2025中考数学一轮复习：一元一次方程（5个考点清单+12种题型解读）（解析版）

专题01一元一次方程(考点清单，5个考点清单+12种题型解读)

【清单01】一元一次方程的概念

1.方程：含有未知数的等式叫作方程.

2.方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解。

3.一元一次方程定义：只含有一个未知数，未知数的次数都是一次，且两边都是整式的方程叫作一元一次方

程。

细节剖析：

判断是否为一元一次方程，应看是否满足：

①只含有一个未知数,未知数的次数为

②未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数.

4.一元一次方程的解：能使一元一次方程两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解，也叫作方程的根。

【清单02】等式的基本性质

等式的性质1等式的两边都加上(或都减去)同一个数或式，所得结果仍是等式。

字母表达式为：如果a=6,那么a±c=6±c.

等式的性质2等式的两边都乘或都除以同一个数或式(除数不能为零)，所得结果仍是等式。

字母表达式为：如果a=。，那么ac=bc,或g=2(c/0).

CC

细节剖析：

等式的传递性如果a=6、b=c,那么a=c。

【清单03】一元一次方程的解法

解一元一次方程的一般步骤：

(1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数.

(2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号,再去中括号,最后去大括号.

(3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边.

(4)合并：逆用乘法分配律,分别合并含有未知数的项及常数项,把方程化为ax=b(a力0)的形式.

b

(5)系数化为1：方程两边同除以耒知数的系数得到方程的解x=—(aRO).

a

(6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等,则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，

则不是方程的解.

【清单04】一元一次方程的应用

首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x,然后用含

尤的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、歹!）、解、答.

一元一次方程应用题解题一般步骤：

①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系

②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x）

③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系

④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程

⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值

⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称）

【清单05】用一元一次方程解决实际问题的常见类型

（1）探索规律型问题；

（2）数字问题；

（3）销售问题（利润=售价-进价，利润率=粤黑、100%）；

进价

（4）工程问题（①工作量=人均效率x人数x时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量

的和=工作总量）；

（5）行程问题（路程=速度x时间）；速度x时间=路程；相遇问题：S甲+SKS.B；追及问题：S快-S慢

=S相距；

（6）等值变换问题；

（7）和，差，倍，分问题；

（8）分配问题;

（9）比赛积分问题；

（10）水流航行问题（顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度）.

感型情单

【考点题型一方程的相关概念】

【例1】给出下列各式：®m=O；②2x>3；③V+x_2=0；④2+2=0；⑤尤1；⑥孙=4.其中是

方程的有（）

A.3个B.4个C.5个D.6个

【答案】C

【详解】本题考查了方程的定义，判断一个式子是方程必须同时具备两点，一是等式，二是含有未知数.

方程就是含有未知数的等式，据此定义逐个判断即可得出案.

【分析】解：根据方程的定义可得①③④⑤⑥是方程；

②2x>3是不等式，不是方程；

故有5个式子是方程.

故选：C.

Y1

【变式1-1】己知下列式子：一+8=3；12-x；x-y=3；尤+1=2x+l；3/=10；2+5=7；x-1^0；-=l.其中方

3x

程的个数为（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【分析】本题考查的是方程的定义，根据方程的定义对各选项进行逐一分析即可.

【详解】解：12-x不是等式，所以它不是方程；

2+5=7是等式，但其中不含未知数，所以它不是方程；

x-1工0不是等式，所以它不是方程；

彳+8=3,x-y=3,无+1=2无+1,3/=10,—=1都具备方程的两个条件，所以都是方程.

3x

故选：C.

【变式1-2］若x=2是方程。一法=4的解，贝|3。一6匕+1的值为.

【答案】13

【分析】本题考查一元一次方程的解，代数式求值，把尤=2代入方程，得a-2b=4,将3a-66+l变形为：

3（a-2b）+l,即可求解.

【详解】解：：尤=2是方程。一云=4的解，

a—2b=4,

3a—6b+1

=3（a-2Z?）+l

=3x4+1

=13.

故答案为：13.

【变式1-3］关于％的一元一次方程2如-1=3-%有解，则力的值为.

【答案】加工一:

【分析】本题考查了一元一次方程的解，利用了一元一次方程中一次项的系数不等于零.根据一元一次方

程有解，可得一次项的系数不等于零.

【详解】解：由2mLi=3-x,可得(2机+l)x=4,

「关于元的一元一次方程2mx-l=3-x有解，

/.2m+1w0,

解得：加工一;.

故答案为：根

【变式1-4]检验下列各小题括号内字母的值是否是相应方程的解

(l)2x=x+3,(x=3,x=2)；

4

⑵4y=8-2y,(y=4,y=~)

【答案】(1)见解析；

(2)见解析

【分析】本题考查了方程的解的定义，熟练掌握方程的解得定义是解题的关键.

