2025年新高考数学一轮复习：数列的通项公式（十八大题型）（练习）（学生版+解析）

第04讲数列的通项公式

目录

01模拟基础练..................................................................2

题型一：观察法.................................................................2

题型二：叠加法.................................................................2

题型三：叠乘法.................................................................3

题型四：形如an+1=pan+q型的递推式............................................3

题型五：形如an+i=pan+kn+b型的递推式........................................4

题型六：形如an+i=pan+rq11型的递推式...........................................4

题型七：形如an+i=pa^P>0,an>0）型的递推式...................................5

题型八：形如an+i=4型的递推式...............................................5

题型九：形如a.2=pan+1+qan型的递推式.........................................5

题型十：形如a.1=吧就型的递推式..............................................6

pan+q

题型十一：已知通项公式an与前n项的和S"关系求通项问题..........................6

题型十二：周期数列.............................................................7

题型十三：前〃项积型...........................................................8

题型十四：“和”型求通项.........................................................8

题型十五：正负相间讨论'奇偶讨论型.............................................9

题型十六：因式分解型求通项....................................................10

题型十七：双数列问题..........................................................10

题型十八：通过递推关系求通项..................................................11

02重难创新练.................................................................12

03真题实战练.................................................................62

//

题型一：观察法

1.（2024・高三.河北唐山・期中）若数列也,｝的前6项为1,-g,|,3，-：，则数列｛%｝的通项公式可以为

C.(-1)"—D.(-1严」一

2〃一12n-l

2.数列0.3,0.33,0.333,0.3333,…的一个通项公式是％=()

3.数列｛g｝的前4项为：则它的一个通项公式是（）

A.—1―B.C.D.

2n—l2n+l3n-l3〃+1

4.如图所示是一个类似杨辉三角的递推式，则第，，行的首尾两个数均为（）

33

565

711117

91822189

A.2nB.2〃一1C.2〃+2D.In+1

题型二：叠加法

5.己知数列｛4｝满足％=2,a“+]-a“=2〃+2,〃eN*,则。“=.

6.毕达哥拉斯学派是古希腊哲学家毕达哥拉斯及其信徒组成的学派，他们把美学视为自然科学的一个组成

部分.美表现在数量比例上的对称与和谐，和谐起于差异的对立，美的本质在于和谐.他们常把数描绘成

沙堆上的沙粒或小石子，并由它们排列而成的形状对自然数进行研究.如图所示，图形的点数分别为1，5,

12,22____枚结规律并以此类推下去，第10个图形对应的点数为,若这些数构成一个数列｛4｝，

记数歹I[—1-7]的前〃项和为臬,贝IS2023=_____________.

&+i-aTj-

7.已知数列｛4｝满足为+「氏=32("6?4*),4=3,则4=

题型三：叠乘法

8.已知数列｛4"｝中，4=1，nan+l=2(^+a2++a„)(neN*),则数列｛4｝的通项为

9.设｛。“｝是首项为1的正项数列，且(〃+2)““+:-"/2+2°什陷“=0(〃eN*),求通项公式。“=

10.(2024.四川成都•二模)在数列｛4｝中，％=1,a,T(〃22,〃eN"),则数列｛叁｝的前〃项和

题型四：形如每+1=pan+q型的递推式

11.已知数列｛。“｝满足4=1。，%+1=3。“-2.

(1)求｛g｝的通项公式；

.4Z—1，、1

(2)若0=g；2吊,记数列也｝的前“项和为求证：

12.数列｛4｝满足4=4%_I+3(〃N2)且4=0,则数列｛。“｝的通项公式是.

13.已知首项为2的数列｛%｝对V〃eN*满足4+1=3为+4,则数列｛%｝的通项公式。“=.

14.已知数列｛为｝满足4=1,2an+I=3an+l.

⑴求数列｛%,｝的通项公式；

11115

(2)证明：-+—+—+

axa2a3an2

题型五：形如每+i=pan+kn+b型的递推式

15.记数列｛4｝的前几项和为S“，若q=1,且%+1=2。"+2〃.

(1)求证：数列｛q+2〃+1｝为等比数列；

(2)求数列｛%｝的前〃项和S“的表达式.

16.(2024•陕西安康•模拟预测)在数列｛4｝中，已知4,=2。1-2〃+4(”22),。1=4.

