中考数学总复习提升专项知识菱形的性质与判定(讲义1考点+1命题点22种题型(含4种解题技巧))含答案及解析

试卷第=page11页，共=sectionpages33页第五章四边形第25讲菱形的性质与判定（思维导图+1考点+1命题点22种题型（含4种解题技巧））TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透视·目标导航02知识导图·思维引航03考点突破·考法探究考点菱形04题型精研·考向洞悉命题点菱形的性质与判定►题型01利用菱形的性质求角度►题型02利用菱形的性质求线段长►题型03利用菱形的性质求周长►题型04利用菱形的性质求面积►题型05利用菱形的性质求点的坐标►题型06利用菱形的性质证明►题型07菱形的折叠问题►题型08添加一个条件使四边形是菱形►题型09证明四边形是菱形►题型10根据菱形的性质与判定求角度►题型11根据菱形的性质与判定求线段长►题型12根据菱形的性质与判定求周长►题型13根据菱形的性质与判定求面积►题型14根据菱形的性质与判定解决多结论问题►题型15与菱形有关的新定义问题►题型16与菱形有关的规律探究问题►题型17与菱形有关的动点问题►题型18与菱形有关的最值问题►题型19含60°角的菱形►题型20菱形与函数综合►题型21与菱形有关的存在性问题►题型22与菱形有关的材料阅读类问题试卷第=page11页，共=sectionpages33页

01考情透视·目标导航中考考点考查频率新课标要求菱形的有关证明与计算★★理解菱形的概念;探索并证明菱形的性质定理及其判定定理.【考情分析】菱形是特殊的平行四边形，其对角线互相垂直平分且平分每一组对角，其面积为对角线乘积的一半，荾形的考查经常与直角三角形的勾股定理、图形面积等结合，试题形式多样，难度中等.【命题预测】菱形是特殊平行四边形中比较重要的图形，也是几何图形中难度比较大的几个图形之一，年年都会考查，预计2025年各地中考还将出现.菱形的考察类型比较多样，其中选择、填空题常考察菱形的基本性质，解答题中考查菱形的性质和判定，一般和三角形全等、解直角三角形、二次函数、动态问题综合应用的可能性比较大．02知识导图·思维引航03考点突破·考法探究考点一菱形1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.【易错点】对于菱形的定义要注意两点（缺一不可）：①是平行四边形；②一组邻边相等.2.菱形的性质定理性质定理符号语言图示边四条边都相等∵四边形ABCD是菱形∴AB=CD=AD=BC对角线对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD，AC平分∠BAD，AC平分∠BAD，AC平分∠BAD，AC平分∠BAD【补充】1）菱形是特殊的平行四边形，所以菱形具有平行四边形的一切性质；2）菱形的两条对角线互相垂直，且对角线将菱形分成四个全等的直角三角形.3）对角线互相垂直的四边形不一定是菱形.4）菱形的面积公式：①菱形的面积=底×高，即②菱形的面积=两条对角线长的乘积的一半，即.3.菱形的对称性1）菱形是轴对称图形，两条对角线所在的直线都是它的对称轴.2）菱形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.4.菱形的判定判定定理符号语言图示边四条边相等的四边形是菱形.在四边形ABCD中，∵AB=BC=CD=AD，∴四边形ABCD是菱形一组邻边相等的平行四边形是菱形.在平行四边形ABCD中，∵AB=BC，∴平行四边形ABCD是菱形对角线对角线互相垂直的平行四边形是菱形.在平行四边形ABCD中，∵AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形1．（2024·四川·中考真题）如图，在菱形ABCD中，AB=2，则菱形ABCD的周长为．2．（2024·海南·中考真题）如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC=120°，边AB在数轴上，将AC绕点A顺时针旋转，点C落在数轴上的点E处，若点E表示的数是3，则点A表示的数是（

）A．1 B．1−3 C．0 D．3．（2024·山东济宁·中考真题）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，连接OE．若OE=3，则菱形的边长为（

）

A．6 B．8 C．10 D．124．（2024·江苏南通·中考真题）若菱形的周长为20cm，且有一个内角为45°，则该菱形的高为cm5．（2024·山东济南·中考真题）如图，在菱形ABCD中，AE⊥CD，垂足为E,CF⊥AD，垂足为F．求证：AF=CE．04题型精研·考向洞悉命题点一菱形的性质与判定►题型01利用菱形的性质求角度1．（2023·陕西·中考真题）点E是菱形ABCD的对称中心，∠B=56°，连接AE，则∠BAE的度数为．2．（2023·黑龙江大庆·中考真题）将两个完全相同的菱形按如图方式放置，若∠BAD=α，∠CBE=β，则β=（

）

A．45°+12α B．45°+32α3．（2023·河北·中考真题）如图，直线l1∥l2，菱形ABCD和等边△EFG在l1，l2之间，点A，F分别在l1，l2上，点B，D，E，G在同一直线上：若

A．42° B．43° C．44° D．45°4．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在菱形ABCD中，∠DAB=40°，连接AC，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交直线AD于点E，连接CE，则∠AEC的度数是．

5．（2024·四川巴中·中考真题）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若四边形OABC为菱形，则∠ADC的度数是．QUOTEQUOTEQUOTE►题型02利用菱形的性质求线段长1）菱形的对角线互相垂直平分，因此涉及菱形的问题常会在直角三角形中解决；2）菱形的四条达相等，因此菱形与等腰三角形、等边三角形的合应用较多，利用菱形的性质求线段、角时，注意菱形与其他几何知识的结合.6．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是CD的中点，则sin∠EBC的值为（

A．35 B．75 C．21147．（2024·甘肃兰州·中考真题）如图1，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，连接BD，点M从B出发沿BD方向以3cm/s的速度运动至D，同时点N从B出发沿BC方向以1cm/s的速度运动至C，设运动时间为xs，△BMN的面积为ycm2，y

A．22cm B．42cm C．8．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=6，AC是一条对角线，E是AC上一点，过点E作EF⊥AB，垂足为F，连接DE．若CE=AF，则DE的长为．►题型03利用菱形的性质求周长9．（2022·四川达州·中考真题）如图，菱形ABCD的两条对角线相交于点O，若AC=24，BD=10，则菱形ABCD的周长是．

10．（2023·内蒙古·中考真题）如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠A=120°，顺次连接菱形ABCD各边中点E、F、G、H，则四边形EFGH的周长为（

）

A．4+23 B．6+23 C．4+4311．（2020·四川甘孜·中考真题）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为AB的中点．若菱形ABCD的周长为32，则OE的长为（

）A．3 B．4 C．5 D．612．（2020·贵州黔东南·中考真题）若菱形ABCD的一条对角线长为8，边CD的长是方程x2﹣10x+24＝0的一个根，则该菱形ABCD的周长为（）A．16 B．24 C．16或24 D．48QUOTEQUOTEQUOTEQUOTEQUOTE►题型04利用菱形的性质求面积菱形的面积公式：①菱形的面积=底×高，即②菱形的面积=两条对角线长的乘积的一半，即.（适用于对角线互相垂直的任意四边形的面积的计算）13．（2024·广东·中考真题）如图，菱形ABCD的面积为24，点E是AB的中点，点F是BC上的动点．若△BEF的面积为4，则图中阴影部分的面积为．14．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，四边形ABCD是菱形，CD=5，BD=8，AE⊥BC于点E，则AE的长是（

）A．245 B．6 C．485 15．（2023·山东聊城·中考真题）如图，在▱ABCD中，BC的垂直平分线EO交AD于点E，交BC于点O，连接BE，CE，过点C作CF∥BE，交EO的延长线于点F，连接BF．若AD=8，CE=5，则四边形BFCE的面积为