(1)方程的解就是能够使方程两边左右相等的未知数的值，把括号内的数分别代入已知方程，进行一一验

证即可.

(2)方程的解就是能够使方程两边左右相等的未知数的值，把括号内的数分别代入已知方程，进行一一验

证即可.

【详解】(1)解：把x=3代入方程，左边=2x3=6,右边3+3=6,左边=右边，即x=3是该方程的解；

把x=2代入方程，左边=2x2=4,右边2+3=5,左边h右边，即*=2不是该方程的解；

(2)解：把＞=4代入方程，左边=4x4=16,右边8-2x4=。，左边片右边，即＞=4不是该方程的解；

把y4代入方程，左边=4xg4=?16,右边8-2x；4=?16,左边=右边，即y4是该方程的解.

【考点题型二等式的性质】

【例2】下列等式变形中，一定正确的是()

A.若孙=1,贝产=，B.若无2=2X,贝UX=2

y

C.若2a—6=4,则b=-2a+4D.若一gx=6,贝!]x=—2

【答案】A

【分析】本题考查了等式的性质，正确记忆等式的性质是解题关键.性质1：等式两边同时加（或减）同一

个数（或式子），结果仍相等；性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，

根据对应性质逐一判断，即可得到答案.

【详解】解：A、若孙=1,则了=工，故该选项是符合题意的；

y

B、若d=2x,则％=2或0,故该选项是不符合题意的；

C、若2a-b=4,则人=4一2々，故该选项是不符合题意的；

D、若-；x=6,则％=一18,故该选项是不符合题意的；

故选：A

【变式2-1］下列变形中，不正确的是（）

A.若a=b,贝=

Y1

B.由?=1,则％=二

44

C.若+l）a=（%2+1）匕，贝i］a=6

D.若a+2Z?-l=0,贝!］。=-26+1

【答案】B

【分析】本题考查了等式的基本性质.解决本题的关键是根据等式的两边同时加上或减去同一个数仍是等

式；等式的两边同时乘以或除以同一个不为0的数仍是等式.

【详解】解：A选项：已知a=b,根据等式的基本性质两边同时减去c可得：a-c^b-c,故A选项正确；

B选项：已知£=1,根据等式的基本性质两边同时乘以4可得：x=4,故B选项错误；

C选项：川+121,...把（/+山="+1）6的两边同时除以苏+1可得：a=b,故C选项正确；

D选项：已知Q+2Z?-1=0,移项可得：a=-2b+l,故D选项正确.

故选：B.

【变式2-2］已知4x+2y=3,用含x的式子表示＞=.

【答案】|-2x

【分析】此题主要考查等式的性质变形，根据等式的性质进行变形即可.

【详解】解：4x+2y=3

2y=3-4x

_30

y=,一2x，

3

故答案为：—~2x.

【变式2-3](1)若3x+l=2,则3x=2-1,应用的是等式的性质,变形的方法是等式两边；

(2)若-2彳=-6,则无=,应用的是等式的性质,变形的方法是等式两边；

(3)若2(尤-1)=4,则x-l=,应用的是等式的性质,变形的方法是等式两边.

【答案】1都减132都除以-222都除以2

【分析】题目考查了等式的基本性质，熟练掌握等式的性质1,2是解题的关键.

(1)中应用的是等式的性质1；(2)、(3)中应用的是等式的性质2.

【详解】(1)若3x+l=2,则3x=2-1,应用的是等式的性质1,变形的方法是等式两边同减1；

故答案为：1；都减1；

(2)若-2x=-6,则x=3,应用的是等式的性质2,变形的方法是等式两边同除以-2；

故答案为：3；2；都除以-2；

(3)若2(尤-1)=4,则x-l=2,应用的是等式的性质2,变形的方法是等式两边同除以2.

故答案为：2；2；都除以2.

【变式2-4]利用等式的基本性质解方程：

(1)-=-3x+—；

(2)56=3x+32—2x；

(3)3x+4=x；

(4)|m-7=l；

(5)3y—7—6y=-8；

(6)7.9x+1.58+2x=7.9x—8.42.

【答案】(1)尤=:

(2)x=24

(3)x=—2

(4)m=12

(5)y=g

(6)2x=—10

【分析】

本题考查利用等式的基本性质解方程，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键.利用等式的基本性质解各

个方程即可.

【详解】(1)解：-2x=-3无+g

—2,x+3x——3x+3xH—

3

5

%=一;

3

(2)解：56=3%+32—2x

56—56—3x+32—2x—56

x-24=0

%—24+24=0+24

犬=24；

(3)解：3x+4=x

3x—3x+4=x—3x

-2x=4

—2x+(—2)=4+(—2)

x=—2；

2

(4)解：-m-7=l

--7+7=l+7

3m

2

—m=8

3

233

—mx—=o8x—

322

m=12；

⑸解：3y-7-6y=-8

3y-7-6y+7=-8+7

-3y=—1

(-3)=-1-(-3)

1

y=一

3

(6)

解：7.9x+1.58+2%=7.9x—8.42

7.9%+1.58+2x—7.9x=7.9x—8.42—7.9x

1.58+2光=-8.42

1.58+2x-1.58=-8.42-1.58

2x=-lQ

2x+2=—10+2

x=-5.

