2022年北京市初三一模数学试题汇编：解直角三角形及其应用

第1页/共1页2022北京初三一模数学汇编解直角三角形及其应用一、单选题1．（2022·北京石景山·一模）如图，△ABC中，，D，E分别为CB，AB上的点，，，若，则DE的长为（

）A． B．2 C． D．12．（2022·北京房山·一模）将宽为2cm的长方形纸条折叠成如图所示的形状，那么折痕AB的长是()A．cm B．2cm C．4cm D．cm二、填空题3．（2022·北京门头沟·一模）京西某游乐园的摩天轮采用了国内首创的横梁结构，是市民周末休闲的好去处．如图，如果该摩天轮的直径为88米，最高点距地面100米，匀速运行一圈所需的时间是18分钟．但受周边建筑物影响，如果乘客与地面距离不低于34米时为最佳观景期，那么在摩天轮运行的一圈中最佳观景的时长为________分钟．

三、解答题4．（2022·北京石景山·一模）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，=，连接AC，BC，AD，BD，过点D作DE//AB交CB的延长线于点E．(1)求证：直线DE是⊙O的切线；(2)若AB=10，BC=6，求AD，BE的长．5．（2022·北京大兴·一模）如图，A是上一点，BC是的直径，BA的延长线与的切线CD相交于点D，E为CD的中点，AE的延长线与BC的延长线交于点P．(1)求证：AP是的切线；(2)若，，求CD的长．6．（2022·北京西城·一模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点F在弧BC上，AF与CD交于点G，点H在DC的延长线上，且HG=HF，延长HF交AB的延长线于点M．(1)求证：HF是⊙O的切线；(2)若，BM=1，求AF的长．7．（2022·北京丰台·一模）如图，在四边形ABCD中，∠DCB＝90°，ADBC，点E在BC上，ABDE，AE平分∠BAD．(1)求证：四边形ABED为菱形；(2)连接BD，交AE于点O．若AE＝6，sin∠DBE＝，求CD的长．8．（2022·北京门头沟·一模）我们规定：在平面直角坐标系中，如果点到原点的距离为，点到点的距离是的整数倍，那么点就是点的倍关联点．(1)当点的坐标为时，①如果点的2倍关联点在轴上，那么点的坐标是；②如果点是点的倍关联点，且满足，．那么的最大值为________；(2)如果点的坐标为，且在函数的图象上存在的2倍关联点，求的取值范围．9．（2022·北京房山·一模）如图1，⊙I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交⊙I于P，Q两点（Q在P，H之间）．我们把点P称为⊙I关于直线a的“远点”，把PQ·PH的值称为⊙I关于直线a的“特征数”．(1)如图2，在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为（0，4），半径为1的⊙O与两坐标轴交于点A，B，C，D．①过点E作垂直于y轴的直线m﹐则⊙O关于直线m的“远点”是点__________________（填“A”，“B”，“C”或“D”），⊙O关于直线m的“特征数”为_____________；②若直线n的函数表达式为，求⊙O关于直线n的“特征数”；(2)在平面直角坐标系xOy、中，直线l经过点M（1，4），点F是坐标平面内一点，以F为圆心，为半径作⊙F．若⊙F与直线l相离，点N（–1，0）是⊙F关于直线l的“远点”，且⊙F关于直线l的“特征数”是，直接写出直线l的函数解析式．10．（2022·北京平谷·一模）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，连接AC、BC，过O作OF∥AC，交BC于G，交DC于F．(1)求证：∠DCB＝∠DOF；(2)若tan∠A＝，BC＝4，求OF、DF的长．11．