2025年新高考数学一轮复习：重难点突破 线性代数背景下新定义（四大题型）（学生版+解析）

重难点突破02线性代数背景下新定义

目录

01方法技巧与总结...............................................................2

02题型归纳与总结...............................................................2

题型一：行列式背景.............................................................2

题型二：矩阵背景...............................................................4

题型三：向量组背景.............................................................7

题型四：特征向量背景...........................................................9

03过关测试....................................................................11

亡法牯自与.柒年

//\\

线性代数中处理新定义问题时，首要任务是准确理解新定义的本质。方法技巧上，可以采取以下步骤:

一、深入剖析新定义，明确其内涵与外延，把握关键要素。

二、尝试将新定义与已知概念、定理或性质建立联系，利用已有知识体系进行推理。

三、在解题过程中，灵活运用矩阵运算、线性变换、特征值与特征向量等工具，以及适当的代数或几

何方法。

四、注重验证结果的正确性，确保解题步骤和答案无误。

总结时，应强调新定义在解题中的关键作用，回顾解题过程中用到的关键知识点和技巧。同时，总结

新定义问题的常见类型和解题思路，以便在遇到类似问题时能迅速找到解决方法。通过不断练习和总结，

可以逐渐提高解决线性代数新定义问题的能力，加深对线性代数学科的理解和掌握。

题型一：行列式背景

【典例1-1】（2024•河北保定.三模）对于任意给定的四个实数为,阳，%i，我们定义方阵

A=,方阵A对应的行列式记为det（A）,且det（A）=4%2-，方阵A与任意方阵

8=仅的乘法运算定义如下：Ax8=C,其中方阵C=g:],且％“=£。/"（九心｛1,2｝）.设

cosa-sinacos夕sin尸10

M=，N=,E=

sinacosa一sin4cos/701

(1)证明:det(MxN)=det(E).

（2）若方阵A,5满足Ax6=石，且det（A）,det（B）£Z,证明：|det（A）+det（B）|=det（M）+det（A^）.

【典例1-2】（2024.江苏南通.模拟预测）解二元一次方程组是数学学习的必备技能.设有满足条件

anx{+anx2=l\

“11"22*的—^兀一^次方程组

〃2i玉+22%2二%•

（1）用消元法解此方程组，直接写出该方程组的两个解;

⑵通过求解，不难发现两个解的分母是由方程组中石，%的系数61、%2、〃12、%所唯一确定的一个数，按

照它们在方程组中的位置，把它们排成一个数表:由此可以看出如出2是这个数表中左上到

右下对角线上两个数的乘积减去右上到左下对角线上两个数的乘积的差，称勺。22-为该数表的二阶

"CL一.x.的22=h1有唯一一组解同样的，行列式

行列式，记为.当9时，二元一次方程组

。2西+22%2=b?

abab

mn称为三阶行列式，且mn=amz+bnx+cly—cmx-biz—any.

%VzXyz

勺%+42芯2="

（i）用二阶行列式表示方程组的两个解;

“21万+〃22“2=b?

〃11石+anx2+ai3x3=4

（ii）对于三元一次方程组的凸+“22%+%七=62,类比二阶行列式，用三阶行列式推导使得该三元一次

〃31'1+^32,^2+。33"^3—"3

方程组有唯一一组解的条件（结论不得使用行列式表达），并用三阶行列式表示该方程组的解.

sinx—m

⑶若存在xe［0,兀］,使得>sin2尤+2,求加的取值范围.

cosxm

【变式1-1］（2024•山东荷泽・模拟预测）行列式是代数学中线性代数的重要分支，是一个方阵所对应的一

个标量值.行列式具有简洁、对称、优美的特点，可以用来求直线方程，求三角形的面积，解线性方程组等.

利用行列式进行求解，则可以简化运算步骤，提高做题速度.其中二阶行列式定义为：

42—17人，一\、,022”23”21”23,”21”22

xax

=ana22—al2a2i；二阶仃列式定义为：4243-~n+/x,

12一一/、

例如：35"lx"2x3=-1.在平面直角坐标系中，已知VA5C的三个顶点坐标为A（%，x）,

石M1

1

5（工2，为），°（犬3，%），则VA5c的面积公式可表示为：S.ABC—x“%1

2

七%1

⑴已知0（0,0）,M（—3,—2）,N（l,-6）,求△胸的面积.