【考点题型三一元一次方程的相关概念】

【例3】下列各式中，是一元一次方程的有（）

X

①£-4尤=-3,®3x-l=—；③x+2y=l；④孙-3=5；⑤5x-x=3.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，未知数的指数是1的方程叫做一

元一次方程.它的一般形式是5+b=0（。，＞是常数且。-0）.

【详解】解：①Y-4x=3的未知数的最高次数是2,所以它不是一元一次方程，故①错误；

②由3x-l=g得到［x-l=0,符合一元一次方程的定义，故②正确；

③尤+2y=l中含有两个未知数，所以它不是一元一次方程，故③错误；

④孙-3=5中含有2个未知数，且次数是2,所以它不是一元一次方程，故④错误；

⑤由5x—x=3得至U4x-3=0,符合一元一次方程的定义，故⑤正确；

综上所述，是一元一次方程的是②⑤，共有2个.

故选:B.

X_

【变式3-1］在以下的式子中：-+8=3；12-x；x-y=3；x+l=2x+l；3/=10；2+5=7；其中是一

元一次方程的个数为（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】A

【分析】本题考查了一元一次方程概念，只含有一个未知数，且未知数的指数是1,一次项系数不是0的整

式方程是一元一次方程.根据一元一次方程的定义逐一进行判断即可得.

【详解】解：《+8=3和x+l=2x+l符合一元一次方程的定义，共2个；

12-x不是等式，不符合一元一次方程的定义；

x-y=3含有两个未知数，不符合一元一次方程的定义；

3/=10未知数的次数是2次，不符合一元一次方程的定义；

2+5=7不含未知数，不符合一元一次方程的定义；

故选：A.

【变式3-2］若方程2/H一5=0是关于x的一元一次方程，则。=.

【答案】±3

【分析】本题考查了一元一次方程的概念：含有一个未知数，且未知数的次数是一次的方程；根据此概念

得：同-2=1,再求解即可.

【详解】解：由于方程2/H-5=0是关于x的一元一次方程，

所以同一2=1,

解得：a=±3；

故答案为：±3.

【变式3-3】如果方程优+1）第-5=0是关于尤的一元一次方程，那么上=—.

【答案】1

【分析】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1,一次项系数

不是0,这是这类题目考查的重点.只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一

元一次方程.它的一般形式是《x+b=0（a,6是常数且awO）.

【详解】解：方程信+1）丁-5=0是关于x的一元一次方程，得：

解得k=l,

故答案为：1.

三、解答题

【变式3-4］已知方程（痴-4方2-5/"-3-7=-6m是关于龙的一元一次方程.

⑴求相、，的值;

（2）若关于x的一元一次方程（痴-4）f-5x"3-7=-6机的解与关于x-的一元一次方程。+3x=1的解互为倒

数，求。的值.

4

【答案】⑴加=］〃=1

(2)a=-14

【分析】本题主要考查的是一元一次方程的定义，解一元一次方程，一元一次方程的解，倒数的定义.

⑴根据一元一次方程的定义，得至!J34=0,4〃-3=1求解即可；

4

(2)由(1)知加=§,几=1,即一5%-7=-8,求出X,取x的倒数代入a+3尤=1即可求解〃的值.

【详解】(1)解：方程(3m-4)%2-5/〃-3_7=—6根是关于元的一元一次方程，

/.3根-4=0,4〃一3=1,

4

解得:m=-,«=1；

(2)解：由(1)可知，原方程为-5x-7=-8,

解得x=g.

2

:方程(3%-4)x-5/"-3_7=-6机的解与关于x的一元一次方程«+3x=l的解互为倒数，

关于x的一元一次方程a+3x=l的解为x=5,

将x=5,代入方程中，得々+3x5=1,

解得a——14.

【考点题型四解一元一次方程】

【例4】解方程：

⑴3-2(%-3)=-3(2x-1)；

(2)3%—^^=2—二.

25

3

【答案］

(2»=4

22

【分析】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握方程的解法是解本题的关键.

(1)方程去括号，移项，合并，把x系数化为1,即可求出解；

(2)方程去分母，去括号，移项，合并，把尤系数化为1,即可求出解.

