2025年新高考数学一轮复习收官卷2（学生版+解析）

2025年新高考数学一轮复习收官卷02

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.设集合A={L3},3=3,2-3》+加=0},若Ac3={l},则集合3=（）

A.{1,-2}B.{1,2}C.{1,0}D.{1,5}

2.若复数已在复平面内对应的点的坐标为（）

A.（2,2）B.（0,2）

C.（1,2）D.（2,-2）

3.已知平面向量满足|勿=2|。|=2,若则〃与。的夹角为（）

TC7t2兀5兀

A.-B.一C.—D.—

6336

4.已知的展开式第3项的系数是60,则展开式所有项系数和是（）

A.-1B.1C.64D.36

5.已知函数〃x）=biiu|+cosx,对于有四个结论：①为偶函数；②"X）的最小正周期是兀：③

在,,曰上单调递增；④的最小值为-1.则四个结论正确的是（）

A.①②B.②③C.①③D.①④

6.如图所示，六氟化硫分子结构是六个氟原子处于顶点位置，而硫原子处于中心位置的正八面体，也可将

其六个顶点看作正方体各个面的中心点.若正八面体的表面积为126，则正八面体外接球的体积为（）

D.36TL

7.已知log2a（4"+l）＜lOg2a4。＜0,则（）

c11

A.0<a<一B.-<a<—

442

「i/MD.昱<a〈l

C•一<4<----

222

,jr

8.已知过抛物线。：丫2=2夕；10＞0）的焦点/且倾斜角为7的直线交。于4,8两点，M是AB的中点，点、P

是C上一点，若点〃的纵坐标为1,直线/：3x+2y+3=0,则尸到C的准线的距离与尸至心的距离之和的最

小值为（）

A3岳口5A/13„3A/13c9屈

26261326

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.某机械制造装备设计研究所为推进对机床设备的优化，成立AB两个小组在原产品的基础上进行不同方

向的研发，A组偏向于智能自动化方向，8组偏向于节能增效方向，一年后用简单随机抽样的方法各抽取6

台进行性能指标测试（满分：100分），测得A组性能得分为：91,81,82,96,89,73,B组性能得分为：

73,70,96,79,94,88,则（）

A.A组性能得分的平均数比8组性能得分的平均数高

B.A组性能得分的中位数比B组性能得分的中位数小

C.A组性能得分的极差比8组性能得分的极差大

D.8组性能得分的第75百分位数比A组性能得分的平均数大

10.中国结是一种手工编织工艺品，因为其外观对称精致，可以代表汉族悠久的历史，符合中国传统装饰

的习俗和审美观念，故命名为中国结.中国结的意义在于它所显示的情致与智慧正是汉族古老文明中的一

个侧面，也是数学奥秘的游戏呈现.它有着复杂曼妙的曲线，却可以还原成最单纯的二维线条.其中的八

字结对应着数学曲线中的双纽线.曲线C:（x2+y2）2=9（V-y2）是双纽线，则下列结论正确的是（）

A.曲线c的图象关于y=x对称

B.曲线C上任意一点到坐标原点。的距离都不超过3

C.曲线C经过7个整点(横、纵坐标均为整数的点)

D.若直线>=自与曲线C只有一个交点，则实数上的取值范围为(-8,-1]q工+8)

11.对于任意实数了，儿定义运算“㊉"%㊉y=|x-y|+x+y,则满足条件。㊉b=b㊉c的实数a,6,c的值可能

为()

03

A.a=-log050.3,b=O.4,c=log050.4

B.a=0.4°3,b=loggjO.4,c=_loggjO.3

c…,0.1,10

C.a=0.09，b=—7T-；-,c=In—

e0J9

D.a=-Try,b=hi—,c=0.09

e019

第二部分(非选择题共92分)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知函数〉=/(9+1]的定义域是[2,4],则函数g(x)=」^&的定义域为___-

<2)In(x—2)

425%

13.已知x>0,y>0,x+2y=8且一+力>加2+2加恒成立，则实数机的取值范围为______.

x16y

2

14.已知函数〃x)=e*-阂玳xwO)有3个极值点X],x2,x3(^<x2<x3),则a的取值范围是；

若存在"《1,2,3},使得4>3,则%的取值范围是.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

15.(13分)

某中学数学兴趣小组，为测量学校附近正在建造中的某建筑物的高度，在学校操场选择了同一条直线

上的A,B,C三点、,其中AC=40m,点8为AC中点，兴趣小组组长小王在A,B,C三点上方5m处的

A，B〉C观察已建建筑物最高点E的仰角分别为a,/3,y,其中tancr=l,tan^=2,tan7=3,点、D

为点E在地面上的正投影，点2为DE上与A，耳，G位于同一高度的点.

