的高度是（

A.3米B.4米C.12米D.13米

6.（3分）己知一个直角三角形的两边长分别为3和4,则第三边长的平方是（）

A.25B.7C.5和7D.25或7

7.（3分）下列条件能确定三角形ABC是直角三角形的是（）

A.ZA=ZB=ZCB.ZA=40°,ZB=50°

C.AB^ACD.AB=2,AC=3,BC=4

8.（3分）如图，一梯子AB斜靠在一竖直墙AC上，测得梯子的顶端到地面的距离为8加,

若梯子的顶端A沿墙下滑2m到点E,此时梯子的底端B滑到了D处，测得BD=2m,

则梯子A3的长度为（）

A.16mB.14/7/C.12mD.10m

9.（3分）将三个大小不同的正方形如图放置，顶点处两两相接，若正方形A的边长为4,

正方形C的边长为3,则正方形5的面积为（）

10.（3分）如图所示的一块地，已知ZWC=90。，AD=12m,CD=9m,AB=25m,

3c=20m,则这块地的面积为（）n?.

C.96m2D.90m2

二.填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）

1L（4分）禅城区某一中学现有一块空地465如图所示，现计划在空地上种草皮，经测量

ZB=90,AB=3m,BC=4m,CD=13m,AD=11m,若每种植1平方米草皮需要300元，总

共需投入元

12.（4分）已知一个三角形的三边长分别是12cm,16cm,20cm,则这个三角形的面积为

cm2.

13.（4分）如图，有一段楼梯AC长为15米，由于这段楼梯较陡，为了方便行人通行，现

准备新修一条楼梯AD已知人。=20米,C£）=7米,则楼梯的高度A3为米.

14.（4分）于ABC,有下列条件：®ZA+ZB=ZC；②AC：BC：AB=3：4：5；③

a'S+cXb-c）；④NAZB-.ZC=2：3：4.其中能确定一ABC是直角三角形的是.

15.（4分）如图，在正方形方格纸中，/a与N0的度数和为.

16.（4分）如图，标有“长”“街”“镇”三字的三个正方形围成一个直角三角形，正方形

“长”“街”的面积分别为81、400,则图中标有“镇”字的正方形面积是.

17.（4分）如图，将直角三角形ABC沿BC方向平移到直角三角形。斯的位置，DE交AC

于点。，已知A8=6,BE=4,OD=2,则四边形OCFD的面积为

AD

三.解答题（共3小题，满分18分，每小题6分）

18.（6分）如图，在△ABC中，AD1.BC,AD=12,BD=16,CD=5.求：△ABC的周长.

19.（6分）如图，在四边形/用力中，AB=20,AD=15,CD=1,BC=24,NA=90。,

求证：ZZT=90°.

20.（6分）在甲村至乙村的公路旁有一块山地需要开发，现有一C处需要爆破，已知点C

与公路上的停靠点A的距离为800米，与公路上另一停靠点B的距离为600米，且C4

±CB,如图，为了安全起见，爆破点C周围半径450米范围内不得进入，问在进行爆破

时，公路段是否有危险需要暂时封锁？请通过计算进行说明.

四.解答题（共3小题，满分24分，每小题8分）

21.（8分）如图，铁路上/、8两点相距25km,C、，为两村庄，于4于

B,已知/M=15km,CB=10km,现在要在铁路A3上