【详解】(1)3-2(x-3)=-3(2x-l)

解：去括号得：3—2x+6=—6x+3,

移项得：—2x+6x=3—6—3,

合并得：4x=-6,

3

解得：^=--;

(2)3X-2^1=2-—

25

解：去分母得：30x-5（2x-l）=20-2（x-2）,

去括号得：30x-10x+5=20-2x+4,

移项合并得：22x=19,

19

解得：x-五

【变式4-1】解方程:

（1）5x—2（x-1）=x—2；

2.x—1x—2

（2）+1=------------.

32

【答案】（l）x=-2

⑵x=-10

【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的方法是解题的关键.

（1）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可；

（2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可.

【详解】⑴解：5x-2（x-l）=x-2,

去括号，得5x-2x+2=x-2,

移项，得5x—2龙—x=—2-2,

合并同类项，得2x=T,

系数化为1,得x=—2；

5_1x_2

（2）解：——+1=——,

32

去分母，得2（2x-l）+6=3（x-2）,

去括号，得4x-2+6=3x-6,

移项，得4x-3x=-6+2—6,

合并同类项，得x=-10.

【变式4-2】解方程：

⑴5x+3=6—2x

⑵上上=1

23

【答案】⑴*3

(小2、)x=—16

【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤，是解题的关键.

(1)根据移项合并同类项，最后未知数的系数化为1的步骤解方程即可;

(2)根据去分母，去括号，移项合并同类项，最后未知数的系数化为1的步骤解方程即可.

【详解】(1)解：5x+3=6-2x

5x+2x=6—3

7x=3

3

解得:x=—

7

4-xx-51

(2)解:

23

3(4-x)-2(x-5)=6

12-3x-2x+10=6

-5x=-16

解得：尤兰

【变式4-3】解方程:

(I)3(尤-2)+]=x—(2x—1)；

3%+2x-2

⑵无一-----二1---------

32

3

【答案】(1)x=—；

2

⑵甘•

【分析】(1)先去括号，移项，再合并同类项，然后化系数为1即可求出;

(2)先去分母，去括号，移项，再合并同类项，然后化系数为1即可求出;

本题主要考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法是解题的关键.

【详解】(1)解：去括号，得3%-6+1=%-2%+1,

移项，得3%一%+2%=1+6—1,

合并同类项，得4x=6,

3

化系数为1,得x=

(2)去分母，得

6x-2(3x+2)=6-3(x-2)

去括号，得6%-6%-4=6-3%+6,

移项，得6x—6x+3]=6+6+4，

合并同类项，得3%=16,

化系数为1,得》=印

【变式4-4】解方程：

（l）8x—3（3x+2）=6；

（2）3（无-2）=2-5（%+2）；

【答案】⑴x=-12

【分析】（1）先去括号，再移项，并同类项，最后系数化1,据此即可作答.

（2）先去括号，再移项，并同类项，最后系数化1,据此即可作答.

本题考查了解一元一次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键.

【详解】（1）解：8x-3（3x+2）=6

去括号，8x-9x-6=6,

移项，8x—9x=6+6,

合并同类项，-x=12,

系数化1,x=-12；

（2）解:3（x-2）=2-5（x+2）,

去括号，3x-6=2—5x-10,

移项，3x+5x=2—10+6,

合并同类项，8x=-2,

系数化1，x=-；.

4

【考点题型五一元一次方程的拓展解法】

【例5】阅读材料题

定义：关于x的方程依-6=0与方程及-。=0（«,6均为不等于。的常数）称互为“反对方程”，例如：方

程2%-1=0与方程x-2=0互为“反对方程

(1)若关于x的方程3x-2=0与方程2x-c=0互为“反对方程"，贝Ic=；

⑵若关于x的方程4》-(-3根+1)=0与方程7x--2)=0互为“反对方程”，求加，〃的值；

(3)若关于x的方程2彳-％=0与其“反对方程”的解都是整数，求整数6的值.

【答案】(1)3；

(2)m=—2,n=6；

⑶±2.

【分析】此题考查的是一元一次方程的应用，能够正确理解“反对方程”的概念是解决此题关键.

(1)根据“反对方程”的定义直接可得答案；

(2)将“反对方程”组成方程组求解可得答案；

⑶根据“反对方程"2x-8=0与法-2=0伍工0)的解均为整数，可得(与擀都为整数，由此可得答案.

【详解】(1)解：由题意得c=3,

故答案为：3.

(2)解：4x-(-3m+1)=0与7兄一(〃-2)=0互为“反对方程”,

/.-3m+1=7,2=4,

解得m=—2,n=6；

(3)解：2九-6=0的“反对方程”为笈-2=0eW0),

b2

由2%—8=0得，x=-由法一2=0,得％=—,

2fb

2x—b=0与"一2=0的解均为整数，

.•.＜与］都为整数.

2b

"也为整数，

h2

.,.当匕=2时，-=1,7=1,都为整数；

2b

b2

当b=-2时，1=-1,7=-1,都为整数，

2b

・•2的值为±2.