(1)求建造中的建筑物已经到达的高度DE;

sinZV^

⑵求sinqqC]的值.

16.（15分）

如图，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，BC//AD,EF//AD,AD=4,=

BC=EF=2,4尸=而，FB_L平面ABC£>,M为4)上一点，且R0_LA£>,连接30、BE、BM.

⑴证明：8。_1平面班用；

(2)求平面ABF与平面DBE的夹角的余弦值.

17.(15分)

已知函数/'(x)=e*+acosx在尤=0处的切线方程为y=x+2.

(1)求实数。的值；

(2)探究了(0在区间，+内的零点个数，并说明理由.

18.（17分）

如图,已知双曲线C:《£=1(。>0,6>0)的离心率为2,点在C上，A,3为双曲线的左、

a1b1

右顶点，P为右支上的动点，直线AP和直线x=l交于点M直线A®交C的右支于点0.

⑴求C的方程；

(2)探究直线P。是否过定点，若过定点，求出该定点坐标，请说明理由;

(3)设S/,S2分别为"BN和ANP。的外接圆面积，求的取值范围.

19.（17分）

对于V〃eN*,若数列｛七｝满足x用-%>1,则称这个数列为“K数列”.

⑴已知数列1,2加，毋+i是“K数列，，，求实数机的取值范围.

(2)是否存在首项为-2的等差数列｛%｝为“K数列”，且其前w项和S“使得S,<g"-〃恒成立?若存在，

求出数列｛4｝的通项公式；若不存在，请说明理由.

(3)已知各项均为正整数的等比数列｛4｝是“K数列”，数列不是“K数列"，若〃=耳，试判断数

〔2Jn+1

列｛%｝是否为“K数列”，并说明理由.

2025年新高考数学一轮复习收官卷02

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.设集合A={L3},B={x|%2-3x+m=0},若Ac3={l},则集合3=（）

A.{1,-2}B.{1,2}C.{1,0}D.{1,5}

【答案】B

【解析】由AcB={l}可知F-3+机=0n〃?=2,

当机=2时，%2-3x+2=0,解得：x=l或x=2,即8={1,2}.

故选：B

2.若复数工在复平面内对应的点的坐标为（）

2+1

A.（2,2）B.（0,2）

C.（1,2）D.（2,-2）

【答案】C

【解析】因为:=1+方,其对应的坐标为（1,2）,

故选：C.

3.已知平面向量满足|b|=2|a|=2,若则。与6的夹角为（）

7L712兀5兀

A.—B.-C.—D.—

6336

【答案】B

【解析】由题设。•（。-匕）=。2—〃）=0,而,

所以1一2cos（a,=0=cos（a,e[0,兀],

所以卜,“=g.

故选：B

4.已知上-彳］的展开式第3项的系数是60,则展开式所有项系数和是()

A.-1B.1C.64D.36

【答案】B

【解析】由题意C，-2)2=2〃("-1)=60,注意到〃是正整数，所以解得〃=6,

则展开式所有项系数和是(1-2)6=1.

故选：B.