⑵已知点A（-2,0）,3（0,2）,若点C是圆/-21+;/=0上的动点，求VABC面积的最小值.

22

（3）已知椭圆\+:=1（。>6>0）,它的左焦点坐标为卜26,0）,右顶点坐标为（4,0）,设点。的坐标为

（2,1）,过原点。的直线交椭圆于点瓦/，求ADEF面积的最大值.

题型二：矩阵背景

【典例2-1】（2024・广东.一模）数值线性代数又称矩阵计算，是计算数学的一个重要分支，其主要研究对

象包括向量和矩阵.对于平面向量a=（x,y）,其模定义为|洲=旧+叶.类似地,对于〃行，列的矩阵

/、

ai2"13…a\n

1（HH、2

2

A,„=2223"，其模可由向量模拓展为4=VVa^（其中%•为矩阵中第，行第•;列的数,

“31。32“33…&3n:''

\[=1J=i

\****）

2为求和符号），记作我们称这样的矩阵模为弗罗贝尼乌斯范数，例如对于矩阵

[3其矩阵模4=住为”=亚中方^=3折弗罗贝尼乌斯范数在机器学

I2122?k）1f旦，

习等前沿领域有重要的应用.

勺00…0、

0V20...0

(1)V〃EN*,n>3,矩阵纥〃二00G...0,求使％>36的”的最小值

(000…亚

(2)Vn€N*，n>3,,矩阵。即二

’1cos8cos。cos3•cos。cos6'

0-sin。-sinScos。一sin8cos6•-sin8cos6-sin8cos8

00sin20sin28cos8-sin2OcosOsin2OcosO

..求G

0000•­(-I)"-2sin"-26(-I)"-2sin-2夕cos6

、00000(-1严sin”—6,

n

(3)矩阵。证明：£N*，n>3,D>

F3n+9

【典例2・2】行列式是线性代数的一个重要研究对象，本质上，行列式描述的是〃维空间中，一个线性变

换所形成的平行多面体的体积，它被广泛应用于解线性方程组，矩阵运算，计算微积分等.在数学中，我

-11「441「—2311[abl

们把形如,，cr，ocO这样的矩形数字(或字母)阵列称作矩阵.我们将二阶矩阵/

3J|_27J|_35-3J[_ca_

।।ab

两边的"r'改为"|I"，得到二阶行列式°d，它的运算结果是一个数值(或多项式)，记为

ab

=ad-bc.

cd

35

(1)求二阶行列式的值；

-2—1

1-A/3

(2)求不等式的解集；

cosxsmx

sinx—nt

⑶若存在xe[0,可，使得>sin2x+2,求机的取值范围.

cosxm

x!=ax+by_

【变式2-1](2024・辽宁沈阳•模拟预测)在平面直角坐标系xOy中，利用公式y，=cx+dy①（其中°,如

c,d为常数)，将点尸(x,y)变换为点P'(Ky')的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式,

(ab\(ab\

该变换公式①可由。，b,c,d组成的正方形数表』唯一确定，我们将』称为二阶矩阵，矩阵

ycajyca)

通常用大写英文字母A,B,…表示.

（1）如图，在平面直角坐标系X0V中，将点P（x,y）绕原点。按逆时针旋转a角得到点P'（Ky'）（到原点距离

不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵A;

TT

⑵在平面直角坐标系g中，求双曲线孙=1绕原点。按逆时针旋转彳（到原点距离不变）得到的双曲线

方程C；

（3）已知由（2）得到的双曲线C,上顶点为直线/与双曲线C的两支分别交于A,8两点（8在第一象

限），与无轴交于点T,0.设直线ZM,D3的倾斜角分别为B,求证:a+4为定值.

…ain

【变式2・2】有》（九力4）个正数，排成""矩阵（〃行〃列的数表）：?•••，旬表示位于第

%…ann,

，行，第/列的数.其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有的公比都相等，已知

_1_3

%4-1，〃42=7•

816

⑴求公比.

（2）用左表示〃A4.

（3）求知+%+…+%”的值.