【变式5-1］定义：关于x的方程依-6=0与方程法-。=0(a、6均为不等于0的常数)称互为“伴生方程”,

例如：方程2x-1=0与方程x-2=0互为“伴生方程”.

(1)若关于x的方程2x-3=0与方程3x-c=0互为“伴生方程"，则c=；

⑵若关于x的方程4x+3〃z+l=0与方程5x-"+2=0互为“伴生方程”，求机、〃的值;

(3)若关于尤的方程5x-b=。与其“伴生方程”的解都是整数，求整数b的值.

【答案】(1)2

(2)m=—2,n=6

(3)6的值为5或-5

【分析】本题考查解一元一次方程，掌握“伴生方程”的定义，是解题的关键.

(1)根据“伴生方程”的定义，即可得出。的值；

(2)根据“伴生方程”的定义,得到3加+1=-5,"一2=4,求解即可;

(3)求出两个方程的解，根据解都是整数，进行求解即可.

【详解】(1)解：•••关于x的方程2x-3=0与方程3x-c=0互为“伴生方程”，

c=2；

故答案为：2；

(2)由题意，得：3帆+1=-5,n—2=4,

m=—2,n=6；

(3)V5x-b=0,

._b

..x=—,

：5x-b=0的“伴生方程”是法-5=0,

解得：尤

b

•••hq5q均为整数,

5b

•.Z?=+5.

【变式5-2］若两个一元一次方程的解相差1,则称解较大的方程为另一个方程的“后移方程”例如：方程

兄―2=0是方程%—1=0的"后移方程”

⑴判断方程2x+1=0是否为方程2%+3=0的“后移方程”；

(2)若关于x的方程3(x-l)-m=—是关于龙的方程2(x-3)-1=3-(x+1)的“后移方程”,求优的值.

【答案】(1)方程2x+l=0是方程2x+3=0的后移方程

(2)m=5

【分析】本题考查了一元一次方程的解，弄清题中“后移方程”的定义是解题的关键.

(1)求出两个方程的解，利用“后移方程”的定义判定即可.

(2)分别表示出两个方程的解,根据“后移方程”的定义列出关于m的方程,求出方程的解即可得到m的值.

【详解】(1)解：方程2x+l=0的解是x=-；,

3

方程2x+3=0的解是尤=-/，

••,两个方程的解相差1,

•••方程2x+]=0是方程2x+3=0的后移方程；

(2)解:2(彳-3)—1=3—(尤+1),

2x—6—1—3—x—1

2x+x=3—1+6+1,

3x=9fx=3,

关于X的方程3(X-1)-m=T是关于X的方程2(x-3)-l=3-(%+l)的“后移方程”，

，3(%—1)一加=之一的解为尤=3+1=4,

祖+3+3

把尤=4代入=得：3(4-l)-w=^^,

:.m-5.

【变式5-3]我们规定x的一元一次方程5=b的解为无=6-°,则称该方程是“差解方程”，例如：3x=4.5

的解为％=4.5-3=1.5,则该方程3x=4.5就是“差解方程”，请根据上述规定解答下列问题：

(1)已知关于x的一元一次方程4x=m是“差解方程"，则m=.

(2)已知关于x的一元一次方程4x=nm+加和-2x=〃”?+〃都是"差解方程”，求代数式3(〃2"+心)-9(%"+")一

的值.

【答案】(l)g

⑵。

【分析】本题主要考查定义新运算，解方程的综合，理解“差解方程”的概念及计算方法，掌握解方程，整式

的混合运算是解题的关键.

(1)根据“差解方程”的概念及计算方法，解方程的方法的综合运用即可求解；

(2)根据“差解方程”的概念及计算方法，分别求出(〃"，+〃?),(〃掰+小的值，代入式子计算即可.

【详解】(1)解：:办=/?的解为％=，

.•.4%=加得,x=m—4,

m

丁4x=机中，％=一,

4

..m-4=一,

4

解得，m=y,

故答案为：—.

(2)解：:4x=加1+m是"差解方程”,

.mn+m

..x=mn+加—4=---------

4

.16

..mn+m=一,

3

同理,mn+〃=——,

/.3（mzz+m）—9（mzz+n）2

=16一9xg

=0.

【变式5-4］已知关于x的方程二+。=回工-工(x-6)

326

⑴当〃取何值时，方程的解是%=3；

(2)当。取何值时，方程无解;

⑶当〃取何值时，方程有无穷多个解.

【答案】(1)。=1或。=一!

（2）a=-l

(3)4=1

【分析】此题考查了含字母系数的一元一次方程、含绝对值符号的一元一次方程.

(1)将x=3代入可得关于。的方程，解出即可得出。的值；

(2)将原方程整理为标准的一元一次方程，根据一元一次方程加x=〃，根据m=0,“大0时，方程无解，

列式求解即可；

(3)将原方程整理为标准的一元一次方程，根据一元一次方程=根据m=0,"=0时，方程方程有

无穷多个解，列式求解即可.