5.己知函数〃x)=binx|+cosx,对于〃尤)有四个结论：①为偶函数；②〃尤)的最小正周期是兀：③

〃x)在，,曰上单调递增；④的最小值为-I.则四个结论正确的是()

A.①②B.②③C,①③D.①④

【答案】D

【解析】对于①，因为/(-x)=Mn(-x)|+cos(-x)=binr|+cosx,

所以〃—x)=/(x),故①正确；

对于②,/(X+TT)=|sin(x+7t)|+cos(x+7r)=|sinx|-cosx^/(x),

所以兀不是/(X)的周期，故②错误;

对于③，当％e［。(卜寸，sinx>0,

所以/(力-|sin%|+cosx=sinx+cosx=^2sin

又六呜LL,>兀713兀

所以£了工

所以由正弦函数的单调性可得/(X)在上不是单调的，

故③错误；

对于④，由于/(尤+2兀)=卜in(%+27i)+cosG+27i)=binX+cosx=,

所以2兀是/(力的一个周期,

71

又x£[0,7i]时，sinx>0,贝U/(%)=binx|+cosx=sin%+cosx=&sinX+—

又x+£e:，手，所以+-^,1,[-1,司|；

当了£（兀,2兀）时，sinx<0,贝U/（%）=卜inx|+cosx=-sinx+cosx=0cos（x+：j,

又x+fe[*]'所以cos（x+：Je一g」'〃尤）e（T夜）；

综上可得应],所以〃x）的最小值为-1,故④正确；

故选：D.

6.如图所示，六氟化硫分子结构是六个氟原子处于顶点位置，而硫原子处于中心位置的正八面体，也可将

其六个顶点看作正方体各个面的中心点.若正八面体的表面积为12石，则正八面体外接球的体积为（）

Fi

【答案】B

【解析】如图正八面体，连接AC和交于点0,

因为EA=EC,ED=EB,

所以EOLAC,EO1BD,又AC和为平面ABCD内相交直线，

所以平面ABC。，所以。为正八面体的中心，

设正八面体的外接球的半径为R,因为正八面体的表面积为8x交4正=12四，所以正八面体的棱长为n,

4

所以EB=EC=BC=®0B=0C=V3,EO=VfB2-OB2=A/3）

则R=8，V=%&=%x3^=4石兀•

故选：B.

7.已知Iog2a（4a2+l）<k>g2a4”0,则（）

C.L<a<叵D.走<。<1

222

【答案】B

【解析】因为对数的定义域，得0<2a<l或2a>I,

又因为4#+1—4<?=（2a—1）>0,所以4a*+1>4-a,

因为log2a（4a2+l）<log204a<0,所以可得0<2。<1,

因为log244a<0=log2j,可得4a>1,

所以g<a<1.

42

故选：B.

8.已知过抛物线。：丫2=2.（0>0）的焦点厂且倾斜角为；的直线交。于4,2两点，M是A3的中点，点尸

是C上一点，若点"的纵坐标为1,直线/:3x+2y+3=0,则尸到C的准线的距离与P到/的距离之和的最

小值为（）

A35口5屈r3岳门9屈

26261326

【答案】D

【解析】由题得C的焦点为尸（与，。］,设倾斜角为^的直线的方程为>

12）42

与C的方程/=2px（联立得y2-2/?y-p2=0,

设4（X1，%）,8（*2,%），则%+%=2。=2,。=1,故C的方程为丁=2X,E［；,O］.

由抛物线定义可知点尸到准线的距离等于点尸到焦点F的距离，

联立抛物线C:^=2尤与直线/:3x+2y+3=0,化简得9d+10x+9=0,

由AulOO—4x9x9=-224<0得C与/相离.

Q,S,R分别是过点尸向准线、直线/：3x+2y+3=0以及过点F向直线/:3元+2y+3=0引垂线的垂足，连接

FP,FS,

所以点尸到C的准线的距离与点P到直线/的距离之和|PQ|+|冏=户目+盟以尸S|>|ER],等号成立当且仅

当点尸为线段用与抛物线的交点，

所以尸到C的准线的距离与P至U/的距离之和的最小值为点尸（go1到直线/：3尤+2>+3=0的距离，即

3x』+0+3

9713.

|用=『

11V32+2226

故选：D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.某机械制造装备设计研究所为推进对机床设备的优化，成立A,8两个小组在原产品的基础上进行不同方

