2025中考数学一轮复习：概率初步（9个考点清单+6种题型解读）解析版

专题05概率初步(考点清单，9个考点清单+6种题型解读)

【清单01】随机事件

【清单02】可能性的大小

【清单03】瞬的意义

【清单04】廨公式

考点清单，【清单05］几何概率

【清单06］洒J与树状为去

【清单07】^^^

【清单08】利野军估计廨

［清单09］

【考点题型一】用列举法计算概率

【考点题型二】抽象概率犍，解决实际问题

八【考点题型三】建立方程模型、求解廨问题

【考点题型HL利用概料蜥曲戈的处性

【考点题型五】廨与其他知识的综合应用

【考点题型六】廨中跨学科遗

考点侪单

必然事件:P=1

确定性事件,/

不可能事件:p=o

随机事件。<p<1

概率定义

一般地，如果在一次试验中，有“种可能发生的结果并且

概率公式它们发生的可能性都相等.事件A包含其中的，"种结果,

\那么事件4发生的概率P(4)=~_

列表法

画树状图法

几何概率

用解估率

【清单01】随机事件

(1)确定事件

事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事

件和不可能事件都是确定的.

(2)随机事件

在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件.

（3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，

①必然事件发生的概率为1,即尸（必然事件）=1；

②不可能事件发生的概率为0,即P（不可能事件）=0；

③如果A为不确定事件（随机事件），那么0<尸（A）<1.

【清单02】可能性的大小

随机事件发生的可能性（概率）的计算方法：

（1）理论计算又分为如下两种情况：

第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进行

的计算；第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，如：

配紫色，对游戏是否公平的计算.

（2）实验估算又分为如下两种情况：

第一种：利用实验的方法进行概率估算.要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估

计值，即大量实验频率稳定于理论概率.

第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算.如，利用计算器产生随机数来模拟实验.

【清单03】概率的意义

（1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率旦会稳定在某个常数p附近，那么这个常数"就

n

叫做事件A的概率，记为尸（A）=p.

（2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现.

（3）概率取值范围：OWpWl.

（4）必然发生的事件的概率尸（A）=1；不可能发生事件的概率尸（A）=0.

（4）事件发生的可能性越大，概率越接近与1,事件发生的可能性越小，概率越接近于0.

（5）通过设计简单的概率模型，在不确定的情境中做出合理的决策；概率与实际生活联系密切，通过理解

什么是游戏对双方公平，用概率的语言说明游戏的公平性，并能按要求设计游戏的概率模型，以及结合具体

实际问题，体会概率与统计之间的关系，可以解决一些实际问题.

【清单04】概率公式

一事件A可能出现的结果数

（1）随机事件A的概率尸（A）

所有可能出现的结果数

（2）P（必然事件）=1.

（3）P（不可能事件）=0.

【清单05］几何概率

所谓几何概型的概率问题，是指具有下列特征的一些随机现象的概率问题：设在空间上有一区域G,又区域

g包含在区域G内（如图），而区域G与g都是可以度量的（可求面积），现随机地向G内投掷一点假

设点M必落在G中，且点M落在区域G的任何部分区域g内的概率只与g的度量（长度、面积、体积等）

成正比，而与g的位置和形状无关.具有这种性质的随机试验（掷点），称为几何概型.关于几何概型的随

机事件“向区域G中任意投掷一个点点M落在G内的部分区域g”的概率尸定义为：g的度量与G的

度量之比，即P=g的测度G的测度

简单来说：求概率时，己知和未知与几何有关的就是几何概率.计算方法是长度比，面积比，体积比等.

【清单06】列表法与树状图法

（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，

再求出概率.

（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n,再从中选出符合事件A或8的结果数目m,

求出概率.

（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三

个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图.

（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝

丫个数就是总的可能的结果加

（5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举.

【清单07】游戏公平性

（1）判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平.

所求情况数

（2）概率=

总情况数

【清单08】利用频率估计概率

（1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频

率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率.

（2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确.

（3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通

过统计频率来估计概率.

【清单09】模拟试验

（1）在一些有关抽取实物实验中通常用摸取卡片代替了实际的物品或人抽取，这样的实验称为模拟试验.