【变式2-3］（2024•山东泰安・模拟预测）在数学中，由机个数为1=1,2,…，噂）=1,2,…⑼排列成的相行

a\\anain

ai\a\2ain

"列的数表称为〃zxw矩阵，其中均称为矩阵A的第，行第j列的元素.矩阵乘法是指对于两

am\am2amn

Iy

个矩阵A和8,如果4的列数等于B的行数，则可以把A和8相乘，具体来说：若

/C

屋11••1J

工“12…“J

%…btj.••九、

^21•・匕

A=%ai2.••ain,B=,则C=A5=%…Cij,,Cin,其中

4…bnj'

am2…Cmj,•^mn,

0=4也+%%+…+a,"%i=l，2,…，九）=1,2,…,”.已知:[7=1''函数

(1)讨论的单调性;

(2)若玉,々(玉<毛)是〃尤)的两个极值点，证明：Vx0e(^,x2),/(^0)+/(%,)+6^+^11116<0.

题型三：向量组背景

【典例3-1】(2024.贵州黔东南.二模)一般地，“个有序实数卬，生，L,组成的数组，称为〃维向量,

记为日=•类似二维向量，对于w维向量，也可以定义向量的加法运算、减法运算、数乘运算、

数量积运算、向量的长度(模)、两点间的距离等，如万=(%,%,3,%),则同=Ja；+a"..+a：；若存在

不全为零的r个实数h,k],L,(使得勺7+左2%+…+d=6，则向量组q，Z，L,7是线性相关

的向量组，否则，说向量组或，Z，L,，是线性无关的.

⑴判断向量组Z=。，3,1)，Z=(-1,L3),Z=(-5,-7,3)是否线性相关?

⑵若1%,出,…,。,)，《=ln(l+J,k=l,2,3,---,n,当“22且〃©N*时，证明：〈问

【典例3-2】对于一组向量4，出，/，1(«eN+,JLn>3),令s.=q+g+%+L+为，如果存在

%(〃7e{l,2,3,L,〃}),使得14以士-4|,那么称％是该向量组的“H向量”.

⑴设=(x+",〃)(〃eN+),若%是向量组用,务,4的“"向量”，求实数尤的取值范围；

rrj7rriTT111i

⑵若见=(cos万,sin5X〃eN+),向量组。”的，41“是否存在“H向量”？若存在求出所有的“H向量”，

若不存在说明理由；

(3)已知4%,4均是向量组4万2,4的向量"，其中4=(sinx,cosx),a2=(3cosx,3sinx),设在平面直角

uuur

坐标系中有一点列席6，G，L,P„,L(〃eN+)满足月为坐标原点，P^=\,且与&关于点月对称，

%M与&+2(%©，)关于点外对称，求|瓦再嬴的最小值.

【变式3-1】对于一组向量晨月，生,…,〃〃，(〃EN且〃之3),令5〃=4+%+%…，如果存在

可(p£{1,2,3,…，叫，使得同2国-肃，那么称可是该向量组的“长向量”.

(1)设屋=(〃,兄+2〃)，且〃>0,若工是向量组的“长向量”，求实数x的取值范围；

(2)若。〃=卜由胃,85/'],〃£1^且〃>0,向量组4，%,%,…,。2024是否存在“长向量E”?若存在，求出正整

数4；若不存在，请说明理由；

⑶已知鼠Z，Z均是向量组■腐,Z的“长向量”，其中4=(sinx,cosx),tz2=(2cosx,2sinx).设在平面直角坐

标系中有一点列66,号…，匕满足，《为坐标原点，6为2的位置向量的终点，且旦口与之关于点4对

称,+2与之+1(左£N且左>0)关于点与对称,求区023Etj的最小值.

【变式3・2]若C'二{4]=(4，。2,…，4,…,%)，4£R,i=l,2,,则称Q〃为九维空间向量集,

0={0,0,…,0}为零向量，对于ZwR,任意2=。％,…M)B=(4也,…,2)，定义：

①数乘运算：ka=(痴1,痴2，…，她)；

②加法运算：々+石=(々1+4,々2+〃2L，，1〃+2)；

③数量积运算：a,/?=卬4+%%+…+%/?〃；

④向量的模：,卜Qa；+诙H---，

对于。"中一组向量ZU=L2,…,回，若存在一组不同时为零的实数冗。=1,2,…,m)使得

匕1+勺2+―+幻乙=6,则称这组向量线性相关，否则称为线性无关，

(1)对于”=3,判断下列各组向量是否线性相关：

①Z=(-U,l),石=(-2,2,2)；

②2=(-1,1,1)3=(-2,2,2)工=(3,1,-4)；

⑵已知%线性无关，试判断%—%2%—3%,3a3-4%,4%-%是否线性相关，并说明理由;

(3)证明：对于。”中的任意两个元素Z,瓦均有|2+4242],

题型四：特征向量背景

【典例4-1】已知。为坐标原点，对于函数/(x)=asinx+bcos^,称向量的'=(a,6)为函数“尤)的相伴特

征向量，同时称函数“X)为向量时的相伴函数.