（2022·北京朝阳·一模）如图，为的直径，C为上一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为D．(1)求证：平分；(2)若，，求的长．12．（2022·北京朝阳·一模）如图，在矩形中，，相交于点O，，．(1)求证：四边形是菱形；(2)若，求四边形的面积．13．（2022·北京顺义·一模）如图，在四边形ABCD中，，，垂足为O，过点D作BD的垂线交BC的延长线于点E．(1)求证：四边形ACED是平行四边形；(2)若AC=4，AD=2，，求BC的长．14．（2022·北京顺义·一模）在平面直角坐标系中，的半径为2．对于直线和线段BC，给出如下定义：若将线段BC沿直线l翻折可以得到的弦（，分别是B，C的对应点），则称线段BC是以直线l为轴的的“关联线段”．例如：在图1中，线段BC的是以直线l为轴的的“关联线段”．(1)如图2，点，，，，，的横、纵坐标都是整数．在线段，，中，以直线l为轴的的“关联线段”是______；(2)△ABC是边长为a的等边三角形，点，若BC是以直线l为轴的的“关联线段”，求a的值；(3)如果经过点的直线上存在以直线l为轴的的“关联线段”，直接写出这条直线与y轴交点的纵坐标m的取值范围．15．（2022·北京海淀·一模）如图，是的外接圆，AB是的直径，点D为的中点，的切线DE交OC延长线于点E．(1)求证：；(2)连接BD交AC于点P，若，，求DE和BP的长．

参考答案1．D【分析】先根据三边长判断各角的度数，然后利用等腰三角形“三线合一”求出，再，最后根据全等三角形的性质求出DE的长．【详解】解：△ABC中，，，，，，，，，，，，，，，又，，，故选：D．【点睛】本题考查了直角三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，根据特殊三角函数值求解度，三角形外角的性质，根据三角形三边确定三角形各角的度数是解本题的关键．2．A【分析】由图中条件可知纸片重叠部分的三角形ABO是等边三角形，此三角形的高是AM=2，求边长，利用锐角三角函数可求．【详解】解：如图，作AM⊥OB，BN⊥OA，垂足为M、N，∵长方形纸条的宽为2cm，∴AM=BN=2cm，∴OB=OA，∵∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，在Rt△ABN中，AB===cm．故选A．【点睛】本题考查了折叠的性质，等边三角形的判定及解直角三角形的运用．关键是由已知推出等边三角形ABO，有一定难度．3．12【分析】先计算出圆的底端距离地面的距离为12，从而得到圆的底部到弦的距离为22，从而计算出弦所对的圆心角，用弧长公式计算劣弧的长，周长减去劣弧的长得到最佳观赏路径长，除以运动速度即可．【详解】解：如下图所示，根据题意，得OC=44，CD=AD-AC=100-88=12，ED=34，∴CE=ED-CD=34-12=22，∴OE=OC-CE=44-22=22，在直角三角形OEF中，sin∠OFE==，∴∠OFE=30°，∴∠FOE=60°，∴∠FOB=120°，∴，∵圆转动的速度为，∴最佳观赏时长为÷=12（分钟），故答案为：12．【点睛】本题考查了垂径定理，弧长公式，特殊角的三角函数，解题的关键是熟练掌握弧长公式，灵活运用特殊角的三角函数．4．(1)见解析(2)AD=5，BE=．