（2）模拟试验是用卡片、小球编号等形式代替实物进行实验，或用计算机编号等进行实验，目的在于省时、

省力，但能达到同样的效果.

（3）模拟试验只能用更简便方法完成，验证实验目的，但不能改变实验目的，这部分内容根据《新课标》

要求，只要设计出一个模拟试验即可.

型精单

【考点题型一】列举法计算概率

【例1】（2023秋•历城区期末）学校运动会中，运动员小明与小刚，要从铅球、跳高两个项目中任意选择一

个项目参加比赛，则两人恰好都选择铅球项目的概率是（）

A.-B.-C.-D.-

2344

【分析】画树状图展示所有4种等可能的结果，找出两人恰好都选择铅球项目的结果数，然后根据概率公式

计算.

【解答】解：画树状图为：

开始

小明铅球跳高

小刚铅球跳高斛跳高

共有4种等可能的结果，其中两人恰好都选择铅球项目的结果数为1种，

所以两人恰好都选择铅球项目的概率=」.

4

故选：C.

【点评】本查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出“，再从中选出符合事件

A或3的结果数目m,然后利用概率公式求出事件A或3的概率.

【变式1-1］（2023秋•商河县期末）某校举行以《大国重器》为主题的演讲比赛，其中一个环节是即兴演讲，

该环节共有三个题目，由电脑随机给每位参赛选手派发一个题目，选手根据题目对应的内容进行90秒演讲，

小亮和小敏都参加了即兴演讲，则电脑给他们派发的是同一个题目的概率是（）

A.-B.-C.-D.-

3642

【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中电脑给小亮和小敏派发的是同一个题目的结果有3种，再

由概率公式求解即可.

【解答】解：把三个题目分别记为A、B.C,

画树状图如下:

开始

共有9种等可能的结果，其中电脑给小亮和小敏派发的是同一个题目的结果有3种，

电脑给他们派发的是同一个题目的概率是士3=」1，

93

故选：A.

【点评】此题考查的是用树状图法求概率.树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或

两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验.用到的知识点为：概率=所求情况数

与总情况数之比.

【变式1-2］（2023秋•登封市校级期末）在一个不透明的口袋里装有红、白两种颜色的球共4个，它们除颜

色外其余都相同.某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回袋中，

不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：

摸球的次数50010001500200025003000

摸到白球的0.7480.7510.7540.7470.7500.749

频率

（1）当摸球次数很大时，摸到白球的频率将会接近.（精确到0.01）

（2）试估算口袋中白球有一个.

（3）现有另一个不透明的口袋中装有一红一白两个球，它们除颜色外其余都相同.一学生从两个口袋中各

摸出一个球，请利用画树状图或列表的方法计算这两个球颜色相同的概率.

【分析】（1）根据统计数据，当〃很大时，摸到白球的频率接近0.75.

（2）根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为0.75,然后利用概率公式计算白球的个数.

（3）先利用画树状图法展示所有8种等可能的结果数，再找出两个球颜色相同所占结果数，然后根据概率

公式求解.

【解答】解：（1）当摸球次数很大时，摸到白球的频率将会接近0.75；

故答案为：0.75

（2）由（1）得摸到白球的概率率为0.75,

所以可估计口袋中白球有4x0.75=3（个）；

故答案为：3

（3）将第一个口袋中3个白球分别记为白「白2，白3,画树状图如下:

开始

共有8种等可能的结果，其中两个球颜色相同的情况有4种.

两个球颜色相同的概率为----

82

【点评】本题考查了如何利用频率估计概率，列表法或树状图法求概率，在解题时要注意频率和概率之间的

关系.

【变式1-31（2023秋•安州区期末）一个不透明的箱子里装有1个白色小球和若干个红色小球，每个小球除

颜色外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量

重复实验后，发现摸到白色小球的频率稳定于0.25左右.

（1）请你估计箱子里红色小球的个数；

（2）现从该箱子里摸出1个小球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出1个小球，求两次摸出的小球

颜色恰好不同的概率（用画树状图或列表的方法）.