.16．（2023·四川泸州·中考真题）若一个菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方程x2A．3 B．23 C．14 D．►题型05利用菱形的性质求点的坐标17．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，O是坐标原点，菱形ABOC的顶点B在x轴的负半轴上，顶点C的坐标为3,4，则顶点A的坐标为（

）A．−4,2 B．−3,4 C．−2,4 18．（2024·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形AOBC的顶点A在x轴负半轴上，顶点B在直线y=34x上，若点B的横坐标是8，为点CA．(−1,6) B．(−2,6) C．(−3,6) D．(−4,6)19．（2023·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B在x轴上，AB=2，A1,0，∠DAB=60°，将菱形ABCD绕点A旋转90°后，得到菱形AB1C1

20．（2023·山东潍坊·中考真题）如图，在直角坐标系中，菱形OABC的顶点A的坐标为−2,0，∠AOC=60°．将菱形OABC沿x轴向右平移1个单位长度，再沿y轴向下平移1个单位长度，得到菱形OA'B'C

A．(−2,3−1) B．−2,1 C．(−3QUOTE►题型06利用菱形的性质证明21．（2024·福建·中考真题）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在BC、CD边上，∠BAF=∠DAE，求证：BE=DF．22．（2023·浙江嘉兴·中考真题）如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，连接EF

(1)求证：AE=AF；(2)若∠B=60°，求23．（2024·四川德阳·中考真题）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，对角线AC与BD相交于点O，点F为BC的中点，连接AF与BD相交于点E，连接CE并延长交AB于点G．(1)证明：△BEF∽△BCO；(2)证明：△BEG≌△AEG．►题型07菱形的折叠问题24．（2021·浙江嘉兴·中考真题）将一张三角形纸片按如图步骤①至④折叠两次得图⑤，然后剪出图⑤中的阴影部分，则阴影部分展开铺平后的图形是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．矩形 D．菱形25．（2023·江苏南京·中考真题）如图，在菱形纸片ABCD中，点E在边AB上，将纸片沿CE折叠，点B落在B'处，CB'⊥AD，垂足为F

若CF=4cm，26．（2023·山东济南·中考真题）如图，将菱形纸片ABCD沿过点C的直线折叠，使点D落在射线CA上的点E处，折痕CP交AD于点P．若∠ABC=30°，AP=2，则PE的长等于．

27．（2022·浙江台州·中考真题）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=6．折叠该菱形，使点A落在边BC上的点M处，折痕分别与边AB，AD交于点E，F．当点M与点B重合时，EF的长为；当点M的位置变化时，DF长的最大值为．28．（2022·江苏淮安·中考真题）在数学兴趣小组活动中，同学们对菱形的折叠问题进行了探究．如图（1），在菱形ABCD中，∠B为锐角，E为BC中点，连接DE，将菱形ABCD沿DE折叠，得到四边形A'B'ED，点A的对应点为点A'，点B的对应点为点B'．(1)【观察发现】A'D与B'E的位置关系是______；(2)【思考表达】连接B'C，判断∠DEC与(3)如图（2），延长DC交A'B'于点G，连接EG(4)【综合运用】如图（3），当∠B=60°时，连接B'C，延长DC交A'B'于点G，连接EG►题型08添加一个条件使四边形是菱形29．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，以下条件不能证明▱ABCD是菱形的是（

）A．∠BAC=∠BCA B．∠ABD=∠CBDC．OA2+O30．（2024·西藏·中考真题）如图，在四边形ABCD中，AD=BC，AB=CD，AC与BD相交于点O，请添加一个条件，使四边形ABCD是菱形．31．（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，AB∥CD，要使四边形ABCD为菱形，应添加的条件是．（只需写出一个条件即可）32．（2022·湖南岳阳·中考真题）如图，点E，F分别在▱ABCD的边AB，BC上，AE=CF，连接DE，DF．请从以下三个条件：①∠1=∠2；②DE=DF；③∠3=∠4中，选择一个合适的作为已知条件，使▱ABCD为菱形．(1)你添加的条件是______（填序号）；(2)添加了条件后，请证明▱ABCD为菱形．►题型09证明四边形是菱形判定一个四边形是菱形时，可先证明它是平行四边形，再证明它的一组邻边相等或它的对角线互相垂直，也可直接证明它的四条边都相等或它的对角线互相垂直平分．即：33．（2024·四川广元·中考真题）如图，已知矩形ABCD．(1)尺规作图：作对角线AC的垂直平分线，交CD于点E，交AB于点F；（不写作法，保留作图痕迹）(2)连接AE、CF．求证：四边形34．（2024·江苏扬州·中考真题）如图1，将两个宽度相等的矩形纸条叠放在一起，得到四边形ABCD．(1)试判断四边形ABCD的形状，并说明理由；(2)已知矩形纸条宽度为2cm，将矩形纸条旋转至如图2位置时，四边形ABCD的面积为8cm2，求此时直线AD、CD所夹锐角35．（2024·云南·中考真题）如图，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是各边的中点，且AB∥CD，AD∥(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)若矩形EFGH的周长为22，四边形ABCD的面积为10，求AB的长．►题型10根据菱形的性质与判定求角度36．（2024·湖北武汉·中考真题）小美同学按如下步骤作四边形ABCD：①画∠MAN；②以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交AM，AN于点B，D；③分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；④连接BC，CD，BD．若∠A=44°，则∠CBD的大小是（

）

A．64° B．66° C．68° D．70°37．（2024·江苏南京·三模）如图，将矩形ABCD绕点C旋转得到矩形FECG，点E在AD上，延长ED交FG于点H．

(1)求证DE=FH；(2)连接BE,CH，当AB与BC的比值为_______时，四边形BEHC是菱形．38．（2024·江苏苏州·一模）如图，在▱ABCD中，以点B为圆心，以BA的长为半径作弧交边BC于点E，连接AE．分别以点A、E为圆心，以大于12AE的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线BP交AE于点O，交边AD于点(1)求证：△BOE≌(2)若∠EBP=28∘，求∠FAE►题型11根据菱形的性质与判定求线段长39．（2024·山东德州·中考真题）如图，▱ABCD中，对角线AC平分∠BAD．

(1)求证：▱ABCD是菱形；(2)若AC=8，∠DCB=74°，求菱形ABCD的边长．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，40．（2023·青海西宁·中考真题）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AB，CD的延长线上，且BE=DF，连接EF与AC交于点M，连接AF，CE．(1)求证：△AEM≌△CFM；(2)若AC⊥EF，AF=32，求四边形AECF41．（2023·湖南益阳·中考真题）如图，线段AB与⊙O相切于点B，AO交⊙O于点M，其延长线交⊙O于点C，连接BC，∠ABC=120°，D为⊙O上一点且DB的中点为M，连接AD，CD．

(1)求∠ACB的度数；(2)四边形ABCD是否是菱形？如果是，请证明：如果不是，请说明理由；(3)若AC=6，求CD的长．42．（2022·四川凉山·中考真题）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F．(1)求证：四边形ADBF是菱形；(2)若AB＝8，菱形ADBF的面积为40，求AC的长．QUOTE►题型12根据菱形的性质与判定求周长43．（2022·湖南长沙·中考真题）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=AD．