向的研发，A组偏向于智能自动化方向，8组偏向于节能增效方向，一年后用简单随机抽样的方法各抽取6

台进行性能指标测试（满分：100分），测得A组性能得分为：91,81,82,96,89,73,8组性能得分为：

73,70,96,79,94,88,则（）

A.A组性能得分的平均数比8组性能得分的平均数高

B.A组性能得分的中位数比B组性能得分的中位数小

C.A组性能得分的极差比8组性能得分的极差大

D.B组性能得分的第75百分位数比A组性能得分的平均数大

【答案】AD

91+81+82+96+89+73…

【解析】由题意可得A组性能得分的平均数为--------------------------------«85.3

6

73+70+96+79+94+88

8组性能得分的平均数为«83.3

6

所以A组性能得分的平均数比6组性能得分的平均数高，A说法正确;

QOQQ

A组性能得分73,81,82,89,91,96的中位数为=85.5

9±受=83.5

B组性能得分70,73,79,88,94,96的中位数为

2

所以A组性能得分的中位数比8组性能得分的中位数大，B说法错误；

A组性能得分的极差为96-73=23,8组性能得分的极差为96-70=26,

所以A组性能得分的极差比B组性能得分的极差小，C说法错误；

8组性能得分70,73,79,88,94,96共6个数据，6x0.75=4.5,

所以B组性能得分的第75百分位数为94,比A组性能得分的平均数大，D说法正确;

故选：AD

10.中国结是一种手工编织工艺品，因为其外观对称精致，可以代表汉族悠久的历史，符合中国传统装饰

的习俗和审美观念，故命名为中国结.中国结的意义在于它所显示的情致与智慧正是汉族古老文明中的一

个侧面，也是数学奥秘的游戏呈现.它有着复杂曼妙的曲线，却可以还原成最单纯的二维线条.其中的八

字结对应着数学曲线中的双纽线.曲线C:(/+y2)2=9，-y2)是双纽线，则下列结论正确的是()

A.曲线c的图象关于y=x对称

B.曲线C上任意一点到坐标原点。的距离都不超过3

C.曲线C经过7个整点(横、纵坐标均为整数的点)

D.若直线>=丘与曲线C只有一个交点，则实数上的取值范围为(-8,-1］q工+8)

【答案】BD

【解析】对于A项，把(y,x)代入，+/2=9，-/)得，+川2=9(>272),

显然点(%x)不满足双纽线方程，

所以曲线C的图象不关于y=x对称，故A项错误；

对于B项，由，+/2=9,_丫2)可得/+9=9，-乎=9—芈==9,

x+yx+y

所以曲线C上任意一点到坐标原点。的距离d=小炉+/43,即都不超过3,故B项正确：

对于C项，令y=0解得尤=0或x=±3,即曲线经过(0,0),(3,0),(-3,0),

由题意可知，-3<x<3,

令》=±1,得产=匚甲更<1,

令x=±2,得1</=T7+屈<2,

2

因此曲线C只能经过3个整点(0,0),(3,0),(-3,0),故C项错误；

对于D项，直线>=区与曲线(无2+/了=9(Jt2-/)一定有公共点(0,0),

若直线>=近与曲线C只有一个交点，

所以<('+门=9(/一力，整理得/(1+后)=9/(1一公)，只有一个解了=0,

y=kx

即1—左之40,解得女£(-8,-1］。［1,+00),故D项正确.

故选：BD.

11.对于任意实数无，V,定义运算“㊉"%㊉y=|x-y|+x+y,则满足条件。㊉b=b㊉c的实数“力,。的值可能

为()

03

A.o=-log050.3,b=O.4,c=log050.4

B.a=0.403&=log050.4,C=-log050.3

,0.1c=ln"

C.a=0.09,b=-7-r

e9

一0」7110

D."产c=0.09

【答案】BD

【解析】由Q㊉人=Z?㊉C,可得,一4+〃+/?=弧一d+b+c,即,一,一—d=c—〃,

若aMb,cMb,可得,一b|-|b-c|=c-a,符合题意，

若a&b,c>b,可得,一.一—c|=26_a_c,不符合题意，

若a>b，cWb,可得,_4_取_c|=q_c,不符合题意，

若a〉b,c>b,可得,一,一性一c|=c+a—26,不符合题意，

综上所述a-6V0,b-c>0,可得

故只需判断四个选项中的6是否为最大值即可.

对于A,B,由题知-log0.50.3=logo,5w<log。"=。，而0<0.4°，3<0.4°=1,

log050.4>log050.5=1,所以-log。$0.3<0.4°3<log050.4.