【详解】(1)解：将x=3代入可得：1+。=胆+1

22

整理得2+2a=3同+1,

当〃20时，2+2a=3a+l,解得a=l.

当a<0时，2+2a=-3a+l,解得。=一（

故。=1或。=-1时，方程的解是x=3；

(2)解：二+。=画」(》一6)整理得匕叽=1-”,

3262

当匕@=0且1-。/0时，方程无解，

2

解得〃=-1,

故4=-1时，方程无解；

(3)解：］+。=?一*一6)整理得Jx=l一”,

当匕@=。且1_。=0时，方程有无穷多个解，

2

解得。=1,

故“=1时，方程有无穷多个解.

【考点题型六行程问题】

【例6】甲、乙两人骑自行车分别从A、8两地同时出发，相对而行，1.5小时后在距中点3千米处相遇.相

遇后，两人按原速度继续前进，又经过1小时甲到达B地.甲每小时行多少千米？

【答案】12千米

【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用-行程问题，审清题意找到等量关系是解决问题的关键.

设甲每小时行x千米，根据“甲行驶1.5小时的路程-3千米=甲继续行驶1小时的路程+3千米”列出方程并

解答.

【详解】解：设甲每小时行x千米，则：

］.5x-3=x+3.

解得x=12.

答：甲每小时行12千米.

【变式6-1］现有两列火车同时同向齐头行进，快车每秒行20米，慢车每秒行12米，15秒后快车超过慢车.如

果这两辆火车车尾对齐同时同向行进，则9秒后快车超过慢车.如果两列火车相向而行，它们从车头相遇

到车尾相离需要多少秒？

【答案】从车头相遇到车尾相离需要6秒.

【分析】本题考查一元一次方程的应用.设它们从车头相遇到车尾相离需要无秒，先求出快、慢车的车长,

再根据两车的路程之和=两车的车长之和列方程求解即可.

【详解】解：设它们从车头相遇到车尾相离需要尤秒，

由题意知，快车长为：(20-12)x15=120(米),

慢车长为：(20-12)*9=72(米)，

20x+12x=120+72,

解得x=6,

答：从车头相遇到车尾相离需要6秒.

【变式6-21某汽车油箱中有40L油，汽车匀速行驶，每小时汽车耗油4.5L,行驶时间为川、时.

⑴用含t的代数式表示汽车油箱中的剩余油量；

⑵当f=£时，求油箱中的剩余油量；

(3)当油箱中的剩余油量为17.5L时，汽车已行驶多长时间？

【答案】⑴(40-4$)L

(2)30L

(3)5小时

【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，列代数式，代数式求值：

(1)汽车油箱中的剩余油量等于汽车油箱中原有的油量减去行驶时间乘以每小时的油耗，据此列式计算即

可；

(2)把/=?代入⑴所求式子中求解即可；

(3)根据题意可得方程40-4.5/=17.5,解方程即可得到答案.

【详解】(1)解：由题意得，汽车油箱中的剩余油量为(40-4.5r)L；

(2)解：当/=3，40-4.5r=40-4.5x—=30,

33

时，求油箱中的剩余油量为30L；

(3)解：由题意得，40-4.5r=17.5,

解得r=5,

答：当油箱中的剩余油量为17.5L时，汽车已行驶5小时.

【变式6-3】某军舰在静水中的速度为70km/h,有一天它顺水航行去钓鱼岛执行巡航任务，途中有一救生

圈落入水中，发现时救生圈已距军舰35km,若水流速度为10km/h.

(1)求从救生圈落水到被发现用了多长时间？

(2)发现后，舰长马上派摩托艇取回救生圈，摩托艇在静水中的速度为140km/h,军舰仍以原速前进，摩托

艇拿到救生圈后马上返回军舰，求从救生圈落水到摩托艇返回军舰共用多少h?

【答案】(1)从救生圈落水到被发现用了0.5h；

(2)从救生圈落水到摩托艇返回军舰共用1.5h.

【分析】本题考查了一元一次方程的应用，水流航行问题(顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水

速度-水流速度).

(1)根据时间=路程+军舰静水中的速度，列出算式计算即可求解；

(2)设从救生圈落水到摩托艇返回军舰共用xh,根据时间的等量关系列出方程求解即可.

【详解】(1)解：35^70=0.5(h).

答:从救生圈落水到被发现用了Q5h：

(2)解：设从救生圈落水到摩托艇返回军舰共用尤h,依题意有

尤-0.5=—————+|—————x70+35U(140-70),

140-10+10U40-10+10)'7

解得x=1.5,

答：从救生圈落水到摩托艇返回军舰共用L5h.