(1)求证：AC⊥BD；(2)若点E，F分别为AD，AO的中点，连接EF，EF=32，AO=2，求44．（2021·湖南邵阳·中考真题）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F是对角线AC上的两点，且AE=CF．连接DE，DF，BE，BF．（1）证明：△ADE≌△CBF．（2）若AB=42，AE=2，求四边形BEDF45．（2020·江苏连云港·中考真题）如图，在四边形ABCD中，AD//BC，对角线BD的垂直平分线与边AD、BC分别相交于M、（1）求证：四边形BNDM是菱形；（2）若BD=24，MN=10，求菱形BNDM的周长．►题型13根据菱形的性质与判定求面积46．（2023·四川巴中·中考真题）如图，已知等边△ABC，AD⊥BC，E为AB中点．以D为圆心，适当长为半径画弧，交DE于点M，交DB于点N，分别以M、N为圆心，大于12MN为半径画弧，两弧交于点P，作射线交AB于点G．过点E作EF∥BC交射线DP于点

(1)求证：四边形BDEF是菱形．(2)若AC=4，求△AFD的面积．47．（2022·广西贺州·中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且ED=BF，连接AF，CE，AC，EF，且AC与EF相交于点O．(1)求证：四边形AFCE是平行四边形；(2)若AC平分∠FAE，AC=8，tan∠DAC=48．（2024·云南昆明·模拟预测）如图，在矩形ABCD中（AB>BC），对角线AC，BD相交于点O，延长BC到点E，使得CE=BC，连接DE，点F是DE的中点，连接(1)求证：四边形DOCF是菱形；(2)若矩形ABCD的周长为20，AC=8，求四边形DOCF的面积．►题型14根据菱形的性质与判定解决多结论问题49．（2023·内蒙古赤峰·中考真题）如图，把一个边长为5的菱形ABCD沿着直线DE折叠，使点C与AB延长线上的点Q重合．DE交BC于点F，交AB延长线于点E．DQ交BC于点P，DM⊥AB于点M，AM=4，则下列结论，①DQ=EQ，②BQ=3，③BP=158，④BD∥FQ．正确的是（

A．①②③ B．②④ C．①③④ D．①②③④50．（2022·山东东营·中考真题）如图，已知菱形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，点M，N分别是边BC、CD上的动点，∠BAC=∠MAN=60°，连接MN、OM.以下四个结论正确的是（

）①△AMN是等边三角形；②MN的最小值是3；③当MN最小时S△CMN=18SA．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④51．（2024·全国·模拟预测）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，对角线AC，BD交于点O，动点P在边BC上（不与点C重合），连接AP，AP的垂直平分线交AP于点E，交BD于点F，连接FP，CE，OE，现有以下结论：①点A，E之间的距离为定值；②FP=2FE；③CEBC的值可以是13；④∠EOF=30°或150°．其中正确的是52．（2023·河北承德·一模）如图，在菱形ABCD中，AC、BD(AC>BD)相交于点O，E、F分别为OA和OC上的点（不与点A、O、C重合）．其中AE=OF．过点E作GH⊥AC，分别交AD、AB于点G、H；过点F作IJ⊥AC分别交CD、CB于点J、I；连接GJ、HI，甲、乙、丙三个同学给出了三个结论：甲：随着AE长度的变化，GH+IJ=BD始终成立．乙：随着AE长度的变化，四边形GHIJ可能为正方形．丙：随着AE长度的变化，四边形GHIJ的面积始终不变，都是菱形ABCD面积的一半．下列选项正确的是（）

A．甲、乙、丙都对 B．甲、乙对，丙不对C．甲、丙对，乙不对 D．甲不对，乙、丙对►题型15与菱形有关的新定义问题53．（2024·江苏泰州·一模）定义：一个四边形中，若有一个角的两边相等，且与它的对角互补，则称这个四边形为“半等边四边形”，则下列四边形一定是“半等边四边形”的是(

)A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形54．（22-23八年级下·江苏镇江·期中）我们知道，菱形和正方形虽然都是四边相等的四边形，但形状有差异，可以将菱形和正方形的接近程度称为菱形的“神似度”，如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD的长分别为a，b（a≥b），我们把ab(1)当菱形的“神似度”=______时，菱形就是正方形；(2)当∠BAD=60°时，求菱形ABCD的“神似度”．55．（2023·广西崇左·二模）筝形的定义：两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．(1)根据筝形的定义，写出一种学过的满足筝形的定义的四边形：______；(2)如图1，在正方形ABCD中，E是对角线BD延长线上一点，连接AE，CE．求证：四边形(3)小明学习筝形后对筝形非常感兴趣，购买了一只风筝，通过测量它的主体（如图2）得AB=AD，BC=DC，发现它是一个筝形，还得到AB=18cm，BC=40cm，∠ABC=120°，求筝形►题型16与菱形有关的规律探究问题56．（2022·辽宁·中考真题）如图，A1为射线ON上一点，B1为射线OM上一点，∠B1A1O=60°,OA1=3,B1A1=1．以B1A1为边在其右侧作菱形A1B1C1D1，且∠B1A1D1=60°,C1D1与射线OM交于点B2，得△C1B157．（2021·黑龙江·中考真题）如图，菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=1，延长CD至A1，使DA1=CD，以A1C为一边，在BC的延长线上作菱形A1CC1D1，连接AA1，得到ΔADA1；再延长C1D1至A2，使D1A2=C1D158．（2024·湖南益阳·二模）如图，菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60∘，则菱形ABCD的面积是23；以对角线AC为边作第二个菱形ACC1D1，使∠D1AC=60∘，则菱形ACC1D1的面积是59．（2024·河南商丘·二模）如图，平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点O为原点，A2,0，∠AOC=60°，作以下操作∶①将菱形OABC绕点O顺时针旋转60°得到菱形OA1B1C1；②将菱形OA1B1C1绕点O顺时针旋转60°得到菱形OA．−3,−3 B．−3,−3 C．−3,►题型17与菱形有关的动点问题60．（2024·甘肃·中考真题）如图1，动点P从菱形ABCD的点A出发，沿边AB→BC匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，PO的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到BC中点时，PO的长为（）A．2 B．3 C．5 D．261．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠B=30°，点E是BC边上的动点，连接AE，DE，过点A作AF⊥DE于点F．设DE=x，AF=y，则y与x之间的函数解析式为（不考虑自变量x的取值范围）（

）A．y=9x B．y=12x C．62．（2023·江苏无锡·中考真题）如图，四边形ABCD是边长为4的菱形，∠A=60°，点Q为CD的中点，P为线段AB上的动点，现将四边形PBCQ沿PQ翻折得到四边形PB

(1)当∠QPB=45°时，求四边形BB(2)当点P在线段AB上移动时，设BP=x，四边形BB'C'C的面积为S63．（2024·山东威海·中考真题）如图，在菱形ABCD中，AB=10cm，∠ABC=60°，E为对角线AC上一动点，以DE为一边作∠DEF=60°，EF交射线BC于点F，连接BE，DF．点E从点C出发，沿CA方向以每秒2cm的速度运动至点A处停止．设△BEF的面积为ycm(1)求证：BE=EF；(2)求y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；(3)求x为何值时，线段DF的长度最短．►题型18与菱形有关的最值问题64．（2024·山东泰安·中考真题）如图，菱形ABCD中，∠B=60°，点E是AB边上的点，AE=4，BE=8，点F是BC上的一点，△EGF是以点G为直角顶点，∠EFG为30°角的直角三角形，连结AG．当点F在直线BC上运动时，线段AG的最小值是（A．2 B．43−2 C．265．（2022·内蒙古赤峰·中考真题）如图，菱形ABCD，点A、B、C、D均在坐标轴上，∠ABC=120°，点A−3,0，点E是CD的中点，点P是OC上的一动点，则PD+PE的最小值是（