【分析】（1）连接OD，根据圆周角定理得到∠AOD=∠AOB=90°，根据平行线的性质得到∠ODE=90°，于是得到结论；（2）连接CD，根据圆周角定理得到∠ADB=∠ACB=90°，推出△ABD是等腰直角三角形，得到AB=10，解直角三角形得到AC=8，求得∠CAD=∠DBE，根据平行线的性质得到∠BDE=∠OBD=45°，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】（1）证明：连接OD，∵AB为⊙O的直径，点D是半圆AB的中点，∴∠AOD=∠AOB=90°，∵DE∥AB，∴∠ODE=90°，∴OD⊥DE，∴直线DE是⊙O的切线；（2）解：连接CD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=∠ACB=90°，∵=，∴DB=AD，∴△ABD是等腰直角三角形，∵AB=10，∴AD=10sin∠ABD=10sin45°=10×=5，∵AB=10，BC=6，∴AC==8，∵四边形ACBD是圆内接四边形，∴∠CAD+∠CBD=180°，∵∠DBE+∠CBD=180°，∴∠CAD=∠DBE，由（1）知∠AOD=90°，∠OBD=45°，∴∠ACD=45°，∵DE∥AB，∴∠BDE=∠OBD=45°，∴∠ACD=∠BDE，∴△ACD∽△BDE，∴，∴，解得：BE=．【点睛】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，特殊角的三角函数，正确的作出辅助线是解题的关键．5．(1)见解析(2)【分析】（1）先由圆周角定理得出，再由斜边上的中线性质得出，由是切线得出，即可得出，周长结论；（2）先证明是等边三角形，得出，再在和中，运用锐角三角函数即可得出结果．（1）证明：连接，；如图所示：是的直径，，，是的中点，，，，，是的切线，，，，，是上一点，是的切线；（2）解：由（1）知．在中，，，即，；，，，是等边三角形，，在中，，，，，又在中，，，．【点睛】本题考查了切线的判定与性质、圆周角定理、直角三角形斜边上的中线性质、等边三角形的判定与性质、锐角三角函数的运用；解题的关键是熟练掌握切线的判定与性质并结合锐角三角函数进行计算．6．(1)见解析(2)【分析】（1）连接OF，根据CD⊥AB，可得∠A+∠AGE=90°，再由HG=HF，可得∠HFG=∠AGE，然后根据OA=OF，可得∠A=∠OFA，即可求证；（2）连接BF，先证得△BFM∽△FAM，可得，再由，可得OM=5，AM=9，AB=8，FM=3，从而得到，然后由勾股定理，即可求解．（1）证明：连接OF，∵CD⊥AB，∴∠AEG=90°，∴∠A+∠AGE=90°，∵HG=HF，∴∠HFG=∠HGF，∵∠HGF=∠AGE，∴∠HFG=∠AGE，∵OA=OF，∴∠A=∠OFA，∴∠OFA+∠HFG=90°，即∠OFH=90°，∴HF是⊙O的切线；（2）解：如图，连接BF，由（1）得：∠OFM=90°，∴∠BFO+∠BFM=90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB=90°，∴∠A+∠ABF=90°，∵OB=OF，∴∠ABF=∠BFO，∴∠BFM=∠A，∵∠M=∠M，∴△BFM∽△FAM，∴，∵，∴，∵BM=1，OB=OF，∴，解得：OF=4，∴OM=5，AM=9，AB=8，∴FM=，∴，∴，∵，∴，解得：．【点睛】本题主要考查了圆的综合题，熟练掌握切线的判定，相似三角形的判定和性质，理解锐角三角函数是解题的关键．7．(1)见解析(2)【分析】（1）先证明四边形ABED为平行四边形，再证一组邻边相等，可得结论；（2）先根据菱形的性质及解直角三角形求得BE及BD的长，再通过面积法求得CD的长．（1）证明：∵ADBC，ABDE，∴四边形ABED为平行四边形，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE．∵ADBC，∴∠DAE=∠AEB，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE，∴▱ABED是菱形；（2）解：如图，连接BD，∵四边形ABED是菱形，∴AE⊥BD，AO=OE==3，OB=OD，∴sin∠DBE==，∴BE=5，∴，∴BD=2OB=8，∵∠DCB＝90°，∴，∴∴．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，掌握菱形的面积等于对角线积的一半是解题的关键．