【分析】（1）根据摸到白色小球的频率稳定于0.25左右，得到摸到白色小球的概率是0.25,设红色小球的

个数为x,根据概率公式进行计算即可；

（2）画出树状图，求出概率即可.

【解答】解：（1）摸到白色小球的频率稳定于0.25左右，

摸到白色小球的概率是0.25,

设红色小球的个数为无，由题意，得：—=0.25,

1+x

解得：x=3,

经检验x=3是原方程的解；

箱子里红色小球的个数为3；

（2）画出树状图，如下：

共有16种等可能的结果数，其中两次摸出的球恰好颜色不同的结果数为6,

・•.两次摸出的小球颜色恰好不同的概率为9=3.

168

开始

【点评】本题考查利用频率估计概率，利用概率求小球的数量，以及画树状图求概率.熟练掌握概率是频率

的稳定值，求出小球的数量，是解题的关键.

【变式1-4］（2023秋•莱西市期末）在一个不透明的口袋里装有红、白两种颜色的球共4个，它们除颜色外

其余都相同.某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回袋中，不断

重复，如表是活动进行中的一组统计数据：

摸球的次数1050150750150030005000

摸到白球的频0.50.80.820.7470.7490.7500.750

率

（1）试估算口袋中白球有个.

（2）现有另一个不透明的口袋中装有一红一白两个球，它们除颜色外其余都相同.一学生从两个口袋中各

摸出一个球，请利用画树状图或列表的方法计算这两个球颜色相同的概率.

【分析】（1）根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为0.75,然后利用概率公式计算白球的个数.

（2）先利用画树状图法展示所有8种等可能的结果数，再找出两个球颜色相同所占结果数，然后根据概率

公式求解.

【解答】解：（1）当摸球次数很大时，摸到白球的频率将会接近0.75,所以摸到白球的概率为0.75,

所以可估计口袋中白球有4x0.75=3（个）；

故答案为：3；

（2）将第一个口袋中3个白球分别记为白।,白2，白3，画树状图如下:

开始

共有8种等可能的结果，其中两个球颜色相同的情况有4种.

两个球颜色相同的概率为

82

【点评】本题考查了利用频率估计概率，列表法或树状图法求概率，在解题时要注意频率和概率之间的关

系.

【变式1-5］（2023秋•顺德区期末）一个盒子中有红球、白球共3个，这些球除颜色外都相同.

（1）随机摸出一个球，记下颜色后再放回盒子中，不断重复这一过程.在120次摸球中有80次摸到白球，

估计盒子中白球的数量；

（2）在（1）的结论下同时摸出两个球，求摸到的球颜色相同的概率.

【分析】（1）设盒子中大约有白球x个，根据“白球数量+黑白球总数=白球所占比例”来列等量关系式,

其中“黑白球总数=黑球个数+白球个数”，”白球所占比例=随机摸到的白球次数+总共摸球的次数”；

（2）列表或树状图后利用概率公式求解即可.

【解答】解：（1）根据题意得：3x—=2,

120

故白球有2个；

（2）根据题意列树状图得：

「共6种等可能的结果，颜色相同的有2种，

.•・颜色相同的概率为47=▲1.

63

【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率和利用频率估计概率的知识.注意列表法或画树状图法

可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

【考点题型二】抽象概率模型解决实际问题

【例2】（2023秋•南山区期末）近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一

部分.小刚将二维码打印在面积为20的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随

机掷点，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.6左右，则据此估计此二维码中黑色阴影

的面积为（）

A.8B.12C.0.4D.0.6

【分析】用总面积乘以落入黑色部分的频率稳定值即可.

【解答】解：经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，

据此可以估计黑色部分的面积为20x0.6=12.

故选：B.

【点评】本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是掌握概率公式.

【变式2-1］（2023秋•沙河口区期末）在学习了“用频率估计概率”这一节内容后，某课外兴趣小组利用计

算器进行模拟试验来探究“6个人中有2个人同月过生日的概率”，他们将试验中获得的数据记录如下：

试验次数100300500100016002000

“有2个人同月过生日”的次8022939277912511562

数

“有2个人同月过生日”的频0.80.7630.7840.7790.7820.781

率

通过试验，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率（精确到0.01）大约是（）

A.0.8B.0.784C.0.78D.0.76

【分析】在同样条件下，大量反复试验时，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的频率都在0.78左

右，从而得出该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率.

