北师大版八年级数学上册《三角形内角和定理》平行线的证明 课件 第2课时

第七章平行线的证明7.5三角形内角和定理第2课时1．掌握三角形内角和定理的两个推理，并能运用这些定理解决简单的问题．2．经历探索与证明的过程，进一步发展推理能力．3．在一题多解、一题多变中，积累解决几何问题的经验，提升解决问题的能力．三角形的内角和定理及其常见变形是什么?

三角形的内角和等于180°.即在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°.常见变形：∠A=180°–(∠B+∠C).∠B+∠C=180°-∠A.∠B=180°–(∠A+∠C).∠A+∠C=180°-∠B.∠C=180°–(∠A+∠B).∠A+∠B=180°-∠C.ABC

△ABC内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，称为△ABC的外角.如图，∠1是△ABC的∠ABC的外角.

想一想：一个三角形的外角应具备哪些条件呢？1324学生活动一

【一起探究】

三角形的外角应具备的条件：

(1)角的顶点是三角形的顶点；(2)角的一边是三角形的一边；(3)另一边是三角形中一边的延长线.

问题1

如图，延长AC到E，延长BC到D，∠BCE是不是△ABC的一个外角?∠DCE是不是△ABC的一个外角?ECBAD

∠BCE是△ABC的一个外角，∠DCE不是△ABC的外角.学生活动二

【一起探究】

问题2

如图，∠ACD与∠BCE有什么关系？在三角形的每个顶点处有多少个外角？

在三角形每个顶点处都有两个外角.

∠ACD与∠BCE为对顶角，∠ACD=∠BCE；ECBAD

问题3

你能画出△ABC的所有外角吗?

每一个三角形都有6个外角．

每一个顶点相对应的外角都有2个，且这2个角为对顶角.ABC∠1+∠4=180°；∠1>∠2，∠1>∠3；∠1=∠2+∠3.在下图中，∠1与其他角有什么关系？能证明你的结论吗？学生活动三

【一起探究】

证明:∵∠2+∠3+∠4=180°(三角形内角和理)，∠1+∠4=180°(平角的定义)，

∴∠1=∠2+∠3(等量代换).∴∠1>∠2，∠1>∠3(和大于部分).三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.三角形内角和定理的推论：

注：由一个基本事实或定理直接推出的定理，叫做这个基本事实或定理的推论.推论可以当做定理使用.例1已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC.

求证：AD∥BC

要证明AD∥BC，只需证明“同位角相等”或“内错角相等”或“同旁内角互补”.

ACDBE对于例1，你还有其他证明方法吗？方法二证明：由例题推理同样可得:∠DAC=∠C(已证)，∵∠BAC+∠B+∠C=180°(三角形内角和定理).∴∠BAC+∠B+∠DAC=180°(等量代换).∴AD∥BC(同旁内角互补，两直线平行).ACDBE

证明：∵∠EAC=∠B+∠C(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)，∠B=∠C(已知)，∴∠C=∠EAC(等式的性质).∵AD平分∠EAC(已知).∴∠DAC=∠EAC(角平分线的定义).∴∠DAC=∠C(等量代换).∴AD∥BC(内错角相等，两直线平行).ACDBE1．如图，∠1，∠2，∠3是△ABC的三个外角，那么∠1，∠2，∠3的和是多少度?

解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得:

∠1=∠ABC+∠ACB，

∠2=∠BAC+∠ACB，

∠3=∠ABC+∠BAC.

又∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°(三角形内角和定理)，∴∠1+∠2+∠3=2(∠BAC+∠ABC+∠ACB)=360°(等式的性质).例2

已知：如图，P是△ABC内一点，连接PB、PC.

求证：∠BPC＞∠A.ABCP

要证明两个角的不等关系，可以利用定理“三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角”.

本题的解题关键是画出辅助线，找到三角形的外角与和它不相邻的内角的不等关系.DABCP想一想，你还有其他的证明方法吗？

证明：如图，延长BP，交AC于点D.∵∠BPC是△PDC的一个外角(外角的定义)，∴∠BPC>∠PDC(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角).∵∠PDC是△ABD的一个外角(外角定义)，∴∠PDC>∠A

(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角).∴∠BPC>∠A(不等式的性质).方法二证明：连接AP并延长，交BC于点E.∵∠BPE是△ABP的一个外角(外角的定义)，∴∠BPE＞∠BAP(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角).∵∠EPC是△ACP的一个外角(外角的定义)，∴∠EPC

＞∠PAC(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角).∴∠BPE+∠EPC

＞∠BAP+∠PAC(不等式的性质)，即∠BPC

＞∠BAC.ABCPE1．如图，AB//CD，∠A＝37°，∠C＝63°，那么∠F等于

(

)

A.26°B.63°C.37°D.60°

FABECDA2.如图，试求出∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