8．(1)①（1.5，0）或（﹣4.5，0），②3(2)1－≤b≤1＋【分析】（1）①根据点的坐标为，点的2倍关联点在轴上，利用关联点的定义即可求解；②根据点是点的倍关联点，且满足，，列出不等式，即可求解；（2）根据当直线与⊙相切时，即直线和，b分别取最大值b1和最小值b2，分两种情况解答即可．（1）解：①∵点的坐标为，∴点到原点的距离为1.5，∴a＝1.5，∵点的2倍关联点在轴上∴2a＝3∴点M的横坐标为-1.5＋3＝1.5或﹣1.5－3＝﹣4.5∴点M的坐标是（1.5，0）或（﹣4.5，0）故答案为：（1.5，0）或（﹣4.5，0）②∵点是点的倍关联点，且满足，∴a＝1.5∴点M的坐标是（-1.5，1.5k）当时，即，解得，当时，即，解得，∴k的取值范围为，∵k是整数，∴k的最大值是3故答案为：3（2）解：∵点的坐标为∴a＝1，∴的2倍关联点在以点为圆心，半径为2的圆上∵在函数的图象上存在的2倍关联点，∴当直线与⊙相切时，即直线和，b分别取最大值b1和最小值b2，如图所示，在Rt△AB中，∠AB＝90°，∠AB＝45°，A＝2∴sin∠AB＝∴∴点B的坐标是（1＋，0）代入得﹣（1＋）＋b1＝0解得b1＝1＋∴直线AB为在Rt△CD中，∠DC＝90°，∠DC＝45°，D＝2∴sin∠DC＝∴∴点C的坐标是（1－，0）代入得﹣（1－）＋b2＝0解得b2＝1－∴直线CD为∴1－≤b≤1＋【点睛】本题主要考查了坐标系中的点之间的距离，一次函数的图像和性质，圆的切线、解直角三角形等知识，数形结合是解决此题的关键．9．(1)①D；10；②⊙O关于直线n的“特征数”为6；(2)或【分析】（1）①根据题干中“远点”及“特征数”的定义直接作答即可；②过圆心O作OH⊥直线n，垂足为点H，交⊙O于点P、Q，首先判断直线n也经过点E（0，4），在中，利用三角函数求出∠EFO=60°，进而求出PH的长，再根据“特征数”的定义计算即可；（2）连接NF并延长，设直线l的解析式为y=kx+b1,用待定系数法得到，再根据两条直线互相垂直，两个一次函数解析式的系数k互为负倒数的关系可设直线NF的解析式为y=x+b2,用待定系数法同理可得，消去b1和b2，得到关于m、n的方程组；根据⊙F关于直线l的“特征数”是，得出NA=，再利用两点之间的距离公式列出方程(m+1)2+n2=，把代入，求出k的值，便得到m、n的值即点A的坐标，再根据待定系数法求直线l的函数表达式．注意有两种情况，不要遗漏．（1）解：（1）①⊙O关于直线m的“远点”是点D，⊙O关于直线m的“特征数”为=2×5=10；②如下图：过圆心O作OH⊥直线n，垂足为点H，交⊙O于点P、Q，∵直线n的函数表达式为，当x=0时，y=4；当y=0时，x=，∴直线n经过点E（0，4），点F（，0），在中，∵===，∴∠FEO=30°，∴∠EFO=60°，在中，∵，∴HO=·FO=2，∴PH=HO+OP=3，∴PQ·PH=2×3=6，∴⊙O关于直线n的“特征数”为6；（2）如下图，∵点F是圆心，点是“远点”，∴连接NF并延长，则直线NF⊥直线l，设NF与直线l的交点为点A（m，n），设直线l的解析式为y=kx+b1（k≠0）,将点与A（m，n）代入y=kx+b1中，②-①得：n-4=mk-k，③又∵直线NF⊥直线l，∴设直线NF的解析式为y=x+b2（k≠0）,将点与A（m，n）代入y=x+b2中，④-⑤得：-n=+，⑥联立方程③与方程⑥，得：解得：，∴点A的坐标为（，）；又∵⊙F关于直线l的“特征数”是，⊙F的半径为，∴NB·NA=，即2·NA=，解得：NA=，∴[m-(-1)]2+(n-0)2=()2，即(m+1)2+n2=18，把代入，解得k=-1或k=；当k=-1时，m=2，n=3，∴点A的坐标为（2，3），把点A（2，3）与点代入y=kx+b1中，解得直线l的解析式为；当k=时，m=，n=，∴点A的坐标为（，），把点A（，）与点代入y=kx+b1中，解得直线l的解析式为．