2025年中考数学复习：矩形问题

矩形问题

一阶方法突破练

1.如图.在10X10的方格中有格点A,B,在网格中确定一组格点c,D,使得四边形ABCD是以AB为较短

边的矩形.

第1题图

2.如图，已知平面直角坐标系中有线段AB,点C为x轴上一点，点D为平面内任意一点，确定C,D,使得

以A,B,C,D为顶点的四边形是矩形，请作出符合要求的矩形.

第2题图

3.如图.在平面直角坐标系中直线L经过.A(-l,0),M(l,4)两点，点P是y轴上一动点，点Q是平面内任意一点,

若以A,M,P,Q为顶点的四边形是矩形，求点Q的坐标.

第3题图

4.如图，抛物线y=|x2-|x-2^x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,点M为坐标轴上一点，平面内存

在点N，使得以B,C,M,N为顶点的四边形为矩形，求点N的坐标.

第4题图

5.如图，抛物线y=-/+2%+3与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,点P是抛物线上一动点，在平面

内是否存在点Q,使得以点A,C,P,Q为顶点的四边形是矩形?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理

由.

第5题图

二阶设问进阶练

例如图，抛物线y=~^X2+|x+4-^x轴交于A,B两点，与y轴交于点C.

⑴平面内是否存在一点D，使得以A,B,C,D为顶点的四边形是矩形?若存在，求出点D的坐标；若不存

在，请说明理由；

例题图①

⑵是否存在以BC为边，且一个顶点P在抛物线的对称轴上的矩形?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请

说明理由；

例题图②

⑶若点E为抛物线的顶点，点M为y轴上一点，平面内是否存在点N，使得以C,E,M,N为顶点的四边

形是矩形?若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

例题图③

三阶综合强化练

1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=必一八-5与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,一次函数y

=kx+6的图象经过B,C两点，D(2,5)是抛物线对称轴上一点.

⑴求一次函数的解析式；

(2)若点P是直线BC下方抛物线上一动点，当△BDP的面积最大时，求出此时点P的坐标；

(3)(对称轴上的动点+任意一点)将抛物线沿x轴向右平移两个单位，得到的新抛物线与x轴交于E,F两点(点

E在点F左侧),若点M为新抛物线对称轴上一点，则平面内是否存在点N，使得以D,E,M,N为顶点的四边

形是矩形?若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

作图区答题区

备用图②

2.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a0)与x轴交于点4(一3,0),B(2,0),与y轴交于点C,ACAO=

交抛物线于点E,且.4E=EC.

45。,直线y=kx

⑴求抛物线的解析式；

⑵若点M为直线y=1上一点，点N为直线EC上一点，求(CM+MN的最小值；

(3)(抛物线上的动点+任意一点)点P为抛物线上一点，点Q为平面内一点，是否存在点P,Q,使得以E,C,

P,Q为顶点的四边形是矩形?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

3.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+/>%+|(a0)与x轴交于A,B两点(点B在点

A的右侧)，与y轴交于点C,S(0A-OB=1:3,抛物线的对称轴是直线x=1.

⑴求抛物线的解析式；

⑵点M是x轴下方抛物线上一点，连接AC,AM,BM,当4ABM=2乙4co时，求点M的横坐标；

(3)(对称轴上的动点+任意一点)若点P是抛物线的对称轴上一点，点Q是平面内任意一点，

是否存在点P,Q,使得以B,C,P,Q为顶点的四边形是矩形?若存在，求出点P的坐标；若不

存在，请说明理由.

考向3矩形问题

一阶方法突破练

1.解：格点C,D的位置如解图所示.

第1题解图第2题解图

2.解:如解图，矩形ABDiG,矩形ABC2D2,矩形AC3BD3和矩形AC4BD4为所求作矩形.