A．3 B．5 C．22 D．66．（2024·四川凉山·中考真题）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60∘，AB=2，E是BC边上一个动点，连接AE，AE的垂直平分线MN交AE于点M，交BD于点

(1)求证：EN=CN；(2)求2EN+BN的最小值．►题型19含60°角的菱形【基础】条件：四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交与点O，∠ABC=60°图示：结论：1)∠ABD=∠CBD=30°；2)△ABC，△ACD为等边三角形3)AB：AD：BD=1:1:3；4)【进阶】条件：四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，E，F分别是BC，CD上的点，∠EAF=60°图示：结论：1)△AEF为等边三角形;2)△ABE≌△ACF,△AEC≌△AFD.67．（2024·广西·中考真题）如图，两张宽度均为3cm的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为60°，则重合部分构成的四边形ABCD的周长为cm68．（2023·黑龙江绥化·中考真题）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，动点M，N同时从A点出发，点M以每秒2个单位长度沿折线A−B−C向终点C运动；点N以每秒1个单位长度沿线段AD向终点D运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为x秒，△AMN的面积为y个平方单位，则下列正确表示y与x函数关系的图象是（

）

A．

B．

C．

D．

69．（2022·江苏常州·中考真题）如图，将一个边长为20cm的正方形活动框架（边框粗细忽略不计）扭动成四边形ABCD，对角线是两根橡皮筋，其拉伸长度达到36cm时才会断裂．若∠BAD=60°，则橡皮筋AC断裂（填“会”或“不会”，参考数据：70．（2024·贵州·模拟预测）综合与实践：在菱形ABCD中，∠B=60°，作∠MAN=∠B，AM，AN分别交BC，CD于点M，N．(1)【动手操作】如图①，若M是边BC的中点，根据题意在图①中画出∠MAN，则∠BAM=________度；(2)【问题探究】如图②，当M为边BC上任意一点时，求证：AM=AN；(3)【拓展延伸】如图③，在菱形ABCD中，AB=4，点P，N分别在边BC，CD上，在菱形内部作∠PAN=∠B，连接AP，若AP=13，求线段DN71．（2024·湖南娄底·模拟预测）如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点E,AB=3,∠BAD=60°，点F，G分别在边AD,CD上运动，FG∥AC．(1)当F，G为边AD,CD的中点时，求证：△BFG为正三角形；(2)当tan∠CBG=1时，求△BFG►题型20菱形与函数综合72．（2023·山东滨州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的一边OC在x轴正半轴上，顶点A的坐标为2,23，点D是边OC上的动点，过点D作DE⊥OB交边OA于点E，作DF∥OB交边BC于点F，连接EF．设OD=x,△DEF的面积为S

(1)求S关于x的函数解析式；(2)当x取何值时，S的值最大？请求出最大值．73．（2024·江西南昌·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC为菱形，点B在x轴正半轴上，反比例函数y=kxk>0,x>0(1)若AB=10，OB=2，求反比例函数y=(2)若菱形OABC的面积为20，直接写出反比例函数y=k74．（2023·辽宁沈阳·三模）已知：如图所示，在直角坐标系中，线段OC与直线BD交于点M，连接OB，BC，CD，OD得菱形OBCD，点B的横坐标为4，点C的坐标为7,7，点P，Q分别是线段OB，CD上的动点，点P从点O出发，以每秒0.8个单位的速度向终点B移动，点Q从点D出发，以每秒2个单位的速度向点C移动，到达点C后立即以原速再向终点D移动，设P，Q同时出发，移动时间为t秒（t＞0），当其中一个点停止移动时，另一个点也随之停止移动．(1)求直线BD的函数表达式；(2)当t为何值时，直线PQ平分菱形ABCD的面积？(3)若直线PQ与对角线OC的交点为N，E是OB边的中点，当0<t<2.5时，请直接写出当△NEB的周长取最小值时t的值．►题型21与菱形有关的存在性问题75．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，等边三角形OAB的边OB在x轴上，点A在第一象限，OA的长度是一元二次方程x2−5x−6=0的根，动点P从点O出发以每秒2个单位长度的速度沿折线OA−AB运动，动点Q从点O出发以每秒3个单位长度的速度沿折线OB−BA运动，P、Q两点同时出发，相遇时停止运动．设运动时间为t秒（0<t<3.6），△OPQ的面积为(1)求点A的坐标；(2)求S与t的函数关系式；(3)在（2）的条件下，当S=63时，点M在y轴上，坐标平面内是否存在点N，使得以点O、P、M、N为顶点的四边形是菱形．若存在，直接写出点N76．（2023·四川广安·中考真题）如图，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于点A，B，交y轴于点C，点B的坐标为1,0，对称轴是直线x=−1，点P是x轴上一动点，PM⊥x轴，交直线AC

(1)求这个二次函数的解析式．(2)若点P在线段AO上运动（点P与点A、点O不重合），求四边形ABCN面积的最大值，并求出此时点P的坐标．(3)若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M、N、C、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．77．（2021·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B．OB是一元二次方程x2﹣x﹣30＝0的一个根，且tan∠OAB=34，点D为AB的中点，E为x轴正半轴上一点，BE＝210，直线OD与BE相交于点（1）求点A及点D的坐标；（2）反比例函数y=kx经过点F关于y轴的对称点F′，求（3）点G和点H在直线AB上，平面内存在点P，使以E，G，H，P为顶点的四边形是边长为6的菱形，符合条件的菱形有几个？请直接写出满足条件的两个点P的坐标．►题型22与菱形有关的材料阅读类问题78．（2024·山西朔州·模拟预测）阅读与思考下面是小逸同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．作矩形的最大内接菱形的方法顶点在矩形边上的菱形叫做矩形的内接菱形，在实践活动课上，数学老师提出来一个问题“如何从一张矩形纸片中翻作出一个最大的内接菱形”实践小组成员经过思考后，分别给了3种不同的方法．方法一：通过折，将矩形纸片横对折后再竖对折，沿对角线剪一刀将到一个直角三角形，展开后就是菱形EHGF（如图1）．则四边形EHGF是矩形ABCD的内接菱形．方法二：通过叠，取两个大小一样的矩形纸片，让两矩形的长两两相交，重叠的部分形成四边形AECF．则四边形AECF也是矩形ABCD的内接菱形，（如图2）方法三：通过尺规作图，作矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线EF，与AD边交于点E．与BC边交于点F，连接AF，CE，则四边形AECF是矩形ABCD的内接菱形．实践小组通过三种方法得到的菱形进行分析，讨论，计算，对比，从而得出矩形的最大内接菱形．任务：(1)填空：通过“方法一”能得到的菱形，它的依据是_______．(2)尺规作图：请你在图3中完成日记中的“方法三”的作图过程，（保留作图痕迹，不要求写作法）(3)若矩形AB=4，BC=10，请你根据日记中三种方法，计算此矩形的内接菱形的面积最大值为______．79．（2023·云南昆明·模拟预测）【阅读材料】问题：已知：如图AE∥BF，求作：菱形ABCD．使点C、D分别在