【解答】解：通过图表给出的数据得出，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率大约是0.78.

故选：C.

【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且

摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就

是这个事件的概率.

【变式2-2］（2023秋•新昌县期末）工厂质检员对甲员工近期生产的产品进行抽检，统计合格的件数，得到

如下表格：

抽取件数501002003005001000

(件)

合格频数4994192285m950

合格频率0.980.940.960.950.95n

(1)表格中m的值为,n的值为

(2)估计任抽一件该产品是不合格品的概率.

(3)该工厂规定，若每被抽检出一件不合格产品，需在相应员工奖金中扣除给工厂2元的材料损失费，今

天甲员工被抽检了460件产品，估计要在他奖金中扣除多少材料损失费？

【分析】(1)根据频率=频数+总数求解即可；

(2)用1减去合格品频率的稳定值即可；

(3)总数量乘以不合格品的概率，再乘以每件的损失费即可.

【解答】解：(1)加=5OOx0.95=475,"=950:1000=0.95,

故答案为:475、0.95；

(2)1-0.95=0.05.

答：任抽一件该产品是不合格品的概率为0.05；

(3)460x0.05x2=46(元).

答：估计要在他奖金中扣除46元.

【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并

且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值

就是这个事件的概率.

【变式2-3](2023秋•湖州期末)某玩具公司承接了第19庙杭州亚运会吉祥物公仔的生产任务，现对一批

公仔进行抽检，其结果统计如下，请根据表中数据，回答问题：

抽取的公仔数10100100020003000

n

优等品的频数99696219202880

m

优等品的频率0.90.96a0.96b

(1)a=；b=

(2)估计从这批公仔中任意抽取1只公仔是优等品的概率是—.(精确到0.01)

（3）若该公司这一批次生产了10000只公仔，估计这批公仔中优等品大约有多少只？

【分析】（1）用频数除以总数即可；

（2）由表中数据可判断频率在0.96左右摆动，利用频率估计概率可判断任意抽取1只公仔是优等品的概率

为0.96.

（3）用总数量乘以优等品的概率即可.

【解答】解：⑴4=962+1000=0.962,

6=2880+3000=0.96,

故答案为：0.962,0.96；

（2）从这批公仔中，任意抽取1只公仔是优等品的概率的估计值是0.96.

（3）这批公仔中优等品大约有10000x0.96=9600（只），

答：估计这批公仔中优等品大约有9600只.

【点评】本题考查了频数与频率，利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左

右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固

定的近似值就是这个事件的概率.用频率估计概率得到的是近似值，随试验次数的增多，值越来越精确.

【变式2-4].（2023秋•丰满区期末）某校生物兴趣小组在相同的试验条件下，对某植物种子发芽率进行试

验研究时，收集的以下试验结果：

试验的种子数5）50010001500200030004000

发芽的种子粒数（加）4719461425189828533812

发芽频率（二）0.9420.946X0.949y0.953

m

（1）求表中x,y的值；

（2）任取一粒这种植物的种子，请你估计它能发芽的概率（精确到0.01）;

（3）若该学校劳动基地需要这种植物幼苗7600株，试估算该小组需要准备多少粒种子进行发芽培育.

【分析】（1）用发芽种子数除以试验的种子数即可得出x、y的值;

（2）根据频率估计概率求解即可;

（3）用需要这种植物幼苗数量除以种子能发芽的概率可得答案.

【解答】解：（1）x=1425+1500=0.95,y=2853+3000=0.951,

故答案为：0.95,0.951；

（2）任取一粒这种植物的种子，估计它能发芽的概率是0.95,

故答案为:0.95；

（3）7600:0.95=8000，

答：估算至少需要准备8000粒种子进行发芽培育.

【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并

且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值

就是这个事件的概率.