3.解：①当AM为矩形的对角线时，如解图①，设N为AM的中点

•.A(-l,0),M(l,4),.-.N(0,2),

•••MN=V5..-.NQi=NQ2=V5,

•••QI（0,2+V^）,Q2（0,2—强）;

第3题解图

②当AM为矩形的边时,(i)当AP±AM时，如解图②，过点A作直线l，x轴作P3HL于点H,作MG±I于点

G,

ZGAM+ZHAP3=90：NHAP3+NAP3H=90：

•.ZGAM=ZAP3H,

•­•ZMGA=NAHP3=90°

“MGASAAHP。则箸=**

（j/1ri尸3Z

HP3=1,.-,AH=;P3（0,一Q3（2-1）；

(ii)当MP±AM时，如解图③，过点M作直线l」x轴，交x轴于点L,作「4以1'于点)同理得必1_17|5人171升4,

则胃=培=；JP4=1,；•MJ=I，P4(0-1),.-.Q4(-2-5综上所述，点Q的坐标为(0,2+遍)或

(0,2-佝或(2,3］或(―2，|).

4.解:抛物线y=#-1久-2与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,/.A(-l,0),B(4,0),C(0,-2),AB=5,

AC=VS,BC=2V5,

分两种情况讨论，如解图，

①当以BC为对角线时，

•.zCOB=90°,

，此时M点与O点重合，即Mi。。),.1Nia,-2);

②当以BC为边时，

(i)M点在x轴上时,

•••AB=5,4C=V5,BC=2V5,

：.AB2^AC2+BC2,：.ZACB=90°

二此时M点与A点重合,即M2(-l,0),

・：C点向右平移4个单位,再向上平移2个单位得到

B点坐标，,Mz点向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到冲点坐标，

.2(3,2);

(ii)M点在y轴上时，延长(i)中BN2交y轴于M3*,即可组成矩形CBM3N3,此时点

N3在第二象限，

设直线BN2的解析式为y=kx+b,

代入B点和N2点的坐标，

得(轨+6=0解得(k=-2

伯Uk+b=2'州守lb=8,

直线BN2的解析式为y=-2x+8,

当x=0时,y=8,

故M3(0,8),

•••B点向左平移4个单位，再向上平移8个单位得到M3点，「C点向左平移4个单位，再向上平移8个单位

得到用点,

.■.N3(-4,6),

综上所述，符合条件的点N的坐标为(4,-2)或(3,2)或(-4,6).

5.解存在.

1•抛物线的解析式为y=—x?+2x+3,

.­.A(-l,0),C(0,3),

二.AC所在直线的解析式为：y=3x+3.

①当AC为矩形的边时，如解图，过点A,C作AC的垂线，分别交抛物线于点Pi,P2.

设APi所在直线的解析为y=-jx+C,

」.APi所在直线的解析式为y=-7-洞理CP?所在直线的解析式为y=-枭+3.

_10

2

y——x+2%+3;二(舍去)-

联立11解得:「3"（印谭）.・•・QWS

-yw，力一—万

7

2

y——x4-2x+3%二；(舍去)・

联立1,解得

y=--%+3

②当AC为矩形的对角线时，如解图，以AC为直径画圆，OI与抛物线无其它交点.

..不存在以AC为对角线且符合题意的点Q.

综上所述，点Q的坐标为用用或

二阶设问进阶练

例解:⑴存在.

•••抛物线y=-；/+1”+4与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,

令x=0碧y=4,二.C(0,4).

令y=0,解得.XI=-2,X2=8,.1A(-2,0),B(8,0).

AAC2=0A2+0C2=20,BC2=0B2+0C2=80,AB2=(0X+0B)2=100.

AC2+BC2=20+80=100=AB2.

."ABC为直角三角形，

•■.AC,BC为矩形的两边，AB为矩形的对角线，

.•.点D在AB下方.

•.点C向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到点A，二点B向左平移2个单位，再向下平移4个单位

得到点D,

.•.D(6,-4);

(2)存在.

■.B(8,0),C(0,4),

..BC所在直线的解析式为y=-|%+4.

•.•抛物线的对称轴为直线x=3,

二设点P的坐标为(3,p).