小明的作法：（1）以A为圆心．AB长为半径画弧，交AE于点D；（2）以B为圆心．AB长为半径画弧，交BF于点C；（3）连接CD，四边形ABCD就是所求作的菱形．

【解答问题】(1)请根据材料中的信息，证明四边形ABCD是菱形；(2)如果AB=10，∠ABC=60°，求菱形ABCD的面积．80．（2024·湖南长沙·模拟预测）阅读短文，解决问题．若平行四边形的四个顶点都在三角形的边上，且有一个角与三角形的一个角重合，另一个顶点在三角形的这个重合角的对边上，我们就称这个平行四边形是该三角形的“相依四边形”．例如：如图1，在平行四边形AEFD中，∠BAC与∠DAE重合，点F在BC上，则称平行四边形AEFD为△ABC的“相依四边形”．(1)如图1，平行四边形AEFD为△ABC的“相依四边形”，AF平分∠BAC，判断四边形AEFD的形状，并进行证明．(2)在（1）的条件下，如图2，∠B=90°．①若AC=6，FC=6，求四边形AEFD②如图3，M，N分别是DF，AC的中点，连接MN，若

第五章四边形第25讲菱形的性质与判定（思维导图+1考点+1命题点22种题型（含4种解题技巧））TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透视·目标导航02知识导图·思维引航03考点突破·考法探究考点菱形04题型精研·考向洞悉命题点菱形的性质与判定►题型01利用菱形的性质求角度►题型02利用菱形的性质求线段长►题型03利用菱形的性质求周长►题型04利用菱形的性质求面积►题型05利用菱形的性质求点的坐标►题型06利用菱形的性质证明►题型07菱形的折叠问题►题型08添加一个条件使四边形是菱形►题型09证明四边形是菱形►题型10根据菱形的性质与判定求角度►题型11根据菱形的性质与判定求线段长►题型12根据菱形的性质与判定求周长►题型13根据菱形的性质与判定求面积►题型14根据菱形的性质与判定解决多结论问题►题型15与菱形有关的新定义问题►题型16与菱形有关的规律探究问题►题型17与菱形有关的动点问题►题型18与菱形有关的最值问题►题型19含60°角的菱形►题型20菱形与函数综合►题型21与菱形有关的存在性问题►题型22与菱形有关的材料阅读类问题

01考情透视·目标导航中考考点考查频率新课标要求菱形的有关证明与计算★★理解菱形的概念;探索并证明菱形的性质定理及其判定定理.【考情分析】菱形是特殊的平行四边形，其对角线互相垂直平分且平分每一组对角，其面积为对角线乘积的一半，荾形的考查经常与直角三角形的勾股定理、图形面积等结合，试题形式多样，难度中等.【命题预测】菱形是特殊平行四边形中比较重要的图形，也是几何图形中难度比较大的几个图形之一，年年都会考查，预计2025年各地中考还将出现.菱形的考察类型比较多样，其中选择、填空题常考察菱形的基本性质，解答题中考查菱形的性质和判定，一般和三角形全等、解直角三角形、二次函数、动态问题综合应用的可能性比较大．02知识导图·思维引航03考点突破·考法探究考点一菱形1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.【易错点】对于菱形的定义要注意两点（缺一不可）：①是平行四边形；②一组邻边相等.2.菱形的性质定理性质定理符号语言图示边四条边都相等∵四边形ABCD是菱形∴AB=CD=AD=BC对角线对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD，AC平分∠BAD，AC平分∠BAD，AC平分∠BAD，AC平分∠BAD【补充】1）菱形是特殊的平行四边形，所以菱形具有平行四边形的一切性质；2）菱形的两条对角线互相垂直，且对角线将菱形分成四个全等的直角三角形.3）对角线互相垂直的四边形不一定是菱形.4）菱形的面积公式：①菱形的面积=底×高，即②菱形的面积=两条对角线长的乘积的一半，即.3.菱形的对称性1）菱形是轴对称图形，两条对角线所在的直线都是它的对称轴.2）菱形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.4.菱形的判定判定定理符号语言图示边四条边相等的四边形是菱形.在四边形ABCD中，∵AB=BC=CD=AD，∴四边形ABCD是菱形一组邻边相等的平行四边形是菱形.在平行四边形ABCD中，∵AB=BC，∴平行四边形ABCD是菱形对角线对角线互相垂直的平行四边形是菱形.在平行四边形ABCD中，∵AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形1．（2024·四川·中考真题）如图，在菱形ABCD中，AB=2，则菱形ABCD的周长为．【答案】8【分析】本题主要考查菱形的性质．根据菱形的性质“菱形的四条边相等”可直接进行求解．【详解】解：由菱形的四条边相等可得：菱形的周长为2×4=8，故答案为：8．2．（2024·海南·中考真题）如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC=120°，边AB在数轴上，将AC绕点A顺时针旋转，点C落在数轴上的点E处，若点E表示的数是3，则点A表示的数是（

）A．1 B．1−3 C．0 D．【答案】D【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理．作CF⊥AE于点F，利用菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理计算即可．【详解】解：作CF⊥AE于点F，∵∠ABC=120°，∴∠FBC=60°，∵BC=2，∴BF=12BC=1∴AF=AB+BF=3，∴AE=AC=A∵点E表示的数是3，∴点A表示的数是3−23故选：D．3．（2024·山东济宁·中考真题）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，连接OE．若OE=3，则菱形的边长为（

）

A．6 B．8 C．10 D．12【答案】A【分析】根据菱形的性质可得AC⊥BD，根据“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”可得OE=1本题主要考查了菱形的性质和“直角三角形中斜边中线等于斜边一半”的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵E是AB的中点，∴OE=1∴AB=2OE=2×3=6。故选：A．4．（2024·江苏南通·中考真题）若菱形的周长为20cm，且有一个内角为45°，则该菱形的高为cm【答案】5【分析】本题考查的是菱形的性质，锐角的正弦的含义，先画图，求解EF=EH=5cm，过E作FI⊥EH于H，结合∠E=45°【详解】解：如图，菱形EFGH的周长为20cm∴EF=EH=5cm过E作FI⊥EH于H，而∠E=45°，∴FI=EF⋅sin故答案为：55．（2024·山东济南·中考真题）如图，在菱形ABCD中，AE⊥CD，垂足为E,CF⊥AD，垂足为F．求证：AF=CE．【答案】证明见解析．【分析】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定以及性质，由菱形的性质得出AD=CD，用AAS证明△AED≌△CFD，由全等三角形的性质可得出DE=DF，由线段的和差关系即可得出AF=CE．【详解】证明：∵四边形ABCD是菱形∴AD=CD∵AE⊥CD,CF⊥AD∴∠AED=∠CFD=90°∵∠D=∠D∴△AED≌△CFD∴DE=DF∴AD−DF=CD−DE∴AF=CE04题型精研·考向洞悉命题点一菱形的性质与判定►题型01利用菱形的性质求角度1．（2023·陕西·中考真题）点E是菱形ABCD的对称中心，∠B=56°，连接AE，则∠BAE的度数为．【答案】62°【分析】连接BE，根据中心对称图形的定义得出点E是菱形ABCD的两对角线的交点，根据菱形的性质得出AE⊥BE，∠ABE=12∠ABC=28°【详解】解：如图，连接BE，

∵点E是菱形ABCD的对称中心，∠ABC=56°，∴点E是菱形ABCD的两对角线的交点，∴AE⊥BE，∠ABE=1∴∠BAE=90°−∠ABE=62°．故答案为：62°．【点评】本题考查了菱形的性质，菱形是中心对称图形，两对角线的交点是对称中心，掌握菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角是解题的关键．2．（2023·黑龙江大庆·中考真题）将两个完全相同的菱形按如图方式放置，若∠BAD=α，∠CBE=β，则β=（