⑴记向量丽=(1,6)的相伴函数为若〃力=*且百卜/。，求sinx的值；

(2)设g(x)=cos[x+：]+3cost-x](xeR),试求函数g(x)的相伴特征向量加，并求出与两方向相

反的单位向量；

⑶已知A(-2,3),3(2,6),OT=(-A/3,1),为函数"(x)=msin(x-0(meR)的相伴特征向量，

°(尤)=〃仁-3，请问在y=0(x)的图象上是否存在一点P,使得而？若存在，求出点P的坐标；

若不存在，说明理由.

【典例4-2】已知。为坐标原点，对于函数〃x)=asinx+bcos^,称向量的'=(“/)为函数〃尤)的相伴特

征向量，同时称函数“X)为向量两的相伴函数.

⑴记向量两=(1,@的相伴函数为〃元)，求当〃X)=|且引时，sinx的值；

⑵设函数g⑴=/cos"胃+cos『d，试求g⑴的相伴特征向量加，并求出与丽•共线的单位向

量；

(3)已知A=(—2,3),3=(2,6),万=卜®1)为〃(尤)=msin[-胃的相伴特征向量，。(上心4；

请问在y=O(x)的图象上是否存在一点P,使得而.若存在，求出P点坐标;若不存在，说明理由.

【变式4-1】我们学过二维的平面向量，其坐标为屋&，幻4=1,2),那么对于M”eN*,〃》2)维向

量，其坐标为。=&冉，1,0)&wR左=L2,L设〃(〃€-〃22)维向量的所有向量组成集合

z.xm

4=同比=(廿2,…eR，左=1,2,…，力.当a=(M2，L,、)(/e{0,l}#=l,2,L时，称为A”的“特征向

量"，如&={&忸=(4出),心氏k=1,2}的“特征向量”有名=(0,0),%=(0,1),«3=(1,0),。4=(1,1).设

a=(%,孙L,%)和尸=(%*%，1,%)为4的"特征向量”,定义

inHi21-1

0=/[(占+M_N_MI)+(尤2+%-卜-%I)+L+(x„+yn-\xn-y„|)J.

uuu|U<I|illU|

(1)若Z，Be%且a=(l,l,o),£=(O/,l),计算,回，卜,司的值；

⑵设8口4且8中向量均为人的“特征向量”，且满足：V：，鼠B，当上》时，|常为奇数；当

时，卜,4为偶数.求集合3中元素个数的最大值；

⑶设Ba4("eN*,〃、2),且8中向量均为A”的“特征向量”，且满足：\/«)且Z片万时，

向4=0.写出一个集合3,使其元素最多，并说明理由.

【变式4-2】已知。为坐标原点，对于函数/(x)=asinx+)cosx,称向量丽=(a,力为函数/(x)的相伴

特征向量，同时称函数/'(x)为向量两的相伴函数.

⑴记向量丽=(1,6)的相伴函数为/(x),若当/(x)=g且尤1-J,/]时，求sinx的值;

⑵已知4—2,3),3(2,6),Of=(-后1)为砥)=〃4中一日的相伴特征向量，°(x)=/zU请问在

y=双尤)的图象上是否存在一点P,使得亦，丽.若存在，求出尸点坐标；若不存在，说明理由.

⑶记向量的=(1,若)的相伴函数为/(x),若当xe。，皆时不等式/(x)+妙卜+?>0恒成立，求实数

上的取值范围.

1.给出以下关于线性方程组解的个数的命题.

++qz=&a^x+b1y=q

a{x+bxy=qaix++biy+ciz=di

①,<a2x+b2y+c2z=d2@,③,<a2x+b2y=J④，

a2x+b2y=c2a2x++b2y+c2z=d2

a3x+b3y+c3z=d3a3x+b3y=c3

(1)方程组①可能有无穷多组解；

(2)方程组②可能有且只有两组不同的解；

(3)方程组③可能有且只有唯一一组解；

(4)方程组④可能有且只有唯一一组解.