(点拨：函数y=logo/为减函数，y=0.4工为减函数)，

对于A,a<b<c；对于B,c<a<b,故A错误，B正确.

对于C,D,零=。讶=0-。」)四,

e01

(将0.9转化为1-0』,方便构造函数)构造函数〃x)=(lT”,xe[0,l),

则广(尤)=一.',因为xe[0,l),所以If(x)40J(x)单调递减,因为"0)=1,所以〃0.1)<1,

即。.9四<1,所以。。9<”(若找选项中的最大值，下面只需判断声与9的大小即可)

0.1I100.119r1o.i+ln—=-^1+ln(l-0.1),

-x-；—In—=—77-j—In

e019e0110e0110e01''

构造函数%(%)=2+1口(1一%),不£[0,1),贝=1-x1

1-xe"(1-X)

因为％w[0,l),所以e，(l—x)>0,令@(X)=(1-%)2_炉，则加(x)=—2(l—x)—e"

当x£[0,1)时,R(%)v0⑷(x)单调递减,因为研0)=0,

所以0(%卜0,即"(x)V0，Mx)单调递减，又"(0)=0,所以%(。.1)<0，

即f+1口。一0.1)<。，所以/T〈lnw.

综上,°.。9＜果＜吟.对于C,…；对于D,皿＜从故C错误，D正确.

（提醒：本题要比较0.09与In］的大小关系的话可以利用作差法判断,

即0.09-11=0.1*0.9-“2]=

(l-0.9)x0.9+ln0.9,

9U0；

构造函数8(%)=(1-1)％+1E%£(。,1],

贝Ug'(x)=1一2X+L=-2.+X+1=(2X+1)(T+1)

XXX

因为xe（O,l］,所以g，（x"0,g（x）单调递增，因为g⑴=0,所以g（0.9）＜0,

BP0.09-ln—＜0,所以0.09＜ln§）

故选：BD.

第二部分（非选择题共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知函数＞=/1》+1）勺定义域是［2,4］,则函数g（x）=［二［\的定义域为

【答案】（2,3）.

【解析】因为函数〉=/［：苫+1］的定义域是［2,4］,

所以2Wx<4,^2<-x+l<3,

2

/\/(x)

因为gX=有意义,

lJn(Ix-2；)、

2<x<3

所以b—2>0,所以2<xv3,

ln(x-2)w0

/\/(x)

所以函数8(口=丁产石的定义域为(2,3).

故答案为:(2,3).

425尤,

13.已知x>0,y>0,x+2y=8且一+二>〃/+2加恒成立，则实数机的取值范围为

尤7176y

【答案】-3<m<l

【解析】因为x+2y=8,所以无=8-2y,

,425x425(8-2y)42525

所CC以H一+——=-+------=-+-------,

x16yx16yx2yS

i4251425(尤+2y)=:“8y25x

因为丁方二—+一29+—+——

x2yox2y

当且仅当郑=学，即4y=5尤，即尤=学/=”时取得等号，

X2y77

42525

所以一+:;---1有最小值为3,

x2y8

425%2c一、

因为t—+77->m+2小恒成乂，所以3>病+2小即疗+2机-3<0,

x16y

解得—3<m<1»

故答案为：-3<m<l.

14.已知函数/(x)=e"-ox|x|(xN0)有3个极值点X],%，/(玉<%<尤3)，则。的取值范围是

若存在盯《1,2,3},使得4>3,则%的取值范围是____.

X]

【答案】(2e,+”)[(),?]