）

A．45°+12α B．45°+32α【答案】D【分析】由题意可得∠FBG=∠DAB=α，由菱形的性质可得AD∥BC，∠ABD=∠CBD=α+β，由平行线的性质可得【详解】解：根据题意可得：∠FBG=∠DAB=α，∵四边形ABCD为菱形，∴AD∥BC，∴∠DAB+∠ABC=180°，∵∠ABC=∠ABD+∠CBD=α+β+α+β=2α+2β∴α+2α+2β=180°，∴β=90°−3故选：D．【点睛】本题考查了菱形的性质、平行线的性质，熟练掌握菱形的性质、平行线的性质，是解题的关键．3．（2023·河北·中考真题）如图，直线l1∥l2，菱形ABCD和等边△EFG在l1，l2之间，点A，F分别在l1，l2上，点B，D，E，G在同一直线上：若

A．42° B．43° C．44° D．45°【答案】C【分析】如图，由平角的定义求得∠ADB=180°−∠ADE=34°，由外角定理求得，∠AHD=∠α−∠ADB=16°，根据平行性质，得∠GIF=∠AHD=16°，进而求得∠β=∠EGF−∠GIF=44°．【详解】如图，∵∠ADE=146°∴∠ADB=180°−∠ADE=34°∵∠α=∠ADB+∠AHD∴∠AHD=∠α−∠ADB=50°−34°=16°∵l∴∠GIF=∠AHD=16°∵∠EGF=∠β+∠GIF∴∠β=∠EGF−∠GIF=60°−16°=44°

故选：C．

【点睛】本题考查平行线的性质，平角的定义，等边三角形的性质，三角形外角定理，根据相关定理确定角之间的数量关系是解题的关键．4．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在菱形ABCD中，∠DAB=40°，连接AC，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交直线AD于点E，连接CE，则∠AEC的度数是．

【答案】10°或80°【分析】根据题意画出图形，结合菱形的性质可得∠CAD=12∠DAB=20°，再进行分类讨论：当点E在点A上方时，当点E【详解】解：∵四边形ABCD为菱形，∠DAB=40°，∴∠CAD=1连接CE，①当点E在点A上方时，如图E1∵AC=AE1，∴∠AE②当点E在点A下方时，如图E2∵AC=AE1，∴∠AE故答案为：10°或80°．

【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和以及三角形的外角定理，解题的关键是掌握菱形的对角线平分内角；等腰三角形两底角相等，三角形的内角和为180°；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．5．（2024·四川巴中·中考真题）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若四边形OABC为菱形，则∠ADC的度数是．【答案】60°【分析】根据菱形的性质得到∠AOC＝∠ABC，根据圆周角定理得到∠ADC＝12∠AOC，根据圆内接四边形的性质得到∠ADC＋∠ABC【详解】解：∵四边形OABC为菱形，∴∠AOC＝∠ABC，由圆周角定理得：∠ADC＝12∠AOC∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠ADC＋∠ABC＝180°，∴∠ADC＋2∠ADC＝180°，解得：∠ADC＝60°，故答案为：60°．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理、菱形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．QUOTEQUOTEQUOTE►题型02利用菱形的性质求线段长1）菱形的对角线互相垂直平分，因此涉及菱形的问题常会在直角三角形中解决；2）菱形的四条达相等，因此菱形与等腰三角形、等边三角形的合应用较多，利用菱形的性质求线段、角时，注意菱形与其他几何知识的结合.6．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是CD的中点，则sin∠EBC的值为（

A．35 B．75 C．2114【答案】C【分析】本题考查了解直角三角形，菱形的性质，解题的关键是掌握菱形四边都相等，以及正确画出辅助线，构造直角三角形求解．延长BC，过点E作BC延长线的垂线，垂足为点H，设BC=CD=x，易得∠ABC=∠DCH=60°，则CE=12CD=12x，进而得出【详解】解：延长BC，过点E作BC延长线的垂线，垂足为点H，∵四边形ABCD是菱形，∴BC=CD，AB∥∴∠ABC=∠DCH=60°，设BC=CD=x，∵E是CD的中点，∴CE=1∵EH⊥BH，∴EH=CE⋅sin∴BH=BC+CH=5BE=∴sin∠EBC=故选：C．7．（2024·甘肃兰州·中考真题）如图1，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，连接BD，点M从B出发沿BD方向以3cm/s的速度运动至D，同时点N从B出发沿BC方向以1cm/s的速度运动至C，设运动时间为xs，△BMN的面积为ycm2，y

A．22cm B．42cm C．【答案】C【分析】本题主要考查菱形的性质和二次函数的性质，根据题意可知BN=xcm，BM=3xcm，结合菱形的性质得∠DBC=30°，过点M作MH⊥BC于点H，则MH=32xcm，那么y=34x2cm2，设菱形ABCD的边长为a，则BD=3【详解】解：根据题意知，BN=xcm，BM=∵四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，∴∠DBC=30°，过点M作MH⊥BC于点H，连接AC交BD于点O，如图，

则MH=BM×sin那么，△BMN的面积为y=1设菱形ABCD的边长为a，∴BD=2BO=2×BC×cos∴点M和点N同时到达点D和点C，此时△BMN的面积达到最大值为43∴34x2∴BC=4．故选：C．8．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=6，AC是一条对角线，E是AC上一点，过点E作EF⊥AB，垂足为F，连接DE．若CE=AF，则DE的长为．【答案】2【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，过D作DH⊥AC于H，先判断△ABC，△ACD都是等边三角形，得出∠EAF=60°，AC=AB=6，AH=CH=12AC=3，利用含30°的直角三角形的性质可得出AE=2AF=2CE，进而求出CE【详解】解∶过D作DH⊥AC于H，∵菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=6，∴AB=BC=CD=AD，∠ADC=∠ABC=60°，∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∴∠EAF=60°，AC=AB=6，AH=CH=1∵EF⊥AB，∴∠AEF=30°，∴AE=2AF，又CE=AF，∴AE=2CE，∴CE=2，∴HE=CH−CE=1，在Rt△CDH中，D∴DE=D故答案为：27►题型03利用菱形的性质求周长9．（2022·四川达州·中考真题）如图，菱形ABCD的两条对角线相交于点O，若AC=24，BD=10，则菱形ABCD的周长是．

【答案】52【分析】根据菱形性质得到AC⊥BD，OA=12AC=12,OD=12【详解】解：在菱形ABCD的两条对角线相交于点O，若AC=24，BD=10，∴AC⊥BD，OA=1在Rt△AOD中利用勾股定理得到AD=∴菱形ABCD的周长是4×13=52，故答案为：52．【点睛】本题考查菱形的性质，涉及菱形对角线相互垂直平分、勾股定理及菱形四条边相等等知识，熟练掌握菱形性质是解决问题的关键．10．（2023·内蒙古·中考真题）如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠A=120°，顺次连接菱形ABCD各边中点E、F、G、H，则四边形EFGH的周长为（

）

A．4+23 B．6+23 C．4+43【答案】C【分析】首先利用三角形的中位线定理证得四边形EFGH为平行四边形，再求对角线长度，然后利用三角形中位线定理求出此平行四边形边长即可求出周长．【详解】解：如图，连接AC、BD，相交于点O，