(1)求｛4｝的通项公式；

⑵求数列｛2"/"-4"｝的前”项和.

题型六：形如用+1=pan+『或型的递推式

n+2

17.已知数列｛4｝满足：an+l=2an+2,且6=2.求凡；

18.(2024・高三•河北张家口•开学考试)已知数列｛%｝满足％=5,且a向=3%-2"(“wN*).

求数列｛?｝的通项公式；

题型七：形如每+i=pa„(p>0,an>0)型的递推式

19.设正项数列｛g｝满足4=1,a„=2<1(«>2),求数列｛4｝的通项公式.

题型八：形如每+】二熟型的递推式

20.数列｛(/”｝中，。"+|=1£,4=2,贝ij%=

21.已知数列｛为｝满足4=1，g+1贝!I数歹■的前8项和a=

〃〃+2

22.已知数例J4=l，%+i=三:，则数列｛%｝的通项公式见=

题型九：形如册+2-Pan+1+qa”型的递推式

23.已知数列｛。“｝满足。।=1,a2=5,an+2=5an+1—6an.

(1)证明：｛q+「2叫是等比数列；

⑵求4.

24.已知数列｛%｝满足4=3,a2=6,an+2=2anU+3an,求a,

题型十：形如册+1=整型的递推式

Mn+q

3g—4(x

25.已知％=3,an+l=——,则｛4｝的通项公式为___.

〃〃一,

26.在数列｛。“｝中，4=2,且。用=煞，，求其通项公式应.

27.已知数列｛?｝满足4=2,。用=*弓，则%=____.

%十一

题型十一：已知通项公式即与前n项的和S”关系求通项问题

28.已知数列｛%｝的前w项和为S“，且5”="一12”.

⑴求数列｛4｝的通项公式；

(2)令4=--------，求数列｛a｝的前11项和3.

4A+i

29.记数列｛%｝的前"项和S"，S“=(〃+1)%-〃(〃+1).

⑴求｛凡｝的通项公式;

(2)设数歹!j—的前〃项和为.，证明：!珏＜；.

〔44+J84

30.已知数列｛为｝的前“项和为S,，且满足S“=2%+2〃-l.

(1)求证:数列｛%-2｝为等比数列；

(2)已知/=吟@，求数列也｝的前〃项和.

31.已知在数列｛%｝中,3=1,前“项和S”=

（1）求出、“3；

（2）求数列｛〃“｝的通项公式；

（3）设数列｛'｝的前〃项和为北,求人

32.（2024.浙江绍兴三模）已知数列｛g｝的前w项和为S,,且4=2,Sn=-^-an+1,设么=盘.

n+2n

⑴求证：数列也｝为等比数列；

⑵求数列｛r｝的前"项和T,.

33.已知数列｛%｝的前“项和为S“，且4s“=（2〃+l）a“+l.

⑴求｛%｝的通项公式；

⑵已知上eN*,集合｛〃豚-l<q,<2"+l,〃eN*｝中元素个数为4,求2+仇++bk.

题型十二：周期数列

34.（2024.内蒙古包头.一模）已知数列｛%｝的前〃项和为S“，q=2,出=3,an+2=an+l-an,则%=.

35.（2024•上海浦东新•模拟预测）已知4=1,%=2,且a“+2=a“+i-a“（〃为正整数）,则a2023H.

36.（2024•上海普陀.模拟预测）已知数列｛4｝满足a,“用・%+,=-3，卬=-2,4=；，则数列｛4｝的前，

项积的最大值为

37.(2024・河北•模拟预测)若数列｛?｝满足q=si吟，=an_x-1(zi>2,MGN*),则为023

题型十三：前"项积型

一21,

38.(2024.福建厦门•高三厦门外国语学校校考期末)7；为数列｛%｝的前"项积，且一+书=1

an4

(1)证明：数列｛4+1｝是等比数列；

(2)求｛4｝的通项公式.

2

39.已知数列｛4｝的前”项之积为2,且/+赍+…+今=2=(〃。*).

求数列加和｛叫的通项公式;

40.已知数列｛an｝的前n项积Tn=2"口⑵.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

⑵记bn=log2an,数列也｝的前〃项为S,,求S,的最小值.