【解析】因为函数/(x)=e2-阂X(x-0),

所以，当x<0时，/(x)=e2x+or2,/'(x)=2e2x+2ar,令/'(%)=0得〃=—J,

x

2x

所以，当x>0时，f(x)=e2v-or2,f'(x)=2e2x-2ax,令广("=0得°=J

(2x-l)e2x

,x>0

2

XX'

所以，令g")=2x,则g'(x)h

(2x-l)e2比

---,x<Q—,x<0

、X

所以，当x<0时夕(x)>0,0<x<：时，g'(x)<0,x>g时，g/(x)>0,

所以，函数g(x)在(-8,0)和g，+s]上单调递增，在上单调递减；

因为函数〃x)=e2'—axW(xw0)有3个极值点为，无2，%(大)，

所以，函数g(x)与>有三个交点，

因为，当x<0时g(x)>0,当x>0时g(x)>0,g[j=2e,

作出函数g(x)与y图象如图，

贝！满足匕且玉<

由图可知，函数g(x)与y=a有三个交点,11>20<%2<3<%3,

所以，当存在力e{l,2,3},使得乜>3,只需满足巴>3,

Xjx2

所以，X,的取值范围即为％的取值范围.

令三=r>3,则彳3=/，

X2

因为了2，%为函数/(%)=。2%-方国(1>0)的极值点,

X=2xj

所以/'(%2)=2匕2巧一2dx2=0，/(3)2e-2OV3=0,即©之数=〃％，=ax3,

所以，2%=Ina+In%,2退=Ina+Inx3

所以Ina=2X2—In4=2x3-lnx3=2tx2-In-Inx2,即2(，—l)/=lnZ,

In/，/、In/-

所以，石行,故令阳户行'”3，

1In11

I------In/1-----i-ln-

所以,"⑺=tt

2(1『2("

11—Y

令y=l_%+lnx,则yf=-i+—=---,

XX

所以，当0<x<l时，y=l—%+lnx单调递增，当X>1时，y=l—％+lnx单调递减,

所以，^=l-x+lnx<l-l+lnl=0,BPl-x+lnx<0,

i1।1111

1-----Int1Fin-

所以，〃(力=_t____=tL<0,即函数//⑺在/>3时单调递减，

2(T2(1厂

所以，0<//«)<*3)=等，即马的取值范围为,,野］

故答案为：(2e,+e)；(0,毕］

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

15.(13分)

某中学数学兴趣小组，为测量学校附近正在建造中的某建筑物的高度，在学校操场选择了同一条直线

上的A,B,C三点，其中AC=40m,点8为AC中点，兴趣小组组长小王在A,B,C三点上方5m处的

4，耳，G观察已建建筑物最高点E的仰角分别为a,P，Y,其中tancr=l,tan£=2,tan7=3,点。

为点E在地面上的正投影，点2为。E上与4，4，G位于同一高度的点.

(1)求建造中的建筑物已经到达的高度DE;

,2sin/AQ耳

（）求sinNBQ]G的值.

【解析】(1)如图，设ER=h,因为在4,耳，C处观察已建建筑物最高点£的仰角分别为a,/3,

Y,且tana=l,tan/=2,tan/=3,

hh

所以AA=/Z，AA=5，GDI=§，又AC=40,耳是AC的中点，

h2

400+---h2.

在中，由余弦定理得到cos/A=---------土方一，

2x20x-

2

…h2h2

400H---------

在，G4R中，由余弦定理得到cosNG耳。=-----宁-

2x20x-

2

廿方2,2

400+--/z2400+----

又N4耳2+NG⑸2=兀，所以------------------7-=0,

hh

2x20x-2x20x-

22

整理得到[竺=800,解得%=毁叵，所以DE=5+丝6叵.（9分）

181111

(2)在一4片。中，由正弦定理知①,

sinNA'qsin/4与2

在工叼中，由正弦定理知而圜家;黑万②,由⑴知黑=兴必取和=442,

sinNA*]C°i_J

由②+①得到(13分)

sinNBRC]AlDl3"

E

16.（15分）

如图，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，BC//AD,EF//AD,AD=4,AB=s/2,

BC=EF=2,AF=A/TT，FB_L平面ABC。，/为AD上一点，且连接8。、BE、BM.

⑴证明：BCmBFM；

⑵求平面ABF与平面DBE的夹角的余弦值.

【解析】（1）因为平面ABC。，又ADu平面ABCD,

所以FB_LAD.又FM_LAD,且FBFM=F,

所以A£>_L平面因为3C〃AD,所以BC_L平面（5分）

（2）作®V_LAD,垂足为N.则RW7/硒.又砂〃/止>,

所以四边形FMNE是平行四边形，又ENLAD,

所以四边形FMNE■是矩形，又四边形AD£F为等腰梯形，且AD=4,EF=2,

所以AW=1.