过点B,C分别作BC±CP1于点P1,BP2±BC于点P2,

①当点Pi在BC上方时，如解图①，设CP】所在直线解析式为=2久+瓦，

将C(0,4)代入，解得b1=4,/.ycp=2x+4.

当x=3时,y=10,

②当点Pz在BC下方时，如解图②，设BP?所在直线的解析式为yBP2=2%+b2>

将B(8,0)代入，解得b2=-16,/.yBP=2x-16.

.•,P2(3,-10).

综上所述，点P的坐标为(3,10)或(3,-10);

【一题多解】,.抛物线的对称轴为直线x=3，，设P(3,p),如解图①，当CP_LCB时，过点Pi作PiF_Ly轴于点F,

.•.zP1FC=90°,/.zFCP1+zBCO=90°^FCP1+=90°•••zBCO=^CP^F；:zP1FC=zCOB=90°,/.ACOB^△

PiFC,/.%=案,CF=6,.-.Pi(3,10);同理，如解图②，当BP±CB时，可得WzBEdBC。此时P2(3,-10).综上所

CUDU

述，点P的坐标为(3,10)或(3,-10).

例题解图

⑶存在.

y=—+|x+4=--^(x—3)2+

，点E的坐标为(3,9.

设点M的坐标为(0,m).①当CE为矩形的边时，如解图③，过点E作EMJLCE交y轴于点M,过点M作MN

IlEC,过点C作CNllEM,两直线交于点N,连接NE交MC于点F.

易得EM2=32+(m-=32+(y-47^CM2=(m-4)^

•••EM1CE,.-.CE2+EM2=CM4

即等+32+(m-弓)-(.m-4)2,,的！N

解得小=今,...”(0勺,图⑤

例题解图③

，矩形的对角线交点F的坐标为((0,57/8),

:点N的坐标为(-3,8);

②当CE为矩形的对角线时，如解图④，

四边形EMCN为矩形，

.北1\/14轴(1\1"轴,..1\/1(0,f),N(3,4)综上所述点N的坐标为(-3,8)或(3,4).

rf

“。门豌一十

图④图⑤

例题解图

【一题多解】：y=+|久+4=-：世-3)2+R,.•.点E的坐标为(3弓)，①当CE为矩形的边时，如解

4Zz

图③,•((。⑷上⑶勺,二直线CE的解析式为y：=:久+4,.设ME的解析式为y=—1%+瓦将点E坐标代入得，y

=一枭+?，,当x=。时,>=?，•,・M(0号),二矩［形的对角线交点F的坐标为(0,57/8),.•.点N的坐标为(-3,8);②当

CE为矩形的对角线时，如解图⑤，以CE为直径作圆交y轴于点M,连接ME,过点C作CNHME,.-.EM±y轴,C

N±y®,/.M(O,今川(3,4).综上所述，点N的坐标为(-3,8)或(3,4).

4

三阶综合强化练

1.解：(1)一次函数的解析式为y=x-5；

⑵如解图①，连接BD,过点P作PQllBD交抛物线于点Q,:B(5,0),D(2,5),

设直线BD的解析式为y=ax+c,

，将B,D两点的坐标代入解析式得，y=-|“+拳设PQ的解析式为y=-lx+d,

BD是定值,SBDP=♦0.(点P到BD的距离)，

当PQ与抛物线只有一个交点时，点P到BD的距离最大,.•.联立得%2-4X-5=-|X+d,即3x2—7X-15-3

d=0,

.•，b2-4ac=49-12x(-15-3d)=0,

解得d=-鲁，

V=——5X---2-2-9,

z336

(7

5229y—L

兹'解得

{y=x2—4x—5y——

l36

\636)

(3)【思路点拨】得到新抛物线的解析式，分①DE为矩形的边，②DE为矩形的对角线两种情况讨论，结合矩

形顶点的平移规律及相邻两边垂直时系数相乘为-1求点M的坐标.