题型十四：“和”型求通项

2

41.(2024•南明区校级月考)若数列他”｝满足a“+a,贝凡=

"+1J〃+2+4n

42.（2024•青海西宁・二模）已知S"为数列｛?｝的前及项和，%=1,。用+2S“=2”+1,贝I]S?。?？=（

A.2020B.2021C.2022D.2024

43.已知数列｛4｝的前几项和为S.，若S“M+S〃=2"2（"eN*）,且a户0,即）=28,则%的值为（）

A.-8B.6C.-5D.4

44.数列｛4,｝满足：Oi=0,a„+1+a„=2,求通项.

题型十五：正负相间讨论、奇偶讨论型

45.已知数列｛%｝满足：4=3”.“用=1]07€可），求此数列的通项公式.

an+2,〃为奇数

46.（2024・山东•校联考模拟预测）已知数列｛?｝满足q=-2,a„

+12a“+2,w为偶数.

（1）求｛。2n｝的通项公式；

（2）设数列｛玛｝的前几项和为S“，且S”>25。，求"的最小值.

2a”,〃是偶数,

47.（2024・湖南长沙•长郡中学校联考模拟预测）已知数列｛。“｝满足4=3,且凡十】

an-1,"是奇数.

⑴设N=的“，求数列也｝的通项公式;

（2）设数列｛。/的前w项和为S”,求使得不等式S“>2023成立的n的最小值.

题型十六：因式分解型求通项

48.（2024•四川模拟）己知数列｛%｝的各项均为正数，且满足（九+1）%-2»-〃=0.

（1）求4,出及｛4｝的通项公式;

（2）求数列｛2册｝的前〃项和S..

题型十七：双数列问题

49.已知数列｛4｝和也｝满足q=2,伉=1,an+bn=bn+l,区出+%]=4a..则^.

“1008

117

an+l=2a"+2^"

50.（2024.上海奉贤.二模）数列｛?｝,｛或｝满足《11111%>0,4>0.

+

4+12an2bn

（1）求证：｛巴•〃｝是常数列；

（2）若｛%｝是递减数列，求由与4的关系;

14〃=3〃++4

51.（2024.高三.辽宁•期中）已知数列｛。"｝、也』满足弓=2,4=1,且"-（«>2）

[4或=%+3%+4

⑴令-2,证明:匕｝是等差数列，｛4｝是等比数列；

（2）求数列｛。“｝和也」的通项公式；

（3）求数列｛%｝和也,｝的前"项和公式.

题型十八：通过递推关系求通项

52.某校高一学生1000人，每周一次同时在两个可容纳600人的会议室，开设“音乐欣赏”与“美术鉴赏”的

校本课程.要求每个学生都参加，要求第一次听“音乐欣赏”课的人数为机(400＜机＜600),其余的人听“美术

鉴赏”课；从第二次起，学生可从两个课中自由选择.据往届经验，凡是这一次选择“音乐欣赏”的学生，下一

次会有20%改选“美术鉴赏”，而选“美术鉴赏”的学生，下次会有30%改选“音乐欣赏”，用明,或分别表示

在第〃次选“音乐欣赏”课的人数和选“美术鉴赏”课的人数.

(1)若“=500,分别求出第二次，第三次选“音乐欣赏”课的人数的,«3；

⑵①证明数歹式q-600｝是等比数列，并用〃表示。“；

②若要求前十次参加“音乐欣赏”课的学生的总人次不超过5800,求m的取值范围.

53.某区域市场中5G智能终端产品的制造全部由甲、乙两公司提供技术支持.据市场调研及预测，5G商用

初期，该区域市场中采用的甲公司与乙公司技术的智能终端产品各占一半，假设两家公司的技术更新周期

一致，且随着技术优势的体现，每次技术更新后，上一周期采用乙公司技术的产品中有15%转而采用甲公

司技术，采用甲公司技术的产品中有10%转而采用乙公司技术.设第"次技术更新后，该区域市场中采用

甲公司与乙公司技术的智能终端产品占比分别为凡和“，不考虑其他因素的影响.

⑴用%表示。向，并求使数列｛氏-可是等比数列的实数4.

(2)经过若干次技术更新后，该区域市场采用甲公司技术的智能终端产品的占比能否达到60%以上？若能，

则至少需要经过几次技术更新；若不能，请说明理由.