∵点E、F、G∴EF=12AC∴EF=GH，同理EH=FG，∴四边形EFGH是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，AB=4，∠A=120°，∴对角线AC、∴AD∥∴∠A+∠ABC=180°，∴∠ABC=60°，AB=BC=4，∴△ABC是等边三角形，∴AC=4，在Rt△AOB中，AB=4，OA=∴OB=4∴BD=43∴EF=12AC=2∴四边形EFGH的周长为2+23故选：C．【点睛】本题考查了中点四边形的知识，解题的关键是灵活运用三角形的中位线定理，菱形的性质及平行四边形的判定与性质进行计算．11．（2020·四川甘孜·中考真题）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为AB的中点．若菱形ABCD的周长为32，则OE的长为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】利用菱形的对边相等以及对角线互相垂直，进而利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出答案．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AB=BC=CD=AD，∴∠AOB=90°，又∵AB+BC+CD+AD=32．∴AB=8，在Rt△AOB中，OE是斜边上的中线，∴OE=12故选：B．【点睛】本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线的性质．注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．12．（2020·贵州黔东南·中考真题）若菱形ABCD的一条对角线长为8，边CD的长是方程x2﹣10x+24＝0的一个根，则该菱形ABCD的周长为（）A．16 B．24 C．16或24 D．48【答案】B【分析】解方程得出x＝4或x＝6，分两种情况：①当AB＝AD＝4时，4+4＝8，不能构成三角形；②当AB＝AD＝6时，6+6＞8，即可得出菱形ABCD的周长．【详解】解：如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∵x2﹣10x+24＝0，因式分解得：（x﹣4）（x﹣6）＝0，解得：x＝4或x＝6，分两种情况：①当AB＝AD＝4时，4+4＝8，不能构成三角形；②当AB＝AD＝6时，6+6＞8，∴菱形ABCD的周长＝4AB＝24．故选：B．

【点睛】本题考查菱形的性质、解一元二次方程-因式分解法、三角形的三边关系，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．QUOTEQUOTEQUOTEQUOTEQUOTE►题型04利用菱形的性质求面积菱形的面积公式：①菱形的面积=底×高，即②菱形的面积=两条对角线长的乘积的一半，即.（适用于对角线互相垂直的任意四边形的面积的计算）13．（2024·广东·中考真题）如图，菱形ABCD的面积为24，点E是AB的中点，点F是BC上的动点．若△BEF的面积为4，则图中阴影部分的面积为．【答案】10【分析】本题考查了菱形的性质，三角形中线的性质，利用菱形的性质、三角形中线的性质求出S△ADE=6，S△ABF=8，根据△ABF和菱形的面积求出BFBC=2【详解】解：连接AF、BD，∵菱形ABCD的面积为24，点E是AB的中点，△BEF的面积为4，∴S△ADE=1设菱形ABCD中BC边上的高为h，则S△ABFS菱形∴BFBC∴BFCF∴S△ABF∴S△CDF∴S阴影故答案为：10．14．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，四边形ABCD是菱形，CD=5，BD=8，AE⊥BC于点E，则AE的长是（

）A．245 B．6 C．485 【答案】A【分析】本题考查了勾股定理，菱形的性质，根据勾股定理求得OC，进而得出AC=6，进而根据等面积法，即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，CD=5，BD=8，∴DO=12BD=4，AC⊥BD在Rt△CDO中，CO=∴AC=2OC=6，∵菱形ABCD的面积为12∴AE=1故选：A．15．（2023·山东聊城·中考真题）如图，在▱ABCD中，BC的垂直平分线EO交AD于点E，交BC于点O，连接BE，CE，过点C作CF∥BE，交EO的延长线于点F，连接BF．若AD=8，CE=5，则四边形BFCE的面积为

.【答案】24【分析】根据平行线的性质可得∠BEO=∠CFO，根据垂直平分线的性质可得BO=CO，∠BOE=∠COF=90°，根据全等三角形的判定和性质可得BE=CF，OE=OF，根据平行四边形的判定和菱形的判定可推得四边形BFCE为菱形，根据勾股定理求得OE=3，根据菱形的性质即可求得四边形BFCE的面积．【详解】∵CF∥∴∠BEO=∠CFO，∵BC的垂直平分线EO交AD于点E，∴BO=CO，∠BOE=∠COF=90°，∴△BOE≌△COF，∴BE=CF，OE=OF，∴四边形BFCE为平行四边形，又∵OE=OF，BO=CO，∠BOE=∠COF=90°，∴平行四边形BFCE为菱形，∵AD=8，∴BC=8，∴OC=1在Rt△EOC中，OE=故菱形BFCE的面积为12故答案为：24．【点睛】本题考查了平行线的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握以上判定和性质是解题的关键．16．（2023·四川泸州·中考真题）若一个菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方程x2A．3 B．23 C．14 D．【答案】C【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，得到a+b=10，根据菱形的面积得到ab=22，利用勾股定理以及完全平方公式计算可得答案．【详解】解：设方程x2−10x+m=0的两根分别为a，∴a+b=10，∵a，b分别是一个菱形的两条对角线长，已知菱形的面积为11，∴12ab=11，即∵菱形对角线垂直且互相平分，∴该菱形的边长为a=1故选：C．【点睛】本题考查了根与系数的关系以及菱形的性质，完全平方公式，利用根与系数的关系得出a+b=10是解题的关键．►题型05利用菱形的性质求点的坐标17．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，O是坐标原点，菱形ABOC的顶点B在x轴的负半轴上，顶点C的坐标为3,4，则顶点A的坐标为（

）A．−4,2 B．−3,4 C．−2,4 【答案】C【分析】本题考查平面直角坐标系内两点间的距离公式，菱形的性质，坐标与图形．结合菱形的性质求出AC=OC=5是解题关键．由两点间的距离公式结合菱形的性质可求出AC=OC=5，从而可求出AD=2，即得出顶点A的坐标为−2,4．【详解】解：如图，∵点C的坐标为3,4，∴OC=3∵四边形ABOC为菱形，∴AC=OC=5，∴AD=AC−CD=AC−x∴顶点A的坐标为−2,4．故选C．18．（2024·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形AOBC的顶点A在x轴负半轴上，顶点B在直线y=34x上，若点B的横坐标是8，为点CA．(−1,6) B．(−2,6) C．(−3,6) D．(−4,6)【答案】B【分析】过点B作BD⊥x轴，垂足为点D，先求出B8,6，由勾股定理求得BO=10，再由菱形的性质得到BC=BO=10,BC∥x【详解】解：过点B作BD⊥x轴，垂足为点D，∵顶点B在直线y=34x∴yB=8×3∴B8,6∵BD⊥x轴，∴由勾股定理得：BO=B∵四边形ABCD是菱形，∴BC=BO=10,BC∥x轴，∴将点B向左平移10个单位得到点C，∴点C−2,6故选：B．【点睛】本题考查了一次函数的图像，勾股定理，菱形的性质，点的坐标平移，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．19．（2023·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B在x轴上，AB=2，A1,0，∠DAB=60°，将菱形ABCD绕点A旋转90°后，得到菱形AB1C1

【答案】1−3,3【分析】分两种情况：当绕点A顺时针旋转90°后，当绕点A逆时针旋转90°后，利用菱形的性质及直角三角形30度角的性质求解即可．【详解】解：当绕点A顺时针旋转90°后，如图，

∵∠DAB=60°，∠∴∠D∵菱形ABCD中AB∥CD，∴∠AD延长C1D1交x∴∠AD1E=60°∴ED∴AE=3∴C1当绕点A逆时针旋转90°后，如图，延长C2D2交x

∵∠DAB=60°，∠B2∴∠D∵菱形ABCD中AB∥CD，∴∠AD∴∠AD2F=60°∴FD∴AF=3∴C2故答案为：1−3,3或【点睛】此题考查了菱形的性质，直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的一半，旋转的性质，正确理解菱形的性质及旋转的性质是解题的关键．20．（2023·山东潍坊·中考真题）如图，在直角坐标系中，菱形OABC的顶点A的坐标为−2,0，∠AOC=60°．将菱形OABC沿x轴向右平移1个单位长度，再沿y轴向下平移1个单位长度，得到菱形OA'B'C