其中真命题的序号为.

2.(2024.上海闵行.二模)平面上有一组互不相等的单位向量西，....砥，若存在单位向量而

满足丽•西+而•砥+…+而・西=0,则称而是向量组西，砥，…，西的平衡向量.已知

(函，砥)=1,向量9是向量组次，砒，西的平衡向量，当方•%取得最大值时，西•砥的值

为一

ab

3.(2024・高三・广东•开学考试)已知二阶行列式jad—bc,三阶行列式

ca

a{bxq

/

a2b2。2=%叫-%色+%%，其中叫，加2,用分别为％，的,生的余子式(某个数的余子式是指删去那个数

a34c3

所在的行和列后剩下的行列式).

123

⑴计算312

231

00%2x

(2)设函数/(%)=。10+32x2

00113x

3。”+1

①若人龙)的极值点恰为等差数列何｝的前两项，且｛4｝的公差大于o,求£%；

i=l

②若/(不)=0，。€(-2,-1)且心不，函数g(x)=/'(©(。一动一/⑷，证明：g(«)g(x0)<0.

4.(2024.全国.模拟预测)行列式是近代数学中研究线性方程的有力工具，其中最简单的二阶行列式的运

“11”12

算定义如下:

X-2023

(1)在等比数列｛%｝中，q,%045是=-3的两个实根，求“2021,“2022-。2023,“2024,。2025的值；

X

-5〃

2〃+1—+1

若c—"

2,求数列｛%｝的前〃项和;

(2)已知数列也｝的前〃项和为％,且雹=，右〃213〃

-1——1

2

(3)已知是奇函数,g(x)是偶函数.设函数*x)=/(x)+g(x),且存在实数使得

F(x+4)1

=M对于任意的xeR都成立，若"2)=1,求/'(1234)的值.

尸(x)1

小%,X.sin(〃>x+0)coscox,,TT一

5-定义行列式运算：鼻z=司-“，右函数〃x)=o1(。>。，时<万)的最小正

周期是万，将其图象向右平移1个单位后得到的图象关于原点对称.

⑴求函数“X)的单调增区间;

⑵数列他“｝的前〃项和S“=A〃2,且人=/(言)，求证：数列]-一|的前"项和(<].

12[a„an+1J

A

^3Acosx

~2

6.行列式2Asinx0(A>0)按第一列展开得后%+2此1+陷1，记函数〃%)=必1+%1，且

11COSX

"%)的最大值是4.

(1)求A；

⑵将函数)=/(%)的图像向左平移合个单位，再将所得图像上各点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不

变，得到函数y=g(x)的图像，求g(x)在，存岩]上的值域.

7.(2024・高三・海南省直辖县级单位.开学考试)由“X”个数排列成〃行〃列的数表称为〃行〃列的矩阵，简

称“X"矩阵，也称为〃阶方阵，记作：4(〃,")=生1。32«33•••a3„其中为(云可)飞江工/飞,表示

〃13,..a\n

a23a2n

矩阵A中第，行第，列的数.已知三个〃阶方阵分别为4〃,〃)=。32。33a3n,B(n,n)=

\anlan2%3…ann>

\

%

C2n

〜，其中%.一(力j£N*/,分别表示

中第1行第/列的数.若与=(1—+,则称C(〃,〃)是生成

的线性矩阵.

(24、--1

⑴已知42,2)=1(2,2)=4,若以2,2)是A(2,2)1(2,2)生成的线性矩阵，且7=3,求

U1J12

\1乙/

C(2,2)；

(4J(Ai如■■■bj

3323"12,•,n

(2)已知3,矩阵A(〃,〃)=...,B(n,n)=...,矩阵是

b2n…%,

A（七项5（〃,〃）生成的线性矩阵，且%=2.

⑴求。23，4（左6N*,左

加）已知数列也｝满足数列｛4｝满足幺=厂丁，数列｛4｝的前〃项和记为T.，是否存在正整

“2n〃

b

数私〃，使北=千旦成立？若存在，求出所有的正整数对（犯"）；若不存在，请说明理由.