54.某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产,

到当年年底资金增长了50%.预计以后每年年增长率与第一年的相同，公司要求企业从第一年开始，每年

年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第〃年年底企业上缴资金后的剩余资金为。“万

元.

(1)用d表示为与〃2，并写出%+i与〃”的关系式；

⑵求证：当dwlOOO时，数列｛氏-2力为等比数列，并说明d＜1000的现实意义；

(3)若公司希望经过5年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d的近似值(d取整数).

55.某电视频道在一天内有尤次插播广告的时段，一共播放了y条广告，第一次播放了1条以及余下的>-1

条的：，第2次播放了2条以及余下的第3次播放了3条以及余下的：，以后每次按此规律插播广告,

OOO

在第M%>i)次播放了余下的x条.

⑴设第上次播放后余下软条，这里a0=y,勺=。，求知与的递推关系式.

(2)求这家电视台这一天播放广告的时段x与广告的条数y.

56.治理垃圾是A地改善环境的重要举措.去年A地产生的垃圾量为200万吨，通过扩大宣传、环保处理

等一系列措施，预计从今年开始，连续5年，每年的垃圾排放量比上一年减少20万吨，从第6年开始，每

年的垃圾排放量为上一年的75%.

(1)写出A地的年垃圾排放量与治理年数的表达式；

(2)设4为从今年开始〃年内的年半净垃圾排放量，证明数列｛4｝为递减数列；

(3)通过至少几年的治理，A地的年平均垃圾排放量能够低于100万吨？

1.(2024・西藏•模拟预测)已知数列｛%｝对任意％eN*满足以9+1=2。则今出必=()

A.21012B.21013C.22024D.22025

2.(2024•陕西西安・模拟预测)已知数歹(]｛“〃｝的前〃项和为—〃Q〃+2(〃£N*),则工二()

A.190B.210C.380D.420

3.（2024江苏盐城・模拟预测）若数列｛。“｝满足2"%+2"-&+--+2%=4",｛%｝的前〃项和为S“，则（）

2,H=1

A.S“=《4"-4-4"T+5

Bf=3

[3心2

C.S〃=空D.S.4

〃3〃3

4.（2024.湖北黄冈•模拟预测）已知数列｛%｝的首项％=：,且满足％=三」,^-+—+-+-+—<1000,

则满足条件的最大整数〃=（）

A.8B.9C.10D.11

5.已知数列｛〃〃｝满足，nan+l-(2n+2M，则-()

+CL?+^^4++^^100

A50n51-50n51

A.----B.----C.—D.—

1011019999

设正数数列｛为｝的前〃项和为s“，且S“=g，+：｝〃eN*）,则（）

6.（2024•安徽阜阳•模拟预测）

A.｛4｝是等差数列B.｛S“｝是等差数列C.｛%｝单调递增D.｛S“｝单调递增

7.（2024・北京朝阳•二模）北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中记载了“隙积术”，提出长方台形垛积的一般求

和公式.如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积的第一层有曲个小球，第二层有（。+1）修+1）个