【变式6-4】周末，小明和爸爸在3000m的环形绿道上骑车锻炼，他们在同一地点沿着同一方向同时出发，

骑行结束后两人有如图所示的对话.

(爸爸，你要10分钟］

［才能第二次追上我j

》西完一圈＞:

［时你才骑了半圈jt

小明爸爸

(1)请根据他们的对话内容，求出小明的骑行速度；

(2)爸爸第一次追上小明后，在第二次相遇前，再经过多少分钟，小明和爸爸在跑道上相距1000m?

【答案】(1)300m/min

小、I。.-20.

(2)—min或—min

【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，读懂题意找准等量关系列出一元一次方程是解题关键.

(1)设小明的骑行速度加1/min,则爸爸的骑行速度2加1/min,根据题意列一元一次方程，解方程即可;

(2)设在第二次相遇前，再经过ymin,小明和爸爸在跑道上相距1000m,分两种情况讨论，再根据题意列

一元一次方程，解方程即可.

【详解】(1)解：设小明的骑行速度为我n/min,则爸爸的骑行速度为2;nn/min

根据题意，得：10(2x-x)=3000

解得：x=300

答：小明的骑行速度为300m/min.

（2）解：设在第二次相遇前，再经过ymin,小明和爸爸在绿道上相距1000m

①爸爸又比小明多骑了1000m

根据题意，得：2x300y-300y=1000

解得：y=j；

②爸爸又比小明多骑了（3000-1000）m

根据题意，得：2x300y-300>=3000-1000

解得：J=y.

答：在第二次相遇前，再经过grain或gmin,小明和爸爸在跑道上相距1000m.

【考点题型七配套问题】

【例7】在手工制作课上，老师组织初一（2）班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒.初一（2）班共有学生

45人，其中男生的人数比女生人数的2倍少24人，并且每名学生每小时剪筒身60个或剪筒底150个.

（1）初一（2）班有男生、女生各多少人？

（2）要求一个筒身配两个筒底，为了使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套，应该分配多少名学生剪筒身，多

少名学生剪筒底？

【答案】⑴初一（2）班有男生22人、女生23人

（2）应该分配剪筒身的学生为25人，分配剪筒底的为20人

【分析】本题考查了一元一次方程的应用，

（1）设初一（2）班有女生x人，则利用男生的人数比女生人数的2倍少24人，得出等式方程求出即可；

（2）利用每名学生每小时剪筒身60个或剪筒底150个以及筒身配两个筒底，得出等式方程求出即可.

【详解】（1）解：设初一（2）班有女生x人，

依据题意得出：x+（2x-24）=45,

解得：x=23,则45-23=22,

答：初一（2）班有男生22人、女生23人；

（2）解：设分配剪筒身的学生为无人，

依据题意得出：60^x2=150（45-%）,

解得：x=25,贝"45—25=20.

答：应该分配剪筒身的学生为25人，分配剪筒底的为20人.

【变式7-1】某工厂需要生产一批太空漫步器（如图），每套设备由一个支架和两套脚踏板组装而成；工厂

现共有45名工人，每人每天平均生产60个支架或96套脚踏板，应如何分配工人才能使每天生产的支架和

脚踏板恰好配套？

【答案】安排20人生产支架，25人生产脚踏板正好配套，

【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用.设安排x人生产支架，则安排（45-x）人生产脚踏板，根据“每

人每天平均生产60个支架或96套脚踏板”，即可求解.

【详解】解：设安排x人生产支架，则安排（45-“人生产脚踏板，

由题意，得2x60x=96（45-x）,

解得x=20,

45-20=25（人）.

答：安排20人生产支架，25人生产脚踏板正好配套，

【变式7-2］机械厂加工车间有32名工人，平均每人每天加工小齿轮12个或大齿轮10个，1个大齿轮和2

个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？

【答案】安排12名工人加工大齿轮，安排20名工人加工小齿轮.

【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，设生产大齿轮的人数为方则生产小齿轮的人数为（32-x）,

再由1个大齿轮与2个小齿轮配成一套列出比例式，求出x的值即可.

【详解】解：设需安排x名工人加工大齿轮，安排（32-力名工人加工小齿轮，

依题意得：12x（32-^）=10xx2

解得x=12，

贝ij32-x=20.

答：安排12名工人加工大齿轮，安排20名工人加工小齿轮.

【变式7-3】在手工课上，老师组织七（2）班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒.七（2）班共有44人，其

中男生比女生少2人，并且每名学生每小时剪筒身50个或剪筒底120个.

(1)七(2)班有男生、女生各多少人？

(2)要求一个筒身配两个筒底，为了使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套，应该分配多少名学生剪筒身？

【答案】⑴女23人，男21人

(2)24人

【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到量与量的关系，正确列出一元一

次方程，再求解.