【考点题型三】建立方程模型求解概率问题

【例3】（2023秋•长安区期末）在一个不透明的口袋中有20个球，这些球除颜色外均相同，其中白球x个，

绿球2x个，其余为黑球.搅匀后，甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球则甲获胜，甲摸出的球放回袋中搅

匀，乙从袋中任意摸出一个球，若为黑球则乙获胜，若游戏对甲、乙双方都公平，则无的值应为一.

【分析】若游戏对甲、乙双方都公平，则口袋中绿球和黑球的个数相等，则黑球的个数为2x个，列式求出

尤即可.

【解答】解：「游戏对甲、乙双方都公平，

口袋中绿球和黑球的个数相等，

二.黑球的个数为2x个，

,'.x+2x+2x—20,

解得x=4.

故答案为：4.

【点评】题考查的是游戏公平性的判断.判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则

就不公平.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

【变式3-1］（2022秋•沈河区期末）一个不透明的袋中装有若干个红球，为了估计袋中红球的个数，在袋中

放入3个除了颜色外其余均相同的白球，随机的从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋中并摇匀，

通过大量重复这样的试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.15附近，则红球的个数为（）

A.11B.14C.17D.20

【分析】根据口袋中有3个白球，利用小球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等求出即可.

【解答】解：设红球的个数为x个，根据题意得：

3=0.15,

3^

解得：尤=17,

经检验x=17是原方程的解，

则红球的个数为17个.

故选：C.

【点评】此题主要考查了用样本估计总体，根据已知得出小球在总数中所占比例得出与实验比例应该相

等是解决问题的关键.

【变式3-2］（2022秋•邯郸期末）在一个不透明的袋子里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共4个,

某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复上述过

程，下表是试验进行中的统计数据.

摸球的次数n101002005001000

摸到黑球的次32651126251

数m

摸到黑球的频0.30.260.2550.2520.251

率四

n

（1）当〃很大时，摸到黑球的频率将会趋近—（精确到0.01）,该袋子中的黑球有一个；

（2）该学习小组成员从该袋中随机摸出2个球，请你用列表或画树状图的方法求出随机摸出的2个球的

颜色不同的概率.

【分析】（1）根据频率的概念及表中频率稳定的数值求解即可，根据概率公式可求得黑球的个数；

（2）根据画树状图，得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可.

【解答】解：（1）当w很大时，摸到黑球的频率将会趋近0.25,

估计摸到黑球的概率为0.25,设黑球有。个，则曳=o25，

4'

解得：a=l,

故答案为：0.25,1；

（2）树状图如图；

白白黑白白黑白白黑白白白

摸的第2个球231312123

共有12种等可能的情况，其中摸出的2个球的颜色不同的情况有6种，

•••随机摸出的2个球的颜色不同的概率为且

122

【点评】本题考查了用频率估计概率、用树状图求概率，会用树状图列出所有可能的结果是解题关键.

【变式3-3］（2023秋•崇义县期末）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共30只，这些球除颜

色外其余完全相同.搅匀后，小明做摸球试验，他从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，

不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据.

摸球的次10020030050080010003000

数〃

摸到白球521381783024815991803

的次数加

摸到白球0.520.690.5930.6040.600.5990.601

的频率

（1）若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为—（精确到0.1）;

（2）盒子里白色的球有一只；

（3）若将机个完全一样的白球放入这个盒子里并摇匀，随机摸出1个球是白球的概率是0.8,求机的值.

【分析】（1）由表中〃的最大值所对应的频率即为所求；

（2）用总数乘以其频率即可求得频数；

（3）利用概率公式求解即可.

【解答】解：（1）由表可知，若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为0.6,

故答案为：0.6；

（2）.•摸到白球的概率为0.6,共有30只球，

.•.则白球的个数为30*0.6=18（只），

故答案为：18；

（3）根据题意得：竺土竺=0.8,

30+m

解得：m=30.

答：机的值为30.

【点评】此题考查利用频率估计概率.大量反复试验下频率稳定值即概率.用到的知识点为：部分的具体数

目=总体数目x相应频率.

【变式3-4］（2023秋•上饶期末）某批乒乓球的质量检验结果如下表所示；

Cl）这批乒乓球“优等品”的概率的估计值是多少？

（2）从这批乒乓球中选择5个黄球、13个黑球、22个红球，它们除颜色外都相同，将它们放入一个不透明

的袋中.