小球，第三层有（a+22+2）个小球……依此类推，最底层有cd个小球，共有〃层，由“隙积术”可得这些

小球的总个数为［（2"d）a+（2d+-c+（c-a）］〃若由小球堆成的某个长方台形垛积共&层,小球

6

总个数为240,则该垛积的第一层的小球个数为（）

A.1B.2C.3D.4

8.（2024•山西•三模）已知数列｛%｝,｛bn｝对任意〃eN*均有an+x=an+bn,或包=2+2.若％=a=3,则%,=（）

A.530B.531C.578D.579

9.（多选题）（2024.四川内江.模拟预测）甲、乙、丙、丁、戊、己6名同学相互做传接球训练，球从甲

手中开始，等可能地随机传向另外5人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外5人中的1人,

如此不停地传下去，假设传出的球都能被接住.记第〃次传球之后球在乙手中的概率为%.则下列正确的有

B.为等比数列

C.设第"次传球后球在甲手中的概率为2,九<%。

10.（多选题）（2024・山东•模拟预测）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样

的一列数：1,1,2,3,5,8,13,21,....该数列的特点如下：前两个数均为1,从第三个数起，每一个

数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，若用歹表示斐

波那契数列的第"项，则数列｛/（〃）｝满足：F（1）=F（2）=1,网"+2）=尸（〃+1）+网〃）.则下列说法正确的

是（）

A.F（10）=34

B.3F（n）=F（n-2）+F（n+2）（n>3）

C.F（l）+F（2）+---+F（2023）=F（2025）-l

D.[F（l）]2+[F（2）]2+---+[F（2023）]2=F（2023）-F（2024）

+b

11.（多选题）（2024.重庆・模拟预测）已知数列｛4｝,｛bn｝,记雹=4a2a3,。"，5“=々+仇+4+„­

11,,1

+—=］且〃=则下列说法正确的是（

Ta

nnTJ„+l

A.Tl2=12B.数列｛4｝中的最大项为2

C,D.S„<|

12.（2024•陕西铜川•模拟预测）已知数列｛?｝的前三项依次为2,2,3,｛%｝的前〃项和5"=。/+/+乙则

°2024=-

13.（2024•内蒙古.三模）假设在某种细菌培养过程中，正常细菌每小时分裂1次（1个正常细菌分裂成2

个正常细菌和1个非正常细菌），非正常细菌每小时分裂1次（1个非正常细菌分裂成2个非正常细菌）.

若1个正常细菌经过14小时的培养，则可分裂成的细菌的个数为.

14.（2024・上海.模拟预测）已知无穷数列｛4｝的前"项和为S“，不等式电<0对任意不等于2的正整数”

恒成立，且6s“=&+1乂q+2）,那么这样的数列有个.

15.（2024•吉林•模拟预测）已知数列｛%｝的前〃项和为S“，且％=1,2S“=3凡+机.

（1）求实数加的值和数列｛4｝的通项公式;

(2)若耳=Jog3aX，求数列｛bn｝的前n项和Tn.

16.(2024•江西宜春•模拟预测)数列｛%｝满足q+争争+...+券=2”.

(1)求｛%｝的通项公式;

,n

(2)若〃=一,求出｝的前〃项和

an

17.(2024•陕西安康•模拟预测)记S,为数列｛4｝的前w项和，已知％=1,"S同-5+l)S"="+〃.

(1)求｛4｝的通项公式；

n

⑵若bn=+[(-D+1]2\求数列｛%｝的前In项和4”.

18.(2024•江苏扬州・模拟预测)己知各项均为正数的数列｛%｝前〃项和为S„,且2S“=an(«„+1).

(1)求数列｛%｝的通项公式;

111c

⑵证明：—+—++—<2

32

19.(2024・福建泉州•模拟预测)将足够多的一批规格相同、质地均匀的长方体薄铁块叠放于水平桌面上，

每个铁块总比其下层铁块向外伸出一定的长度，如下图，那么最上层的铁块最多可向桌缘外伸出多远而不

掉下呢？这就是著名的“里拉斜塔”问题.将铁块从上往下依次标记为第1块、第2块、第3块......第“

块，将前诋=1,2,3,…/)块铁块视为整体，若这部分的重心在第7+1块的上方，且全部铁块整体的重心在桌

面的上方，整批铁块就保持不倒.设这批铁块的长度均为1,若记第“块比第”+1块向桌缘外多伸出的部分

(II)砥T=.(用%表示)

2.（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）记S1,为数列｛玛｝的前"项和，己知4s“=3%+4.

⑴求｛%｝的通项公式；

1

⑵设%=（-1）-nan,求数列也｝的前〃项和T”.

3.（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设S“为数列｛a“｝的前”项和，已知出=1，2S“=〃4.

⑴求｛%｝的通项公式;

anl

（2）求数列+的前"项和

2"

4.（2022年新高考全国I卷数学真题）记S,为数列｛%｝的前〃项和，已知是公差为g的等差数

列.

⑴求也“｝的通项公式；

111c

（2）证明：一+—++—<2.

a

ax%n

5.（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）记为数列｛4｝的前"项和，2为数列｛Sj的前"项积，已

21〜

知1T=2.

S,bn

（1）证明：数列他｝是等差数列;

（2）求｛%｝的通项公式.

6.(2020年浙江省高考数学试卷)6知数列｛即｝，｛加卜｛，〃｝中,%="=q=tcn=an+i-an,cn+i=—^-^(neN*).