由（1）知AD_L平面班加，所以BM_LAD.又48=应，

所以8M=1.在Rt^AFM中，FM=^AF2-AM2=A/10-

在Rt中，FB=y/FM2-BM2=3-

由上可知，能以BM,BC,3尸所在的直线分别为x轴、V轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系.

则A(-1,-1,O),3(0,0,0),F(0,0,3),D(-l,3,0),£(0,2,3),所以，AB=(1,1,0),8/=(0,0,3),

BD=(-1,3,0),丽=(0,2,3),设平面ABF的法向量为戊=>,“*]),

m-AB=0fx,+y,=0,

由，得:可取用=(1,-1,0).(12分)

m-BF=014=0,

设平面BDE的法向量为〃=(%,%,Z2),

n-BD=Q-%2+3%=0,

由<可取〃=(9,3,—2).

n-BE=02y2+3Z2=0,

,,m-n9-33A/47

因m止匕，cos<m,n>=----------=------,,=--------.

\m\-\n\vl+1-「81+9+447

依题意可知，平面AB尸与平面的夹角的余弦值为主巨.

(15分)

47

17.(15分)

已知函数/(x)=e''+aco&x在x=0处的切线方程为'=尤+2.

(1)求实数。的值；

(2)探究〃尤)在区间]内的零点个数，并说明理由.

【解析】(1)由题可知/'(x)=e*-asinx,

由尤=0处的切线方程为y=x+2,:"=r(O)=e°=l,

把点(。,2)代入得6°+。8$0=2,，。=1.(6分)

(2)由(1)可知/(x)=e*+co&r,."(%)=e"-sinx,

令g(X)=/'(x)，g'(x)=e*hCO&x,

当时，g'(x)>0,则g(x)在区间卜1,f)上单调递增.

g[-^]=e2-l<0,g(-7t)=e">0,

二由零点存在定理可知，存在毛€(],一无]，使得g(5)=0,即e-siiu;。，

...当xeg,xj时，广(x)<0,则在区间上单调递减；

当XW&,-兀)时，/(x)>0,则”尤)在区间(％,-兀)上单调递增，

又小引=丁+cos引>0J(-兀)=e"一1<0,

由零点存在定理可知/'(x)在区间[一^，-兀)上有且仅有一个零点.(11分)

当xe[-7i,0)时，//(x)=ei-sinx>0；

当无w[0,+oo)时，/,(^)=ex-siiir>e0-l>0：

\在区间[-私心)上单调递增.

又./(-7T)=e-JI-l<O,/(O)=e°+l>O,

••・由零点存在定理可知，存在唯一零点々目-兀,0),使得/(々)=0,

综上可得，/(X)在区间(T，+8)有且仅有两个零点.(15分)

18.(17分)

22

如图，已知双曲线C:3-]=1("0,6>0)的离心率为2,点,2在C上，A,B为双曲线的左、

ab

右顶点，尸为右支上的动点，直线AP和直线x=l交于点N,直线A®交C的右支于点。.

⑴求C的方程;

(2)探究直线PQ是否过定点，若过定点，求出该定点坐标，请说明理由;

(3)设S/,S2分别为AABN和ANP。的外接圆面积，求的取值范围.

【解析】(1)因为离心率e=£=2,

a

所以c=2a,b1=3/

22

双曲线的方程为二-？==1,

a~3a~

将点[手，2]代入双曲线方程得一。=1，

4

所以==1,/=4尸=12,

a

所以双曲线C的方程为工-f=1.（4分）

412

（2）直线PQ过定点（4,0）,理由如下：

设「a，yJ，Q（w，%），

直线PQ的方程为妆+〃，

（22

土上=1

联立1412,

x=my+n

整理得（3m2-1）>2+6mny+3n2—12=0,

6mn3n2—12

则A〉0,%+y（6分）

23/3疗_]

直线AP:y=3^(x+2),

所以N1,

又N,B,。三点共线,

3%

所以即

再+2

即%&+2)+3为仁—2)=0,

gpy2(my1+/z+2)+3y1(my2+n-2)