8.（2024.安徽•二模）在平面直角坐标系xOy中，利用公式"叱①（其中。，b,c,d为常数），

[y=cx+dy

将点尸（阳y）变换为点P'（只y）的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①

（ab\（ab\

可由。，b,c,d组成的正方形数表/唯一确定，我们将」称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英

\^cajaJ

文字母A,4,…表水.

（1）在平面直角坐标系xOy中，将点P（3,4）绕原点。按逆时针旋转?得到点尸，（到原点距离不变），求点P，

的坐标；

（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，将点P（x,y）绕原点O按逆时针旋转a角得到点P（»,y）（到原点距离

不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵；

(2)若［=向量组g,a2,a3,...,0,是否存在“九向量”？给出你的结论并说

明理由；

(3)已知4、42、2均是向量组4，22，2的“力向量”，其中4=(sinx,cos九)，不=(2cosx,2sinx).设在平面直

角坐标系中有一点列。，。2，Q…。〃满足：Q1为坐标原点，。2为Z的位置向量的终点，且。21与因关

于点Q1对称，圆+2与酸+1(林N*)关于点02对称，求|。2021。2022|的最小值.

12.对于一■组向量,。2，。3，L，%(根EN*且加23),令£=4+。2+/"I-卜,如果存在

%(p41,2,3,…,砌,使得同之反一',那么称3是该向量组的“1向量”.

6设。“=(",%+〃)，〃€］＞{*,若Z是向量组■，Z，Z的"1向量”，求实数X的取值范围；

⑵若a,=卜in^l^cos/1,neN*,则向量组q,a2,a3,L,。〃+3(丹N)是否存在“1向量”？若存在,

求出“1向量”；若不存在，请说明理由；

(3)已知7，z，Z均是向量组，，W，4的“1向量"，其中加=(sinx,cosx),%=(2cosx,2sinx).设在

平面直角坐标系中有一点列4，鸟，鸟，L,4JeN*且壮4)满足：片为坐标原点，蔗=%,且

七+peN*)与&关于点［对称，%+2与&+i关于点尸2对称，求恒西的最大值.

13.〃元向量(nTuplevector)也叫“维向量，是平面向量的推广，设"为正整数，数集P中的"个元素

构成的有序组(6,外，…，％)称为P上的〃元向量，其中%(，=1，2,L为该向量的第，个分量.〃元向量通

常用希腊字母2,瓦，等表示，如花=4),尸上全体〃元向量构成的集合记为尸对于

访£eP”,〃eN*,记"=(%,的,…,%),或=(4也，…也)，定义如下运算：加法法则

及+/=(4+4，。2+仇,…,4+2)，模公式悯Jq+④+..•+《,内积

i=l

——J、0L,0

a,下=自岫=岫+a2b”…+a,R,设2,耳的夹角为6,则侬。=同悯.

⑴设aEeP",〃N3,〃eN*,法=（1,一1,1』,…』）,£=（-W,…』），解决下面问题:

①求卜+用；

②设Z与日+万的夹角为，，求cosd；

⑵对于一个〃元向量讶=3若同=1（，=1,2,…称£为〃维信号向量.规定

a邛=Goa］。,已知左个两两垂直的120维信号向量药,或满足它们的前加个分量都相同，证明:

4km<11.

重难点突破02线性代数背景下新定义

目录

01方法技巧与总结...............................................................2

02题型归纳与总结...............................................................2

题型一：行列式背景.............................................................2

题型二：矩阵背景...............................................................4

题型三：向量组背景.............................................................7

题型四：特征向量背景...........................................................9

03过关测试....................................................................11

亡法牯自与.柒年

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线性代数中处理新定义问题时，首要任务是准确理解新定义的本质。方法技巧上，可以采取以下步骤:

一、深入剖析新定义，明确其内涵与外延，把握关键要素。

二、尝试将新定义与已知概念、定理或性质建立联系，利用已有知识体系进行推理。

三、在解题过程中，灵活运用矩阵运算、线性变换、特征值与特征向量等工具，以及适当的代数或几

何方法。

四、注重验证结果的正确性，确保解题步骤和答案无误。

总结时，应强调新定义在解题中的关键作用，回顾解题过程中用到的关键知识点和技巧。同时，总结

新定义问题的常见类型和解题思路，以便在遇到类似问题时能迅速找到解决方法。通过不断练习和总结，

可以逐渐提高解决线性代数新定义问题的能力，加深对线性代数学科的理解和掌握。

题型一：行列式背景

【典例1-1】(2024•河北保定•三模)对于任意给定的四个实数对，3出1，42,我们定义方阵

A=""/],方阵A对应的行列式记为det(A),且det(A)=q1%2-方阵A与任意方阵

ya21“227

8=的乘法运算定义如下：AX8=C,其中方阵C=(U且“(见”e{1,2}),设

〃(cosa-sina)(cos'sin'[fl0]

(sinacosa)(—sin/cos//(01j

⑴证明：det(MxN)=det(E).

(2)若方阵A,区满足Ax6=石，且det(A),det(B)£Z,证明：|det(A)+det(3)|=det(M)+det(N).

【解析】(1)设方阵K=MxN=t"M,

则％=coscifcosy0+(-sina)(-siny0)=cos(cr-7?),

勺2=cosasin/7+（-sina）cos〃=sin（6一a）,

左21=sinacos,+cosa（-sin/7）=sin（a—，

右2=sinasin,+cosacos夕=cos（a-,

HWK="s（"0sin（p-a）、

、[sin（a-0cos（a-/7）J?

所以det（MxN）=det（K）=cos2（q_,）—sin（a_/?）sin（/7_a）=cos2（6Z-/?）+sin2（cr-/?）=1.

因为det（E）=lxl—0x0=1,所以det（〃xN）=det（£）,证毕.

可得％141+。12021=1'①

011bl2+q2b22=°，②

々2141+〃22b21=°，（3）

a21bl2+%2力22=1，④

由①X④,得力也1。2也2+%141%2d2+%2b21。21九+62匕21。22力22=1，⑤

由②x③，^aubl2a2lbn+aubna22b2i+anb22a2lbu+anb22a22b2i=0,（6）

由⑤一⑥，可得知41。22旬2+%2821。2也2-422b21-。12b22。2141=1,

整理得（41%-％2%）（伪也2-3%）=1，即det（A）xdet（B）=L

det（A）=-1,

由det（A）,det（5）cZ,可得则|det（A）+det⑻=2.

det（B）=-l,

又det（Af）=cos2a+sin2a=1,det（N）=cos2（3+sin2）3=1,

所以|det（A）+det⑻|=det（M）+det（N）,证毕.

【典例1・2】（2024.江苏南通.模拟预测）解二元一次方程组是数学学习的必备技能.设有满足条件

如出2片％2%的二元一次方程组1.…，.

[〃2]兀[+。22“2—02

（1）用消元法解此方程组，直接写出该方程组的两个解；

（2）通过求解，不难发现两个解的分母是由方程组中国,9的系数%、%2、％2、%所唯一确定的一个数，按

照它们在方程组中的位置，把它们排成一个数表4%,由此可以看出-牝%是这个数表中左上到

Cl/?]Cl??

右下对角线上两个数的乘积减去右上到左下对角线上两个数的乘积的差，称勺%-%%为该数表的二阶

d\1c1dicI1IcX">C^i

行列式，记为对"2.当"%知时，二元一次方程组“।];有唯一一组解.同样的，行列式

^^21^^22^^21^^22I^^21*^1+^^22

ababc

Im〃称为三阶行列式，且/mn=amz+brvc+cly—cmx-biz—any.

xyzxyz

勺%+42芯2="

(i)用二阶行列式表示方程组的两个解;

%玉+%2%2=02

anxx+al2x2+ai3x3=bx

(ii)对于三元一次方程组的凸+42%+%七=62,类比二阶行列式，用三阶行列式推导使得该三元一次

〃3i%i+。32%2+。33%3=瓦

方程组有唯一一组解的条件(结论不得使用行列式表达)，并用三阶行列式表示该方程组的解.

sinx—m

⑶若存在山。,可，使得8sx>sin2x+2求加的取值范围.

m

"i〃22—b2a12

【解析】(1)该方程组的两个解为

b2alib]%

、_bxa22—b2al2

"1一二

〃11〃22——2〃21

(2)(i)由(1)得〈

b2ali-bxa2i

4]]^^22

4〃12

b2

X\二

“11〃12

〃21。22

所以该方程组的两个解为

a21

。12

%1。22