“〃+2

(I)若数列｛6〃｝为等比数列，且公比4>0,且々+3=64,求q与伍〃｝的通项公式；

(II)若数列｛加｝为等差数列，且公差d>0,证明：q+q++q,<l+；(〃eN*)

7.(2018年全国普通高等学校招生统一考试数学(江苏卷))设/eN*,对1,2,n的一个排列牡4,

如果当SV时，有［>"贝U称@,匕)是排列咕，"的一个逆序，排列注％的所有逆序的总个数称为其逆序

数.例如:对1,2,3的一个排列231,只有两个逆序(2,1),(3,1),则排列231的逆序数为2.记力例为

1,2,…，〃的所有排列中逆序数为4的全部排列的个数.

(1)求力(2),%(2)的值；

(2)求力(2)(〃25)的表达式(用”表示).

8.(2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学(新课标I卷))已知数列｛《｝满足。1=1,

S+I=2(〃+1)4,,设r=%.

n

(1)求々，打，4；

(2)判断数列物/是否为等比数列，并说明理由；

(3)求｛%｝的通项公式.

第04讲数列的通项公式

目录

01模拟基础练..................................................................2

题型一：观察法.................................................................2

题型二：叠加法.................................................................2

题型三：叠乘法.................................................................3

题型四：形如an+1=pan+q型的递推式...........................................3

题型五：形如an+1=pan+kn+b型的递推式.......................................4

11

题型六：形如an+i=pan+rq型的递推式..........................................4

题型七：形如an+i=pa,(p>0,an>0)型的递推式..................................5

题型八：形如an+i=号型的递推式..............................................5

pan+q

题型九：形如a.2=pan+1+qan型的递推式.........................................5

题型十：形如a*1=3型的递推式..............................................6

pan+q

题型十一：已知通项公式a„与前n项的和S"关系求通项问题..........................6

题型十二：周期数列.............................................................7

题型十三：前〃项积型...........................................................8

题型十四：“和”型求通项.........................................................8

题型十五：正负相间讨论、奇偶讨论型.............................................9

题型十六：因式分解型求通项....................................................10

题型十七：双数列问题..........................................................10

题型十八：通过递推关系求通项..................................................11

02重难创新练.................................................................12

03真题实战练.................................................................62

//

题型一：观察法

1.(2024・高三•河北唐山•期中)若数列｛《｝的前6项为-：宗-白，则数列｛。.｝的通项公式可以为

%=()

C.(-1/--^-D.(-1严・乙

2M-12n-l

【答案】D

【解析】通过观察数列｛例｝的前6项，可以发现有如下规律：

且奇数项为正，偶数项为负，故用(-1)向表示各项的正负；

各项的绝对值为分数，分子等于各自的序号数，

而分母是以1为首项，2为公差的等差数列，

故第"项的绝对值是义,

2/1-1

所以数列｛«„｝的通项可为=(-1)向了；,

2n—l

故选：D

2.数列0.3,0.33,0.333,0.3333,…的一个通项公式是%=()

【答案】C

【解析】数列9,99,999,9999,…的一个通项公式是a=10"-1,则数列0.9,0.99,0.999,0.9999,

的一个通项公式是%=，x(10〃-1)=1-击，则数列0.3,0.33,0.333,0.3333,…的一个通项公式是

故选：c.

3.数列｛4｝的前4项为：则它的一个通项公式是（）

25o11

A•上1

B.-----D

2n+\-+

【答案】C

1111

【解析】将可以写成

25o113xl-l，3x2-l，3x3-l，3x4-l'

所以｛4｝的通项公式为止P

故选:C

4.如图所示是一个类似杨辉三角的递推式，则第“行的首尾两个数均为（）

33

565

711117

91822189

A.2nB.2n-lC.2〃+2D.2〃+1

【答案】B

【解析】依题意，每一行第一个数依次排成一列为：1,3,5,7,9,…，它们成等差数列，通项为2〃-1,

所以第，行的首尾两个数均为2〃-1.

故选:B

题型二：叠加法

5.已知数列｛4｝满足q=2,%+1-%=2附+2,九eN",则。“=.

【答案】n2+n

【解析】因q=2,%+1-%=2〃+2,"eN*,

aa

贝In=（。“—a”—1）+（”"一1一n-2）++（42—。］）+%=2+4+6+•+（2〃—2）+2n=--———-=n~+n.

故答案为：n2+n.