∴直线l的解析式为或．【点睛】本题是一次函数与圆的综合题，考查了直线与圆的位置关系、一次函数的图象和性质、解直角三角形等，理解“远点”和“特征数”的意义，熟练掌握一次函数的图象和性质、两点之间距离公式、两条直线互相垂直的两个一次函数解析式中系数k互为负倒数的关系是解题的关键．10．(1)见解析(2)，【分析】（1）如图所示，连接OC，先证明∠DCB=∠OCA，由OC=OA，可证∠OAC=∠OCA=∠DCB，再由，可证∠DOF=∠OAC，即可证明∠DOF=∠DCB；（2）先证△OBG∽△ABC，∠BGO=∠ACB=90°得到，则CG=2，再由∠BCD=∠OAC，，求出，则，，即可得到，可证△OFD∽△ACD，得到，则．（1）解：如图所示，连接OC，∵CD是圆O的切线，AB是圆O的直径，∴∠OCD=∠ACB=90°，∴∠DCB+∠OCB=∠OCA+∠OCB，∴∠DCB=∠OCA，∵OC=OA，∴∠OAC=∠OCA=∠DCB，∵，∴∠DOF=∠OAC，∴∠DOF=∠DCB；（2）解：设OF与BC交于点G，∵，∴△OBG∽△ABC，∠BGO=∠ACB=90°∴，∠CGF=90°∴，∴CG=2，∵∠BCD=∠OAC，，∴，∴，∴，，∴，同理可证△OFD∽△ACD，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查了圆切线的性质，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，平行线的性质，等腰三角形的性质，直径所对的圆周角是直角等等，正确作出辅助线是解题的关键．11．(1)证明见详解(2)【分析】（1）连接OC，可证明，推导出，又因为，可得，即可证明，即平分；（2）连接BC，由为的直径可证明，由（1）可知，利用三角函数分别解、，解得AC、AD长度，再由勾股定理计算CD的长即可．【详解】（1）证明：如图1，连接OC，∵CD为切线，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，即平分；（2）解：如图2，连接BC，∵为的直径，∴，∵，∴，即，解得，∵，∴，∴．【点睛】本题主要考查了切线的性质、圆周角定理、三角函数解直角三角形以及勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题关键．12．(1)见解析(2)【分析】(1)根据矩形的性质得出OA=OB，进而利用菱形的判定解答即可；(2)根据菱形的性质及面积公式，解直角三角形即可求得．（1）证明：，四边形AEBO是平行四边形又四边形ABCD是矩形，，四边形AEBO是菱形（2）解：如图：连接EO，交AB于点F四边形ABCD是矩形，，又是等边三角形，四边形AEBO是菱形，四边形的面积为：【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，作出辅助线是解决本题的关键．13．(1)证明见解析(2)BC的长为【分析】（1）先判定，再根据题中所给的条件即可利用平行四边形判定定理证出；（2）根据三角函数值设，，利用平行四边形性质得到平行及线段相等，从而根据确定的相似比代值求解即可．（1）证明：，，，，在四边形ABCD中，，四边形ACED是平行四边形；（2）解：在中，，设，，在中，，，，，，即，解得（舍弃）或，．【点睛】本题考查了平行线的判定、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数定义等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．14．(1)，，(2)(3)或【分析】（1）根据定义作关于的对称点，若线段是的弦，则再次对称（依题意定义）即为的弦，据此求解即可；（2）根据（1）的方法，根据等边三角形的对称性，可知轴，设交轴于点，交于点，解进而求得的长，即的值；（3）