存在.

将抛物线沿x轴向右平移两个单位得y=(x-2)2-4(x-2)-5,

，新抛物线的解析式为y=*2—8乂+7,

，E(LO),对称轴为直线x=4,

1•以D,E,M,N为顶点的四边形是矩形，

，分两种情况讨论：

①DE为矩形的边时，如解图②，作DM±DE,fiD,E两点得直线DE的解析式为y=5x-5,

，设直线DM】的解析式为V=-卜+e,将D(2,5)代入得y=-|%+^,

••・新抛物线的对称轴为直线x=4,

，Mi的横坐标为4,代入y=-卜+/导,Mi(4,加理当EM±DE时,M2(4,-1);

②当DE为矩形的对角线时，如解图③,作以DE为直径的圆与对称轴交于点M,设M(4,t),

•.D(2,5),E(1,O),t,直线EM的解析式为y=\V强

，直线DM的解析式为y=詈乂+10-

八&哪加金

-，•DM±EM,

.•.等1=-1解得t=2或t=3,

；.M3(4,3)或M4(4,2).

综上所述，满足条件的点M的坐标为(4,学或(4,-|)或(4,2)或(4,3).第1题;图②

警

W

1

第1胞解图③

2.解：(1)抛物线的解析式为y=-jx2-i%+3；

(2)如解图①，作点C关于直线y=l的对称点C,过点C'作直线CE的垂线交CE于点N,交直线y=l于点M,连

接CM,EC',

CM=C'M,

CM+MN=CM+MN2C‘N“即CM+MN的最小值为C'N的长.

.•直线y=kx交抛物线于点E,AE=EC,

直线y=kx为线段AC的垂直平分线.

・zCAO=45。"•.直线E0的解析式为y=-x,

_(y=-x

联立(y=--x2-~x+31

V22

解得偿二屋矣(舍去),

.■.E(-2,2),.-.CE=V5,

C(0,3),点C与点C关于直线y=l对称，

1/1

.・.S,=-EC-CN=-

ECC22

cc,-\xE\,

.•.|xV5-C/V=|x4x2,

CN=—.

5

r.CM+MN的最小值为?；

⑶【思路点拨】当①CE为矩形的边;②CE为矩形的对角线两种情况，由直线CE的解析式设点C,Q所在直

线的解析式，与抛物线联立求解点P的坐标，利用平移规律求得点Q的坐标.

存在.

分以下两种情况：

①当CE为矩形的边时，如解图②，过点C作CE的垂线,与抛物线交于点Pi,过点E作CE的垂线，与抛物线

交于点过点作的平行线，交直线于点过点作的平行线,交直线】于点

P2,PiCEEPzQi,PzCECPQ2,

•.C(0,3),E(-2,2),

二直线CE的解析式为y=1x+3.

,.CE±CQ2/

，设直线CQ2的解析式为y=-2x+d,代入C(0,3),解得d=3,

，直线CQ2的解析式为y=-2x+3,

(y=-2%+3

'联立=+

解得｛译u舍2去)或2代m

1•点C向左平移2个单位，再向下平移1个单位即可得到点E•.由矩形的性质可知，将点Pi向左平移2个

单位，再向下平移1个单位即可得到点Qi，,Qi(l,-4),同理得

②当CE为矩形的对角线时，如解图③，以EC为直径作圆，由解图③可知与抛物线无交点，故此种情况不存

在符合条件的点P,Q.

综上所述，点Q的坐标为(L-4)或Q-11).

3.解：⑴抛物线的解析式为y=-|/+%+1；

(2)【思路点拨】由NABM=2NAC0,构造等角，计算tan/ABM的值和点H的坐标，联立抛物线与直线BM的

解析式即可求解点M的坐标.

如解图①，在0B上取一点R,

使OR=0A=1,连接CR厕

zACR=2zACO=zABM,.

过点A作AK±CR于点K,设直

线BM交y轴于点H,

-11121

SACR=^AROC=^CR-AK