①求从袋中摸出一个球是黄球的概率；

②现从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀后使从袋中摸出一个是黄球的概率不小于

问至少取出了多少个黑球？

3

抽取的乒乓球数”200500100015002000

优等品频数7"18847194614261898

优等品频率〃优0.9400.9420.9460.9510.949

【分析】（1）利用频率估计概率求解即可；

（2）①利用概率公式求解即可；②设从袋中取出x个黑球，根据摸出一个是黄球的概率不小于工列方程求

3

解即可.

【解答】解：（1）这批乒乓球“优等品”的概率的估计值是0.95；

（2）①从袋中摸出一个球是黄球的概率为一--=-；

5+13+228

②设从袋中取出x个黑球，

根据题意得：出.」，

403

解得X..8—,

3

答：至少取出了9个黑球.

【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并

且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值

就是这个事件的概率.

【考点题型四】利用概率判断游戏的公平性

【例4】（2023秋•雨花区期末）甲、乙两位同学玩转盘游戏，游戏规则：将圆盘平均分成三份，分别涂上红，

黄，绿三种颜色，两位同学分别转动转盘两次（若压线，重新转）.若两次指针指到的颜色相同，则甲获

胜；若两次指针指到的颜色是黄绿组合则乙获胜；其余情况则视为平局.

（1）请用画树状图的方法，列出所有可能出现的结果；

（2）试用概率说明游戏是否公平.

【分析】（1）画出树状图，进一步一一列举得出所有情况即可;

（2）计算甲、乙获胜的概率，进一步比较得出答案即可.

【解答】解：（1）如图所示:

（红，红），（红，黄），（红，绿），（黄，红），（黄，黄）,

（黄，绿），（绿，红），（绿，黄），（绿，绿）共9种情况;

31

（2）P（甲获胜）

93

9

P（乙获胜）=-,

9

P（甲获胜）＞P（乙获胜）,

所以游戏不公平.

【点评】本题考查的是游戏公平性的判断.判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公

平，否则就不公平.利用概率=所求情况数与总情况数之比解决问题.

【变式4-1］（2023秋•惠城区校级期末）如图，三个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个

扇形，并涂上图中所示的颜色.小强和小亮用转盘A和转盘3做一个转盘游戏：同时转动两个转盘，若其中

一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，则小强获胜；若两个转盘转出的颜色相同，则小亮获胜；在

其他情况下，小强和小亮不分胜负.

（1）用画树状图或列表的方法表示此游戏所有可能出现的结果;

（2）小强认为此游戏不公平，请你帮他说明理由；

（3）请你在转盘C的空白处，涂上适当颜色，使得用转盘C替换转盘8后，游戏对小强和小亮是公平的（在

空白处填写表示颜色的文字即可，不要求说明理由，只需给出一种结果即可）.

【分析】（1）首先根据题意画出树状图，即可得出答案；

（2）由（1）中的树状图知，共有15种等可能出现的结果，其中可配成紫色的结果有3种，两个转盘转出

的颜色相同的结果有4种，然后利用概率公式求解即可求得小强获胜与小亮获胜的概率，比较大小即可；

（3）使得小强获胜与小亮获胜的概率相等即可.

【解答】解：（1）画树状图得：

开始

转席A红黄蓝

力?一

转盘B红黄蓝白蓝红黄蓝白蓝红黄蓝白蓝

则共有15种等可能出现的结果；

（2）小强认为此游戏不公平，理由如下：

由（1）得：共有15种等可能出现的结果，其中可配成紫色的结果有3种，两个转盘转出的颜色相同的结果

有4种，

二小强获胜的概率为3=上，小亮获胜的概率为二，

15515

.•.此游戏不公平；

（3）如图，（答案不唯一）.