A．(−2,3−1) B．−2,1 C．(−3【答案】A【分析】如图，过B作BH⊥x轴于H，求解OA=AB=2，AB∥OC，可得∠BAH=∠AOC=60°，求解AH=OB⋅cos60°=1，BH=2【详解】解：如图，过B作BH⊥x轴于H，

∵菱形OABC的顶点A的坐标为−2,0，∠AOC=60°．∴OA=AB=2，AB∥∴∠BAH=∠AOC=60°，∴AH=OB⋅cos60°=1，∴B−3,∵将菱形OABC沿x轴向右平移1个单位长度，再沿y轴向下平移1个单位长度，∴B'故选A【点睛】本题考查的是菱形的性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，图形的平移，熟练的求解B的坐标是解本题的关键．QUOTE►题型06利用菱形的性质证明21．（2024·福建·中考真题）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在BC、CD边上，∠BAF=∠DAE，求证：BE=DF．【答案】见解析【分析】本题考查的是菱形的性质，全等三角形的判定与性质，先证明∠BAE=∠DAF，再证明△BAE≌△DAF，从而可得结论．【详解】证明：在菱形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D，∵∠BAF=∠DAE，∴∠BAE+∠EAF=∠EAF+∠DAF，∴∠BAE=∠DAF，在△BAE和△DAF中∠B=∠DAB=AD∴△BAE≌△DAF，∴BE=DF．22．（2023·浙江嘉兴·中考真题）如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，连接EF

(1)求证：AE=AF；(2)若∠B=60°，求【答案】(1)证明见解析(2)60°【分析】（1）根据菱形的性质的三角形全等即可证明AE=AF．（2）根据菱形的性质和已知条件可推出∠BAD度数，再根据第一问的三角形全等和直角三角形的性质可求出∠BAE和∠DAF度数，从而求出∠EAF度数，证明了等边三角形AEF，即可求出∠AEF的度数．【详解】（1）证明：∵菱形ABCD，∴AB=AD,∠B=∠D，又∵AE⊥BC,AF⊥CD，∴∠AEB=∠AFD=90°．在△AEB和△AFD中，∠AEB=∠AFD∠B=∠D∴△ABE≌△ADF(AAS∴AE=AF．（2）解：∵菱形ABCD，∴∠B+∠BAD=180°，∵∠B=60∴∠BAD=120°．又∵∠AEB=90°,∠B=60°，∴∠BAE=30°．由（1）知△ABE≌△ADF，∴∠BAE=∠DAF=30°．∴∠EAF=120°−30°−30°=60°．∵AE=AF，∴△AEF等边三角形．∴∠AEF=60°．【点睛】本题考查了三角形全等、菱形的性质、等边三角形的性质，解题的关键在于熟练掌握全等的方法和菱形的性质．23．（2024·四川德阳·中考真题）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，对角线AC与BD相交于点O，点F为BC的中点，连接AF与BD相交于点E，连接CE并延长交AB于点G．(1)证明：△BEF∽△BCO；(2)证明：△BEG≌△AEG．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定、三角形全等的判定等知识，熟练掌握菱形的性质和相似三角形的判定是解题关键．（1）先根据菱形的性质可得AB=BC,AC⊥BD，再证出△ABC是等边三角形，根据等边三角形的性质可得AF⊥BC，然后根据相似三角形的判定即可得证；（2）先根据等边三角形的性质可得CG⊥AB，从而可得AG=BG，再根据SAS定理即可得证．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC,AC⊥BD，∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∵点F为BC的中点，∴AF⊥BC，∴∠BFE=∠BOC=90°∵∠EBF=∠CBO，∴△BEF∽△BCO．（2）证明：∵△ABC是等边三角形，AF⊥BC，AC⊥BD，∴CG⊥AB，∴∠AGE=∠BGE=90°∵△ABC是等边三角形，∴AG=BG，在△BEG和△AEG中，AG=BG∠AGE=∠BGE=90°∴△BEG≌△AEGSAS►题型07菱形的折叠问题24．（2021·浙江嘉兴·中考真题）将一张三角形纸片按如图步骤①至④折叠两次得图⑤，然后剪出图⑤中的阴影部分，则阴影部分展开铺平后的图形是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．矩形 D．菱形【答案】D【分析】此题是有关剪纸的问题，此类问题应亲自动手折一折，剪一剪．【详解】解：由题可知，AD平分∠BAC,折叠后△AEO与△AFO重合，故全等，所以EO=OF;又作了AD的垂直平分线，即EO垂直平分AD，所以AO=DO，且EO⊥AD；由平行四边形的判定：对角线互相平分的四边形为平行四边形，所以AEDF为平行四边形；又AD⊥EF，所以平行四边形AEDF为菱形．故选：D.【点睛】本题主要考查学生对于立体图形与平面展开图形之间的转换能力，与课程标准中“能以实物的形状想象出几何图形，有几何图形想象出实物的图形”的要求相一致，充分体现了实践操作性原则．25．（2023·江苏南京·中考真题）如图，在菱形纸片ABCD中，点E在边AB上，将纸片沿CE折叠，点B落在B'处，CB'⊥AD，垂足为F

若CF=4cm，【答案】257/【分析】根据菱形的性质，翻折的性质，和三角形的相似判定和性质解答即可．【详解】解：∵CF=4cm，∴CB由翻折，菱形的性质，得：CB=CD=CB'=5cm，∵CB∴CB∴∠BCB∴∠BCE=∠B∵CD=5，∴FD=3，过点E作EG⊥BC，设CG=x，则EG=x，∵∠B=∠D，∠BGE=∠DFC，∴△EGB∽△CFD，∴EGCF∴x4解得：x=20∴BE=25故答案为：257【点睛】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，勾股定理，三角形相似的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键．26．（2023·山东济南·中考真题）如图，将菱形纸片ABCD沿过点C的直线折叠，使点D落在射线CA上的点E处，折痕CP交AD于点P．若∠ABC=30°，AP=2，则PE的长等于．

【答案】2【分析】过点A作AQ⊥PE于点Q，根据菱形性质可得∠DAC=75°，根据折叠所得∠E=∠D=30°，结合三角形的外角定理得出∠QAP=45°，最后根据PQ=AP⋅cos45°=2【详解】解：过点A作AQ⊥PE于点Q，∵四边形ABCD为菱形，∠ABC=30°，∴AB=BC=CD=AC，∠ABC=∠D=30°，∴∠DAC=1∵△CPE由△CPD沿CP折叠所得，∴∠E=∠D=30°，∴∠EPA=75°−30°=45°，∵AQ⊥PE，AP=2，∴PQ=AP⋅cos45°=2∴EQ=AQ∴PE=EQ+PQ=2故答案为：2+【点睛】本题主要考查了菱形的性质，折叠的性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握菱形和折叠的性质，正确画出辅助线，构造直角三角形求解．27．（2022·浙江台州·中考真题）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=6．折叠该菱形，使点A落在边BC上的点M处，折痕分别与边AB，AD交于点E，F．当点M与点B重合时，EF的长为；当点M的位置变化时，DF长的最大值为．【答案】33【分析】当点M与点B重合时，EF垂直平分AB，利用三角函数即可求得EF的长；根据折叠的性质可知，AF=FM,若DF取最大值，则FM取最小值，即为边AD与BC的距离DG，即可求解.【详解】解：当点M与点B重合时，由折叠的性质知EF垂直平分AB，∴AE=EB=12AB在Rt△AEF中，∠A=60°，AE=3，tan60°=EFAB∴EF=33；当AF长取得最小值时，DF长取得最大值，由折叠