6.毕达哥拉斯学派是古希腊哲学家毕达哥拉斯及其信徒组成的学派，他们把美学视为自然科学的一个组成

部分.美表现在数量比例上的对称与和谐，和谐起于差异的对立，美的本质在于和谐.他们常把数描绘成

沙堆上的沙粒或小石子，并由它们排列而成的形状对自然数进行研究.如图所示，图形的点数分别为1,5,

12,22,…，总结规律并以此类推下去，第10个图形对应的点数为，若这些数构成一个数列｛4｝,

]

记数列的前〃项和为s〃，则82023二

_〃T

【答案】

3036

【解析】由图知％=1,%—q=4=l+3xl,%=1+3X2,%3=1+3X3,

4,-%T=1+3(“-1),累加得勺=1+4+7++[l+3(«-l)]=^(3n-l),

所以％0=145.

]2

因为

%一〃T3n(n+l)

所以邑侬=:“_;+g_;++盛-品帝-盛〉馥

2023

故答案为：145；

3036

7.已知数列｛4｝满足a,+-%=3"\77eN*),4=3,则氏=

【答案】

2

【解析】因为数列｛«„｝满足a„+l-an=3用(〃eN*),

23

所以%-4=3,a3-a2=3,...,a“一%,_]=3"»2),

当时，a〃=q+(%_q)+(%—%)■!---H(%—a，7)=3+3?+3^H---F3〃=--——；

32-3

当〃=1时，CL=---------=3,满足上式.

“2

综上所述，3^_

〃2

2〃+lQ

故答案为：

题型三：叠乘法

8.已知数列｛%｝中，％=1，〃a,+i=2(q+为++%)(〃eN*),则数列｛%｝的通项为

【答案】an=n(〃eN*)

【解析】nan+}=2(q+%+...+)(T^),

・•・当〃22时，(〃-1)为=2(q+%+...+4柿)②，

①-②得：叼,+]-("-1)。“=2%，即：nall+1=(n+l)a„,

%”+1

,•，

ann

出y2n

•••an=a\---…----=1.不…-----?=几，当〃=1时，结论也成立.

%an_x1n-i

an=n(neN*).

故答案为：an=n(neN*)

9.设｛〃〃｝是首项为1的正项数列，且("+2)〃〃+12-"42+2〃用％=0(〃£Z)，求通项公式。“二

2

【答案】

n(n+l)

【解析】由(〃+2)为/一〃QJ+2%讨%=0(〃£N*),得[(〃+2)an+i-nan](an+l+%)=。，

an+ln

.•a„>0,•.•4+i+Q“〉0，•••(〃+2)。用_〃。“=0，工---=-

an〃+2

%%为an,123n-2n-12._

=.....-=lx—x—x—x---x----x----=-------(n>2)x,

axa2a3an_x345nn+1n(n+1)

2

又3满足上式，.•.%=而百.

2

故答案为:

几2

10.(2024・四川成都•二模)在数列｛?｝中，at=l,ann>2,neN1),则数列的前〃项和

2〃

【答案】Q

九2

【解析】令2=3,显然因为%=〃22,〃£N*

n/_]4T

所以「

n>2,n€N),

b4，("T)2=En>2,

所以又4=*L

%1n+1

可得….殷崇.b.

由累乘法,

bn-X

,123n-12

=lx—X—X—XX-----二〃之2,〃wN“

345n+\

显然，当〃=1时，4=1满足上式,

2

所以2=

〃（几+1）

所以北二4+4+

2n

故答案为：

题型四：形如即+1=pan+q型的递推式

11.已知数列｛%｝满足4=1。，4"+1=3。“-2.

⑴求｛4｝的通项公式；

T4”—1（\1

（2）若％=（〃+2”,记数列｛2｝的前"项和为力求证：Tn<~.

【解析】（1）因为4+1=3。“一2,所以%+1-1=3（为一1）,又。「1=9,

所以马吟=3,

所以｛。〃-1｝是以9为首项，3为公比的等比数列，

所以4-1=931=3用,所以％=3向+1

3〃+i3〃

（2）由（1）知2=

213"

111111111

~\------1c2

所以为=4+4+…+%+H—I]

2（3+132+12U2+133+12（3"+13向+1

111

,又>0

2482（3n+1+l）2（3n+1+l）

所以

O

12.数列｛4｝满足为=4%_i+3（让2