【点评】本题考查了游戏公平性、树状图法求概率，判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率

相等就公平，否则就不公平.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

【变式4-2］（2023秋•越城区期末）在学习概率的课堂上，老师提出问题：只有一张电影票，小丽和小芳想

通过抽取扑克牌的游戏来决定谁去看电影，请你设计一个对小丽和小芳都公平的方案.甲同学的方案：将红

桃2、3、4、5四张牌背面向上，小丽先抽一张，小芳从剩下的三张牌中抽一张，若两张牌上的数字之和是

奇数，则小丽看电影，否则小芳看电影.

(1)甲同学的方案公平吗？请用列表或画树状图的方法说明；

(2)乙同学将甲的方案修改为只用红桃2、3、5、7四张牌，抽取方式及规则不变，乙的方案公平吗？并说

明理由.

【分析】(1)依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件

的概率，比较即可.

(2)依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率,

比较即可.

【解答】解：(1)甲同学的方案不公平.理由如下：

列表法，

小丽2345

小芳

2(2,3)(2,4)(2,5)

3(3,2)(3,4)(3,5)

4(4,2)(4,3)(4,5)

5(5,2)(5,3)(5,4)

所有可能出现的结果共有12种，其中抽出的牌面上的数字之和为奇数的有8种，故小丽获胜的概率为:

-=则小芳获胜的概率为：

1233

故此游戏两人获胜的概率不相同，即他们的游戏规则不公平；

(2)公平.理由如下:

列表如下：

小丽2357

小芳

2(2,3)(2,5)(2,7)

3(3,2)(3,5)(3,7)

5(5,2)(5,3)(5,7)

7(7,2)(7,3)(7,5)

所有可能出现的结果共有12种，其中抽出的牌面上的数字之和为奇数的有：6种，故小丽获胜的概率为:

则小芳获胜的概率为工，

1222

故此游戏两人获胜的概率相同，即他们的游戏规则公平.

【点评】此题主要考查了游戏公平性，列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表

法适合于两步完成的事件，树状图法适合于两步或两步以上的完成的事件.用到的知识点为：概率=所求情

况数与总情况数之比.

【变式4-3］（2023秋•万年县期末）万年县举行校园安全知识竞赛，要求每个学校只派一名学生参赛.某学

校举行了校内选拔赛，其中袁梦和孟想两位同学获得最高分（分数相同），袁梦和孟想想通过游戏来决定谁

参加县里比赛.游戏规则：在一个不透明的口袋中装有4个完全相同的小球，分别标有数字1、2、3、4,

另有一个可以自由旋转的圆盘，被分成面积相等的三个扇形区域，分别标有数字5、6、7（如图）：一人从

口袋中摸出一个球，另一个人转动圆盘，如果所摸球上的数字与圆盘上转出数字之和小于8,那么袁梦去;

否则孟想去.

（1）用树状图或列表法求出袁梦参加比赛的概率.

（2）你认为该游戏公平吗？若不公平，请修改游戏规则，使游戏公平.

【分析】（1）根据题意画出树状图即可计算出概率；

（2）根据概率比较概率是否相等，即可判断游戏是否公平.

【解答】解：（1）画树状图如下：

开始

一一--------------

567

八/V八

123412341234

共有12种等可能的结果，满足条件的有3种情况，

124

（2）不公平，

P（和小于8）=；,

P（和大于或等于8）=士，

故游戏不公平;

可改为：若指针所指数字之和为偶数，则袁梦获胜；若指针所指数字之和为奇数，则孟想获胜;

P(和为偶数)=p(和为奇数)

2

【点评】本题主要考查了游戏公平性的判断，树状图或列表法求概率；熟练掌握概率公式是解题的关键.

【变式4-4](2023秋•翠屏区期末)将正面分别写着数字0、1、2的三张卡片(注：这三张卡片的形状、大

小、质地、颜色等其它方面完全相同，若背面朝上放在桌面上，这三张卡片看上去无任何差别)洗匀后，背

面朝上放在桌面上，甲从中随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为，〃，然后放回洗匀，背面朝上放在桌面

上，再由乙从中随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为〃，组成一数对(利,〃).

(1)请用树状图或列表的方法求出所有可能出现的结果；

(2)甲、乙两人玩游戏，规则如下：按上述要求，两人各抽一次卡片，卡片上数字之和为奇数则甲赢，数

字之和为偶数则乙赢.你认为这个游戏公平吗？请说明理由.