(1)设七年级(2)班有男生x人，根据“共有学生44人，男生人数比女生人数少2人”即可列方程求得结

果；

(2)设分配剪筒身的学生为y人，根据“一个筒身配两个筒底，每小时剪出的筒身与筒底刚好配套”即可列

方程求得结果.

【详解】(1)解：设七年级(2)班有男生x人，依题意得

x+(x+2)=44,

解得x=21,x+2—23

所以，七年级(2)班有男生21人，女生23人；

(2)解：设分配剪筒身的学生为y人，依题意得

50yx2=120(44-江

解得y=24,

所以，应该分配24名学生剪筒身.

【变式7-4】学校实验室需要向某工厂定制一批三条腿的桌子，已知该工厂有24名工人，每人每天可以生

产20块桌面或者300条桌腿，1块桌面需要配3条桌腿，为了使每天生产的桌面和桌腿刚好配套，则应该

安排多少人生产桌面，多少人生产桌腿？

【答案】需要安排20名工人生产桌面，安排4名工人生产桌腿.

【分析】本题考查一元一次方程的应用.设需要安排x名工人生产桌面，则安排(24-力名生产桌腿，再根

据1个桌面配3条桌腿列出方程即可.

【详解】解：设需要安排x名工人生产桌面，则安排(24-x)名生产桌腿，

由题意得3x20x=300(24-x),

解得x=20,

24-x=4,

答：需要安排20名工人生产桌面，安排4名工人生产桌腿.

【考点题型八工程问题】

【例8】整理一批图书，如果让男生单独整理，需要4小时完成；如果让女生单独整理，需要2小时完成.现

在先安排男女生一起整理1小时后，剩余整理任务由女生单独完成，还需多长时间？

【答案】女生单独完成还需要工作;小时

【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设女生单独完成还需要工作了小时.根据题意列出方程求解即可.

【详解】解：设女生单独完成还需要工作x小时.根据题意得，

xl+—X=1

2

答：女生单独完成还需要工作;小时.

【变式8-1】一项工程，由甲、乙两个工程队合作完成.已知甲工程队单独完成需要4天，乙工程队单独完

成需要6天.

(1)甲、乙合作需要_____天完成；

(2)若先由乙工程队单独做1天，再由甲、乙两队合作完成.问还需几天可以完成这项工程？

【答案】(1)号12

(2)2天

【分析】本题考查了一元一次方程的应用，涉及工作总量、工作时间、工作效率等知识内容，正确掌握相

关性质内容是解题的关键.

(1)设甲乙合作需要x天完成，因为甲工程队单独完成需要4天，乙工程队单独完成需要6天，则+=1,

解出即可作答.

(2)依题意，设还需要y天，因为乙工程队单独做1天，再由甲、乙两队合作完成，所以亨+==1,解

64

出即可作答.

【详解】(1)解：设甲乙合作需要X天完成，

依题意：&+g]x=l,

12

解得％=?，

12

所以需要了天;

(2)解：设还需要y天：

依题意，―1*2=1,

64

解得y=2,

故还需要2天.

【变式8-2】列一元一次方程解应用题

新蒲新区某校举办体育文化艺术节，七(2)班为了宣传班上开展的活动，由甲、乙两位同学制作宣传展板.已

知甲同学单独完成需要4天，乙同学单独完成需要6天.

(1)甲、乙合作需要天完成；

(2)若由乙同学先做1天，再由甲、乙两位同学合作完成.问还需几天可以完成展板的制作？

【答案】(1)2.4

(2)2

【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合

适的等量关系列出方程，再求解.

(1)设工作总量为1,根据工作时间=工作总量+工作效率和，列式即可求解.

(2)设乙先做1天，再两人一起做，还需尤天完成这项工作，根据等量关系：甲完成的工作量+乙完成的

工作量=工作总量，列出方程即可求解.

【详解】(1)1+(；+：)=1+\=2.4(天).

答：两个人一起做，需要2.4天可以完成.

故答案为2.4；

(2)设乙先做1天，再两人一起做，还需x天完成这项工作，

由题意可得：---1--=1,

64

解得：x=2.

答：还需2天可以完成这项工作.

【变式8-3】课外活动时李老师到教室布置作业，有一道题只写到“学校校办厂需制作一块广告牌，请来两

名工人，已知师傅单独完成需3天，徒弟单独完成需6天”，就因校长叫他听一个报告而离开教室.

(1)调皮的小刘说：“让我试一试.”于是，上去添了：两人合作需要几天完成？请解答小刘所添加的问题；

(2)小张说：“我也来试试”，他添了：现由徒弟先做1天，两人再合作，完成后共得报酬540元，如果按各

人完成的工作量计算报酬，那么该如何分配？

请解答小张所添加的问题；

(3)请你也提出一个可解答的问题：

【答案】(1)2天

(2)师傅分报酬300元，徒弟分报酬240元

(3)现由师傅先做1天，两人再合作几天可完成？