高一上学期期末数学新定义压轴汇编11基于三角形三边关系的数学新定义_第1页
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高一上期期末新定义压轴汇编11.基于三角形三边关系的新定义一．基本原理三角形的三边关系为任意两边之和大于第三边，因此函数，，若对于任意实数，，，都能构成三角形的三条边长，它的充要条件为：.二．典例分析例1．已知函数，，若对于任意实数，，，都能构成三角形的三条边长，则称函数为上的“完美三角形函数”.（1）试判断函数是否为上的“完美三角形函数”，并说明理由；（2）设向量，，若函数为上的“完美三角形函数”，求实数的取值范围；（3）已知函数为（为常数）上的“完美三角形函数”.函数的图象上，是否存在不同的三个点，满足，？若存在，求的值；若不存在，说明理由.解析：（1）是R上的“完美三角形函数”.，因为，所以.所以.因为“”是“为上的“完美三角形函数”的充要条件，所以函数是R上的“完美三角形函数”.（2）因为，所以.且.因为，所以.所以的最大值为1，最小值为.①当时，由，得.②当时，，满足题意.③当时，，由，得.综上，实数的取值范围是.（3）因为，则，所以，由，得，则，又因为，故.假设存在满足题意的三个点，则，且，所以，所以.即.因为，所以.所以.因为，所以.所以，与矛盾.故不存在点满足题意.例2．已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）对于函数，若，，，，，为某一三角形的三边长，则称为“可构造三角形函数”，已知函数是“可构造三角形函数”，求实数的取值范围.解析：（1）当时，不等式，即为，也就是，解得，所以不等式的解集为.（2）由于函数，所以是“可构造三角形函数”，首先，必有才能保证；且必有，①当时，即时，是上的增函数，则的值域为，由，解得；②当时，即时，，符合题意；③而当时，即时，是上的减函数，则的值域为，故，解得.综上，实数的取值范围.例3．已知函数（其中为常数）.（1）如果存在，使得不等式能成立，求实数的取值范围；（2）设，是否存在正数，使得对于区间上的任意三个实数都存在以，，为边长的三角形?若存在，试求出这样的的取值范围；若不存在，请说明理由.解析：（1）实数的取值范围是.（2）假设存在正数满足题意；设，则在上单调递减，所以，则；所以对于区间上的任意三个实数，，，都存在以，，为边长的三角形，等价于，因为，，任取，则，当时，，，故，即，所以在上单调递减；当时，，，故，即，所以在上单调递增；综上：在上单调递减，在上单调递增，所以对于，当，即时，在上单调递增，故，，则，解得，故；当，即时，在上单调递减；在上单调递增，故，，当时，，解得，此时，则，整理得，解得，所以，即，当时，，解得，此时，则，

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