【分析】(1)利用枚举法解决问题即可.

(2)求出数字之和为奇数的概率，数字之和为偶数的概率即可判断.

【解答】解：(1)列表如下：

012

0(0,0)(0,1)(0,2)

1(1,0)(1,1)(1,2)

2(2,0)(2,1)(2,2)

所有可能出现的结果为：(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2)共9种.

(2)数字之和为奇数的概率=±,数字之和为偶数的概率=»,

99

45

——W—

99

这个游戏不公平.

【点评】本题考查游戏公平性，概率等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

【变式4-5](2023秋•大同期末)如图所示的甲、乙两张图片形状完全相同，把这两张图片全部从中间剪断，

再把4张形状相同的小图片混合在一起搅匀.小康和小英做游戏，小康先从这4张图片中随机地摸取一张

(不放回)，小英接着再随机地摸取一张.

(1)小康抽到甲图片上半部分图片的概率是一；

(2)请用列表法或画树状图法列出所有可能出现的情况；

(3)游戏规定：所抽取的两张图片中，能拼成一张完整的图片，那么小康获胜；否则小英获胜，你认为这

个游戏公平吗？并说明理由.

【分析】(1)利用概率的计算公式计算即可;

(2)设四张小图片分别用A,a,B,6表示，画树状图得出所有等可能的情况数即可；

(3)分别求出小康和小英获胜的概率，比较即可得到结论.

【解答】解：(1)小康抽取一张共有4种结果，是等可能性的，抽到甲图片上半部分图片有1种结果，

，小康抽到甲图片上半部分图片的概率是工；

4

(2)设四张小图片分别用A,a,B,。表示，画树状图得：

江始

第一次

第二次ciBbABbAabAaB

(3)「共有12种等可能的结果，其中摸取的两张小图片恰好合成一张完整图片的有4种，

一.小康获胜的概率为巴=L

123

摸取的两张小图片不能合成一张完整图片的有8种，

.••小英获胜的概率为号=2；

123

12

_w一,

33

，游戏不公平.

【点评】此题考查了列表法与树状图法，解答本题的关键是掌握概率的求法：概率=所求情况数与总情况数

之比.

【考点题型五】概率与其他知识的综合应用

【例5】(2023秋•江夏区校级期末)如图，阴影部分是分别以正方形ABCD的顶点和中心为圆心，以正方形

边长的一半为半径作弧形成的封闭图形.在正方形ABCD上做随机投针试验，针头落在阴影部分区域内的

概率是-.

一2一

A.------------

BC

【分析】令正方形的边长为24,针头落在阴影部分区域内的概率是阴影部分的面积与正方形面积的比.

【解答】解：如图，令正方形的边长为2”，

则阴影部分的面积为2*工*万.°2+2（«2~-x^--a2）=-7ra2+2a2--/ra2=2a2，

4422

所以针头落在阴影部分区域内的概率是土=▲.

4a~2

故答案为：-

2

【点评】本题考查几何概率的计算，涉及圆的面积在求面积中的应用，关键是正确计算出阴影部分的面积.

【变式5-1］（2023秋•武侯区校级期末）4张相同的卡片上分别写有数字0、1、-2、3,将卡片的背面朝上，

洗匀后从中任意抽取1张，将卡片上的数字记录下来；再从余下的3张卡片中任意抽取1张，同样将卡片

上的数字记录下来.

（1）第一次抽取的卡片上数字是非负数的概率为;

（2）小敏设计了如下游戏规则：当第一次记录下来的数字减去第二次记录下来的数字所得结果为非负数时,

甲获胜；否则，乙获胜.小敏设计的游戏规则公平吗？为什么？（请用树状图或列表等方法说明理由）

【分析】（1）利用概率公式求解即可；

（2）利用列表法列举出所有可能结果，再利用概率公式得出甲、乙获胜的概率，即可得出答案.

【解答】解：（1）第一次抽取的卡片上数字是非负数的概率为』，

4

故答案为：—；

4

（2）小敏设计的游戏规则公平，理由如下:

列表如下：

01-23

01-23

1-1